专题18.1勾股定理（高效培优讲义，4知识&8题型13类型精讲+强化训练）数学新教材沪科版八年级下册

专题18.1勾股定理 教学目标 1.了解勾股定理的文化背景（如赵爽弦图、毕达哥拉斯相关发现），掌握勾股定理的文字表述与符号语言：在中，，则（为直角边，为斜边）。 2.经历“观察—猜想—验证—证明”过程，能用面积法（割补法、赵爽弦图）证明勾股定理。 3.能运用勾股定理解决直角三角形中已知两边求第三边的简单计算问题，以及生活中的实际应用（如求线段长度、距离等）。 4.认识常见勾股数，能初步判断一组数是否为勾股数。 教学重难点 教学重点 1.勾股定理的内容、符号表达与简单应用。 2.经历勾股定理的探索与验证过程，理解定理本质。 教学难点 1.用面积割补法（赵爽弦图）证明勾股定理，建立“边长平方”与“图形面积”的联系。 2.理解证明过程中的代数推理与几何转化逻辑。 3.灵活运用勾股定理解决实际问题，准确构建直角三角形模型。 知识点01 勾股定理 文字语言 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a²＋b²＝c² 图示 符号语言 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 的对边长分别为a，b，c，则a²＋b²＝c² 变式 a²＝c²－b²，b²＝c²－a²； c＝，a＝，b＝ 基本思想方法 勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来，即把直角三角形这个“形”与三边关系这一“数”结合起来，它是数形结合思想的典范 拓展 设三角形的三边长分别为a，b，c(c 为最长边)，则在锐角三角形中满足a²＋b²＝c²，在钝角三角形中满足a²＋b²＝c² 注意 勾股定理揭示的是直角三角形的三边间的等量关系，只有在直角三角形中才能使用勾股定理, 这是应用勾股定理的条件. 【即学即练】（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）已知一个直角三角形的两条边长分别为6和8，则它的第三条边长为________． 【答案】10或 【详解】解：在直角三角形中，若两条边6和8均为直角边，则斜边长由勾股定理得； 若8为斜边，则另一条直角边长由勾股定理得． 综上所述，第三边长为10或． 故答案为：10或． 知识点02 勾股定理的证明 勾股定理的证明方法有很多，其中结合图形的切割、拼接，通过面积相等证明是最常见的一种方法，举例列表如下： 方法 图形 证明 “赵爽弦图” 因为大正方形的边长为c，所以大正方形的面积为c². 又大正方形的面积＝4×ab＋(b－a)²＝   a²＋b²，所以a²＋b²＝c² 刘徽“青朱出入图” 设大正方形的面积为S，则S＝c². 根据“出入相补，以盈补虚”的原理，得S＝a²＋b²，所以a²＋b²＝c² 加菲尔德总统拼图 设梯形的面积为S，则S＝(a＋b)(a＋b)＝a²＋b²＋ab. 又S＝ab＋ab＋c²＝c²＋ab，所以a²＋b²＝c² 毕达哥拉斯拼图 由图①得大正方形的面积＝c²＋4×ab， 由图②得大正方形的面积＝a²＋b²＋4×ab，比较两式易得 a²＋b²＝c² 【即学即练】（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）新方向模型思想我们在学习勾股定理的第2课时时，如图所示可以用来验证勾股定理的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】∵， ∴. 所以图1，3符合题意； ∵图形的面积表示为：，， ∴， 所以图2符合题意． 图4不能验证勾股定理． 所以符合题意的有3个． 故选：C． 知识点03 勾股定理的应用 1.勾股定理的应用范围 勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数”的关系 . 利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明问题，还可以解决生活、生产中的一些实际问题 . 2. 勾股定理应用的常见类型 (1)已知直角三角形的任意两边求第三边； (2)已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系； (3)证明包含有平方(算术平方根)关系的几何问题； (4)求解几何体表面上的最短路程问题； (5)构造方程(或方程组)计算有关线段长度， 解决生产、生活中的实际问题 . 【即学即练】（23-24八年级下·安徽阜阳·月考）如图，庭院中有两棵树，喜鹊要从一棵高的树顶飞到一棵高 的树顶上，两棵树相距，则喜鹊至少要飞（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示， 依题意， ∴， 故选：C． 知识点04 作长度是 (n为大于1 的整数)的线段 实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上容易找到有理数与它对应的点，但要在数轴上标准标出无理数对应的点则比较难，由此，我们可借助勾股定理作出长为(n 为大于1 的整数)的线段以及在数轴上画出表示无理数的点. 画长为的线段 如图，当直角三角形的两条直角边长都为1时，斜边长为，即1²＋1²＝()²；当两条直角边长分别为1，时，斜边长为，即1²＋()²＝()²；⋯依此类推，可以画出长为， ，，⋯的线段 在数轴上表示 如图构造两条直角边长都是1 的直角三角形，利用勾股定理得到斜边的长为，再用圆规截取的方法画出在数轴上的对应点；构造两直角边长分别为，1的直角三角形，利用勾股定理得到斜边的长为，再用圆规截取的方法画出在数轴上的对应点，⋯.依此规律可以在数轴上作出表示， ，，⋯的点 主要应用 画出长为无理数的线段，在数轴上画出表示无理数的点 【即学即练】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，数轴上点表示的数为，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解∶根据题意，得， 故选∶C． 题型01 利用勾股定理求线段长度 【例1-1】利用勾股定理求直角三角形的边长 （25-26八年级下·安徽阜阳·月考）如图，在中，，垂直平分，若，，则的长为（    ） A． B． C．6 D．8 【答案】A 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ． 在中，，由勾股定理得：； 在中，，由勾股定理得：； 【例1-2】利用勾股定理求直角三角形斜边上的高 （24-25八年级下·安徽合肥·期中）在Rt中，，则边上的高的长为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示， 在中，， ∴， ∵是边上的高， ，即， ． 故选：C． 【例1-3】利用勾股定理求网格图形中的线段长度 （24-25八年级下·安徽合肥·月考）如图网格中每个小正方形边长为1，以A为圆心，长为半径画弧，交网格线于点（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】解：连接，根据题意可知， 根据勾股定理，得. 故选：A. 【例1-4】利用勾股定理求非直角三角形的边长 （25-26八年级下·安徽阜阳·月考）如图，在中，，过点作于点，，． （1）的长为______． （2）点在线段上，过点作于点，若，则的长为______． 【答案】 【详解】解：（1）∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴的长为； （2）∵，，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【变式1-1】（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）如图，在跳绳时，小红按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：双脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图抽象成图，若两手握住的绳柄两端的距离约为，小臂到地面的距离约为，则适合小红的绳长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，过点作于，则， 由题意可知，，， ∴， ∴， ∴适合小红的绳长为． 【变式1-2】（24-25八年级下·安徽亳州·期中）图1中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2，其中，于点，尺，尺，求的长度． 【答案】的长为3.75尺 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设的长度为x尺，则尺，在中，由勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：设的长为尺，在中，尺，， 由勾股定理得，， 即， 解得． 答：的长为3.75尺． 题型02 应用勾股定理求图形面积 【例2-1】求几个图形面积的和 （24-25八年级上·安徽宿州·期中）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（   ） A．1012 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【详解】解：设直角三角形的两条直角边为，斜边为， ， 正方形的边长为， 生长“”次正方形的面积和为，生长“”次正方形的面积和为， 故“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是， 故选D． 【例2-2】求不规则图形面积 （25-26八年级下·全国·课后作业）如图，分别以直角三角形三边（三边长分别为a，b，c）为直径作半圆，设图中两个“月形”图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形的面积为． (1)请判断，，的关系，并证明； (2)若，，求阴影部分的面积． 【详解】（1）．证明如下： ，， ． （2）由（1）可知，阴影部分的面积． 【变式2-1】（24-25八年级下·安徽六安·期末）如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为（    ） A．22 B．45 C．55 D．73 【答案】C 【详解】解：如图， 由勾股定理可得，，，， ∴ ， 故选：C． 【变式2-2】如图，在中，，分别以的三条边为边向外作正方形，，（正方形四边相等，四个角都是直角），连接． (1)过点C作的垂线，分别交，于点D，G；求证：G为的中点； (2)连接，，若，，则六边形的面积为__________． 【详解】（1）证明：分别过点作，垂足分别为，如图所示： 在正方形，中，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴G为的中点； （2）解：分别过点作，垂足分别为，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ； 故答案为． 【变式2-3】勾股定理是人类最伟大的十大科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．某数学兴趣小组在学习了勾股定理之后，进行了如下探究． 【问题提出】 （1）如图①，在中，，分别以这个三角形的三边为边长向外作正方形，面积分别记为，，．如果，求阴影部分的面积； 【深入探究】 （2）如图②，四边形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，都是正方形，三角形Ⅵ，Ⅶ都是直角三角形，若正方形Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ的面积依次为6，10，24，求正方形Ⅲ的面积； 【应用】 （3）如图③，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】解：（1）由勾股定理得，， 即， 因为， 所以， 由图形可知，阴影部分的面积， 所以阴影部分的面积； （2）由题意得，， 所以， 因为正方形Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ的面积依次为6，10，24， 所以， 所以， （3）由题意可知：，，，， 如解图，连接， 在和中，， 即， 所以． 题型03 利用勾股定理证明线段平方关系及勾股定理的证明方法 【例3-1】（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 【详解】（1）证明： ， 在和中，根据勾股定理得， ，， ， 移项得：． 故． （2）解： ，， ， ， ，即， ， ，解得， ， ． 【例3-2】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）综合与实践 探索：将边长分别为、的正方形纸片叠合在一起，如图1，你能表达出未重叠（阴影）部分的面积吗？ (1)阅读并完成下面填空：方法①：用大正方形的面积减去小正方形的面积可得到阴影部分面积为：______；方法②：将阴影分割成2个梯形，如图2，根据梯形的面积公式，每个梯形的面积可以表示为，即阴影部分面积为：．由此我们可以得到平方差公式：______．总结：上面验证平方差公式的方法我们称之为面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”． (2)巩固：如图3，如果将小正方形的一边延长，也能验证平方差公式，请完成证明． (3)拓展：如图4，大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，直角三角形中较长的直角边长为，较短的直角边长为，斜边长为，证明：． 【详解】（1）方法①：用大正方形的面积减小正方形的面积可得到阴影部分面积为：；   方法②：将阴影部分割成2个梯形，如图2，根据梯形的面积公式，每个梯形的面积可以表示为，即阴影部分面积为．   由此我们可以得到平方差公式：；   故答案为：；； （2）证明：如图3， 方法①：， 方法②：， ； （3）证明：如图4， 大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，直角三角形中较长的直角边长为，较短的直角边长为，斜边长为， 方法①：大正方形的边长为，所以， 方法②：， 所以， ． 【变式3-1】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点是的斜边上的点，连接． (1)求的度数； (2)求证： (3)若，请直接写出的值． 【详解】（1）解：与都是等腰直角三角形， ， ， ， ． ． ； （2）证明：， ， 即． ， 在中，， ，即； （3）解：设，则， ，即， 解得． ． 【变式3-2】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为，，斜边长为，将它们拼成如图的形状．根据该图，可以用两种不同的方法计算整个图形的面积，通过面积相等来证明勾股定理，请你将下面的证明过程补充完整． 证明：添加辅助线，如图， 整个图形的面积有两种表示方法： 方法一：以为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积，列式后化简，得________； 方法二：以和为边的两个小正方形的面积＋两个直角三角形的面积，列式后化简，得________； 根据面积相等，得到等式________， 化简这个等式，得________， 从而证明了勾股定理． 【详解】证明：添加辅助线，如图， 整个图形的面积有两种表示方法： 方法一：以为边的正方形的面积两个直角三角形的面积，列式后化简，得； 方法二：以和为边的两个小正方形的面积两个直角三角形的面积，列式后化简，得； 根据面积相等，得到等式， 化简这个等式，得，从而证明了勾股定理． 故答案为：，，，． 【变式3-3】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长，，之间的一个重要结论：． 【探究发现】（1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整： 已知：中，，，，． 求证：． 证明：由图可知， ∵，________，正方形边长为________，∴， 即． 【知识迁移】 （2）在中，，，过点作，垂足为，，将沿翻折后得到， ①如图2，连接，则线段的长为________； ②如图3，连接，请求出线段的长． 【详解】解：（1）证明：由图可知， ∵，，正方形边长为， ∴， 即． 故答案为：，； （2）①如图2，设交于点N， 由折叠可得是的垂直平分线， ∴， ∵，，， ∴在中，， ∵， 即， ∴， ∴． 故答案为：； ②如图，过点作，交的延长线于点，则， 在中，由勾股定理得， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴． 【变式3-4】（24-25八年级下·安徽亳州·期中）【材料学习】 在勾股定理的学习中，我们已经学会了运用图1、图2的图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律． 【问题解决】 （1）材料中的方法体现的数学思想是______； A.函数思想　　B.分类讨论思想　　C.数形结合思想　　D.整体思想 （2）如图，它由2个全等的直角三角形与一个小直角梯形组成，恰好拼成一个大直角梯形，也能证明勾股定理，请你写出证明过程； 【灵活应用】 （3）如图，在四边形中，，过点作交于点，连接．若.，，求的长度（结果保留根号）． 【详解】解：（1）根据题意可得它体现的数学思想是数形结合思想， 故答案为： C；                      （2）如图， ∵ ∴ 又 ∴ ∴， ∴． （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作于点， ∴， 在和中， ， ∴， 解得： 题型04 勾股定理求平面内两点间距离 【例4】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）已知点P在平面直角坐标系中的坐标为，则点P到原点的距离是（ ） A．8 B．15 C．17 D．23 【答案】C 【详解】解：点P的坐标为， 点P到原点的距离是． 故选：C． 【变式4-1】（24-25八年级下·安徽黄山·期中）已知，，则两点间的距离为_________． 【答案】 【知识点】已知两点坐标求两点距离 【分析】本题考查了两点间的距离公式，熟记公式是解题的关键．根据两点间的距离公式进行解答即可． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 【变式4-2】（24-25八年级下·安徽蚌埠·月考）已知点满足，则点到原点的距离为__________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点到原点的距离为； 故答案为：． 【变式4-3】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴，垂足为，动点从点出发，以每秒1个单位的速度，沿轴正方向运动，设运动时间为秒，请解答以下问题： (1)求的长； (2)当为等腰三角形时，求的值； (3)当为直角三角形时，直接写出的值． 【详解】（1）解：根据勾股定理，； （2）解：由题意可得， 轴，点的坐标为， ， ，， 如图，时， ，轴， ， ，即； 如图，时， ，， 根据勾股定理，， ， ， 解得； 如图，当时，， ， 综上，的值为5或8或； （3）解：不等于， 分两种情况， 当时， 点与点重合，； 当时，如图， ， 此时， 根据勾股定理可得， 即， 解得， 综上，的值为或． 题型05 利用勾股定理作线段 【例5】（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）请在数轴上用尺规找到表示的点，记作点A．（保留作图痕迹，不写作法） 【详解】解：如图，点A即为所求． 作法：如图，过表示数的点作数轴的垂线，取，以为圆心，为半径与数轴相交于点，则点就是表示的点． 【变式5-1】已知一条数轴如图，利用所学勾股定理知识，用尺规作图在数轴上标出表示的点．（不写作法，保留作图痕迹，但需简单叙述作图过程）    【详解】解：如图所示，先作一个直角边分别是2个单位长度和3个单位长度的直角三角形，然后以点为圆心，以直角三角形斜边长为半径作弧交数轴负半轴于点，点即为要求作的点， ． 【变式5-2】如图，在数轴上点是表示实数的点． (1)在数轴上用没有刻度的直尺和圆规画出点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)的整数部分为______，的小数部分为______． 【详解】（1）解：如图：点即为所求； 确定数轴上代表点，代表点，代表点，代表点； 第一步，以为圆心，长为半径画弧； 第二步，用圆规作的垂直平分线，与第一步画的弧线交于点，可知，，且知，根据勾股定理可知； 第三步：以为圆心，为半径画弧，交数轴于点. 综上所述，点即为所求． （2）解：根据无理数在数轴中表示的位置，可知，由此其整数部分为，小数部分为． 故答案为；． 题型06 勾股定理的实际应用 【例6-1】一条东西走向的公路上有A，两个站点（视为直线上的两点）相距，，为两村庄（视为两个点），于点，于点（如图），已知，，现在要在公路上建一个土特产储藏仓库，使得，两村庄到储藏仓库的直线距离相等，请求出储藏仓库到A站点的距离．（精确到）    【详解】两村到储藏仓库的直线距离相等， ∴， ，， ， 在和中， 由勾股定理得：，， ， 设，则， ， 解得：， 答：储藏仓库到站点的距离约为． 【例6-2】（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，将矩形木板斜靠在与地面垂直的墙上，木板底端点B到墙的距离，木板长，宽． （1）若木板的底端B向里滑行，则木板的顶端A沿墙上滑________m； （2）在木板滑动的过程中，木板的顶端D到O点的最大距离是________m． 【答案】 1 【详解】解：（1）如图， 由题意可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即木板的顶端A沿墙上滑， 故答案为：1； （2）如图，取的中点E，连接， 由题意可知，是直角三角形的斜边上的中线，， ∴， ∵E是的中点， ∴， 由勾股定理得，， 当O，E，D共线时，长最大，最大值为， 故答案为：. 【例6-3】如图，某地有两条笔直的公路，，它们相交成角，沿公路方向离点的处是一所学校，当拖拉机沿公路方向行驶时，以点为圆心，长为半径的圆形区域内都会受到拖拉机噪音的影响，且拖拉机与学校的距离越近影响越大．若拖拉机行驶的速度为．    (1)求对学校A的影响最大时，拖拉机B与学校A之间的距离． (2)求拖拉机B沿公路行驶一次给学校A带来噪音影响的时间． 【详解】（1）解：作于，    ，， ， 答：对学校的噪声影响最大时拖拉机与学校的距离； （2）解：如图以为圆心为半径画圆，交于、两点， ， ， 在中，， ， 重型运输卡车的速度为， 重型运输卡车经过的时间， 答：拖拉机沿公路行驶一次给学校带来噪音影响的时间为． 【变式6-1】（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）超速行驶是引发交通事故的原因之一．上周末，小聪等三位同学在某路段尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为的点P处．这时，一辆轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得，． (1)求的距离，（取） (2)试判断此车是否超过了的限制速度？ 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴, ∴． （2）解：小车的速度为： ∴此车超过的限制速度． 【变式6-2】（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）如图，某景区的划船观景处位于离水面处高为4米的岸上（处），在处有一艘游船，工作人员用绳子在处（于点）拉船靠岸，开始时绳子的长度是的3倍．（结果保留根号） (1)求处的游船到岸边的距离（即的长）； (2)为了让游船靠岸，工作人员以1米秒的速度收绳，7秒后游船移动到点处，求游船向岸边移动的距离． 【详解】（1）解：在中，，米，米， （米）， 即处的游船到岸边的距离为米． （2）解：工作人员以1米秒的速度收绳，7秒后游船移动到点处， （米）， 在中，（米）， 米， 即游船向岸边移动的距离为米． 【变式6-3】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点C移动到点E，同时小船从点A移动到点B，且绳长始终保持不变，回答下列问题： (1)根据题意，可知AC_____________（填“＞”“＜”或“＝”）； (2)若米，米，米，求男孩需向右移动的距离CE（结果保留根号）． 【详解】（1）解：∵的长度是男孩未拽之前的绳子长，的长度是男孩拽之后的绳子长，绳长始终保持不变， ∴， 故答案为“＝”． （2）连接，则点、、三点共线， 在中，（米）， （米， 在中，（米）， ∵， （米）， 男孩需向右移动的距离为米． 题型07 应用勾股定理解决折叠问题 【例7-1】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，将它的锐角A翻折，使得点A落在边的中点D处，折痕交边于点E，交边于点F，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【详解】解：点D为的中点， ， 由折叠的性质可得， 设，则， 由勾股定理得， ， 解得：， ， 故选：D． 【例7-2】（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边，现将三角形纸片沿直线折叠，使点落在斜边上，与点重合，求的长度 【答案】 【详解】解：由题意可得与关于成轴对称， ，，， 在中，， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得，即． 【例7-3】（23-24八年级下·安徽安庆·期中）如图，在中，，，已知． （1）的长为______． （2）点，分别是，上一点，沿着直线将折叠，得到，已知点落在边上，若是直角三角形，则的长为______（注：） 【答案】 或 【详解】（1）在中，，则， ； 故答案为：． （2）如图1，当时，由折叠可知． 设，由，得， 则， ， ， ． 如图2，当，，则， ， ． 故答案为：或． 【变式7-1】（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在中，，，， M为的中点，N为边上一动点，连接，将沿折叠得到，与交于点P，连接，若是直角三角形，则______． 【答案】或或2或6 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴由勾股定理得，， ∴， 由折叠的性质可知，，， 由题意知，当是直角三角形时，分，，两种情况求解； 当，在左侧时，，如图1，        图1 ∴，， ∴， 由勾股定理得，， 解得，， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴； 当，在右侧时，，如图2，           图2 ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴； 当，在左侧时，如图3，连接，作的延长线于，            图3 ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 解得，， 设，则，， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴； 当，在右侧，重合，如图4，           图4 ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得，； 综上所述，的值为或或2或6； 故答案为：或或2或6． 【变式7-2】（25-26八年级下·安徽宿州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、D，点B的坐标为，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处，P是射线上的动点，过点P作轴，作轴，垂足分别为M，N，若四边形的周长是14，则点P的坐标为________ ． 【答案】或 【详解】解：把代入得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∵将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，将点，代入， 可得， 解得， ∴直线的表达式为； 根据题意，长方形的周长是14， 设，则， ∵，， ∴， 可分两种情况讨论： ①当点在第四象限时，如下图， 则， 将点代入直线， 可得， 解得， ∴此时点P的坐标为； ②当点在第三象限时，如下图， 则， 将点代入直线， 可得， 解得， ∴， ∴此时点P的坐标为：； 综上所述，点P的坐标为：或． 故答案为：或． 【变式7-3】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图1，在中，，点是中点，点是边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，线段交边于点． (1)如图2，当落在上时，证明：为直角三角形； (2)若为直角三角形，求长； (3)线段的最小值为___________． 【详解】（1）证明：由折叠的性质得：， ∵点是中点， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形； （2）解：在中，∵， ∴， ∴， ∵点是中点， ∴， 当时，此时， 由折叠的性质得：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当时，过点E作交于点G，连接，则， ∴， 设，则， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，的长为6或； （3）解： 如图，连接， 根据题意得：， 即当点在上时，取得最小值，最小值为， 在中，， ∴的最小值为． 故答案为： 题型08 利用勾股定理求最短路径问题 【例8-1】平面内最短路径问题 如图，在平而直角坐标系中各顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作，使与关于轴对称； (2)若点P是x轴上的一动点，则的最小值是：______． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如下图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点连接，则此时最小， 由勾股定理得， 故答案为． 【例8-2】立体图形表面上的最短路径问题 （24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为．在杯内离杯底的点C处有滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜C点的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，将圆柱的侧面展开，    根据题意，， ∴ 作点Ａ关于直线的对称点G，连接，则为所求最短距离， 则， 过点作，交的延长线于点E， 则四边形是矩形， 故， 故， 故， ∴蚂蚁到达蜂蜜C点的最短距离为． 故选：C 【变式8-1】（24-25八年级下·安徽亳州·期中）如图是一个长方体盒子，其长、宽、高分别为4，1，7，用一根细线绕侧面绑在点处，不计线头，细线的最短长度为_______． 【答案】 【详解】解：如图，把长方体沿边剪开，连接， 根据题意：，， 在中，由勾股定理得：. 故答案为：． 【变式8-2】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点A处相对的玻璃杯外壁，且距离容器顶部的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是多少？ 【答案】． 【详解】解：如图： 高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿的点处， 底部周长的一半为，， 将容器侧面展开，作A关于的对称点， 连接，则即为最短距离， 【变式8-3】（24-25八年级下·安徽六安·期末）【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，我国最早的数学著作《周髀算经》就有记载．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，我国数学教育工作者向常春老师，在1994年构造发现了一个简洁优美的新证法． 【证法再现】 如图，把两个全等的直角三角形和如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，，．请用a，b，c分别表示出梯形ABCD，．四边形AECD的面积：______，______，______，探究这三个图形面积之间的关系，可证得勾股定理，完成以上证明过程； 【知识运用】 如图2，河道上A，B两点(看作直线上的两点)相距160米，C，D为两个菜园(看作两个点)，，，垂足分别为A，B，米，米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短． (1)请在图2中确定点P的位置，并说明理由； (2)该最短距离和为多少米？ 【详解】证法再现：由题意，，，． 满足关系式：． 整理得：； 故答案为：， ，． 知识运用：(1)作点关于的对称点，连接，，，如图． ∴ 又, 当三点共线时，的最小值为， 的最小值为，此时点到两个菜园C，D的距离和最短． （2）作交的延长线于E． 在中，∵米，米， ∴（米）． 故答案为：200． 1．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距住宅8米处（米），升起云梯到火灾窗口．已知云梯的长为17米，云梯底部距地面的高米，则发生火灾的住户窗口距离地面的高为（    ） A．19.5米 B．17.5米 C．15米 D．16.5米 【答案】D 【详解】解：如图所示，结合题意，米，米，米， 在中，，则由勾股定理可得（米）， 米， 故选：D． 2．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，圆柱形笔筒的内部底面直径是，内壁高为．将一根长的铅笔放置于笔筒中（铅笔的直径忽略不计），铅笔露在笔筒外的长度为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中， 在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度， 当杯子中筷子最短是等于杯子的高时，， 最长时等于杯子斜边长度是：， 此时， 的取值范围是：， 故选：D． 3．（23-24八年级上·安徽宿州·期中）如图，在高，斜坡长，宽为的楼梯表面铺地毯，则地毯的面积至少需要_____． 【答案】 【详解】由勾股定理得，， ∴地毯的长， ∴地毯的面积， 故答案为：． 4．（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）如图，一艘小船以8海里时的速度从港口O出发，向西北方向航行，另一艘小船以15海里时的速度同时从港口O出发，向西南方向航行，离开港口2小时时，两船相距______海里． 【答案】34 【详解】解：由题意得，西北方向与西南方向的夹角为， ∴如图，两艘船的航行路线构成直角三角形，港口为直角顶点，即， 由题意得，第一艘船（西北方向）：速度海里时，航行小时， ∴； 第二艘船（西南方向）：速度15海里时，航行2小时， ∴海里， ∴． 5．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，一圆柱高，底面半径是，一只蚂蚁绕着圆柱向上螺旋式爬行，假设蚂蚁绕圆柱外壁从点爬到点，圆周率取近似值3，则蚂蚁爬行路线的最短路径长为_____． 【答案】 【详解】解：如图所示，将圆柱沿着高展开， 由题意得，， ∴由勾股定理得：， ∴蚂蚁爬行路线的最短路径长为， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·安徽淮南·期中）如图，在直角三角形中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】7 【详解】解：依题意，由勾股定理得：， 即， 由图形可知，阴影部分的面积为， ∴阴影部分的面积为7， 故答案为：7． 7．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图，四边形的对角线，相交于点．若，则______． 【答案】40 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ． 故答案为：40． 8．（24-25八年级下·安徽淮南·期中）如图，一根筷子长，斜放在半径为的圆形水杯中，露出水杯外面的部分的长为，则水杯的高________． 【答案】12 【详解】解：如图，连接， ∵，圆形水杯半径为2.5， ∴，， ∴水杯的高． 故答案为：12． 9．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，是我国汉代数学家赵爽在注解《周脾算经》时给出的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形是全等的，如果大正方形的面积是小正方形面积的25倍，那么___________． 【答案】 【详解】解：设，则， ∴， 在中，由勾股定理得，即， ∵大正方形的面积是小正方形面积的25倍， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴ ∴， 故答案为：． 10．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）如图，中，，分别以的三边为直角边作三个等腰直角三角形：，，，若图中阴影部分的面积，，，则______． 【答案】 【详解】解：如图，设分别交、于点、点， ∵，，均是等腰直角三角形， ∴，，， 设，，，，， ∵，，， 又∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：38． 11．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知为一元二次方程的一个根，且为有理数，则_______，_______，此时若，且，则的最小值为_______． 【答案】 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，为有理数， ∴，也为有理数， 故当时候，只有，， ∴，， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴的最小值即为点到点和的距离之和的最小值， ∵点关于轴的对称点为， ∴当、、三点共线时，点到点和的距离之和取得最小值， 最小值为 故答案为：，， 12．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）有一块直角三角形纸片： （1）如图，若两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使恰好在斜边上，且点与点重合，则的长为______； （2）如图，若两直角边，，点在边上，以为折痕折叠得到，边与边交于点．若为直角三角形，则的长为______． 【答案】 ； 或 【详解】（1）解：在中，，， ， 由折叠的性质可知：， ，，， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：， ， 故答案为：； （2）解：如下图所示，过点作垂足在的延长线上， 则四边形是矩形， ，， 设，则， ，， 由可知， ， 在中，， ， 解得：，(不符合题意，舍去)， 时，为直角三角形； 如下图所示，当平分时 ，点在的延长线上， 则，， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 当时，为直角三角形； 综上所述，若为直角三角形则的长为或 . 故答案为：或． 13．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）《九章算术》中记“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部4尺远．问：竹子折断处离地面有几尺？（1丈尺） 【详解】解：设竹子折断处离地面有尺， 由题意得：，，，， ∴， 则：， 解得：． 答：竹子折断处离地面有4.2尺． 14．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）我国明朝数学家程大位的数学著作《直指算法统宗》中，有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺，（假设秋千的绳索拉的很直）如图，请你根据词意计算秋千绳索的长度． 【答案】秋千绳索的长度为14.5尺 【详解】解：如图，过点作于点． 设秋千绳索的长度为尺． 由题可知，尺，（尺），尺， ∴尺． 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得． 答：秋千绳索的长度为14.5尺． 15．如图所示，已知，，以点为圆心，为半径画弧交左侧数轴于点． (1)写出数轴上点所表示的数为______； (2)比较大小：点所表示的数______（填写“”或“”） (3)在数轴上找出对应的点．（保留作图迹） 【详解】（1）解：在中，根据勾股定理得：， ∴， ∴点所表示的数为， 故答案为：； （2）解：∵，， 又∵， ∴， 故答案为：； （3）解：如图，点表示的数为． ∵，，， ∴， ∴． 16．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，等边的边在轴上，且， (1)点的坐标为___________； (2)过点的直线与轴交于点，若直线与轴交于点，求的面积． 【详解】（1）解：过作于， 则， 是等边三角形， ，， ， 的坐标是， 故答案为：； （2）解：设直线的解析式为， 把，代入， 得， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 解得， 点的坐标为， ， ． 17．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）小望和小岳学习了“勾股定理”之后，为了得到风筝的垂直高度的长，他俩合作进行了如下操作： ①用皮尺测得的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线(线段)的长为25米； ③小望拉风筝的手到地面的距离(线段的长)为1.5米． (1)求风筝的垂直高度(线段的长)； (2)如果小望想使风筝沿下降12米到处，求他应该往回收线多少米？ 【详解】（1）解：在中，米，米， 由勾股定理得：（米）， ∴（米）， 答：风筝的垂直高度为米； （2）解：如图，设下降到， 由题意可知，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， 答：他应该往回收线8米． 18．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）【新情境】3月16日，安徽太湖花亭湖半程马拉松激情开跑，此次比赛将赛道设置在风光秀美的花亭湖环湖彩虹道上，巧妙地把湖光山色和皖韵风情有机融合，生动展现了“体育+文旅”的办赛理念．学生小明操控无人机记录下了赵老师在梅河谷附近的段参赛过程．小明在点B处发现在点A处的赵老师以每分钟250米的速度向Q处匀速前进，1分钟后他发现赵老师已经跑到了离他200米的位置点C处． (1)若，请求出的长度； (2)在（1）的条件下，小刚以的速度从点A出发，此时小红在小刚前方90米以的速度匀速前进． ①在小刚追上小红前，经过多少分钟，他俩与小明的距离相等？ ②当小刚追上小红时，求此时小刚与小明之间的距离． 【详解】（1）解：由题意知（米），米， ， ， （米） 答：的长度为150米； （2）解：①设小刚的位置为点M，小红的位置为点N，过点B作， ， ，解得 当时，点M和点N在H点异侧，且， 设时间为t分钟，则米， 根据题意得（米）， ，解得， 经过0.2分钟，小刚与小红所在的位置与小明的距离相等． ②设经过t分钟，小刚追上小红，则，解得， 此时，（米）， 由①可知，米， （米）， ， ， （米）． 此时小刚与小明的距离为米． 19．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）[探究] （1）已知，均为正实数，且，求的最小值，通过分析，小文想到了构造图形解决此问题：如图，，，，，，且，两点在直线的异侧．点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含的代数式表示_______，用含的代数式表示________； ②据此求出的最小值； [类比] （2）根据上述方法，直接写出代数式的最小值________． 【详解】和是直角三角形，， 在中，，， ， 在中，，， ， 故答案为：，． ②如图所示，过点做的平行线交延长线于点， ∴，， 当点，，三点共线时，有最小值， ∴， 在直角中，，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． （2）如图所示，，，，，，设，则， ∴，， 当，，三点共线时，的值最小， ∴由上证明可得，，， ∴在直角中，， ∴的最小值为， 故答案为：． 20．（24-25八年级下·安徽滁州·期中）我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示的图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：． (1)请你将数学家赵爽的说理过程补充完整： 已知：在中，，，，．求证：． 证明：由图1可知， ，______， 正方形边长为______， ， 即． (2)如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点D作，垂足为点E．你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明； (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到如图3所示的“数学风车”． 若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 【详解】（1）证明：由图可知， ，， 正方形边长为， ， 即． 故答案为：，； （2）解： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ， ∴. ∴； 由题意，第一种方法： ； 第二种方法： ， ， ， ； （3）由题意，如图， ∵“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为， ， 设则， 在中， ， 将代入可得， ， ， ∴小正方形的边长等于， ∴风车的面积为：． 21．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接，容易发现： ①的度数为_______； ②线段、之间的数量关系为_______； 【类比探究】（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一直线上，连接，试判断的度数以及线段、之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】（3）如图3，，，，，则的值为_______． 【详解】解：（1）①∵和均为等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴； 故答案为：①；②； （2）， 理由如下：∵，和均为等腰直角三角形， ∴，，， ， 即， 在和中， ， ∴（）， ∴，； ； （3）如图3，过点C作，交的延长线于F，过点B作于E， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（）， ∴， 设，则，，， ∴ ∴， ∴，，， ∴在中，． 故答案为：2． 22．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图1，是两个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为） (1)用这样的两个三角形构造图2的图形，你能利用这个图形证明出结论吗？如果能，请写出证明过程； (2)当，时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，两直角边，分别与轴、轴重合（如图3中的位置）．点为线段上一点，将沿着直线翻折，点恰好落在轴上的处， ①求出、两点的坐标； ②若为等腰三角形，点在轴上，直接写出符合条件的所有点的坐标． 【详解】（1）解：能，证明如下： 连接，如图， ， ， ， ； （2）解：①设，则，又， 根据翻折可知： ，， ． 在中，根据勾股定理，得 ， 解得． ，． 答：、两点的坐标为，． ②如图： 当点在轴正半轴上时， 当时， 设，则，解得， ， ； 当时，， ； 当点在轴负半轴上时， 当时， ， ； 当时，， ． 答：符合条件的所有点的坐标为：、、、． 23．（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）如图，在中，，，，，是边上的两个动点，点从点开始沿方向运动且速度为，点从点开始沿方向运动，在边上的运动速度是，在边上的运动速度是．，两点同时出发，当点到达点时，点也随之停止运动．设运动时间为（单位：），请解答： (1)边的长为______． (2)当时，求的面积． (3)当时，求的长． (4)当时，求的值． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∴边的长为； （2）解：∵，是边上的两个动点，点从点开始沿方向运动且速度为，点从点开始沿方向运动，在边上的运动速度是，在边上的运动速度是，，两点同时出发，当点到达点时，点也随之停止运动，设运动时间为（单位：）， ∴点从点到点的运动时间为：， 点从点到点的运动时间为：， ∴， 当时，，， ∴，此时点在线段上，如图， ∴， ∴的面积为； （3）解：如图，设运动时间为时，， ∴， ∵，，，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 此时点在线段上， ∴， ∴； （4）解：如图，设运动时间为时，，连接， 此时点在线段上， ∴，， ∵，，，， ∴，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， 即， ∴， 解得：． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题18.1勾股定理 教学目标 1.了解勾股定理的文化背景（如赵爽弦图、毕达哥拉斯相关发现），掌握勾股定理的文字表述与符号语言：在中，，则（为直角边，为斜边）。 2.经历“观察—猜想—验证—证明”过程，能用面积法（割补法、赵爽弦图）证明勾股定理。 3.能运用勾股定理解决直角三角形中已知两边求第三边的简单计算问题，以及生活中的实际应用（如求线段长度、距离等）。 4.认识常见勾股数，能初步判断一组数是否为勾股数。 教学重难点 教学重点 1.勾股定理的内容、符号表达与简单应用。 2.经历勾股定理的探索与验证过程，理解定理本质。 教学难点 1.用面积割补法（赵爽弦图）证明勾股定理，建立“边长平方”与“图形面积”的联系。 2.理解证明过程中的代数推理与几何转化逻辑。 3.灵活运用勾股定理解决实际问题，准确构建直角三角形模型。 知识点01 勾股定理 文字语言 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a²＋b²＝c² 图示 符号语言 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 的对边长分别为a，b，c，则a²＋b²＝c² 变式 a²＝c²－b²，b²＝c²－a²； c＝，a＝，b＝ 基本思想方法 勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来，即把直角三角形这个“形”与三边关系这一“数”结合起来，它是数形结合思想的典范 拓展 设三角形的三边长分别为a，b，c(c 为最长边)，则在锐角三角形中满足a²＋b²＝c²，在钝角三角形中满足a²＋b²＝c² 注意 勾股定理揭示的是直角三角形的三边间的等量关系，只有在直角三角形中才能使用勾股定理, 这是应用勾股定理的条件. 【即学即练】（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）已知一个直角三角形的两条边长分别为6和8，则它的第三条边长为________． 知识点02 勾股定理的证明 勾股定理的证明方法有很多，其中结合图形的切割、拼接，通过面积相等证明是最常见的一种方法，举例列表如下： 方法 图形 证明 “赵爽弦图” 因为大正方形的边长为c，所以大正方形的面积为c². 又大正方形的面积＝4×ab＋(b－a)²＝   a²＋b²，所以a²＋b²＝c² 刘徽“青朱出入图” 设大正方形的面积为S，则S＝c². 根据“出入相补，以盈补虚”的原理，得S＝a²＋b²，所以a²＋b²＝c² 加菲尔德总统拼图 设梯形的面积为S，则S＝(a＋b)(a＋b)＝a²＋b²＋ab. 又S＝ab＋ab＋c²＝c²＋ab，所以a²＋b²＝c² 毕达哥拉斯拼图 由图①得大正方形的面积＝c²＋4×ab， 由图②得大正方形的面积＝a²＋b²＋4×ab，比较两式易得 a²＋b²＝c² 【即学即练】（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）新方向模型思想我们在学习勾股定理的第2课时时，如图所示可以用来验证勾股定理的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点03 勾股定理的应用 1.勾股定理的应用范围 勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数”的关系 . 利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明问题，还可以解决生活、生产中的一些实际问题 . 2. 勾股定理应用的常见类型 (1)已知直角三角形的任意两边求第三边； (2)已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系； (3)证明包含有平方(算术平方根)关系的几何问题； (4)求解几何体表面上的最短路程问题； (5)构造方程(或方程组)计算有关线段长度， 解决生产、生活中的实际问题 . 【即学即练】（23-24八年级下·安徽阜阳·月考）如图，庭院中有两棵树，喜鹊要从一棵高的树顶飞到一棵高 的树顶上，两棵树相距，则喜鹊至少要飞（    ） A． B． C． D． 知识点04 作长度是 (n为大于1 的整数)的线段 实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上容易找到有理数与它对应的点，但要在数轴上标准标出无理数对应的点则比较难，由此，我们可借助勾股定理作出长为(n 为大于1 的整数)的线段以及在数轴上画出表示无理数的点. 画长为的线段 如图，当直角三角形的两条直角边长都为1时，斜边长为，即1²＋1²＝()²；当两条直角边长分别为1，时，斜边长为，即1²＋()²＝()²；⋯依此类推，可以画出长为， ，，⋯的线段 在数轴上表示 如图构造两条直角边长都是1 的直角三角形，利用勾股定理得到斜边的长为，再用圆规截取的方法画出在数轴上的对应点；构造两直角边长分别为，1的直角三角形，利用勾股定理得到斜边的长为，再用圆规截取的方法画出在数轴上的对应点，⋯.依此规律可以在数轴上作出表示， ，，⋯的点 主要应用 画出长为无理数的线段，在数轴上画出表示无理数的点 【即学即练】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，数轴上点表示的数为，则的值是（　　） A． B． C． D． 题型01 利用勾股定理求线段长度 【例1-1】利用勾股定理求直角三角形的边长 （25-26八年级下·安徽阜阳·月考）如图，在中，，垂直平分，若，，则的长为（    ） A． B． C．6 D．8 【例1-2】利用勾股定理求直角三角形斜边上的高 （24-25八年级下·安徽合肥·期中）在Rt中，，则边上的高的长为（    ） A．5 B． C． D． 【例1-3】利用勾股定理求网格图形中的线段长度 （24-25八年级下·安徽合肥·月考）如图网格中每个小正方形边长为1，以A为圆心，长为半径画弧，交网格线于点（   ） A． B． C．2 D． 【例1-4】利用勾股定理求非直角三角形的边长 （25-26八年级下·安徽阜阳·月考）如图，在中，，过点作于点，，． （1）的长为______． （2）点在线段上，过点作于点，若，则的长为______． 【变式1-1】（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）如图，在跳绳时，小红按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：双脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图抽象成图，若两手握住的绳柄两端的距离约为，小臂到地面的距离约为，则适合小红的绳长为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25八年级下·安徽亳州·期中）图1中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2，其中，于点，尺，尺，求的长度． 题型02 应用勾股定理求图形面积 【例2-1】求几个图形面积的和 （24-25八年级上·安徽宿州·期中）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（   ） A．1012 B．2023 C．2024 D．2025 【例2-2】求不规则图形面积 （25-26八年级下·全国·课后作业）如图，分别以直角三角形三边（三边长分别为a，b，c）为直径作半圆，设图中两个“月形”图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形的面积为． (1)请判断，，的关系，并证明； (2)若，，求阴影部分的面积． 【变式2-1】（24-25八年级下·安徽六安·期末）如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为（    ） A．22 B．45 C．55 D．73 【变式2-2】如图，在中，，分别以的三条边为边向外作正方形，，（正方形四边相等，四个角都是直角），连接． (1)过点C作的垂线，分别交，于点D，G；求证：G为的中点； (2)连接，，若，，则六边形的面积为__________． 【变式2-3】勾股定理是人类最伟大的十大科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．某数学兴趣小组在学习了勾股定理之后，进行了如下探究． 【问题提出】 （1）如图①，在中，，分别以这个三角形的三边为边长向外作正方形，面积分别记为，，．如果，求阴影部分的面积； 【深入探究】 （2）如图②，四边形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，都是正方形，三角形Ⅵ，Ⅶ都是直角三角形，若正方形Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ的面积依次为6，10，24，求正方形Ⅲ的面积； 【应用】 （3） 如图③，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若，，求的值． 题型03 利用勾股定理证明线段平方关系及勾股定理的证明方法 【例3-1】（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 【例3-2】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）综合与实践 探索：将边长分别为、的正方形纸片叠合在一起，如图1，你能表达出未重叠（阴影）部分的面积吗？ (1)阅读并完成下面填空：方法①：用大正方形的面积减去小正方形的面积可得到阴影部分面积为：______；方法②：将阴影分割成2个梯形，如图2，根据梯形的面积公式，每个梯形的面积可以表示为，即阴影部分面积为：．由此我们可以得到平方差公式：______．总结：上面验证平方差公式的方法我们称之为面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”． (2)巩固：如图3，如果将小正方形的一边延长，也能验证平方差公式，请完成证明． (3)拓展：如图4，大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，直角三角形中较长的直角边长为，较短的直角边长为，斜边长为，证明：． 【变式3-1】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点是的斜边上的点，连接． (1)求的度数； (2)求证： (3)若，请直接写出的值． 【变式3-2】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为，，斜边长为，将它们拼成如图的形状．根据该图，可以用两种不同的方法计算整个图形的面积，通过面积相等来证明勾股定理，请你将下面的证明过程补充完整． 证明：添加辅助线，如图， 整个图形的面积有两种表示方法： 方法一：以为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积，列式后化简，得________； 方法二：以和为边的两个小正方形的面积＋两个直角三角形的面积，列式后化简，得________； 根据面积相等，得到等式________， 化简这个等式，得________， 从而证明了勾股定理． 【变式3-3】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长，，之间的一个重要结论：． 【探究发现】（1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整： 已知：中，，，，． 求证：． 证明：由图可知， ∵，________，正方形边长为________，∴， 即． 【知识迁移】 （2）在中，，，过点作，垂足为，，将沿翻折后得到， ①如图2，连接，则线段的长为________； ②如图3，连接，请求出线段的长． 【变式3-4】（24-25八年级下·安徽亳州·期中）【材料学习】 在勾股定理的学习中，我们已经学会了运用图1、图2的图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律． 【问题解决】 （1）材料中的方法体现的数学思想是______； A.函数思想　　B.分类讨论思想　　C.数形结合思想　　D.整体思想 （2）如图，它由2个全等的直角三角形与一个小直角梯形组成，恰好拼成一个大直角梯形，也能证明勾股定理，请你写出证明过程； 【灵活应用】 （3）如图，在四边形中，，过点作交于点，连接．若.，，求的长度（结果保留根号）． 题型04 勾股定理求平面内两点间距离 【例4】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）已知点P在平面直角坐标系中的坐标为，则点P到原点的距离是（ ） A．8 B．15 C．17 D．23 【变式4-1】（24-25八年级下·安徽黄山·期中）已知，，则两点间的距离为_________． 【变式4-2】（24-25八年级下·安徽蚌埠·月考）已知点满足，则点到原点的距离为__________． 【变式4-3】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴，垂足为，动点从点出发，以每秒1个单位的速度，沿轴正方向运动，设运动时间为秒，请解答以下问题： (1)求的长； (2)当为等腰三角形时，求的值； (3)当为直角三角形时，直接写出的值． 题型05 利用勾股定理作线段 【例5】（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）请在数轴上用尺规找到表示的点，记作点A．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式5-1】已知一条数轴如图，利用所学勾股定理知识，用尺规作图在数轴上标出表示的点．（不写作法，保留作图痕迹，但需简单叙述作图过程）    【变式5-2】如图，在数轴上点是表示实数的点． (1)在数轴上用没有刻度的直尺和圆规画出点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)的整数部分为______，的小数部分为______． 题型06 勾股定理的实际应用 【例6-1】一条东西走向的公路上有A，两个站点（视为直线上的两点）相距，，为两村庄（视为两个点），于点，于点（如图），已知，，现在要在公路上建一个土特产储藏仓库，使得，两村庄到储藏仓库的直线距离相等，请求出储藏仓库到A站点的距离．（精确到）    【例6-2】（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，将矩形木板斜靠在与地面垂直的墙上，木板底端点B到墙的距离，木板长，宽． （1）若木板的底端B向里滑行，则木板的顶端A沿墙上滑________m； （2）在木板滑动的过程中，木板的顶端D到O点的最大距离是________m． 【例6-3】如图，某地有两条笔直的公路，，它们相交成角，沿公路方向离点的处是一所学校，当拖拉机沿公路方向行驶时，以点为圆心，长为半径的圆形区域内都会受到拖拉机噪音的影响，且拖拉机与学校的距离越近影响越大．若拖拉机行驶的速度为．    (1)求对学校A的影响最大时，拖拉机B与学校A之间的距离． (2)求拖拉机B沿公路行驶一次给学校A带来噪音影响的时间． 【变式6-1】（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）超速行驶是引发交通事故的原因之一．上周末，小聪等三位同学在某路段尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为的点P处．这时，一辆轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得，． (1)求的距离，（取） (2)试判断此车是否超过了的限制速度？ 【变式6-2】（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）如图，某景区的划船观景处位于离水面处高为4米的岸上（处），在处有一艘游船，工作人员用绳子在处（于点）拉船靠岸，开始时绳子的长度是的3倍．（结果保留根号） (1)求处的游船到岸边的距离（即的长）； (2)为了让游船靠岸，工作人员以1米秒的速度收绳，7秒后游船移动到点处，求游船向岸边移动的距离． 【变式6-3】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点C移动到点E，同时小船从点A移动到点B，且绳长始终保持不变，回答下列问题： (1)根据题意，可知AC_____________（填“＞”“＜”或“＝”）； (2)若米，米，米，求男孩需向右移动的距离CE（结果保留根号）． 题型07 应用勾股定理解决折叠问题 【例7-1】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，将它的锐角A翻折，使得点A落在边的中点D处，折痕交边于点E，交边于点F，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【例7-2】（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边，现将三角形纸片沿直线折叠，使点落在斜边上，与点重合，求的长度 【例7-3】（23-24八年级下·安徽安庆·期中）如图，在中，，，已知． （1）的长为______． （2）点，分别是，上一点，沿着直线将折叠，得到，已知点落在边上，若是直角三角形，则的长为______（注：） 【变式7-1】（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在中，，，， M为的中点，N为边上一动点，连接，将沿折叠得到，与交于点P，连接，若是直角三角形，则______． 【变式7-2】（25-26八年级下·安徽宿州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、D，点B的坐标为，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处，P是射线上的动点，过点P作轴，作轴，垂足分别为M，N，若四边形的周长是14，则点P的坐标为________ ． 【变式7-3】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图1，在中，，点是中点，点是边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，线段交边于点． (1)如图2，当落在上时，证明：为直角三角形； (2)若为直角三角形，求长； (3)线段的最小值为___________． 题型08 利用勾股定理求最短路径问题 【例8-1】平面内最短路径问题 如图，在平而直角坐标系中各顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作，使与关于轴对称； (2)若点P是x轴上的一动点，则的最小值是：______． 【例8-2】立体图形表面上的最短路径问题 （24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为．在杯内离杯底的点C处有滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜C点的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25八年级下·安徽亳州·期中）如图是一个长方体盒子，其长、宽、高分别为4，1，7，用一根细线绕侧面绑在点处，不计线头，细线的最短长度为_______． 【变式8-2】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点A处相对的玻璃杯外壁，且距离容器顶部的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是多少？ 【变式8-3】（24-25八年级下·安徽六安·期末）【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，我国最早的数学著作《周髀算经》就有记载．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，我国数学教育工作者向常春老师，在1994年构造发现了一个简洁优美的新证法． 【证法再现】 如图，把两个全等的直角三角形和如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，，．请用a，b，c分别表示出梯形ABCD，．四边形AECD的面积：______，______，______，探究这三个图形面积之间的关系，可证得勾股定理，完成以上证明过程； 【知识运用】 如图2，河道上A，B两点(看作直线上的两点)相距160米，C，D为两个菜园(看作两个点)，，，垂足分别为A，B，米，米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短． (1)请在图2中确定点P的位置，并说明理由； (2)该最短距离和为多少米？ 1．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距住宅8米处（米），升起云梯到火灾窗口．已知云梯的长为17米，云梯底部距地面的高米，则发生火灾的住户窗口距离地面的高为（    ） A．19.5米 B．17.5米 C．15米 D．16.5米 2．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，圆柱形笔筒的内部底面直径是，内壁高为．将一根长的铅笔放置于笔筒中（铅笔的直径忽略不计），铅笔露在笔筒外的长度为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·安徽宿州·期中）如图，在高，斜坡长，宽为的楼梯表面铺地毯，则地毯的面积至少需要_____． 4．（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）如图，一艘小船以8海里时的速度从港口O出发，向西北方向航行，另一艘小船以15海里时的速度同时从港口O出发，向西南方向航行，离开港口2小时时，两船相距______海里． 5．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，一圆柱高，底面半径是，一只蚂蚁绕着圆柱向上螺旋式爬行，假设蚂蚁绕圆柱外壁从点爬到点，圆周率取近似值3，则蚂蚁爬行路线的最短路径长为_____． 6．（24-25八年级下·安徽淮南·期中）如图，在直角三角形中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，，则图中阴影部分的面积为_____． 7．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图，四边形的对角线，相交于点．若，则______． 8．（24-25八年级下·安徽淮南·期中）如图，一根筷子长，斜放在半径为的圆形水杯中，露出水杯外面的部分的长为，则水杯的高________． 9．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，是我国汉代数学家赵爽在注解《周脾算经》时给出的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形是全等的，如果大正方形的面积是小正方形面积的25倍，那么___________． 10．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）如图，中，，分别以的三边为直角边作三个等腰直角三角形：，，，若图中阴影部分的面积，，，则______． 11．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知为一元二次方程的一个根，且为有理数，则_______，_______，此时若，且，则的最小值为_______． 12．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）有一块直角三角形纸片： （1）如图，若两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使恰好在斜边上，且点与点重合，则的长为______； （2）如图，若两直角边，，点在边上，以为折痕折叠得到，边与边交于点．若为直角三角形，则的长为______． 13．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）《九章算术》中记“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部4尺远．问：竹子折断处离地面有几尺？（1丈尺） 14．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）我国明朝数学家程大位的数学著作《直指算法统宗》中，有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺，（假设秋千的绳索拉的很直）如图，请你根据词意计算秋千绳索的长度． 15．如图所示，已知，，以点为圆心，为半径画弧交左侧数轴于点． (1)写出数轴上点所表示的数为______； (2)比较大小：点所表示的数______（填写“”或“”） (3)在数轴上找出对应的点．（保留作图迹） 16．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，等边的边在轴上，且， (1)点的坐标为___________； (2)过点的直线与轴交于点，若直线与轴交于点，求的面积． 17．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）小望和小岳学习了“勾股定理”之后，为了得到风筝的垂直高度的长，他俩合作进行了如下操作： ①用皮尺测得的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线(线段)的长为25米； ③小望拉风筝的手到地面的距离(线段的长)为1.5米． (1)求风筝的垂直高度(线段的长)； (2)如果小望想使风筝沿下降12米到处，求他应该往回收线多少米？ 18．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）【新情境】3月16日，安徽太湖花亭湖半程马拉松激情开跑，此次比赛将赛道设置在风光秀美的花亭湖环湖彩虹道上，巧妙地把湖光山色和皖韵风情有机融合，生动展现了“体育+文旅”的办赛理念．学生小明操控无人机记录下了赵老师在梅河谷附近的段参赛过程．小明在点B处发现在点A处的赵老师以每分钟250米的速度向Q处匀速前进，1分钟后他发现赵老师已经跑到了离他200米的位置点C处． (1)若，请求出的长度； (2)在（1）的条件下，小刚以的速度从点A出发，此时小红在小刚前方90米以的速度匀速前进． ①在小刚追上小红前，经过多少分钟，他俩与小明的距离相等？ ②当小刚追上小红时，求此时小刚与小明之间的距离． 19．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）[探究] （1）已知，均为正实数，且，求的最小值，通过分析，小文想到了构造图形解决此问题：如图，，，，，，且，两点在直线的异侧．点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含的代数式表示_______，用含的代数式表示________； ②据此求出的最小值； [类比] （2）根据上述方法，直接写出代数式的最小值________． 20．（24-25八年级下·安徽滁州·期中）我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示的图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：． (1)请你将数学家赵爽的说理过程补充完整： 已知：在中，，，，．求证：． 证明：由图1可知， ，______， 正方形边长为______， ， 即． (2)如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点D作，垂足为点E．你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明； (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到如图3所示的“数学风车”． 若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 21．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接，容易发现： ①的度数为_______； ②线段、之间的数量关系为_______； 【类比探究】（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一直线上，连接，试判断的度数以及线段、之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】（3）如图3，，，，，则的值为_______． 22．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图1，是两个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为） (1)用这样的两个三角形构造图2的图形，你能利用这个图形证明出结论吗？如果能，请写出证明过程； (2)当，时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，两直角边，分别与轴、轴重合（如图3中的位置）．点为线段上一点，将沿着直线翻折，点恰好落在轴上的处， ①求出、两点的坐标； ②若为等腰三角形，点在轴上，直接写出符合条件的所有点的坐标． 23．（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）如图，在中，，，，，是边上的两个动点，点从点开始沿方向运动且速度为，点从点开始沿方向运动，在边上的运动速度是，在边上的运动速度是．，两点同时出发，当点到达点时，点也随之停止运动．设运动时间为（单位：），请解答： (1)边的长为______． (2)当时，求的面积． (3)当时，求的长． (4)当时，求的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $