精品解析：2026年河南鲁山县第二十九初级中学等校（第十教研区）中考学科第一次调研考试九年级数学

2026年中考学科第一次调研考试 九年级数学 一、选择题：（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号字母填入题后括号内． 1. 中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上10℃记作+10℃，则零下10℃可记作（ ） A. 10℃ B. 0℃ C. -10 ℃ D. -20℃ 2. 如图是河南博物院鲁山段店窑陶瓷精品展展出的一个古瓷釉彩品种——白釉罐，关于它的俯视图，下列图示表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线AB与CD相交于点O，，，则的度数是（ ） A. 25° B. 30° C. 40° D. 50° 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 宇宙线是来自宇宙空间的高能粒子，携带着宇宙起源、天体演化等方面的重要科学信息．据新华网消息，日前，由中国科学院高能物理研究所牵头的“拉索”国际合作组宣布，首次找到能量高于1亿亿电子伏特的宇宙线的起源天体．数据“1亿亿电子伏特”用科学记数法表示为（　　） A. 电子伏特 B. 电子伏特 C. 电子伏特 D. 电子伏特 6. 抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有1，2，3中的一个数字），若向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，则该木块不可能是（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，，是的弦，，是的半径，点为上任意一点（点不与点重合），连接．若，则的度数可能是（ ） A. B. C. D. 8. 定义运算：．例如：，则方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 无实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 只有一个实数根 9. 如图，在中，顶点在轴的负半轴上，，将绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第3秒旋转结束时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 在显示汽车油箱内油量的装置模拟示意图中，电压一定时，油箱中浮子随油面下降而落下，带动滑杆使滑动变阻器滑片向上移动，从而改变电路中的电流，电流表的示数对应油量体积，把电流表刻度改为相应油量体积数，由此知道油箱里剩余油量．在不考虑其他因素的条件下，油箱中油的体积与电路中总电阻是反比例关系，电流与也是反比例关系，则与的函数关系是（　　） A. 反比例函数 B. 正比例函数 C. 二次函数 D. 以上答案都不对 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 实数m在数轴上对应点的位置如图所示，则______0．（填“>”“=”或“<”） 12. 化简：的结果为________． 13. 清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为______． 14. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点均在小正方形的顶点上，点均在所画的弧上，若，则的长为________． 15. 如图，在矩形中，，，点E是边的中点，点F是对角线上一动点，作点C关于直线的对称点P，若，则的长为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算： ． （2）化简： ． 17. 某工厂生产A，B，C，D四种产品．为提升产品的竞争力，该工厂计划对部分种类的产品优化生产流程，降低成本；对其他种类的产品增加研发投入，提升品质．经研究，该工厂做出了甲、乙两种调整方案，这两种方案将对四种产品的成本产生不同的影响．下面是该工厂这四种产品的部分信息： a．调整前，各产品年产量的不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）． b．各产品单件成本的核算情况统计表及说明． 类别/数据/产品 调整前单件成本/（元/件） 18 26 20 36 调整后单件成本/（元/件） 方案甲 13 22 40 方案乙 16 18 32 说明：对于统计表中的数据，方案甲的平均数与调整前的相同，方案乙的中位数与调整前的相同． 根据以上信息，解答下列问题： （1）求调整前产品的年产量； （2）直接写出m，n的值； （3）若调整后这四种产品的年产量均与调整前的相同，请通过计算说明甲、乙两种方案哪种总成本较低． 18. 如图，线段轴于点，，反比例函数交于点．的垂直平分线交反比例函数图象于点． （1）在图中用直尺和圆规作出点．（保留作图痕迹，不写画法） （2）连接．若． ①当点的坐标为时，求反比例函数的解析式． ②连接，当时，求的长． 19. （1）如图，是的直径，与交于点F，弦平分，点E在上，连接、，________．求证：________． 从①与相切；②中选择一个作为已知条件，余下的一个作为结论，将题目补充完整（填写序号），并完成证明过程． （2）在（1）的前提下，若，，求阴影部分的面积． 20. 如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等． （1）现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个? （2）如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片? 21. 天文学家运用三角函数解决了曾困扰古人数百年的难题．某天文研究小组探究用三角函数知识计算月球与地球之间距离的方法，通过查阅资料、实际观测、获得数据和计算数据，得出月球与地球之间的近似距离．具体研究方法与过程如下表： 问题 月球与地球之间的距离约为多少？ 工具 天文望远镜、天文经纬仪等 月球、地球的实物图与平面示意图 说明 为了便于观测月球，在地球上先确定两个观测点A，B，以线段作为基准线，再借助天文经纬仪从A，B两点同时观测月球P（将月球抽象为一个点），并测得和的度数．根据实际问题画出平面示意图（如上图），过点P作于点H，连接，． 数据 万千米，，． 根据以上信息，求月球与地球之间的近似距离．（结果精确到1万千米） （参考数据：，，，，，） 22. 掷实心球是某市中考体育考试的选考项目，小强为了解自己实心球的训练情况，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷中，实心球从轴上的点处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点的坐标为，落在轴上的点处． （1）求抛物线的解析式； （2）某市男子实心球的得分标准如表： 得分 100 95 90 85 80 76 70 66 60 50 40 30 20 10 掷远（米） 12.4 11.2 9.6 9.1 8.4 7.8 7.0 6.5 5.3 5.0 4.6 4.2 请你求出小强在这次训练中的成绩，并根据得分标准给小强打分； （3）小强在练习实心球时，他的正前方距离投掷点9米处放置有一个1.2米高的警示牌，问实心球是否会砸到警示牌，请说明理由． 23. 【图形感知】 如图1，在四边形中，已知，，． （1）求的长； 【探究发现】 老师指导同学们对图1所示的纸片进行了折叠探究． 在线段上取一点，连接．将四边形沿翻折得到四边形，其中，分别是A，D的对应点． （2）其中甲、乙两位同学的折叠情况如下： ①甲：点恰好落在边上，延长交于点，如图2．判断四边形的形状，并说明理由； ②乙：点恰好落在边上，如图3．求的长； （3）如图4，连接交于点P，连接．当点E在线段上运动时，线段是否存在最小值？若存在，直接写出；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考学科第一次调研考试 九年级数学 一、选择题：（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号字母填入题后括号内． 1. 中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上10℃记作+10℃，则零下10℃可记作（ ） A. 10℃ B. 0℃ C. -10 ℃ D. -20℃ 【答案】C 【解析】 【分析】零上温度记为正，则零下温度就记为负，则可得出结论． 【详解】解：若零上记作，则零下可记作：． 故选：C． 【点睛】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负． 2. 如图是河南博物院鲁山段店窑陶瓷精品展展出的一个古瓷釉彩品种——白釉罐，关于它的俯视图，下列图示表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图．找到从上面看所得到的图形即可． 【详解】解：从上面看，是两个同心圆． 故选：C 3. 如图，直线AB与CD相交于点O，，，则的度数是（ ） A. 25° B. 30° C. 40° D. 50° 【答案】D 【解析】 【分析】根据对顶角相等可得，之后根据，即可求出． 【详解】解：由题可知， ， ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查对顶角和角的和与差，掌握对顶角相等是解决问题的关键． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方和幂的乘方、合并同类项分别计算后，即可得到答案． 【详解】解：A．，故选项正确，符合题意； B．，故选项错误，不符合题意； C．，故选项错误，不符合题意； D．，故选项错误，不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方和幂的乘方、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． 5. 宇宙线是来自宇宙空间的高能粒子，携带着宇宙起源、天体演化等方面的重要科学信息．据新华网消息，日前，由中国科学院高能物理研究所牵头的“拉索”国际合作组宣布，首次找到能量高于1亿亿电子伏特的宇宙线的起源天体．数据“1亿亿电子伏特”用科学记数法表示为（　　） A. 电子伏特 B. 电子伏特 C. 电子伏特 D. 电子伏特 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】1亿亿， 故选：B． 6. 抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有1，2，3中的一个数字），若向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，则该木块不可能是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得出数字1有3个，数字2有2个，则数字3只有1个，结合选项，即可求解． 【详解】解：正方体共6个面，向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为， ∴数字1有(个)，数字2有(个)，则数字3只有(个)， 选项A中数字3有2个，符合题意． 7. 如图，，是的弦，，是的半径，点为上任意一点（点不与点重合），连接．若，则的度数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆周角定理得出，进而根据三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴的度数可能是 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的外角的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 8. 定义运算：．例如：，则方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 无实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 只有一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】根据定义的运算，将转化为一元二次方程，再根据根的判别式判断即可． 【详解】∵ ∴ 即 ∴ ∴方程有两个不相等的实数根 故选：A 【点睛】本题考查定义新运算，一元二次方程根的判别式，熟练运用根的判别式判别一元二次方程的根的情况是解题的关键． 9. 如图，在中，顶点在轴的负半轴上，，将绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第3秒旋转结束时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得出，将绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第秒旋转结束时，相当于点顺时针旋转，画出图形，证明，得出点的坐标，即可求解． 【详解】解：∵，， ， ∴， ， 依题意将绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第秒旋转结束时，相当于绕点顺时针旋转，如图所示，过点作轴，于点，则，     ∵旋转，则，， 又， ∴ ∴ ∴ ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了规律旋转，勾股定理，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，解决问题的关键是探究旋转规律，确定旋转最后位置． 10. 在显示汽车油箱内油量的装置模拟示意图中，电压一定时，油箱中浮子随油面下降而落下，带动滑杆使滑动变阻器滑片向上移动，从而改变电路中的电流，电流表的示数对应油量体积，把电流表刻度改为相应油量体积数，由此知道油箱里剩余油量．在不考虑其他因素的条件下，油箱中油的体积与电路中总电阻是反比例关系，电流与也是反比例关系，则与的函数关系是（　　） A. 反比例函数 B. 正比例函数 C. 二次函数 D. 以上答案都不对 【答案】B 【解析】 【分析】由油箱中油的体积V与电路中总电阻R总是反比例关系，电流I与R总是反比例关系，可得，即可得到答案． 【详解】由油箱中油的体积与电路中总电阻是反比例关系，设为常数， 由电流与是反比例关系，设为常数， ， （为常数， 与的函数关系是正比例函数， 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数与正比例函数的应用，解题的关键是掌握反比例函数与正比例函数的概念． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 实数m在数轴上对应点的位置如图所示，则______0．（填“>”“=”或“<”） 【答案】< 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，先结合数轴的信息，得，且，故，即可作答． 【详解】解：观察数轴，得，且， ∴ 即， 故答案为：<． 12. 化简：的结果为________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据同分母分式的减法计算法则解答即可． 【详解】解：； 故答案为：2． 【点睛】本题考查了同分母分式减法计算，熟练掌握运算法则是解题关键． 13. 清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，数字类规律探究，观察可知，每组勾股数的第一个数字为奇数，后面两个数字为两个连续的整数，得到第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为，根据勾股定理列出方程进行求解． 【详解】解：由题意，第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴； ∴第⑤组勾股数为； 故答案为：． 14. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点均在小正方形的顶点上，点均在所画的弧上，若，则的长为________． 【答案】2π 【解析】 【分析】先证明是等腰直角三角形，从而得到，，进而得到是的直径，半径，由三角形内角和定理可得，从而得到，再根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接，，， ， 小正方形的边长为1， ，， 由勾股定理可得：， ， 是等腰直角三角形， ，， 是的直径，半径， ， ，， ， ， 的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、圆周角定理、求弧长，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，是解题的关键． 15. 如图，在矩形中，，，点E是边的中点，点F是对角线上一动点，作点C关于直线的对称点P，若，则的长为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了对称的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，根据题意画出示意图，连接，交直线于点G，延长交于点H，当点P在上方时，由勾股定理求出，进而得到，由点C关于直线的对称点P，得到，，求出，进而得到，再求出，证明是等腰三角形，在中，解直角三角形求出，进而求解；当点P在下方时，先求出，，结合对称的性质易证是等边三角形，易求，解直角三角形求出，由即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，交直线于点G，延长交于点H， 当点P在上方时， ∵在矩形中，，， ∴， ∴， ∴， ∵点E是边的中点， ∴， ∵点C关于直线的对称点P， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， 在中，，， ∴， ∴； 如图，当点P在下方时， ∵， ∴， ∵， ∴，， 由对称的性质得， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴； 综上，的长为或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算： ． （2）化简： ． 【答案】（1）4；（2） 【解析】 【分析】本题考查零次幂，绝对值，算术平方根，分式的混合运算等，掌握相关的运算法则是解题的关键 ． （1）先计算零次幂，绝对值，算术平方根，再计算加减即可； （2）根据分式的混合运算法则计算即可． 【详解】解：（1）原式． （2）原式 ． 17. 某工厂生产A，B，C，D四种产品．为提升产品的竞争力，该工厂计划对部分种类的产品优化生产流程，降低成本；对其他种类的产品增加研发投入，提升品质．经研究，该工厂做出了甲、乙两种调整方案，这两种方案将对四种产品的成本产生不同的影响．下面是该工厂这四种产品的部分信息： a．调整前，各产品年产量的不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）． b．各产品单件成本的核算情况统计表及说明． 类别/数据/产品 调整前单件成本/（元/件） 18 26 20 36 调整后单件成本/（元/件） 方案甲 13 22 40 方案乙 16 18 32 说明：对于统计表中的数据，方案甲的平均数与调整前的相同，方案乙的中位数与调整前的相同． 根据以上信息，解答下列问题： （1）求调整前产品的年产量； （2）直接写出m，n的值； （3）若调整后这四种产品的年产量均与调整前的相同，请通过计算说明甲、乙两种方案哪种总成本较低． 【答案】（1）调整前产品的年产量为万件； （2），； （3）甲种方案总成本较低． 【解析】 【分析】（1）先求得总产量，然后求得的年产量，最后求得产品的年产量； （2）根据方案甲的平均数与调整前的相同，方案乙的中位数与调整前的相同，即可求解； （3）分别计算甲、乙两种方案的成本，比较大小，即可求解． 【小问1详解】 解：（万件）， 产品的年产量为（万件）， ∴调整前产品的年产量为（万件）． ∴调整前产品的年产量为万件． 【小问2详解】 解：∵方案甲的平均数与调整前的相同， ∴， 解得：， ∵方案乙的中位数与调整前的相同，调整前中位数为， 调整后为， ∴． 【小问3详解】 解：方案甲的总成本为：（万元） 方案乙的总成本为：（万元） ， ∴甲种方案总成本较低． 18. 如图，线段轴于点，，反比例函数交于点．的垂直平分线交反比例函数图象于点． （1）在图中用直尺和圆规作出点．（保留作图痕迹，不写画法） （2）连接．若． ①当点的坐标为时，求反比例函数的解析式． ②连接，当时，求的长． 【答案】（1） 如图所示，点即为所求． （2）①；② 【解析】 【分析】对于（1），分别以点A，B为圆心，以大于为半径画弧，交于两点，过两点作直线，交反比例函数于一点，即为所求作； 对于（2）①，先根据线段垂直平分线的性质得，再根据勾股定理求出，可知，根据矩形的性质求出点，进而得出答案； ②先求出，进而表示出点，点，可得关于a的方程，求出解，可得，最后根据得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①如图，设线段的垂直平分线交于点． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵点的坐标为， ∴． 如图，过点作轴，于点，连接．则四边形是矩形． ∴， ∴， ∴， ∴． ∴反比例函数的解析式为． ②∵， ∴． 设点，则点． ∵点在的图象上， ∴， ∴， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了尺规作线段垂直平分线，求反比例函数关系式，矩形的性质，勾股定理等，理解反比例函数图像上的点即满足反比例函数关系式是解题的关键． 19. （1）如图，是的直径，与交于点F，弦平分，点E在上，连接、，________．求证：________． 从①与相切；②中选择一个作为已知条件，余下的一个作为结论，将题目补充完整（填写序号），并完成证明过程． （2）在（1）的前提下，若，，求阴影部分的面积． 【答案】 （1）一：已知条件为②，结论为①与相切，证明如下： 如图，连接， ， ， 弦平分， ， ， ， ， ， 又是的半径， 与相切； 二：已知条件为①与相切，结论为②，证明如下： 如图，连接， ， ， 弦平分， ， ， ， 与相切， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）一：已知条件为②，结论为①与相切；连接，先证出，再根据平行线的性质可得，然后根据圆的切线的判定即可得证；二：已知条件为①与相切，结论为②；连接，先证出，再根据圆的切线的性质可得，然后根据平行线的性质即可得证； （2）连接，先解直角三角形求出的长，再根据等边三角形的判定与性质可得的长，从而可得的长，然后根据圆周角定理可得，最后根据阴影部分的面积等于直角梯形的面积减去扇形的面积即可得． 【详解】解：（1）略 （2）如图，连接， ，， ，， ， 又， ， 是等边三角形， ， ， 由圆周角定理得：， 则阴影部分的面积为 ． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定与性质、解直角三角形、扇形的面积、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆的切线的判定与性质是解题关键． 20. 如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等． （1）现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个? （2）如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片? 【答案】（1）恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个 （2）至少需要134张正方形硬纸片 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个．结合题意列出方程组，再解得，即可作答． （2）先设制作乙种纸盒m个，需要w张正方形硬纸片．根据题意列出，结合，得，其中最小整数解为34．运用一次函数的图象性质进行分析作答即可． 【小问1详解】 解：制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，甲种需要1个正方形，4个长方形，乙种需要2个正方形，3个长方形， 设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个． 根据题意，得， 得， 答：恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个． 【小问2详解】 解：设制作乙种纸盒m个，需要w张正方形硬纸片． 则． 由，知w随m的增大而增大， ∴当m最小时，w有最小值． 根据题意，得， 解得， 其中最小整数解为34． 即当时，． 答：至少需要134张正方形硬纸片． 21. 天文学家运用三角函数解决了曾困扰古人数百年的难题．某天文研究小组探究用三角函数知识计算月球与地球之间距离的方法，通过查阅资料、实际观测、获得数据和计算数据，得出月球与地球之间的近似距离．具体研究方法与过程如下表： 问题 月球与地球之间的距离约为多少？ 工具 天文望远镜、天文经纬仪等 月球、地球的实物图与平面示意图 说明 为了便于观测月球，在地球上先确定两个观测点A，B，以线段作为基准线，再借助天文经纬仪从A，B两点同时观测月球P（将月球抽象为一个点），并测得和的度数．根据实际问题画出平面示意图（如上图），过点P作于点H，连接，． 数据 万千米，，． 根据以上信息，求月球与地球之间的近似距离．（结果精确到1万千米） （参考数据：，，，，，） 【答案】月球与地球之间的近似距离万千米． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．设万千米．在和中，分别用表示和的长，再根据万千米，列式计算即可求解． 【详解】解：设万千米． 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵万千米， ∴， 整理得， 解得， ∴月球与地球之间的近似距离为38万千米． 22. 掷实心球是某市中考体育考试的选考项目，小强为了解自己实心球的训练情况，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷中，实心球从轴上的点处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点的坐标为，落在轴上的点处． （1）求抛物线的解析式； （2）某市男子实心球的得分标准如表： 得分 100 95 90 85 80 76 70 66 60 50 40 30 20 10 掷远（米） 12.4 11.2 9.6 9.1 8.4 7.8 7.0 6.5 5.3 5.0 4.6 4.2 请你求出小强在这次训练中的成绩，并根据得分标准给小强打分； （3）小强在练习实心球时，他的正前方距离投掷点9米处放置有一个1.2米高的警示牌，问实心球是否会砸到警示牌，请说明理由． 【答案】（1） （2）小强在这次训练中的成绩是10米，根据得分标准，小强的得分是90分 （3）实心球会砸到警示牌， 理由如下： 当时，米． ∵， ∴实心球会砸到警示牌． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的运用，正确理解题意求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据题意，设二次函数解析式为顶点式，即为，把点代入，运用待定系数法即可求解； （2）令时，求出点的坐标，进行比较即可求解； （3）求出当时的函数值即可得到结论． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， 把代入中得，解得． ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：令，则， ∴， ∴， 解得，（舍去）． ∴小强在这次训练中的成绩是10米， ∵， ∴根据得分标准，小强的得分是90分． 【小问3详解】 略 23. 【图形感知】 如图1，在四边形中，已知，，． （1）求的长； 【探究发现】 老师指导同学们对图1所示的纸片进行了折叠探究． 在线段上取一点，连接．将四边形沿翻折得到四边形，其中，分别是A，D的对应点． （2）其中甲、乙两位同学的折叠情况如下： ①甲：点恰好落在边上，延长交于点，如图2．判断四边形的形状，并说明理由； ②乙：点恰好落在边上，如图3．求的长； （3）如图4，连接交于点P，连接．当点E在线段上运动时，线段是否存在最小值？若存在，直接写出；若不存在，说明理由． 【答案】（1）； （2）①四边形是矩形，理由如下， 由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； ②； （3）线段的最小值为． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求得，再证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）①由折叠的性质得，，再证明，根据有三个角是直角的四边形是矩形即可得解； ②延长和相交于点，连接，证明四边形是正方形，再证明，据此求解即可； （3）先利用折叠的性质求得，推出点在以为直径的上，连接，，得到，据此求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （2）①略 ②延长和相交于点，连接， 由折叠的性质得，，， ∵点恰好落在边上， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∵， ∴点在对角线上， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）由折叠的性质得，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴点在以为直径的上，连接，， ∴，即点在上时，线段存在最小值， ∵， ∴线段的最小值为． 【点睛】本题考查了翻折的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识点，难度较大，第三问判断点在以为直径的上是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $