19.2平行四边形 讲义 2025-2026学年沪科版数学八年级下册

本讲义聚焦平行四边形核心知识，系统梳理定义、基本元素、性质（边、角、对角线、对称性）、判定方法（按边、角、对角线）、平行线间距离及易错点，构建从概念到应用的完整学习支架。 资料通过易错点警示培养严谨思维，结合零件检查等情境题引导用数学眼光观察，规范符号语言训练数学表达。课中辅助教师系统授课，课后练习题助学生查漏补缺，提升推理与应用能力。

19.2 平行四边形 知识点详解 一、 平行四边形的定义 1. 定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 · 记法：平行四边形用符号“▱”表示，平行四边形 ABCD 记作 ，读作“平行四边形 ABCD”。 2. 平行四边形的基本元素 · 边：AB、BC、CD、DA 是四条边。其中 AB 与 CD 是对边，BC 与 AD 是对边；AB 与 BC 是邻边。 · 角： 是四个内角。其中 是对角， 是对角；是邻角。 · 对角线：连接不相邻顶点的线段 AC 和 BD 叫做平行四边形的对角线。 二、 平行四边形的性质 平行四边形具有以下重要性质，这些性质是解题的基础。 1. 边的性质 · 性质1：平行四边形的对边平行（定义包含）。 · 性质2：平行四边形的对边相等。 · 符号语言：在▱ ABCD 中，AB = CD，AD = BC。 2. 角的性质 · 性质3：平行四边形的对角相等。 · 符号语言：在 ▱ ABCD 中。 · 性质4：平行四边形的邻角互补。 · 符号语言：在 。 3. 对角线的性质 · 性质5：平行四边形的对角线互相平分。 · 符号语言：在 ▱ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，则 OA = OC，OB = OD。 4. 对称性 · 性质6：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心。 · 注意：平行四边形不一定是轴对称图形，只有当它是矩形、菱形、正方形时才具有轴对称性。 总结：平行四边形的性质可归纳为：边——对边平行且相等；角——对角相等、邻角互补；对角线——互相平分；对称性——中心对称。 --- 三、 平行四边形的判定 如何判定一个四边形是平行四边形？常用的判定方法有以下几种： 1. 按边判定 · 判定1（定义）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 · 符号语言：∵ ，∴ 四边形 ABCD 是平行四边形。 · 判定2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 · 符号语言：∵ AB = CD，AD = BC，∴ 四边形 ABCD 是平行四边形。 · 判定3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 · 符号语言：∵ 且 AB = CD（或 且 AD = BC），∴ 四边形 ABCD 是平行四边形。 2. 按角判定 · 判定4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 · 符号语言：∵，∴ 四边形 ABCD 是平行四边形。 3. 按对角线判定 · 判定5：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 · 符号语言：如图，对角线 AC、BD 交于点 O，且 OA = OC，OB = OD，则四边形 ABCD 是平行四边形。 四、 两条平行线之间的距离 · 定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离。 · 性质：平行线间的距离处处相等。 · 推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。 五、 易错点警示 1. 性质与判定混淆： · “对边平行”是定义，也是性质；“对边相等”是性质；“一组对边平行且相等”是判定，不要乱用。 2. 忽略条件“在同一平面内”： · 平行四边形的定义隐含在同一平面内。 3. 对角线平分与垂直、相等混淆： · 平行四边形对角线互相平分，但不一定相等，也不一定垂直。相等是矩形的性质，垂直是菱形的性质。 4. 判定时条件不足： · 如一组对边平行，另一组对边相等，不能判定是平行四边形（可能是等腰梯形）。 5. 计算中忽视符号： · 利用性质列方程时，注意线段关系。 一、单选题 1．新情境  王师傅加工了一批如图所示的平行四边形零件，交付验收时需要检查该零件是否为平行四边形，下列检查方法错误的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据平行四边形的证明方法逐项判断即可． 【详解】解：A、，，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形； B、，，一组对边平行，另一组对边相等，不能得到四边形是平行四边形； C、，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形； D、，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形． 2．如图，小明借助直尺和三角尺，作，然后再作，进而得到，四边形是平行四边形的依据是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据两组对边分别平行的四边形为平行四边形． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 3．如图，在中，，要在平行四边形的边所在直线上找点，，使四边形为平行四边形，下面的两种方案中正确的方案是（    ） A．方案1 B．方案2 C．两种都正确 D．两种都不正确 【答案】C 【分析】对于方案一，根据平行四边形的性质证明，得到，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明；对于方案二，通过证明一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明． 【详解】解：方案一：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 方案二：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形． 综上所述，两个方案都正确． 4．如图，在四边形中，点是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，．则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形的内角和定理，结合三角形中位线定理可得，由平行线的性质可得的度数，根据三角形的内角和定理以及等边对等角，计算即可得的度数． 【详解】解：∵是对角线的中点，点、分别是、的中点， ∴，，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 5．如图，已知四边形中，R、P分别为上的点，E、F分别为的中点．当点P在上从点C向点D移动，同时点R在上从点B向点C移动，点P和点R同时到达终点，那么下列结论成立的是（    ） A．线段的长先变大再变小 B．线段的长先变小再变大 C．线段的长不变 D．线段的长与点P的位置有关 【答案】B 【分析】本题主要考查的是三角形中位线定理，连接，根据三角形中位线定理得到，得出结论． 【详解】解：连接，如图， ∵E，F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵点R在上从点B向点C移动， ∴先变小再变大， ∴线段的长先变小再变大． 故选：B． 6．如图，在四边形中，E，F，G，H分别是边，，，的中点，对角线，，则四边形的周长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理分别求出、、、的长，根据四边形的周长公式计算即可． 【详解】、、、分别是、、、的中点， 、、、分别是、、、的中位线， ，，，， 四边形的周长； 7．四边形的对角线、相交于点，下列条件中，一定能判定四边形为平行四边形的是（   ） A． B． C．且 D．， 【答案】D 【详解】解：A、仅，一组对边平行的四边形可能是梯形，不能判定为平行四边形 B、，仅表明与垂直，无法判定四边形为平行四边形 C、且，这样的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形； D、，，对角线互相平分的四边形是平行四边形，即四边形的对角线互相平分，所以四边形是平行四边形． 8．在四边形中，已知，若再从下列条件：①；②；③；④中任意选取一个来判定四边形是平行四边形，则能断定四边形是平行四边形的选法共有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 由平行四边形的判定、平行线的判定与性质分别对各个条件进行判断即可． 【详解】解：如图所示， ①∵， ∴ ∵， ∴ ∴不能得到四边形是平行四边形； ②由，，不能得到四边形是平行四边形； ③∵ ∴， ∴不能得到四边形是平行四边形； ④∵ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形． 综上所述，能断定四边形是平行四边形的选法共有1种． 故选：A． 9．如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，过点O作平行于的直线交于点E，若，，则的长为（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定． 由平行四边形的性质推出，，， 由平行线的性质推出，由角平分线定义得到，因此，推出，证明，可得 ，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点P作交射线于点F， 四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题 10．如图，在四边形中，两条对角线交于点，已知，，则当__________时，四边形是平行四边形． 【答案】3 【分析】已知，当时，四边形是平行四边形，据此即可解答． 【详解】解：当时， ， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 11．如图，已知直线，则__________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】由可推出与中边上的高相等，又有两个三角形有公共底，根据三角形面积公式即可确定关系． 【详解】解：∵直线， ∴与中边上的高相等， ∵， ∴． 12．如图，在中，，，点在上，点在上，四边形的周长为，且平分的面积，则的长为_______． 【答案】 【分析】连接、，与交于点，通过证明，得出，根据四边形的周长为，得出，即可得答案． 【详解】解：如图，连接、，与交于点， ∵平分的面积， ∴过与的交点， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴四边形的周长， ∵，， ∴． 【点睛】由平分的面积得出过与的交点是解本题关键． 13．如图，在中，，平分交于点，平分交于点，已知，则的周长为______． 【答案】16 【分析】根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质证明，，再求出，进而计算即可． 【详解】解：由知，，，， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长为． 14．如图，是的中位线，平分，交于点．已知，，则的长为_____________． 【答案】 【分析】先根据三角形中位线定理求出和的长度，同时得到与平行的关系，再结合角平分线的定义和平行线的性质推导出，利用等角对等边得出，最后通过线段的差运算计算出的长度． 【详解】解：∵是的中位线，，， ∴，，． ∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∴． ∴． 15．如图，在中，对角线、相交于点，为的中点，．若，则的长为_____________． 【答案】1 【分析】取的中点并连接，先借助平行四边形对角线互相平分的性质，结合三角形中位线定理确定为的中位线，求出的长度，再根据线段比例关系推出是的中点，结合为的中点，再次运用三角形中位线定理判定为的中位线，最终求出的长． 【详解】解：取的中点，连接． ∵四边形是平行四边形， ∴是的中点． ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴，且． ∵，是的中点， ∴，， ∴是的中点． 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴． 16．如图，在四边形中，，，，、分别是边、上的动点（含端点，但点不与点重合），、分别是线段、的中点，则的最大值为_____________． 【答案】1 【分析】本题考查中位线的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 连接，根据中位线的性质得到，进而得到最大时，最大，根据勾股定理求出的最大值，据此解答即可． 【详解】解：如图，连接， 、分别是线段、的中点， ， 最大时，最大， 当点与重合时，最大，此时， ， 的最大值为1． 17．如图，在中，，，是的中点，若平分，，则线段的长为_____________． 【答案】 【分析】延长交于点，根据角平分线的定义得到，易证得，进而得到，，根据是的中位线，进行解答即可． 【详解】解：如图，延长交于点， 平分， , ， 在和中， , ， ，， , 为的中点，， 是的中位线， ． 三、解答题 18．如图，点，，，在同一直线上，，，．连接，． 求证： (1)四边形是平行四边形； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由题意易得，，，然后可得，则有，再证明，进而问题可求证； （2）由（1）可得，然后根据平行四边形的判定定理可进行求证． 【详解】（1）证明：， ． ， ． ， ，即． 在和中， ， ， ． ， ， 四边形是平行四边形． （2）证明：由（1）知， ． 又， 四边形是平行四边形． 19．如图，在中，，分别是，延长线上的点，连接交于点．有以下三个条件：①是的中点；②；③． (1)请你从中选取一个作为条件，余下的两个作为结论，组成一个真命题：如果 ，那么 ；（请填写序号） (2)请证明（1）中的命题． 【答案】(1)如果①，那么②③(答案不唯一)； (2)证明见详解． 【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的逻辑推导，可选取任意一个条件作为已知，推导出另外两个结论，组成真命题； （2）以“如果①，那么②③”为例，先利用平行四边形的性质得到内错角相等，结合中点条件证明三角形全等，再通过全等三角形的性质和平行四边形对边相等的特点，推导出要求的结论． 【详解】（1）解：如果①，那么②③(或如果②，那么①③；如果③，那么①②)． （2）证明：如果①，那么②③： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵是的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 又∵，，且， ∴， ∴． 如果③，那么①②： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵，∴，即． 如果②，那么①③： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 又∵， ∴，即， 在和中， ∴， ∴，． 20．如图，在中，，分别平分，，，分别是，的中点．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】先借助平行四边形的性质和角平分线定义证得，再证出四边形是平行四边形得到，最后结合中点推出与平行且相等，以此判定四边形为平行四边形． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ∴，， ． ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵是的中点，是的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 21．【阅读与思考】下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 如图①，在四边形中，点E，F，G，H分别是边，，，的中点，顺次连接E，F，G，H，得到的四边形是平行四边形，此结论可借助图②证明如下： 证明：如图②，连接，， ∵点H，G分别为，的中点，∴． ∵点E，F分别为，的中点，∴． ∴．同理：． ∴四边形是平行四边形． 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度有一定关系． 【任务】 (1)如图②，猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线，长度的关系，并证明你的结论； (2)已知四边形的对角线与及它的瓦里尼翁平行四边形，若四边形的对角线与的夹角为，请直接写出瓦里尼翁平行四边形中的度数． 【答案】(1)瓦里尼翁平行四边形的周长等于对角线与长度之和．见解析 (2)或 【分析】（1）根据三角形的中位线定理可得，，由此即可得； （2）先根据三角形的中位线定理可得，，再根据平行线的性质求解即可得． 【详解】（1）解：瓦里尼翁平行四边形的周长等于对角线与长度之和．证明如下： 分别为的中点， ∴． 分别为的中点， ∴． ∴， 同理：， ∴瓦里尼翁平行四边形的周长为 ． （2）解：由题意，画出图形如下： ①如图1，当时， 分别为的中点， ∴， ∴， ∵分别为的中点， ∴， ∴； ②如图2，当时，则， 分别为的中点， ∴， ∴， ∵分别为的中点， ∴， ∴； 综上，瓦里尼翁平行四边形中的度数为或． 22．如图，四边形的对角线、交于点，过点作直线，交于点，交于点．若，且，求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】要证明四边形是平行四边形，所以可考虑证明一组对边平行且相等，或对角线互相平分，或两组对边分别相等/平行；已知，可考虑构造全等三角形，结合条件，可通过在直线上取点、，使，，进而得到；若能证明，再结合及对顶角相等，可证明，得到，从而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形完成证明． 【详解】证明：如图，在直线上取点、，使，，连接、． ， ， ，， ， ，， 由作图，知、都是等腰三角形， ∴ ∴ ∴ ∴， 即 ， ∴ 在和中 ∴， 同理可证， ， ∴四边形为平行四边形． 23．如图，在中，过点D作，垂足为E，过点B作，垂足为F．若，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的面积计算公式，以及同底等高的平行四边形与三角形之间的面积的数量关系，掌握以上知识是解题的关键．由得到，，由此可得，再根据，可得，最后将，，代入上式，可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 24．如图，在中，对角线，相交于点O，，． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理： （1）证明，利用可证明； （2）根据勾股定理求出，可得到，再根据解答即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ． ，， ． 在和中， ． （2）解：四边形是平行四边形， ，． ，， ∴， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $19.2平行四边形 知识点详解 一、平行四边形的定义 1.定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 ·记法：平行四边形用符号“。”表示，平行四边形ABCD记作□ABCD,读作“平行 四边形ABCD”。 2.平行四边形的基本元素 ·边：AB、BC、CD、DA是四条边。其中AB与CD是对边，BC与AD是对边；AB与 BC是邻边。 ·角：∠A∠B、∠C、∠D是四个内角。其中∠A与∠C是对角，∠B与∠D是对角： ∠A与∠B是邻角。 ·对角线：连接不相邻顶点的线段AC和BD叫做平行四边形的对角线。 二、平行四边形的性质 平行四边形具有以下重要性质，这些性质是解题的基础。 1.边的性质 ·性质1：平行四边形的对边平行（定义包含）。 ·性质2：平行四边形的对边相等。 ·符号语言：在ABCD中，AB=CD,AD=BC。 2.角的性质 ·性质3：平行四边形的对角相等。 ·符号语言：在口ABCD中，∠A=∠C,∠B=∠D。 ·性质4：平行四边形的邻角互补。 符 号 语 言 在 □ABCD中，∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°，∠C+∠D=180°，∠D+∠A=180°。 3.对角线的性质 ·性质5：平行四边形的对角线互相平分。 ·符号语言：在。ABCD中，对角线AC与BD交于点O,则OA=OC,OB=OD。 4.对称性 ·性质6：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心。 ·注意：平行四边形不一定是轴对称图形，只有当它是矩形、菱形、正方形时才具有轴 对称性。 总结：平行四边形的性质可归纳为：边一一对边平行且相等；角一一对角相等、邻角互补： 对角线一一互相平分；对称性一一中心对称。 三、平行四边形的判定 如何判定一个四边形是平行四边形？常用的判定方法有以下几种： 1.按边判定 ·判定1（定义）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 ·符号语言：，AB‖CD,AD‖BC,.四边形ABCD是平行四边形。 ·判定2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 ·符号语言：，AB=CD,AD=BC,∴.四边形ABCD是平行四边形。 ·判定3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形： ·符号语言：，AB‖CD且AB=CD(或AD‖BC且AD=BC),∴.四边形ABCD是 平行四边形。 2.按角判定 ·判定4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 ·符号语言：，∠A=∠C,∠B=∠D,.四边形ABCD是平行四边形。 3.按对角线判定 ·判定5：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 ·符号语言：如图，对角线AC、BD交于点O,且OA=OC,OB=OD,则四边形ABCD 是平行四边形。 四、两条平行线之间的距离 ·定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之 间的距离。 ·性质：平行线间的距离处处相等。 ·推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。 五、易错点警示 1.性质与判定混淆： ·“对边平行”是定义，也是性质；“对边相等”是性质；“一组对边平行且相等”是判 定，不要乱用 2.忽略条件“在同一平面内”： ·平行四边形的定义隐含在同一平面内。 3.对角线平分与垂直、相等混淆： ·平行四边形对角线互相平分，但不一定相等，也不一定垂直。相等是矩形的性质，垂 直是菱形的性质。 4.判定时条件不足： ·如一组对边平行，另一组对边相等，不能判定是平行四边形（可能是等腰梯形）。 5.计算中忽视符号： ·利用性质列方程时，注意线段关系。 一、单选题 1.新情境王师傅加工了一批如图所示的平行四边形零件，交付验收时需要检查该零件是 否为平行四边形，下列检查方法错误的是() A.AB∥CD,AD∥BC B.AB∥CD,AD=BC C.AB=CD,AD=BC D.AB∥CD,AB=CD 2.如图，小明借助直尺和三角尺，作∠2=∠1，然后再作∠3=∠1，进而得到▣ABCD,四 边形ABCD是平行四边形的依据是() A义 A.AB∥CD,BC=AD B.AB=CD,BC∥AD C.AB∥CD,BC∥AD D.AB=CD,BC=AD 3.如图，在。ABCD中，AD>AB，,要在平行四边形的边所在直线上找点E,F,使四边 形EBFD为平行四边形，下面的两种方案中正确的方案是() 方案1 方案2 E F B E 取BC上一点E,连 在CD延长线上取一点！ 接EO并延长，交 E,在AB延长线上取 AD于点F :点F,使得DE=BF A.方案1 B.方案2 C.两种都正确 D.两种都不正确 4.如图，在四边形ABCD中，点G是对角线BD的中点，点E、F分别是BC、AD的中点， AB=DC,∠ABD=100°，∠BDC=40°，则∠GEF的度数为() A.10 B.20° C.30° D.40° 5.如图，已知四边形ABCD中，R、P分别为BC、CD上的点，E、F分别为AP、RP的中 点，当点P在CD上从点C向点D移动，同时点R在BC上从点B向点C移动，点P和点 R同时到达终点，那么下列结论成立的是() D A.线段EF的长先变大再变小 B.线段EF的长先变小再变大 C.线段EF的长不变 D.线段EF的长与点P的位置有关 6.如图，在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点，对角 线AC=3,BD=2,则四边形EFGH的周长为() A.4 B.5 C.6 D.7 7.四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,下列条件中，一定能判定四边形ABCD为 平行四边形的是() A.AD∥BC B.AC⊥BC C.AD∥BC且AB=CD D.04=0C,OB=OD 8.在四边形ABCD中，已知AD∥BC,若再从下列条件：①∠A+∠C=180°；②AB=CD ;③∠A+∠B=180°；④∠A+∠D=180°中任意选取一个来判定四边形ABCD是平行四边形， 则能断定四边形ABCD是平行四边形的选法共有() A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 9.如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠ADC的平分线与边AB相交于点P,过 点O作平行于DC的直线交PD于点E,若BC=6,E0=2,则CD的长为() B A.8 B.9 C.10 D.12 二、填空题 10.如图，在四边形ABCD中，两条对角线交于点0，己知B0=D0,AC=6cm,则当 A0= cm时，四边形ABCD是平行四边形. B 11.如图，已知直线a∥b,则SBc S△BcD·(填“>"<"或"=") D -b 12.如图，在。ABCD中，AB=4,BC=6,点E在AD上，点F在BC上，四边形ABFE的 周长为15，且EF平分ABCD的面积，则EF的长为· E 13.如图，在口ABCD中，AD=3,AE平分∠DAB交CD于点E,BF平分∠ABC交CD于 点F,已知EF=I,则ABCD的周长为· B 14.如图，EF是ABC的中位线，BG平分∠ABC,交EF于点G.己知AB=8, BC=14,则GF的长为 A 15.如图，在。ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,E为OB的中点，BF:BC=1:4.若 CD=4,则EF的长为 D ○ 16.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=√5，AD=1,M、N分别是边BC、AB 上的动点（含端点，但点M不与点B重合），E、F分别是线段DM、MN的中点，则EF的 最大值为 17.如图，在ABC中，AB=8cm,AC=6cm,E是BC的中点，若AD平分∠BAC, CD⊥AD,则线段DE的长为 D E 三、解答题 18.如图，点E,B,D,F在同一直线上，AF∥CE,DE=BF,LADB=LCBD.连接 AE,CF. D E 求证： (1)四边形ABCD是平行四边形： (2)四边形AECF是平行四边形 19.如图，在▣ABCD中，E,F分别是DA,BC延长线上的点，连接EF交BD于点O.有 以下三个条件：①O是BD的中点；②AE=CF;③OE=OF. (1)请你从中选取一个作为条件，余下的两个作为结论，组成一个真命题：如果_，那么-；（请 填写序号) (2)请证明（1)中的命题， 2O.如图，在口ABCD中，DE,BF分别平分∠ADC,∠ABC,M,N分别是DE,BF的 中点.求证：四边形ENFM是平行四边形， D B 21.【阅读与思考】下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务 如图①，在四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点，顺 次连接E,F,G,H,得到的四边形EFGH是平行四边形，此结论可借助图②证明如下： D 、G D H 证明：如图②，连接AC,BD, 图① 图② :点H,G分别为AD,CD的中点，HG∥AC. :点E,F分别为AB,BC的中点，EF∥AC. .HG∥EF.同理：HE∥GF. :四边形EFGH是平行四边形 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形EFGH被称为瓦里尼翁平行四边形.瓦里尼翁 平行四边形的周长与原四边形对角线的长度有一定关系. 【任务】 (1)如图②，猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长与对角线AC,BD长度的关系，并证明 你的结论： (2)已知四边形ABCD的对角线AC与BD及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH,若四边形 ABCD的对角线AC与BD的夹角为35°，请直接写出瓦里尼翁平行四边形EFGH中∠HEF 的度数. 22.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P,过点P作直线，交AD于点E,交 BC于点F,若PE=PF,且AP+AE=CP+CF,求证：四边形ABCD为平行四边形. C B 23.如图，在口ABCD中，过点D作DE⊥AB,垂足为E,过点B作BF⊥AC,垂足为F.若 AB=6,AC=10,DE=3,求BF的长. D C 24.如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AE⊥BD,CF⊥BD· D E B (1)求证：△ABE≌△CDF; (2)若∠BAC=90°，AB=√3，BD=4√2，求口ABCD的面积.