2026年中考数学一轮专题复习---直角三角形的边角关系

2026年中考数学一轮专题复习---直角三角形的边角关系 一、单选题 1．以下四个特殊三角函数值中，最大的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，若，则AC的长为（   ） A．3 B．6 C． D． 4．为落实适老化改造要求，某老年大学对教学楼入口进行升级，将原有三级台阶改建为无障碍斜坡，方便老年学员通行．已知每级台阶高为，深为，设台阶的起点为，斜坡的起始点为，现设计斜坡的坡度，则的长度是（    ） A． B． C． D． 5．如图，菱形的对角线相交于点，，点，分别是边，的中点，连接，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 6．在中，，为的角平分线，将沿着直线折叠，点落在点处，若，，则的值为（　　）． A． B． C． D． 7．如图，将长、宽分别为，的长方形纸片分别沿，折叠，点M，N恰好重合于点P．若，则折叠后的图案（阴影部分）面积为（　  　） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的高在y轴上，且原点O为的中点，．将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第162次旋转结束时，点C的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 9．如图，在矩形中，，点P在线段上运动（含B，C两点），连接，以为边，在的右侧作等边，连接，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 10．如图，在中，，，P是的中点，M是直线上的一动点，线段绕着点P逆时针旋转，得到线段，连接，．下列结论错误的是（    ） A．线段的最小值是 B．线段的最小值是3 C．面积的最小值是 D．线段的最小值是 二、填空题 11．已知α为锐角，，则____． 12．计算： ______． 13．如图，在矩形中，，是边上的三等分点，连接，相交于点，连接．若，，则的值是_____． 14．顺次连接一矩形场地的边、、、的中点E、F、G、H，得到四边形，M为边的中点，点P为在对角线上走动的位置，若米，米，当的和为最小值时，的长为_____． 15．如图，港口在观测站的正东方向千米处，某船从港口出发，沿北偏东方向匀速航行小时后到达处，此时从观测站处测得该船位于北偏东的方向，求该船航行的速度是______千米/小时．（结果保留根号） 三、解答题 16．计算： (1)； (2)； (3)． 17．某公园有一座古塔（如图1），数学兴趣小组借助皮尺和测角仪测量该古塔的高度．图2是该小组根据测量方案绘制的部分几何图形． 步骤一：在点A处，测得塔尖C的仰角为； 步骤二：从点A出发，向前走15m到达点B处．此时在B处测得塔尖C的仰角为．点D是塔尖C在地平线上的正投影． (1)尺规作图：作出表示古塔高度的线段，并说明作图原理；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)根据测量数据，计算古塔的高度．（参考数据：，，） 18．如图，四边形是某校实践基地一块菜地的示意图，，数学兴趣小组在观测点处（，，在一条直线上），测得在的南偏东方向上，，在观测点处（，，在一条直线上），测得，都在的北偏东方向上，．求这块菜地的面积．（结果保留整数，，） 19．如图，在正方形的边上取点，边的延长线上取点，使得． (1)求证：； (2)连接与交于点，若，，求的长． 20．在边长为的正方形中，是边的中点，点是边上的一个动点，连接并延长交射线于点． (1)如图，连接，当时，求证：； (2)过点作的垂线交射线于点，连接，． （）如图，求证：； （）如图，当时，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B C D A D D C A 1．C 【分析】先计算出各选项的三角函数值，再比较大小即可得到结果． 【详解】解：∵，，，， ∴，即最大． 2．A 【分析】根据勾股定理可求出的长，再根据正切的定义解答即可． 【详解】解：在中，∵，，， ∴， ∴． 3．B 【分析】本题考查了解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键；过点A作于E，由求得，再由正弦函数关系即可求得． 【详解】解：如图，过点A作于E， 则； 在中，， ∴； 在中，， ∴ 4．C 【分析】过点作，交延长线于，可得出，，根据求出，进而求出的长即可． 【详解】解：如图，过点作，交延长线于， ∵每级台阶高为，深为， ∴，， ∵斜坡的坡度， ∴，即 ∴， ∴． 5．D 【分析】根据菱形的性质得到，，，，，根据等边对等角得到，证明四边形是平行四边形，得到，根据三角函数得到，即可求出的值． 【详解】解：∵菱形， ∴，，，，， ∴ ∵点，分别是边，的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴． 6．A 【分析】根据折叠的性质和角平分线的性质可得，点在边上，因此，计算出的值即可． 【详解】解：如图， 由折叠的性质可知，，， ∵为的角平分线， ∴， ∴点在边上 ∴， ∵，， ∴， 在直角中，， ∴． 7．D 【分析】根据折叠的性质，过点A作于点Q，根据平行线间的距离处处相等，得，，，，结合题意阴影面积等于求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质，得， 故， ， ，， ， 过点A作于点Q， 根据平行线间的距离处处相等，得，， ，, ∴, ， ， 根据题意，得阴影部分的面积为：． 8．D 【分析】本题考查正三角形的性质，规律型问题，坐标与图形变化——旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法． 首先确定点的坐标，再根据次一个循环，推出经过第次旋转后点的坐标即可． 【详解】解：∵等边三角形的高在轴上，， ∴轴，， ∵原点为的中点， ∴， ， ∵每次旋转， 次旋转为一个循环， ， ∴第次旋转结束时点的位置与第次旋转结束时点 的位置重合，即与点的起始位置关于原点中心对称， 故选：D． 9．C 【分析】以为边，在右侧作等边，连接并延长交于点，证明，在中，，求出，过点作的延长线于点，则是的最小值，根据即可得到答案． 【详解】解：如图，以为边，在右侧作等边，连接并延长交于点， ，是等边三角形， ， ， ， ， ∴点Q在与垂直的射线上运动， 在中，， ， ， 过点作的延长线于点，则是的最小值， 在中， ， ，即的最小值为． 10．A 【分析】本题考查了旋转的性质，解含有的直角三角形，勾股定理解三角形，全等三角形的判定与性质，利用角的余弦值求解边长，解决本题的关键是添加合适的辅助线，利用旋转的性质得到边长不变且证明全等． 根据，即与重合时，取最小值，再由含有的直角三角形，求解的长度，由此可判断AB选项；根据与取得的最小值，即可求解面积的最小值，由此可判断C选项；证明与全等可得，再根据N，F，G三点共线，可得点N在直线上运动．再求解的长度即可． 【详解】解：如图，过点P作于点E， 根据旋转的性质可知，， 则． ∵，P为的中点， ∴． 又∵，， ∴． ∵M是直线上的一动点， ∴当，即与重合时，取最小值， 此时取最小值，同时也取最小值， 即的最小值为3，的最小值为3，的最小值为，故选项A错误，选项B正确； ∵，且的最小值为3，的最小值为3， ∴面积的最小值是，故选项C正确； 如图，过点P作，且使，过点F作于点G，连接， 则， ∵， ∴四边形是正方形， ∴． ∵， ∴， 又∵，， 在与中， ， ∴， ∴， ∴N，F，G三点共线，点N在直线上运动． 过点A作交的延长线于点，延长交于点H． ∵， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， ∴，线段的最小值为，故选项D正确． 故选：A． 11． 【分析】根据和已知条件求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∵α为锐角， ∴． 12．3 【详解】解： 13． 【分析】据矩形的性质，证明，得到，然后过点作，得到，根据相似三角形对应边成比例分别求出的长，进而求出的长，再利用正切的定义求解即可． 【详解】解：∵矩形，，是边上的三等分点，，， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， 过点作，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了轴对称中最短路线问题，通过对称，把两条线段的和转化为一条线段，利用两点之间距离最短解决，同时考查了含的直角三角形的三边关系，菱形的判定与性质，解决本题的关键是确定点P的位置． 先得到四边形为菱形，再根据当的和为最小值，确定点P的位置，再由勾股定理计算的长度，再得到为等边三角形，则有，再根据含的直角三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：连接交于点O，连接交于点，如图， ∵点E、F、G、H分别为矩形的边、、、的中点， ∴四边形为菱形，且与互相垂直平分， ∵点F为点H关于的对称点，即， ∴当动点P运动到点的位置时，的和为最小值， ∵米，米， ∴米，米， 在中，米， 在中，米，米， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵M为边的中点，即， ∴，即， 在中，， ∴，可得， ∴米， ∴当的和为最小值时，的长为米． 15． 【分析】过点作于，根据方向角的定义及三角形内角和定理可得出，，根据含角的直角三角形的性质得出千米，利用的正弦函数可求出千米，进而可求出该船航行的速度． 【详解】解：如图，过点作于， 由题意可知，，，千米， ∴，， ∴， ∵千米， ∴（千米）， ∴， ∴该船航行的速度是（千米/小时）． 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）先计算特殊角的三角函数值，再根据实数的运算法则求解即可； （3）先计算特殊角的三角函数值，再计算零指数幂和绝对值，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 17．(1)见解析 (2) 【分析】（1）在直线下方取点，以点为圆心，的长为半径画弧，交直线于两点、，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在下方交于点，连接，交于点，则线段即为所求； （2）先由题意可知，，，，得出，再设，，最后根据正切的定义列出方程，再解方程即可． 【详解】（1）解：如图所示： 线段即为所求； 作图原理： 如图，连接，，，， 由作图可知，，， 垂直平分， 即，满足正投影的定义． （2）解：设古塔的高度， ， ． 由题意可知，，，， ， ，， 在中， ， 解得，，（经检验，是分式方程的解，且符合题意）， 即． 答：古塔的高度为． 18．这块菜地的面积是 【分析】解，求出，得出，分别求出，，根据可求出结论． 【详解】解：在中，， ， ， 由题意得：，， ， ， ， ， . 答：这块菜地的面积是． 19．(1)见解析 (2)5 【分析】（1）根据正方形的性质可得，，即可求证； （2）根据，．，可得，再根据正方形的性质可证得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】（1）证明：在正方形中，，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：， 在正方形中，，， ∴，，， ∴， ∴， 解得：， ∴． 20．(1)证明见解析； (2)（）证明见解析； （）． 【分析】（1）利用正方形性质证明得，，连接，再结合勾股定理证明，最后利用垂直平分线的判定定理即可证明； （2）（）过点作，交的延长线于点，结合正方形性质证明四边形是矩形，得，再证明，由相似三角形性质得出，即可证明； （）由可得，，由垂直平分线性质得，结合相似三角形性质得，，设，则，建立一元一次方程，解出后可得，根据即可得解． 【详解】（1）证：连接， 是边的中点， ， 四边形为正方形， ，， 在和中， ， ， ，， 为的中点，，， 中，， ， 点一定在线段的垂直平分线上， 故； （2）（）证明：如图，过点作，交的延长线于点， 四边形为正方形，是边的中点， ，，， ， 四边形是矩形， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 即； （）解：由（1）可知， ，， 又， ， ， ， ，， 设，则， ， 又， 则有， 解得， 即， ． 【点睛】本题考查的知识点是正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂直平分线的判定与性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、一元一次方程的应用、求角的正切值，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $