专题19.2平行四边形（高效培优讲义，6知识&5题型11类型精讲+强化训练）数学新教材沪科版八年级下册

专题9.2平行四边形 教学目标 1.理解平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形，会用符号 “▱” 表示平行四边形。 2.探究并掌握平行四边形的性质。 3.能运用平行四边形的性质进行简单的计算与证明，解决实际问题。 4.理解两条平行线间的距离的概念，知道 “平行线间的平行线段相等”。 教学重难点 教学重点 1. 1.平行四边形的定义及性质（边、角、对角线）的探究与证明。 2. 2.平行四边形性质的简单应用（计算线段长度、角度，证明线段相等 / 平行）。 教学难点 1. 1.平行四边形性质的探究过程（如何从直观猜想过渡到严格证明）。 2. 2.辅助线的添加：将平行四边形问题转化为三角形全等问题（如连接对角线）。 3. 3.性质的灵活应用：区分平行四边形与一般四边形的性质，避免与后续特殊平行四边形（矩形、菱形）性质混淆。 知识点01 平行四边形 1.平行四边形的定义及表示方法 定义 图示 表示方法 两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形 平行四边形用符号“▱”表示，如图，平行四边形ABCD 记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD” 2. 平行四边形的基本元素 基本元素  主要内容  图示 边  邻边 AD 和 AB， AD 和 DC， DC 和 BC， BC 和AB，共有四对 对边  AB 和 DC， AD 和 BC，共有两对 角 邻角  ∠ BAD 和∠ ADC，∠ ADC 和∠ DCB，∠ DCB和∠ ABC，∠ DAB 和∠ ABC，共有四对 对角  ∠ BAD 和∠ BCD，∠ ADC 和∠ ABC，共有两对 对角线  AC 和 BD，共有两条 【即学即练】如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 知识点02 平行四边形的边、角性质 性质 几何语言 图示 边 性质 1：平行四边形的对边相等 ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB = DC，AD = BC 角 性质2：平行四边形的对角相等 ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴∠A = ∠C，∠B=∠D 【即学即练1】（25-26八年级下·安徽·期中）已知的周长为16，，则的长为（   ） A．5 B．6 C．8 D．13 【即学即练2】在平行四边形中，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 知识点03 两条平行线之间的距离 1. 夹在两条平行线之间的平行线段相等. 2.两条平行线之间的距离 定义 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫作这两条平行线之间的距离 作图方法 如图，直线a ∥ b，在直线a 上任取一点A，过点A 向直线b 作垂线， 垂足为B，则垂线段AB 的长即为a，b这两条平行线之间的距离 3. 三种距离之间的区别与联系 类别  两点间的距离  点到直线的距离  两条平行线之间的距离 区别  连接两点的线段的长度 点到直线的垂线段的长度 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度 联系 都归结为两点间的一条线段的长度 图示：如图19.2-3，a∥b，AB ∥CD ， CE ⊥b ，FG⊥b，点E，G 为垂足，则FG 和CE 的长都表示a 和b 之间的距离，且FG=CE，AB=CD. 4. 拓展 (1)平行四边形的面积= 底× 高= ah(其中a 是平行四边形的任意一条边长，h必须是这条边与它的对边之间的距离). 如图19.2-4，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E， . (2)等底等高的平行四边形的面积相等. 【即学即练】（24-25八年级下·安徽蚌埠·月考）如图，点在直线上，，两点在直线上，且，，若，则，两直线之间的距离可以是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 知识点04 平行四边形的对角线性质 性质 几何语言 图示 对角线 性质 3：平行四边形对角线互相平分 ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ OA=OC= AC， OB=OD=  BD. 知识拓展：平行四边形中的面积关系 图示 条件 O 为▱ABCD对角线的交点 P 在▱ABCD的边AD 上，且不与端点重合 P 为▱ABCD内任意一点 EF 经▱ABCD对角线的交点O 结论 【即学即练】（24-25八年级下·安徽宿州·期末）如图，的面积为20，对角线，相交于点O，点E，F分别是上的点，且，则图中阴影部分的面积为______． 知识点05 平行四边形的判定 1.判定方法：判定平行四边形可以从对边、对角和对角线 三个方面进行 . 如图 19.2-21，在四边形 ABCD 中， AC， BD 相交于点 O，具体方法如下表所示 . 条件类型 判定方法 数学语言 对边关系 两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义) ∵ AD ∥ BC， AB ∥ CD， ∴四边形 ABCD 是平行四边形 定理 1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 定理 2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∵ AD=BC， AB=CD， ∴四边形 ABCD 是平行四边形 条件类型  判定方法  数学语言 对角关系  两组对角分别相等的四边形是平行四边形(补充) ∵∠ DAB= ∠ DCB， ∠ ABC= ∠ ADC， ∴四边形 ABCD 是平行四边形 对角线关系 定理 3：对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵ OA=OC， OB=OD， ∴四边形 ABCD 是平行四边形 2. 灵活选择平行四边形的判定方法 已知条件 证明思路 一组对边相等 (1)另一组对边相等 (2)该组对边平行 一组对边平行 (1)另一组对边平行 (2)该组对边相等 对角线相交 对角线互相平分 角 两组对角分别相等 3. 平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等. 4. 推论：经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边. 【即学即练】（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，在中，点，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，求的周长． 知识点06 三角形的中位线 三角形的中位线 文字语言 符号语言 图示 定义 连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线 如图，在△ ABC 中，∵ AD=BD，AE=CE，∴ DE 是△ ABC 的中位线 三角形中线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 如图，在△ ABC 中，∵ DE 为△ ABC 的中位线，∴ DE∥BC，且DE=BC 拓展：三角形三条中线交于一点，这个交点就是三角形的重心.重心和各边中点的距离等于相应各边上中线长的三分之一. 【即学即练】（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）如图，，两点分别位于一个池塘的两端，李明想用绳子测量、间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达，的点，找到，的中点，，并且测出的长为20米，则，间的距离为__________米． 题型01 平行四边形性质应用 【例1-1】求线段的长度或取值范围 （25-26八年级下·安徽芜湖·期中）如图，四边形是平行四边形，，，，求，的长． 【例1-2】求角的度数 （24-25八年级下·安徽合肥·期末）在中，与的度数之比为，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【例1-3】求平行四边形的周长 （23-24八年级下·安徽芜湖·月考）在中，的平分线分边为和两部分，则的周长为（ ） A． B． C．或 D．或 【例1-4】求平行四边形的面积 （24-25八年级下·安徽合肥·月考）在中边上的高为4，若，则的面积为（    ） A．10或2 B．20或4 C．10或4 D．20或2 【例1-5】证明线段相等 （24-25八年级下·安徽马鞍山·期中）如图，在中，于点E，于点F． (1)求证：； (2)如果求的长． 【变式1-1】（24-25八年级下·安徽淮北·月考）如图是一个平行四边形，有一个角不小心被裁掉了，已知，则被裁掉的角的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25八年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，，，，对角线与交于点O，将直线l绕点O按顺时针方向旋转，分别交、于点E、F，则四边形周长的最小值是_______． 【变式1-4】（24-25八年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，与的平分线相交于上的一点，若 （1）的长度为_____． （2）的面积为_____． 【变式1-5】（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）如图，已知中，，，点为平面内一点，满足，分别以，为边作平行四边形，连接，则 （1）的最小值是__________； （2）的最大值是__________． 【变式1-6】（22-23八年级下·安徽宿州·期末）如图，平行四边形中，于点，点在上，交于点，连接．    (1)若，求的长度； (2)求证：； (3)求证：． 题型02 平行四边形的判定与性质的综合应用 （23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图，E，F是对角线上的两点，连接，，，，. (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，，求EF的长． 【变式2-1】（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，点，在对角线上，连接，，，，．求证： (1)求证：． (2)求证：四边形是平行四边形． 【变式2-2】（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，在平行四边形中，点G为边的中点，点E 在边上，且 ， (1)求证：E为的中点； (2)若点F 为线段延长线上一点， ， 求证：； (3)在（2）的条件下， 交于点 H， 若， ，， 的长是 ． 【变式2-3】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，是的对角线，是经过的中点的直线，且与分别交于点． (1)连接，如图1，求证：四边形是平行四边形； (2)将沿直线折叠，点落在点处，点落在点处，设交于点，分别交于点． ①如图2，求证：； ②连接，如图3，判断和之间位置的关系并加以证明． 题型03 平行线间距离相等的应用 【例3】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，两把直尺的长分别为，，宽分别为，，纸上画有，将两把直尺的一边缘沿的边摆放，两直尺的另一边的边缘的交点在的平分线上，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图，已知中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线，、上，且相邻两平行线之间的距离都是1，则的长是______． 【变式3-2】（22-23八年级上·安徽安庆·期末）如图2，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴B到地面的距离．乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到的距离，点A到地面的距离，当他从A处摆动到处时，若，求到的距离． 【变式3-3】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知：如图①，直线直线，垂足为，点在射线上，点在射线上（、不与点重合），点在射线上且，过点作直线，点在点的左边且． (1)求出的面积． (2)如图②，若，作的平分线交于点，交于点，求证：． 题型04 三角形中位线定理的应用 【例4-1】利用中位线定理证明两线平行 （24-25八年级下·安徽池州·期末）如图，中，对角线、交于点O，点E是上一点，延长至点F，使得，且交于点G，连接． (1)求证：； (2)若垂直平分，，，求的长． 【例4-2】取线段中点，构造三角形中位线解题 （25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，是的高，是的中线，的周长比的周长大1，． (1)求的长； (2)连接，求的面积． 【例4-3】利用三角形中位线定理证明线段的倍分关系 （24-25八年级下·安徽宣城·期末）在探究三角形中线的奥秘时，“创新学习小组”开展了如下探究： (1)如图，是的中线，它们交于点O，点G、H分别是的中点，顺次连接G、H、E、F，求证：四边形是平行四边形； (2)求证：． 【变式4-1】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知：是的中线，点是的中点，点是延长线与的交点．则的值为___________． 【变式4-2】（23-24八年级下·安徽六安·月考）如图，在梯形中，，，C为的中点，连接交于点D，求证：．    【变式4-3】（24-25八年级下·安徽马鞍山·期中）如图，点E是对角线上一点，延长至点F，使，且与交于点G，连接． (1)求证：；(要求用两种不同的方法解答) (2)若，，垂直平分，求的长． 【变式4-4】（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，是的中线，是线段上一点（不与点重合）．交于点，，连接． (1)如图1，当点与重合时，求证：； (2)如图2，当点不与重合时，求证：四边形是平行四边形； (3)如图3，延长交于点，若，若，证明：． 题型05 平行四边形中的动点与存在性问题 【例5-1】（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在中，动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动． (1)如图1，在运动过程中，若平分，且满足，求的度数； (2)如图2，在（1）的条件下，连结并延长与的延长线交于点F，连结．证明： (3)如图3，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动(同时Q点也停止运动)，若，求当运动时间为多少秒时，以P，D，Q，B四点为顶点的四边形是平行四边形． 【例5-2】（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）问题：在平面直角坐标系中有两点，如何求线段的长度？ 小明在网上搜索到下面的文字材料： 若在轴上有两个点，它们的坐标分别为和，则这两点所成线段长为；同样的，在轴上的两点坐标分别为和，则这两点所成线段长为． 根据上面材料，完成探究： （1）如图1，在直角坐标系中的任意两点其坐标分别是和，分别过这两点作两坐标轴的平行线，构成一个直角三角形，则_____，_____； 应用： （2）请在图2中描出，判断的形状并说明理由； （3）在（2）的条件下，若以为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标． 【变式5-1】（24-25八年级下·安徽芜湖·月考）定义：对于平面直角坐标系中的点和直线，我们称点是直线的“友谊点”，直线是点的“友谊直线”．特别地，当时，直线（为常数）的“友谊点”为． (1)已知点，则点的“友谊直线”的解析式为______________；直线的“友谊点”的坐标为_________________； (2)两点关于轴对称，且点的“友谊直线”经过点和点，求该直线的解析式； (3)直线不经过第二象限，为直线的“友谊点”． ①若为整数，求点的坐标； ②直线与轴，轴分别相交于两点，，为平面内一点，当以为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点的坐标． 【变式5-2】（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，直线与轴交于点，点在第四象限，． (1)求的长； (2)连接，若． ①求点的坐标； ②若点在直线上，且在轴下方，试探究轴上是否存在点，使得四边形是平行四边形，若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． 【变式5-3】（22-23八年级下·安徽宿州·期末）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，，，点P从A点出发沿方向匀速运动，速度为，连接并延长交于点Q，设运动时间为t（）． (1)当t为何值时，四边形是平行四边形？ (2)设四边形的面积为，求y与t之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻t，使点O在线段的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【变式5-4】（23-24八年级下·安徽亳州·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，动点P、Q分别从原点O、点B同时出发，动点P沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q在线段上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点Q到达C点时，点P随之停止运动；设运动时间为t（秒）． (1)直接写出线段的长； (2)求直线的函数解析式； (3)当时，设直线与直线交于点D，求直线的解析式以及点D的坐标； (4)当四边形是平行四边形时，直接写出t的值． 一、单选题 1．（24-25八年级下·安徽六安·期末）如图，的对角线相交于点，，，则的周长不可能为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·安徽六安·月考）如图，平行四边形的对角线相交于点O，点E是的中点，若，则的长是（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 3．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图，在中，，点是边上一点，连接，将沿折叠，点恰好落在上的点处，则的长为（   ） A．7 B．6.5 C．6 D．5 4．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）在平行四边形中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）如图，四边形中，，对角线、相交于点，添加下列条件仍不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·安徽池州·期中）如图，A，B两点被湖水隔开，岸边有一点C，的中点分别是D，E，现测得，则A，B两点之间的距离为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）四边形的对角线，垂足为，若，，则的最小值为（    ） A．5 B．10 C． D． 8．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）如图，平行四边形的对角线相交于点，的平分线与边交于点，是的中点，若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（24-25八年级下·安徽六安·期末）如图，已知的面积为，点在线段上，点在线段的延长线上，且，四边形是平行四边形，与交于点，则图中阴影部分的面积为（      ）． A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点，若，则的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 二、填空题 11．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）已知三角形的三条中位线的长分别为，则这个三角形的周长是__________． 12．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）如图，在四边形中，，，，点E，F，G分别是的中点，连接，则的长为________．    13．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）如图，平行四边形中，分别平分交于点E、点F，已知，则的长为_________ 14．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）在中，是的中线，点E是的中点，点F是延长线与的交点，若，则的长为____________． 15．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期中）如图，在平行四边形中，为上任意一点，若的面积为5，的面积为3，则的面积为_________． 16．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）如图，在平行四边形中，平分，交于点E，且，延长与的延长线交于点F，连接． （1）__________； （2）若，则__________． 17．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）如图，点是的对角线的交点，，的平分线交于点，，连接．则： ①_____°； ②若，面积_____． 三、解答题 18．（24-25八年级下·安徽六安·期末）如图，在平行四边形中，点E在边上，且，F为线段上一点，且． (1)求证：； (2)若，平分，求的长． 19．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，现同时将点，分别向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，分别得到点，的对应点，，连接，． (1)求点，的坐标； (2)求四边形的面积． 20．（24-25八年级下·安徽六安·月考）如图，四边形中，对角线相交于点O，，且平分，O为的中点．在上取一点G，使，E为垂足，取的中点F，连接．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 21．（24-25八年级下·安徽滁州·月考）如图，在平行四边形中，点E，F分别在上，，连接与对角线相交于点O． (1)求证∶； (2)连接，G为的中点，连接．若，求的长； (3)在（2）的条件下，若，则= 22．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）我们曾借助学习“图形的全等判定”获得的经验与方法对“平行四边形的判定”进行过探究． 【知识回顾】 如图1，四边形中，我们用符号语言表示出所有的8个边，角、对角线的数量关系： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧． 我们曾任意选择2个作为条件来探索四边形是否为平行四边形． （1）请选择上面8个条件中的2个，写出一个除了课本上平行四边形的定义及3条判定定理外可以判定四边形为平行四边形的方法： （请用文字语言表述）； 【数学思考】 若将①②组合可以得到新的数量关系⑨：；⑦⑧组合可以得到新的数量关系⑩：．那么它们是否可以再加一个条件来判定平行四边形呢？ （2）若选择④和⑨则可判定四边形是平行四边形．如图2，在四边形中，，．求证：四边形是平行四边形．小明的同学思路如下： 证明：延长并截取． ∵ ∴，即 ∵ ∴四边形是平行四边形． … 请同学们按照小明的思路完成证明过程． （3）在①或者③中选择一个条件和⑩组成条件也可以判定四边形是平行四边形，并证明．如图3，在四边形中，相交于点O， ，．求证：四边形是平行四边形． 23．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）已知，如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴于点A，交y轴于点B，线段的垂直平分线分别交x轴于点C，交y轴于点D，交于点E． (1)求点E的坐标； (2)求直线的解析式； (3)平面内是否存在点F，使得以B、C、D、F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点F的坐标． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9.2平行四边形 教学目标 1.理解平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形，会用符号 “▱” 表示平行四边形。 2.探究并掌握平行四边形的性质。 3.能运用平行四边形的性质进行简单的计算与证明，解决实际问题。 4.理解两条平行线间的距离的概念，知道 “平行线间的平行线段相等”。 教学重难点 教学重点 1. 1.平行四边形的定义及性质（边、角、对角线）的探究与证明。 2. 2.平行四边形性质的简单应用（计算线段长度、角度，证明线段相等 / 平行）。 教学难点 1. 1.平行四边形性质的探究过程（如何从直观猜想过渡到严格证明）。 2. 2.辅助线的添加：将平行四边形问题转化为三角形全等问题（如连接对角线）。 3. 3.性质的灵活应用：区分平行四边形与一般四边形的性质，避免与后续特殊平行四边形（矩形、菱形）性质混淆。 知识点01 平行四边形 1.平行四边形的定义及表示方法 定义 图示 表示方法 两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形 平行四边形用符号“▱”表示，如图，平行四边形ABCD 记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD” 2. 平行四边形的基本元素 基本元素  主要内容  图示 边  邻边 AD 和 AB， AD 和 DC， DC 和 BC， BC 和AB，共有四对 对边  AB 和 DC， AD 和 BC，共有两对 角 邻角  ∠ BAD 和∠ ADC，∠ ADC 和∠ DCB，∠ DCB和∠ ABC，∠ DAB 和∠ ABC，共有四对 对角  ∠ BAD 和∠ BCD，∠ ADC 和∠ ABC，共有两对 对角线  AC 和 BD，共有两条 【即学即练】如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】解：∵是由六个全等的正三角形拼成的， ∴是正六边形， ∴，，是正六边形的对角线， 可得， ∴四边形是平行四边形， 同理：四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形，共6个， 故选C． 知识点02 平行四边形的边、角性质 性质 几何语言 图示 边 性质 1：平行四边形的对边相等 ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB = DC，AD = BC 角 性质2：平行四边形的对角相等 ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴∠A = ∠C，∠B=∠D 【即学即练1】（25-26八年级下·安徽·期中）已知的周长为16，，则的长为（   ） A．5 B．6 C．8 D．13 【答案】A 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴， 将代入得，． 【即学即练2】在平行四边形中，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ 四边形是平行四边形， ∴（对角相等）． ∵， ∴， ∴， 故选：C． 知识点03 两条平行线之间的距离 1. 夹在两条平行线之间的平行线段相等. 2.两条平行线之间的距离 定义 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫作这两条平行线之间的距离 作图方法 如图，直线a ∥ b，在直线a 上任取一点A，过点A 向直线b 作垂线， 垂足为B，则垂线段AB 的长即为a，b这两条平行线之间的距离 3. 三种距离之间的区别与联系 类别  两点间的距离  点到直线的距离  两条平行线之间的距离 区别  连接两点的线段的长度 点到直线的垂线段的长度 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度 联系 都归结为两点间的一条线段的长度 图示：如图19.2-3，a∥b，AB ∥CD ， CE ⊥b ，FG⊥b，点E，G 为垂足，则FG 和CE 的长都表示a 和b 之间的距离，且FG=CE，AB=CD. 4. 拓展 (1)平行四边形的面积= 底× 高= ah(其中a 是平行四边形的任意一条边长，h必须是这条边与它的对边之间的距离). 如图19.2-4，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E， . (2)等底等高的平行四边形的面积相等. 【即学即练】（24-25八年级下·安徽蚌埠·月考）如图，点在直线上，，两点在直线上，且，，若，则，两直线之间的距离可以是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【详解】解：根据平行线之间的距离的定义可得，两直线的距离应该小于的长度， ∵， ∴，两直线之间的距离可以是3． 故选：D． 知识点04 平行四边形的对角线性质 性质 几何语言 图示 对角线 性质 3：平行四边形对角线互相平分 ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ OA=OC= AC， OB=OD=  BD. 知识拓展：平行四边形中的面积关系 图示 条件 O 为▱ABCD对角线的交点 P 在▱ABCD的边AD 上，且不与端点重合 P 为▱ABCD内任意一点 EF 经▱ABCD对角线的交点O 结论 【即学即练】（24-25八年级下·安徽宿州·期末）如图，的面积为20，对角线，相交于点O，点E，F分别是上的点，且，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】5 【详解】解：如图，过O作于点G，延长交于点H，    ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：5． 知识点05 平行四边形的判定 1.判定方法：判定平行四边形可以从对边、对角和对角线 三个方面进行 . 如图 19.2-21，在四边形 ABCD 中， AC， BD 相交于点 O，具体方法如下表所示 . 条件类型 判定方法 数学语言 对边关系 两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义) ∵ AD ∥ BC， AB ∥ CD， ∴四边形 ABCD 是平行四边形 定理 1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 定理 2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∵ AD=BC， AB=CD， ∴四边形 ABCD 是平行四边形 条件类型  判定方法  数学语言 对角关系  两组对角分别相等的四边形是平行四边形(补充) ∵∠ DAB= ∠ DCB， ∠ ABC= ∠ ADC， ∴四边形 ABCD 是平行四边形 对角线关系 定理 3：对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵ OA=OC， OB=OD， ∴四边形 ABCD 是平行四边形 2. 灵活选择平行四边形的判定方法 已知条件 证明思路 一组对边相等 (1)另一组对边相等 (2)该组对边平行 一组对边平行 (1)另一组对边平行 (2)该组对边相等 对角线相交 对角线互相平分 角 两组对角分别相等 3. 平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等. 4. 推论：经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边. 【即学即练】（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，在中，点，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，求的周长． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 知识点06 三角形的中位线 三角形的中位线 文字语言 符号语言 图示 定义 连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线 如图，在△ ABC 中，∵ AD=BD，AE=CE，∴ DE 是△ ABC 的中位线 三角形中线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 如图，在△ ABC 中，∵ DE 为△ ABC 的中位线，∴ DE∥BC，且DE=BC 拓展：三角形三条中线交于一点，这个交点就是三角形的重心.重心和各边中点的距离等于相应各边上中线长的三分之一. 【即学即练】（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）如图，，两点分别位于一个池塘的两端，李明想用绳子测量、间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达，的点，找到，的中点，，并且测出的长为20米，则，间的距离为__________米． 【答案】40 【详解】解：如下图，连接， ∵，的中点分别为，，的长为20米， ∴米， 即，间的距离为40米. 题型01 平行四边形性质应用 【例1-1】求线段的长度或取值范围 （25-26八年级下·安徽芜湖·期中）如图，四边形是平行四边形，，，，求，的长． 【答案】，． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【例1-2】求角的度数 （24-25八年级下·安徽合肥·期末）在中，与的度数之比为，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 与的度数之比为， ， ， ， 故选：D． 【例1-3】求平行四边形的周长 （23-24八年级下·安徽芜湖·月考）在中，的平分线分边为和两部分，则的周长为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：如图，， ， ∵四边形为平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 的周长为； 如图，， ， 同理可得， 的周长为， 故选：D． 【例1-4】求平行四边形的面积 （24-25八年级下·安徽合肥·月考）在中边上的高为4，若，则的面积为（    ） A．10或2 B．20或4 C．10或4 D．20或2 【答案】B 【详解】解：①如图1所示： ∵在中，边上的高为4，，， ∴，， ， ∴， ∴的面积等于； ②如图2所示： ∵在中，边上的高为4，，， ∴，， ， ∴， ∴的面积等于； 则的面积等于20或4， 故选：B． 【例1-5】证明线段相等 （24-25八年级下·安徽马鞍山·期中）如图，在中，于点E，于点F． (1)求证：； (2)如果求的长． 【详解】（1）证明：于点于点， ， 四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， ． （2）解：， ， ， ， ， 的长为． 【变式1-1】（24-25八年级下·安徽淮北·月考）如图是一个平行四边形，有一个角不小心被裁掉了，已知，则被裁掉的角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由图可知：被裁掉的角是， ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 故选：B． 【变式1-2】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，，， ， ， 在中，， ， ， ． 故选：C． 【变式1-3】（24-25八年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，，，，对角线与交于点O，将直线l绕点O按顺时针方向旋转，分别交、于点E、F，则四边形周长的最小值是_______． 【答案】 【详解】解：如图所示，过点作，垂足为， ∴， ∵， ∴， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， ，， 四边形的周长， 当的值最小时，四边形的周长最小， ∴当时，有最小值，此时， 四边形的周长最小值为， 故答案为：． 【变式1-4】（24-25八年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，与的平分线相交于上的一点，若 （1）的长度为_____． （2）的面积为_____． 【答案】 20 【详解】解：（1）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵与的平分线相交于上的一点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （2）如图，作于点F， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：20． 【变式1-5】（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）如图，已知中，，，点为平面内一点，满足，分别以，为边作平行四边形，连接，则 （1）的最小值是__________； （2）的最大值是__________． 【答案】 6 6 【详解】解：（1）如图，在延长线上截取，连接，， ，， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 的最小值是； （2）由（1）得， ， 的最大值是． 【变式1-6】（22-23八年级下·安徽宿州·期末）如图，平行四边形中，于点，点在上，交于点，连接．    (1)若，求的长度； (2)求证：； (3)求证：． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ； （2）证明：如图，延长交于，   四边形是平行四边形， ∴，， ， ， ， ， 在与中， ， ， （3）证明：， ， 题型02 平行四边形的判定与性质的综合应用 （23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图，E，F是对角线上的两点，连接，，，，. (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，，求EF的长． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：， ， ， ， ， 由（1）知， ， ． 【变式2-1】（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，点，在对角线上，连接，，，，．求证： (1)求证：． (2)求证：四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【变式2-2】（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，在平行四边形中，点G为边的中点，点E 在边上，且 ， (1)求证：E为的中点； (2)若点F 为线段延长线上一点， ， 求证：； (3)在（2）的条件下， 交于点 H， 若， ，， 的长是 ． 【详解】（1）证明：∵点为的中点， ∴， 四边形为平行四边形， ，． 又， ． ， 即为的中点． （2）证明：延长，相交于点，如图． 由（1）知，， 又， 四边形为平行四边形， ， ， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ， ． （3）解：过点作于点，如图． 设，则，， ， ∴， ，，， 在中，， ， 解得（舍去）或， ． 【变式2-3】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，是的对角线，是经过的中点的直线，且与分别交于点． (1)连接，如图1，求证：四边形是平行四边形； (2)将沿直线折叠，点落在点处，点落在点处，设交于点，分别交于点． ①如图2，求证：； ②连接，如图3，判断和之间位置的关系并加以证明． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：①证明：由（1）得， 如图：延长和且交于点， 四边形是平行四边形， ， ． 由折叠可知， ， ， ． ②解：，证明如下： 如图：过点作，交于点， ． 由折叠可知． ， ， ， ， ． 由（1）可知， ， ， 四边形是平行四边形， ． 题型03 平行线间距离相等的应用 【例3】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，两把直尺的长分别为，，宽分别为，，纸上画有，将两把直尺的一边缘沿的边摆放，两直尺的另一边的边缘的交点在的平分线上，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵点在的平分线上， ∴， 由平行线间间距相等可知，，， ∴， 由于和的长度未知，故二者不一定相等， 故选：． 【变式3-1】（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图，已知中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线，、上，且相邻两平行线之间的距离都是1，则的长是______． 【答案】 【详解】解：作于，作于， ∴ ， ． ∵ ， ． 在和中， ， ， ． 在中，根据勾股定理得：， 在中，根据勾股定理得：． 故答案为：． 【变式3-2】（22-23八年级上·安徽安庆·期末）如图2，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴B到地面的距离．乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到的距离，点A到地面的距离，当他从A处摆动到处时，若，求到的距离． 【答案】 【详解】解：作，垂足为F， ∵， ∴， 在中，； 又∵， ∴， ∴； 在和中， ， ∴； ∴， ∵ ∴， ∵， ∴； ∴， ∴， 即到的距离是． 【变式3-3】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知：如图①，直线直线，垂足为，点在射线上，点在射线上（、不与点重合），点在射线上且，过点作直线，点在点的左边且． (1)求出的面积． (2)如图②，若，作的平分线交于点，交于点，求证：． 【详解】（1）解：过点B作直线的垂线，交直线于点， ，， ， ∵， ， ； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 题型04 三角形中位线定理的应用 【例4-1】利用中位线定理证明两线平行 （24-25八年级下·安徽池州·期末）如图，中，对角线、交于点O，点E是上一点，延长至点F，使得，且交于点G，连接． (1)求证：； (2)若垂直平分，，，求的长． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 是的中位线， ， 即； （2）证明：由（1）知：， ∴，， 又∵垂直平分 ∴，， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形 ∴，， ∴， ∴在中，，， ∴， ∴， ∴ 在中 ∴ ∴的长为． 【例4-2】取线段中点，构造三角形中位线解题 （25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，是的高，是的中线，的周长比的周长大1，． (1)求的长； (2)连接，求的面积． 【答案】(1)3 (2) 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长大1， ∴， ∵， ∴； （2）解：取中点记作点，连接，如图， ∵点为中点，点为中点， ∴，且， ∵是的高， ∴， ∴， ∴． 【例4-3】利用三角形中位线定理证明线段的倍分关系 （24-25八年级下·安徽宣城·期末）在探究三角形中线的奥秘时，“创新学习小组”开展了如下探究： (1)如图，是的中线，它们交于点O，点G、H分别是的中点，顺次连接G、H、E、F，求证：四边形是平行四边形； (2)求证：． 【详解】（1）证明：∵是的中线， ∴是的中位线， ∴，， ∵点G、H分别是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． （2）∵四边形是平行四边形，G是的中点， ∴， ∴， ∴． 即． 【变式4-1】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知：是的中线，点是的中点，点是延长线与的交点．则的值为___________． 【答案】 【详解】如图，过点的中点H，连接， ∵是的中线， ，点是的中点， ， ， 故答案为：． 【变式4-2】（23-24八年级下·安徽六安·月考）如图，在梯形中，，，C为的中点，连接交于点D，求证：．    【详解】证明：如图：连接，    ∵C为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴是的中位线， ∴． 【变式4-3】（24-25八年级下·安徽马鞍山·期中）如图，点E是对角线上一点，延长至点F，使，且与交于点G，连接． (1)求证：；(要求用两种不同的方法解答) (2)若，，垂直平分，求的长． 【详解】（1）证明： 方法1：连接交于点O， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 方法2：在上截取，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴，，， ∵垂直平分， ∴， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， 同理可得， ∴， ∴， ∴． 【变式4-4】（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，是的中线，是线段上一点（不与点重合）．交于点，，连接． (1)如图1，当点与重合时，求证：； (2)如图2，当点不与重合时，求证：四边形是平行四边形； (3)如图3，延长交于点，若，若，证明：． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的中线，且D与M重合， ∴， ∴， ∴， （2）解：如图2，过点M作交于G， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 由（1）同理可证：， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形； （3）解：如图3，取线段的中点I，连接，    ∵， ∴是的中位线， ∴，， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 题型05 平行四边形中的动点与存在性问题 【例5-1】（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在中，动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动． (1)如图1，在运动过程中，若平分，且满足，求的度数； (2)如图2，在（1）的条件下，连结并延长与的延长线交于点F，连结．证明： (3)如图3，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动(同时Q点也停止运动)，若，求当运动时间为多少秒时，以P，D，Q，B四点为顶点的四边形是平行四边形． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ∴ ； （2）解：∵四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ； （3）解：如图③所示： ， 当时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． ①当时，，， ，解得：（舍）； ②当时，，， ，解得：； ③当时，，， ，解得：； ④当时，，， ，解得：； 或或时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 【例5-2】（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）问题：在平面直角坐标系中有两点，如何求线段的长度？ 小明在网上搜索到下面的文字材料： 若在轴上有两个点，它们的坐标分别为和，则这两点所成线段长为；同样的，在轴上的两点坐标分别为和，则这两点所成线段长为． 根据上面材料，完成探究： （1）如图1，在直角坐标系中的任意两点其坐标分别是和，分别过这两点作两坐标轴的平行线，构成一个直角三角形，则_____，_____； 应用： （2）请在图2中描出，判断的形状并说明理由； （3）在（2）的条件下，若以为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标． 【答案】（1），；（2）图见解析，是以为斜边的直角三角形；（3）点或或 【详解】（1）解： 两点其坐标分别是和，轴，轴， 点， ，， ， 故答案为：，； （2）如图， 和，， ， ， ∴， ∴是以为斜边的直角三角形． （3）如图， ∵和，， ∴点向下4个单位，向右3个单位得， 点向下2个单位，向左1个单位得， ∴点C向上4个单位，向左3个单位得， 点C向下4个单位，向右3个单位得， 点向下2个单位，向左1个单位得， 综上所述：点或或． 【变式5-1】（24-25八年级下·安徽芜湖·月考）定义：对于平面直角坐标系中的点和直线，我们称点是直线的“友谊点”，直线是点的“友谊直线”．特别地，当时，直线（为常数）的“友谊点”为． (1)已知点，则点的“友谊直线”的解析式为______________；直线的“友谊点”的坐标为_________________； (2)两点关于轴对称，且点的“友谊直线”经过点和点，求该直线的解析式； (3)直线不经过第二象限，为直线的“友谊点”． ①若为整数，求点的坐标； ②直线与轴，轴分别相交于两点，，为平面内一点，当以为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)①点的坐标为；点的坐标为或或 为对角线时，当为对角线时， 三种情况根据平行四边形对角线中点坐标相同讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，点的“友谊直线”的解析式为， ∵， ∴直线的解析式为， ∴直线的“友谊点”的坐标为． （2）解：将代入，得，解得， ∴直线解析式为， 根据定义，的“友谊点”的坐标为， ∵两点关于轴对称， ∴点的坐标为， 将代入，得， 解得， ∴直线的解析式为． （3）解：①∵直线不经过第二象限， ∴， 解得， 又∵为整数， ∴的值为2， 根据题意，直线的“友谊点”的坐标为， ∴点的坐标为． ②当时，， ∴点的坐标为， 当时，即， 解得， ∴点的坐标为， ∵直线不经过第二象限， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 当为对角线时，则， ∴， ∴点N的坐标为； 当为对角线时，则， ∴， ∴点N的坐标为； 当为对角线时，则， ∴， ∴点N的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或． 【变式5-2】（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，直线与轴交于点，点在第四象限，． (1)求的长； (2)连接，若． ①求点的坐标； ②若点在直线上，且在轴下方，试探究轴上是否存在点，使得四边形是平行四边形，若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在， 【详解】（1）解：直线分别与轴、轴交于点， 令，则， 令时，则， ，， ， ； （2）解：①过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 轴， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 点的坐标为； ②存在，理由如下： 当四边形为平行四边形时，，即轴，， 点的纵坐标为， ，， 设直线的解析式为， 将，代入， 得， 解得：， 直线的解析式为， 点在直线上， ， 解得， ， ， ， ． 【变式5-3】（22-23八年级下·安徽宿州·期末）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，，，点P从A点出发沿方向匀速运动，速度为，连接并延长交于点Q，设运动时间为t（）． (1)当t为何值时，四边形是平行四边形？ (2)设四边形的面积为，求y与t之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻t，使点O在线段的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)秒 (2) (3)存在，秒 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，即，四边形是平行四边形； （2）四边形的面积为和的面积和， ∵，， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 由（1）得， ∴， 过点作，如下图： 根据平行四边形的性质可得， ，解得， ∴； （3）存在 过点作于点，如下图： ∵点O在线段的垂直平分线上， ∴， 又∵， ∴， 由（2）可得， 由勾股定理得， ∴． 【变式5-4】（23-24八年级下·安徽亳州·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，动点P、Q分别从原点O、点B同时出发，动点P沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q在线段上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点Q到达C点时，点P随之停止运动；设运动时间为t（秒）． (1)直接写出线段的长； (2)求直线的函数解析式； (3)当时，设直线与直线交于点D，求直线的解析式以及点D的坐标； (4)当四边形是平行四边形时，直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3)； (4) 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：设直线的函数解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的函数解析式为； （3）解：∵，， ∴直线平行x轴， ∵动点P、Q分别从原点O、点B同时出发，点P沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q在线段上以每秒1个单位长度的速度向点C运动， ∴当时，点Q的坐标为，点P的坐标为， 设直线的函数解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的函数解析式为； 联立， 解得：， ∴点D的坐标为． （4）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵动点P、Q分别从原点O、点B同时出发，动点P沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q在线段上以每秒1个单位长度的速度向点C运动， ∴，， ∴， 解得：， 即当四边形是平行四边形时，直接写出t的值为6． 一、单选题 1．（24-25八年级下·安徽六安·期末）如图，的对角线相交于点，，，则的周长不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长， ∴的周长， ∴的周长不可能为14． 故选：A． 2．（24-25八年级下·安徽六安·月考）如图，平行四边形的对角线相交于点O，点E是的中点，若，则的长是（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】B 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：B． 3．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图，在中，，点是边上一点，连接，将沿折叠，点恰好落在上的点处，则的长为（   ） A．7 B．6.5 C．6 D．5 【答案】C 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵将沿折叠，点恰好落在线段上的点处， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）在平行四边形中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵在平行四边形中，， ∴ ∴． 故选：A． 5．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）如图，四边形中，，对角线、相交于点，添加下列条件仍不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A． 由，可知，四边形的一组对边平行且相等，能判定该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，四边形的对角线互相平分，则该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意． C．∵， ∴， ∵， ∴， ∴，四边形的对角线互相平分，则该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意． D． 由，可知，四边形的一组对边平行，另一组对边相等，不能判定四边形是平行四边形，故本选项符合题意； 故选：D 6．（24-25八年级下·安徽池州·期中）如图，A，B两点被湖水隔开，岸边有一点C，的中点分别是D，E，现测得，则A，B两点之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点D，E分别为线段中点 ∴是的中位线， ∴， 故选：D． 7．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）四边形的对角线，垂足为，若，，则的最小值为（    ） A．5 B．10 C． D． 【答案】D 【详解】解：过点C作，过点D作，二线交于点E， 则四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， 当B，C，E三点共线时， ∴取得最小值， ∴取得最小值，最小值为的长， ∵， 此时． 故选D． 8．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）如图，平行四边形的对角线相交于点，的平分线与边交于点，是的中点，若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：∵平行四边形， ∴为的中点，，， ∴， ∵的平分线与边交于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点，为的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：B． 9．（24-25八年级下·安徽六安·期末）如图，已知的面积为，点在线段上，点在线段的延长线上，且，四边形是平行四边形，与交于点，则图中阴影部分的面积为（      ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接，设点到距离为， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵边上的高和的边上的高相同， ∴的面积和的面积相等，同理的面积和的面积相等，即阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，是， ∵的面积是，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积是， 故选：． 10．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点，若，则的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【详解】解：记与交点为点O，如图， 的平分线交于点， ， ∵， 在和中， ， ， ，， ， 在中，则， 在平行四边形中，， ，又， ， ， ， ． 故选：A． 二、填空题 11．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）已知三角形的三条中位线的长分别为，则这个三角形的周长是__________． 【答案】 【详解】解：∵三角形的三条中位线的长分别是， ∴三角形的三条边分别是 ∴这个三角形的周长为：． 故答案为：． 12．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）如图，在四边形中，，，，点E，F，G分别是的中点，连接，则的长为________．    【答案】 【详解】：连接，    ∵，，，， ∴， ∵点E、G分别是、的中点， ∴， 故答案为：． 13．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）如图，平行四边形中，分别平分交于点E、点F，已知，则的长为_________ 【答案】 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理得：， ∴． 故答案为：2． 14．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）在中，是的中线，点E是的中点，点F是延长线与的交点，若，则的长为____________． 【答案】4 【详解】解：如图，过点作交于点，作交于点，过点作交于点， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， 又， ∴, ∴, ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； 是的中线， 是的中点， ∴， ∵， ∴， 又， ∴ ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴ ． 故答案为：4． 15．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期中）如图，在平行四边形中，为上任意一点，若的面积为5，的面积为3，则的面积为_________． 【答案】8 【详解】解：过点作交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵为上任意一点， ∴， ∵的面积为5，的面积为3， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， 故答案为：8． 16．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）如图，在平行四边形中，平分，交于点E，且，延长与的延长线交于点F，连接． （1）__________； （2）若，则__________． 【答案】 120 【详解】解；（1）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，过点A作于H，则， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）如图，点是的对角线的交点，，的平分线交于点，，连接．则： ①_____°； ②若，面积_____． 【答案】 【详解】解：①在中，， ∴，， ∴ ∵的平分线交于点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ 故答案为： ②∵， ∴ ∴面积 故答案为： 三、解答题 18．（24-25八年级下·安徽六安·期末）如图，在平行四边形中，点E在边上，且，F为线段上一点，且． (1)求证：； (2)若，平分，求的长． 【详解】（1）证明：在平行四边形中，， ∴； ∵，， ∴； （2）解：在平行四边形中，； ∵平分， ∴； 由（1）知， ∴， ∴， ∴． 19．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，现同时将点，分别向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，分别得到点，的对应点，，连接，． (1)求点，的坐标； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)、 (2)8 【详解】（1）解：由题意知，，； （2）解：由（1）知，，， 且， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴． 20．（24-25八年级下·安徽六安·月考）如图，四边形中，对角线相交于点O，，且平分，O为的中点．在上取一点G，使，E为垂足，取的中点F，连接．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：， ， 平分， ， 又， 的中点为， ， 是的中位线， ； （2）延长，交于点，如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 21．（24-25八年级下·安徽滁州·月考）如图，在平行四边形中，点E，F分别在上，，连接与对角线相交于点O． (1)求证∶； (2)连接，G为的中点，连接．若，求的长； (3)在（2）的条件下，若，则= 【详解】（1）解：证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：点为的中点，， 是的中位线， ， ， ； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 22．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）我们曾借助学习“图形的全等判定”获得的经验与方法对“平行四边形的判定”进行过探究． 【知识回顾】 如图1，四边形中，我们用符号语言表示出所有的8个边，角、对角线的数量关系： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧． 我们曾任意选择2个作为条件来探索四边形是否为平行四边形． （1）请选择上面8个条件中的2个，写出一个除了课本上平行四边形的定义及3条判定定理外可以判定四边形为平行四边形的方法： （请用文字语言表述）； 【数学思考】 若将①②组合可以得到新的数量关系⑨：；⑦⑧组合可以得到新的数量关系⑩：．那么它们是否可以再加一个条件来判定平行四边形呢？ （2）若选择④和⑨则可判定四边形是平行四边形．如图2，在四边形中，，．求证：四边形是平行四边形．小明的同学思路如下： 证明：延长并截取． ∵ ∴，即 ∵ ∴四边形是平行四边形． … 请同学们按照小明的思路完成证明过程． （3）在①或者③中选择一个条件和⑩组成条件也可以判定四边形是平行四边形，并证明．如图3，在四边形中，相交于点O， ，．求证：四边形是平行四边形． 【详解】解：（1）一组对角相等，且一组对边平行的四边形是平行四边形．或两组对角相等的四边形是平行四边形．（答案不唯一）； 故答案为：一组对角相等，且一组对边平行的四边形是平行四边形； （2）证明：延长，并截取， ∵， ∴，即． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∴， ∵， ∴． ∴． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）选择①， 分别在上截取．延长，过点B、D作、，垂足为点G、H， ∵． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， 即． ∴， 即． ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． 即． ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 选择③，分别在上截取， ． ∵． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， 即． ∴， 即． ∴． ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 23．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）已知，如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴于点A，交y轴于点B，线段的垂直平分线分别交x轴于点C，交y轴于点D，交于点E． (1)求点E的坐标； (2)求直线的解析式； (3)平面内是否存在点F，使得以B、C、D、F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点F的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或． 【详解】（1）∵ ∴当时， ∴ ∴当时， ∴ ∴ ∵垂直平分 ∴点E是的中点 ∴点E的坐标为； （2）∵点C在x轴上 ∴设 ∴， ∵垂直平分 ∴ ∴ 解得 ∴ ∴设直线的解析式为 ∴ 解得 ∴直线的解析式为； （3）∵直线的解析式为，点D在y轴上 ∴当时， ∴ ∵以B、C、D、F为顶点的四边形是平行四边形，， ∴设 当，C是以B、C、D、F为顶点的平行四边形的对角顶点时， ∴，解得 ∴； 当D，C是以B、C、D、F为顶点的平行四边形的对角顶点时， ∴，解得 ∴； 当B，D是以B、C、D、F为顶点的平行四边形的对角顶点时， ∴，解得 ∴； 综上所述，点F的坐标为或或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $