专题19.1 多边形（高效培优讲义，5知识&3题型13类型精讲+强化训练）数学新教材沪科版八年级下册

专题19.1 多边形 教学目标 1.了解多边形、正多边形、凸多边形的定义，掌握多边形的边、顶点、内角、外角、对角线等核心概念。 2.学会用顶点字母顺次表示多边形，能区分凸多边形与凹多边形。 3.理解并掌握多边形内角和公式及外角和定理，能熟练进行角度计算、边数求解等基础应用。 4.掌握多边形对角线的计数方法，能推导并应用对角线公式。 教学重难点 教学重点 1. 1.多边形及其相关概念（边、顶点、内角、外角、对角线、凸多边形）的理解与辨析。 2. 2.多边形内角和公式的推导与应用（核心重点）。 3. 3.多边形外角和定理的理解与简单应用。 教学难点 1. 1.多边形内角和公式的探索与推导过程（关键难点）：如何通过多种分割方法（顶点出发、边上取点、内部取点）将多边形转化为三角形，突破 “分割逻辑” 与 “角度累加” 的思维障碍。 2. 2.多边形对角线概念的理解及对角线数量与边数关系的推导。 3. 3.内角和公式的逆用（已知内角和求边数）与灵活应用（含正多边形角度计算、不规则多边形角度转化）。 4. 4.凸多边形与凹多边形的区分，以及外角概念的准确理解（易混淆点）。 知识点01 多边形及其相关概念 1.多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形 .如果一个多边形由 n 条线段组成， 那么这个多边形叫作 n 边形(n 为不小于 3的整数) 2.多边形的相关概念 概念 定义 图形 边 组成多边形的线段 顶点 相邻两边的公共端点 内角 多边形中相邻两边组成的角 外角 在顶点处一边与邻边的延长线所组成的角 对角线 多边形中连接不相邻两个顶点的线段 3. 多边形的表示方法：多边形一般根据边数和各个顶点的字母顺次排列来表示，如图 19.1-1，三个多边形分别表示为四边形ABCD、五边形ABCDE、 六边形ABCDEF. 4. 凸多边形：一个多边形， 如果把它任何一边双向延长， 其他各边都在延长所得直线的同侧， 这样的多边形就是凸多边形， 如图19.1-2 ①所示；否则就是凹多边形， 如图19.1-2 ②所示. 说明：本书中所研究的都是凸多边形. 【即学即练】如图，在多边形中，___________是多边形的边；___________是多边形的顶点；___________是多边形的对角线；___________是多边形的内角． 【答案】 ，，，， 点 ，，，， 【详解】解：在多边形中，，，，，是多边形的边； 点是多边形的顶点； 是多边形的对角线； ，，，，是多边形的内角． 故答案为：，，，，；点；； ，，，，． 知识点02 多边形的内角和 1.定理：n 边形(n 为不小于 3的整数)的内角和等于( n － 2)·180°. 2. 定理的推导思路 推导思路 图形 思路1 从n 边形的一个顶点出发可以作(n-3)条对角线，将这个n 边形分成(n-2)个三角形，这(n-2)个三角形的内角总和恰好是这个n边形的内角和，为(n-2)×180° 思路2 在n 边形内任取一点，并把这点与n 边形的各个顶点连接起来，共构成n 个三角形，这n 个三角形的内角总和为n×180 °， 再减去一个周角，即可得到n 边形的内角和为(n-2)×180° 思路3 在n 边形的一边上任取一点，并把这点与n 边形的各个顶点连接起来，共构成(n-1) 个三角形， 这(n-1)个三角形的内角总和为(n-1)×180°，再减去这点处的一个平角，即可得到n 边形的内角和为(n-2)×180° 思路4 在n 边形外任取一点O，并把这点与n 边形的各个顶点连接起来，得到以n边形的边为一边，顶点为O 的三角形有n 个，这n 个三角形的内角总和为n×180°，再减去两个三角形的内角和，即可得到n 边形的内角和为(n-2)×180° 【即学即练】（24-25八年级下·安徽安庆·月考）一个多边形的内角和不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：不能被整除，一个多边形的内角和不可能是． 故选：D． 知识点03 多边形的外角和 定理： n 边形( n 为不小于 3 的整数)的外角和等于 360°. 多边形的外角和是由多边形内、外角的关系推 导出的：n 边形的外角和 =n×180°－( n－2)×180° =360° .. 【即学即练】（24-25八年级下·安徽滁州·期末）若一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【详解】解：设这个多边形是n边形， 根据题意得：，解得：． 所以这个多边形为六边形． 故选：C． 知识点04 正多边形 正多边形 多边形中， 如果各条边都相等， 各个内角都相等，这样的多边形叫作正多边形. 正多边形必备的两个条件：(1)各个内角都相等；(2)各条边都相等. 【即学即练】32．（24-25八年级下·安徽蚌埠·月考）如图，有机化合物苯的结构式可以抽象为一个正六边形，则该图形的每个外角的度数是__________． 【答案】 【详解】解：∵有机化合物苯的结构式可以抽象为一个正六边形， ∴该图形的每个外角的度数是， 故答案为：． 知识点05 四边形的不稳定性 当四边形各边的长度确定时，但它的各角大小并不能确定，因此四边形具有不稳定性.生活中四边形的不稳定性有着广泛的应用，如电动伸缩门、伸缩衣架等. 【即学即练】（25-26八年级下·安徽·期中）如图是学校门口的伸缩门，它利用的是________________． 【答案】四边形的不稳定性 【详解】解：学校门口的电子伸缩门，其中间部分都是四边形的结构，这是利用了四边形的不稳定性． 题型01 多边形边数问题 【例1-1】已知多边形对角线条数求边数 （23-24八年级下·安徽安庆·期末）过多边形的一个顶点可以作4条对角线，则这个多边形的边数是（   ） A．六 B．七 C．八 D．九 【答案】B 【详解】解：设多边形的边数是n， 由题意得：， ． 这个多边形的边数是七． 故选：B． 【例1-2】应用内角和与外角和求多边形的边数 （24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）如果一个多边形的内角和是外角和的2倍，那么这个多边形是（    ） A．四边形 B．六边形 C．八边形 D．十边形 【答案】B 【详解】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得 ， 解得：． ∴这个多边形是六边形． 故选：B． 【例1-3】利用不等式确定多边形边数 小刚在计算一个多边形的内角和时，求得内角和为，检查后发现其中一个内角多算了一次，则这个重复计算的内角度数以及多边形的边数分别为（    ） A．，6 B．，8 C．，6 D．，8 【答案】B 【详解】解：设这个多边形的边数是，重复计算的内角的度数是， ∴ ∵ ∴ 解得： ∵n为整数， ∴， ． 故这个重复计算的内角度数为，这个多边形的边数是8． 故选：B． 【变式1-1】（24-25八年级下·安徽淮南·月考）从多边形的一个顶点引对角线，能将这个多边形分成个三角形，则这个多边形的边数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：从多边形的一个顶点引对角线，能将这个多边形分成个三角形，则这个多边形的边数为， 故选：A． 【变式1-2】（24-25八年级下·安徽合肥·月考）若一个多边形的内角和与外角和等于，则这个多边形的边数是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】D 【详解】解：多边形的内角和是：， 设多边形的边数为，则 ， 解得：． 故选：D． 【变式1-3】（24-25八年级下·安徽蚌埠·月考）已知一个多边形的边数为． (1)若，求这个多边形的内角和； (2)若这个多边形的内角和是它的外角和的4倍．求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ∴这个多边形的内角和为； （2）解：由题意得，， 解得． 题型02 正多边形问题 【例2-1】根据正多边形内角和求角度 （23-24八年级下·安徽阜阳·期末）“香渡栏干屈曲，红妆映薄绮疏棂．”制作正六边形窗框时，需要用木条进行固定，图中线段的端点皆为正六边形的顶点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴正六边形的每个内角为，， ∴， 同理： 故选：A． 【例2-2】根据正多边形内角和求边数 （24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，这是一个不完整的正多边形图案，边与对角线的夹角为，若，则这个正多边形的边数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【详解】解：， ∴， ∴， ∴多边形的外角为， ∴多边形的边数为：， 故选：C． 【例2-3】根据正多边形外角和求角度 （23-24八年级下·安徽安庆·期末）我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计（如图所示），其轮廓是个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中，右图是八角形窗户的示意图，它的一个外角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】正八边形的外角和为， 每一个外角为， 故选：． 【例2-4】根据正多边形外角和求边数 （24-25八年级下·安徽淮北·月考）扎染是民间传统而独特的染色工艺，织物在染色时部分结扎起来使之不能着色的一种染色方法，是中国传统的手工染色技术之一．佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到一个外角均是的正多边形图案，这个正多边形的边数为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【详解】解：正多边形的一个外角等于，且外角和为， 则这个正多边形的边数是：． 故选：C． 【例2-5】根据正多边形内角和与外角和求角度 （23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，在正五边形中，延长，交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵为正五边形的外角， ∴， ∴； 故选：A． 【例2-6】根据正多边形内角和与外角和求边数 （24-25八年级下·安徽淮北·期末）一个正多边形每个内角为，则这个正多边形的边数是（   ） A．5 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【详解】解：， ． 故选：C． 【变式2-1】（24-25八年级下·安徽亳州·月考）一个正多边形每个内角为，则这个正多边形的边数是（　　） A．5 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【详解】解：每个内角为，则每个外角为． 正多边形的外角和为，边数外角和÷每个外角度数． 因此，这个正多边形的边数为8， 故选C． 【变式2-2】（24-25八年级下·安徽淮南·期末）已知正多边形的一个内角为，则该正多边形的边数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【详解】解：∵正多边形的一个内角是， ∴该正多边形的一个外角为， ∵多边形的外角之和为， ∴边数＝， ∴这个正多边形的边数是8． 故选：B． 【变式2-3】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）直线与正六边形的边分别相交于点，如图，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵正六边形的每个内角均为， ∴． ∵与组成对顶角， ∴． ∵与组成对顶角， ∴． 在四边形中，内角和为， 即， 代入得， 解得． 故选：C． 【变式2-4】（24-25八年级下·安徽亳州·期中）如图正五边形中，，则______． 【答案】 【详解】解：∵正五边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-5】（24-25八年级下·安徽淮北·月考）如图，，是正五边形的对角线． (1)求的度数； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵五边形为正五边形， ∴. （2）解：∵五边形为正五边形， ∴， ∵， ∴，， ∴. 题型03 关于多边形的应用创新题 【例3-1】多角和问题 （24-25八年级上·安徽淮南·期中）如图，在五边形中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ． 五边形的内角和为， ． 故选：C． 【例3-2】截去一个角问题 （22-23八年级下·安徽池州·期末）一个多边形截去一个角后，得到的新多边形内角和为，则原多边形边数为（    ） A．4 B．6 C．4或6 D．4或5或6 【答案】D 【详解】解：设新多边形边数为n， ∵新多边形内角和为， ∴， 解得， 若多边形截去一个角，则会存在以下三种情况，多边形边数不变，增加1或减少1，如下图所示：    ∴原多边形边数为4或5或6， 故选：D． 【例3-3】新定义问题 （22-23八年级下·安徽池州·期末）定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”． 例如：四边形中，若或，则四边形是“对补四边形”． 概念理解 （1）如图1，四边形是“对补四边形”． ①若，则______； ②若，且，时，求的值． 拓展延伸 （2）如图2，四边形是“对补四边形”．当，且时，图中之间的数量关系是______，并证明这种关系． 【答案】（1）①90°；②5；（2），见解析 【详解】解：（1）， 设， 根据“对补四边形”的定义， ， 即， 解得， ， ， ． 故答案为：． ②如图1，连接， ，， ， 在中 ， 在中 ， ， ， ． （2），理由如下： 如图2，延长至点，使得，连接， 四边形是“对补四边形”， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， 即， 故答案为：． 【例3-4】规律探究问题 （23-24八年级上·安徽阜阳·期中）【观察思考】    【规律发现】 (1)七边形的对角线条数为______． (2)三边形的对角线条数可表示为，四边形对角线条数可表示为，五边形的对角线条数可表示为，…，n边形的对角线条数可表示为______． (3)【规律应用】若一个多边形的内角和为，求这个多边形的边数和对角线的条数． 【答案】(1)14 (2) (3)这个多边形的边数为11，对角线的条数为44． 【详解】（1）三边形的对角线条数可表示为， 四边形对角线条数可表示为， 五边形对角线条数可表示为， 六边形对角线条数可表示为， 七边形对角线条数可表示为， 故答案为：14； （2）三边形的对角线条数可表示为， 四边形对角线条数可表示为， 五边形对角线条数可表示为， … n边形的对角线条数可表示为， 故答案为：； （3）设多边形的边数为n，则 ，解得， 对角线为（条）， ∴这个多边形的边数为11，对角线的条数为44． 【变式3-1】（24-25八年级下·安徽宣城·期末）如图，的度数为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：A． 【变式3-2】（22-23八年级下·安徽滁州·月考）（1）如图1，这是一个五角星，则___47___． （2）如图2，将五角星截去一个角后多出一个角，求的度数． （3）如图3，将五角星的每个角都截去，求的度数．    【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】解：（1）如图，      由三角形的外角性质，得，， ∵ ∴， 故答案为：； （2）如图，延长与相较于点，   和是的两个外角，则，， ， ， 故的度数为． （3）由（2）知，每截去图1中的一个角，剩余角的度数会增加，图1中，， 在题图3中，去掉五个角后， ． 【变式3-3】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）已知，和都是以为斜边的直角三角形，连接． (1)如图1，和在两侧时，若，过点D作交的延长线于点E． ①猜想：___________（请填入“＞”，“=”或“”），并给出证明； ②猜想：___________（请填入数字），并给出证明； (2)如图2，和在同侧时，若，猜想线段三者之间的数量关系，并给出证明． 【详解】（1）解：①，证明如下： ∵和是以为斜边的直角三角形 故答案为：=． ②， 证明如下： ， 又 ， ，即， ； 故答案为：． （2）解：， 证明如下：过点D作交于点E，设交于点M， 且 ， ， 即， ． 一、单选题 1．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）过多边形的一个顶点可以作3条对角线，则这个多边形的边数是（    ）． A．五 B．六 C．七 D．八 【答案】B 【详解】解：∵过多边形的一个顶点可以作3条对角线， ∴这个多边形的边数为； 故选：B． 2．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）歙县太白楼，又称太白祠，坐落在黄山市歙县城关练江西岸，位于太平桥头．该建筑依山傍水，古朴典雅，为歙县城区一个具有深厚文化底蕴的人文景观．如图2是太白楼基底层正多边形的部分示意图，其外角为，则该正多边形是（   ） A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形 【答案】C 【详解】解：设正多边形边数为n，根据正多边形外角和定理得 ， 解得：， 所以该正多边形是正八边形， 故选：C． 3．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）在五边形中，，点在边上，，则一定有（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设，则，, ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 故选：D． 4．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）多边形的内角和可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵多边形的内角和，多边形的边数n为正整数， ∴多边形的内角和是的倍数． ，，，， ∴只有B选项符合题意， 故选：B． 5．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图是正n边形纸片的一部分，其中只有，和边是完整的，直线l与破损的边，相交．若，则n的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【详解】解：如图所示： ∵，， ∴， ∵多边形是正n边形， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴， ， ∴， ∴与相邻的多边形的一个外角为， ∵正n边形的外角和为， ∴， 故选：C． 6．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）一个多边形的内角和等于，则这个多边形的边数是（    ） A．九 B．十 C．十一 D．十二 【答案】D 【详解】解：设这个多边形是n边形， 根据题意得：， 解得：． ∴这个多边形是12边形． 故选：D． 7．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，则这个多边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵过边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形， 题目中分成了个三角形， ∴这个多边形的内角和等于这个三角形的内角和， ∵每个三角形内角和为， ∴这个多边形的内角和为 ． 二、填空题 8．（24-25八年级下·安徽淮南·月考）正十一边形的外角度数之和为______． 【答案】 【详解】解：正十一边形的外角度数之和为， 故答案为． 9．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）如图，汉画像石《庖厨图》是汉代徐州地区烧烤饮食文化的生动见证，图中建筑可近似地看成一个五边形，若，，则____． 【答案】 【详解】解：五边形的内角和为， ． 10．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知两个多边形的内角总和为，且边数之比为，则这两个多边形的边数分别是_____． 【答案】4，6 【详解】解：设这两个多边形的边数分别为． 根据多边形内角和公式，得， 解得． 所以，， 即这两个多边形的边数分别是4，6． 故答案为：4，6． 11．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）如图所示，已知，正五边形的顶点、在射线上，顶点E在射线上，则________度． 【答案】60 【详解】解：五边形是正五边形， 是的一个外角， ． 故答案为：60． 12．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在六边形中，若，与的角平分线交于点G，则等于______． 【答案】 【详解】解：∵六边形的内角和度数为：， ∴， ∵， ∴， ∵与的角平分线交于点G， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25八年级下·安徽六安·期末）已知一个多边形的内角和是外角和的倍． (1)求这个多边形的边数； (2)若这个多边形是正多边形，求该正多边形一个内角的度数． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为， 由题意得，， 解得， 答：这个多边形的边数为； （2）解：， 答：该正多边形一个内角的度数为． 14．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）小云求一个多边形的内角和时，少加了一个内角，得到． (1)求少加的内角的度数． (2)请通过计算，判断这个多边形能否是正多边形． 【答案】(1)150度 (2)不是正多边形 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为n，则， 解得． ∵为正整数， ∴， ∴少加的内角的度数为． （2）解：若这个多边形是正多边形，则每个外角的度数为， ∴它的边数应等于． 由（1）可知，这个多边形的边数为14，， ∴这个多边形不是正多边形． 15．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）计算：如图1，已知，，求的度数． 归纳：与分别为的两个外角，与之间的数量关系为__________________，并给予证明． 应用：如图2，在纸片中剪去，得到四边形．若，则_______________． 拓展：如图3，在四边形中，，分别平分外角，，设 ①试说明与的数量关系； ②根据值的情况，请直接判断的形状（按角分类）． 【答案】计算：；归纳：，证明见解析；应用：；拓展：①；②当时，为钝角三角形；当，为直角三角形；当时，为锐角三角形； 【详解】解：计算：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 归纳：； 证明：， ． ，， ，， ∴， ∴， ∴； 应用：∵在纸片中剪去，得到四边形． ∴结合归纳可得：， ∵， ∴； 拓展： ①如图，∵，分别平分外角，， ∴，， ∴ ， ； ②当时， ， ， 为钝角三角形； 当时，， 为直角三角形； 当时， ， ， 由题意可得，， ，都是锐角． 为锐角三角形． 16．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，在中，点在上，且，过点作交于点．若，求证：平分． 思路分析：当题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑用倍长法构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解题思路： 思路1：考虑倍长，如图②，延长至点，使，连接； 思路2：考虑倍长，如图③，延长至点，使，连接． (1)请挑选其中一种解题思路，给出证明． (2)如图，在中，是边上的中线，分别以为直角边向外作等腰直角三角形，已知，求的长． 【详解】（1）解：思路1：如图，延长至点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 平分； 思路2：如图，延长至点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：如图，延长至点，使，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 17．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）【观察思考】如图，一组正多边形，观察每个正多边形中α的变化情况． 【规律发现】 （1）将表格补充完整． 正多边形的边数n 3 4 5 6 α的度数 ________ （2）观察上面表格中α的变化规律，角α与边数n的关系为________． 【规律应用】 （3）根据规律，当时，求该正多边形的内角和． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）正五边形的内角， ∴； （2）观察（1）中结论，时，； 时，； 时， 时， 总结规律，则有； （3）当时， ∴解得 ∴该正多边形的内角和为． 18．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）在中，点B，C分别是上一点，和的平分线交于点P． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若，求的度数； (3)如图③，和的平分线交于点Q，直接写出和之间的数量关系，不需要证明． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：      和的平分线交于点P ， ； （2）解：和的平分线交于点P ，       解得： ； （3）， 证明：∵和的角平分线交于点， ∴，， ∵和的角平分线交于点， ∴，， ∵， ∴， 同理：， ∴． 19．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）小东在学习中遇到这样一个问题：如图1，中，平分，平分外角．猜想与的数量关系．    (1)小东阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入的值求的值， ①如果，则的度数为_____；如果，则的度数为_____． ②请猜想与的数量关系，并说明理由． (2)小东继续探究，如图2，在四边形中，平分，且与四边形的外角的平分线交于点．若，，则的度数为_____． (3)小东又思考，改变，的大小，如图3，在四边形中，四边形的内角的角平分线所在的直线与外角的角平分线所在的直线相交于点，若，，则可表示为_____．（请用含α、β的表达式表示） 【答案】(1)①，②，详见解析 (2)，详见解析 (3)，详见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、多边形内角和问题、多边形内角和与外角和综合 【分析】（1）利用三角形内角和与外角关系求出与的关系，①将和代入即可得解，②利用三角形内角和与外角关系求出与的关系即可得证； （2）根据四边形内角和得出，利用三角形外角的性质和角平分线的性质得出，进而即可得解； （3）如图，延长到G，延长，交于点H，由（1）得，，由三角形的内角和得出，进而即可求解． 【详解】（1）解：①∵是的外角， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 当得，当得； 故答案为：，； ②，理由如下： ∵是的外角， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， ∴， 故答案为：； （3）如图，延长到G，延长，交于点H，    ∴，， ∵平分，平分， ∴平分，平分， 由（1）得，， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：； 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题19.1 多边形 教学目标 1.了解多边形、正多边形、凸多边形的定义，掌握多边形的边、顶点、内角、外角、对角线等核心概念。 2.学会用顶点字母顺次表示多边形，能区分凸多边形与凹多边形。 3.理解并掌握多边形内角和公式及外角和定理，能熟练进行角度计算、边数求解等基础应用。 4.掌握多边形对角线的计数方法，能推导并应用对角线公式。 教学重难点 教学重点 1. 1.多边形及其相关概念（边、顶点、内角、外角、对角线、凸多边形）的理解与辨析。 2. 2.多边形内角和公式的推导与应用（核心重点）。 3. 3.多边形外角和定理的理解与简单应用。 教学难点 1. 1.多边形内角和公式的探索与推导过程（关键难点）：如何通过多种分割方法（顶点出发、边上取点、内部取点）将多边形转化为三角形，突破 “分割逻辑” 与 “角度累加” 的思维障碍。 2. 2.多边形对角线概念的理解及对角线数量与边数关系的推导。 3. 3.内角和公式的逆用（已知内角和求边数）与灵活应用（含正多边形角度计算、不规则多边形角度转化）。 4. 4.凸多边形与凹多边形的区分，以及外角概念的准确理解（易混淆点）。 知识点01 多边形及其相关概念 1.多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形 .如果一个多边形由 n 条线段组成， 那么这个多边形叫作 n 边形(n 为不小于 3的整数) 2.多边形的相关概念 概念 定义 图形 边 组成多边形的线段 顶点 相邻两边的公共端点 内角 多边形中相邻两边组成的角 外角 在顶点处一边与邻边的延长线所组成的角 对角线 多边形中连接不相邻两个顶点的线段 3. 多边形的表示方法：多边形一般根据边数和各个顶点的字母顺次排列来表示，如图 19.1-1，三个多边形分别表示为四边形ABCD、五边形ABCDE、 六边形ABCDEF. 4. 凸多边形：一个多边形， 如果把它任何一边双向延长， 其他各边都在延长所得直线的同侧， 这样的多边形就是凸多边形， 如图19.1-2 ①所示；否则就是凹多边形， 如图19.1-2 ②所示. 说明：本书中所研究的都是凸多边形. 【即学即练】如图，在多边形中，___________是多边形的边；___________是多边形的顶点；___________是多边形的对角线；___________是多边形的内角． 知识点02 多边形的内角和 1.定理：n 边形(n 为不小于 3的整数)的内角和等于( n － 2)·180°. 2. 定理的推导思路 推导思路 图形 思路1 从n 边形的一个顶点出发可以作(n-3)条对角线，将这个n 边形分成(n-2)个三角形，这(n-2)个三角形的内角总和恰好是这个n边形的内角和，为(n-2)×180° 思路2 在n 边形内任取一点，并把这点与n 边形的各个顶点连接起来，共构成n 个三角形，这n 个三角形的内角总和为n×180 °， 再减去一个周角，即可得到n 边形的内角和为(n-2)×180° 思路3 在n 边形的一边上任取一点，并把这点与n 边形的各个顶点连接起来，共构成(n-1) 个三角形， 这(n-1)个三角形的内角总和为(n-1)×180°，再减去这点处的一个平角，即可得到n 边形的内角和为(n-2)×180° 思路4 在n 边形外任取一点O，并把这点与n 边形的各个顶点连接起来，得到以n边形的边为一边，顶点为O 的三角形有n 个，这n 个三角形的内角总和为n×180°，再减去两个三角形的内角和，即可得到n 边形的内角和为(n-2)×180° 【即学即练】（24-25八年级下·安徽安庆·月考）一个多边形的内角和不可能是（   ） A． B． C． D． 知识点03 多边形的外角和 定理： n 边形( n 为不小于 3 的整数)的外角和等于 360°. 多边形的外角和是由多边形内、外角的关系推 导出的：n 边形的外角和 =n×180°－( n－2)×180° =360° .. 【即学即练】（24-25八年级下·安徽滁州·期末）若一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 知识点04 正多边形 正多边形 多边形中， 如果各条边都相等， 各个内角都相等，这样的多边形叫作正多边形. 正多边形必备的两个条件：(1)各个内角都相等；(2)各条边都相等. 【即学即练】32．（24-25八年级下·安徽蚌埠·月考）如图，有机化合物苯的结构式可以抽象为一个正六边形，则该图形的每个外角的度数是__________． 知识点05 四边形的不稳定性 当四边形各边的长度确定时，但它的各角大小并不能确定，因此四边形具有不稳定性.生活中四边形的不稳定性有着广泛的应用，如电动伸缩门、伸缩衣架等. 【即学即练】（25-26八年级下·安徽·期中）如图是学校门口的伸缩门，它利用的是________________． 题型01 多边形边数问题 【例1-1】已知多边形对角线条数求边数 （23-24八年级下·安徽安庆·期末）过多边形的一个顶点可以作4条对角线，则这个多边形的边数是（   ） A．六 B．七 C．八 D．九 【例1-2】应用内角和与外角和求多边形的边数 （24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）如果一个多边形的内角和是外角和的2倍，那么这个多边形是（    ） A．四边形 B．六边形 C．八边形 D．十边形 【例1-3】利用不等式确定多边形边数 小刚在计算一个多边形的内角和时，求得内角和为，检查后发现其中一个内角多算了一次，则这个重复计算的内角度数以及多边形的边数分别为（    ） A．，6 B．，8 C．，6 D．，8 【变式1-1】（24-25八年级下·安徽淮南·月考）从多边形的一个顶点引对角线，能将这个多边形分成个三角形，则这个多边形的边数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25八年级下·安徽合肥·月考）若一个多边形的内角和与外角和等于，则这个多边形的边数是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【变式1-3】（24-25八年级下·安徽蚌埠·月考）已知一个多边形的边数为． (1)若，求这个多边形的内角和； (2)若这个多边形的内角和是它的外角和的4倍．求的值． 题型02 正多边形问题 【例2-1】根据正多边形内角和求角度 （23-24八年级下·安徽阜阳·期末）“香渡栏干屈曲，红妆映薄绮疏棂．”制作正六边形窗框时，需要用木条进行固定，图中线段的端点皆为正六边形的顶点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【例2-2】根据正多边形内角和求边数 （24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，这是一个不完整的正多边形图案，边与对角线的夹角为，若，则这个正多边形的边数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【例2-3】根据正多边形外角和求角度 （23-24八年级下·安徽安庆·期末）我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计（如图所示），其轮廓是个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中，右图是八角形窗户的示意图，它的一个外角的大小为（    ） A． B． C． D． 【例2-4】根据正多边形外角和求边数 （24-25八年级下·安徽淮北·月考）扎染是民间传统而独特的染色工艺，织物在染色时部分结扎起来使之不能着色的一种染色方法，是中国传统的手工染色技术之一．佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到一个外角均是的正多边形图案，这个正多边形的边数为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【例2-5】根据正多边形内角和与外角和求角度 （23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，在正五边形中，延长，交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【例2-6】根据正多边形内角和与外角和求边数 （24-25八年级下·安徽淮北·期末）一个正多边形每个内角为，则这个正多边形的边数是（   ） A．5 B．7 C．8 D．9 【变式2-1】（24-25八年级下·安徽亳州·月考）一个正多边形每个内角为，则这个正多边形的边数是（　　） A．5 B．7 C．8 D．9 【变式2-2】（24-25八年级下·安徽淮南·期末）已知正多边形的一个内角为，则该正多边形的边数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式2-3】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）直线与正六边形的边分别相交于点，如图，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-4】（24-25八年级下·安徽亳州·期中）如图正五边形中，，则______． 【变式2-5】（24-25八年级下·安徽淮北·月考）如图，，是正五边形的对角线． (1)求的度数； (2)求的值． 题型03 关于多边形的应用创新题 【例3-1】多角和问题 （24-25八年级上·安徽淮南·期中）如图，在五边形中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例3-2】截去一个角问题 （22-23八年级下·安徽池州·期末）一个多边形截去一个角后，得到的新多边形内角和为，则原多边形边数为（    ） A．4 B．6 C．4或6 D．4或5或6 【例3-3】新定义问题 （22-23八年级下·安徽池州·期末）定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”． 例如：四边形中，若或，则四边形是“对补四边形”． 概念理解 （1）如图1，四边形是“对补四边形”． ①若，则______； ②若，且，时，求的值． 拓展延伸 （2）如图2，四边形是“对补四边形”．当，且时，图中之间的数量关系是______，并证明这种关系． 【例3-4】规律探究问题 （23-24八年级上·安徽阜阳·期中）【观察思考】    【规律发现】 (1)七边形的对角线条数为______． (2)三边形的对角线条数可表示为，四边形对角线条数可表示为，五边形的对角线条数可表示为，…，n边形的对角线条数可表示为______． (3)【规律应用】若一个多边形的内角和为，求这个多边形的边数和对角线的条数． 【变式3-1】（24-25八年级下·安徽宣城·期末）如图，的度数为(    ) A． B． C． D． 【变式3-2】（22-23八年级下·安徽滁州·月考）（1）如图1，这是一个五角星，则___47___． （2）如图2，将五角星截去一个角后多出一个角，求的度数． （3）如图3，将五角星的每个角都截去，求的度数．    【变式3-3】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）已知，和都是以为斜边的直角三角形，连接． (1)如图1，和在两侧时，若，过点D作交的延长线于点E． ①猜想：___________（请填入“＞”，“=”或“”），并给出证明； ②猜想：___________（请填入数字），并给出证明； (2) 如图2，和在同侧时，若，猜想线段三者之间的数量关系，并给出证明． 一、单选题 1．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）过多边形的一个顶点可以作3条对角线，则这个多边形的边数是（    ）． A．五 B．六 C．七 D．八 2．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）歙县太白楼，又称太白祠，坐落在黄山市歙县城关练江西岸，位于太平桥头．该建筑依山傍水，古朴典雅，为歙县城区一个具有深厚文化底蕴的人文景观．如图2是太白楼基底层正多边形的部分示意图，其外角为，则该正多边形是（   ） A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形 3．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）在五边形中，，点在边上，，则一定有（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）多边形的内角和可能为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图是正n边形纸片的一部分，其中只有，和边是完整的，直线l与破损的边，相交．若，则n的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 6．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）一个多边形的内角和等于，则这个多边形的边数是（    ） A．九 B．十 C．十一 D．十二 7．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，则这个多边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（24-25八年级下·安徽淮南·月考）正十一边形的外角度数之和为______． 9．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）如图，汉画像石《庖厨图》是汉代徐州地区烧烤饮食文化的生动见证，图中建筑可近似地看成一个五边形，若，，则____． 10．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知两个多边形的内角总和为，且边数之比为，则这两个多边形的边数分别是_____． 11．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）如图所示，已知，正五边形的顶点、在射线上，顶点E在射线上，则________度． 12．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在六边形中，若，与的角平分线交于点G，则等于______． 三、解答题 13．（24-25八年级下·安徽六安·期末）已知一个多边形的内角和是外角和的倍． (1)求这个多边形的边数； (2)若这个多边形是正多边形，求该正多边形一个内角的度数． 14．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）小云求一个多边形的内角和时，少加了一个内角，得到． (1)求少加的内角的度数． (2)请通过计算，判断这个多边形能否是正多边形． 15．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）计算：如图1，已知，，求的度数． 归纳：与分别为的两个外角，与之间的数量关系为__________________，并给予证明． 应用：如图2，在纸片中剪去，得到四边形．若，则_______________． 拓展：如图3，在四边形中，，分别平分外角，，设 ①试说明与的数量关系； ②根据值的情况，请直接判断的形状（按角分类）． 16．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，在中，点在上，且，过点作交于点．若，求证：平分． 思路分析：当题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑用倍长法构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解题思路： 思路1：考虑倍长，如图②，延长至点，使，连接； 思路2：考虑倍长，如图③，延长至点，使，连接． (1)请挑选其中一种解题思路，给出证明． (2)如图，在中，是边上的中线，分别以为直角边向外作等腰直角三角形，已知，求的长． 17．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）【观察思考】如图，一组正多边形，观察每个正多边形中α的变化情况． 【规律发现】 （1）将表格补充完整． 正多边形的边数n 3 4 5 6 α的度数 ________ （2）观察上面表格中α的变化规律，角α与边数n的关系为________． 【规律应用】 （3）根据规律，当时，求该正多边形的内角和． 18．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）在中，点B，C分别是上一点，和的平分线交于点P． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若，求的度数； (3)如图③，和的平分线交于点Q，直接写出和之间的数量关系，不需要证明． 19．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）小东在学习中遇到这样一个问题：如图1，中，平分，平分外角．猜想与的数量关系．    (1)小东阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入的值求的值， ①如果，则的度数为_____；如果，则的度数为_____． ②请猜想与的数量关系，并说明理由． (2)小东继续探究，如图2，在四边形中，平分，且与四边形的外角的平分线交于点．若，，则的度数为_____． (3)小东又思考，改变，的大小，如图3，在四边形中，四边形的内角的角平分线所在的直线与外角的角平分线所在的直线相交于点，若，，则可表示为_____．（请用含α、β的表达式表示） 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $