专项训练07：二项分布 超几何分布 正态分布8大核心题型-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

2026年高二数学下学期常考题型归纳 【专项训练07：二项分布 超几何分布 正态分布】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：二项分布的均值与方差的性质】 1．(25-26高二·新疆实验中学·期中)若随机变量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选）某智能分拣站的分拣机器人每次分拣包裹的正确率为0.9，现共有200个包裹需要依次分拣，每个包裹分拣正确与否相互独立，设随机变量为分拣正确的包裹数，则（    ） A． B． C． D． 3．(25-26高二·北京第五十五中学·期中)若离散型随机变量，则______，______. 4．(25-26高二·江苏南京金陵中学·期中)已知随机变量，若，，则（   ） A． B． C． D． 5．(25-26高二下·北京西城区北京师范大学附属中学·期中)某位飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.9，设X为该运动员连续射击3次的中靶次数，则X的期望和方差分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【题型2：二项分布的最大概率问题】 6．(25-26高二下·湖南长沙周南中学·)某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，若是唯一的最大值，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 7．(25-26高二·北京丰台区·期中)为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生30名和女生20名作为样本，设事件“了解deepseek”，“学生为女生”，据统计， ，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取20名学生，设其中了解“deepseek”的学生人数为，则当取得最大值时的 值为（    ） A． B． C． D． 8．(24-25高二下·江苏宿迁泗洪县·期中)已知一篮球爱好者每次投篮投进的概率均为，若该篮球爱好者进行投篮训练20次，则该篮球爱好者投篮最有可能投进的次数为（   ） A．12或13 B．13 C．13或14 D．14 9．(25-26高二·浙江台州十校联盟·期中)2026年是丙午马年，某平台推出数字马年互动抽奖活动，每次抽奖抽中“6点幸运码”的概率为（）.小明参与活动累计抽奖次，最终恰好抽中6次“6点幸运码”，但未记录总抽奖次数.设随机变量表示抽奖次时抽中“6点幸运码”的次数，现以使得最大的值估计总抽奖次数（若有多个使概率最大，则取其中最小值），并计算.下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．与6的大小关系不确定 10．(25-26高二上·黑龙江哈尔滨第三中学校·期中)为研究不同性别学生对“deep seek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件“了解deep seek”，“学生为女生”，据统计， ，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取30名学生，设其中了解deep seek的学生的人数为X，则当取得最大值时的（）值为（   ） A．14 B．13 C．12 D．11 【题型3：超几何分布的均值与方差的性质】 11．(25-26高二下·重庆渝北中学校·期中)在5件工艺品中，有2件二等品，3件一等品，现从中抽取3件，设抽得二等品件数为，则的值为（    ） A． B． C． D． 12．(25-26高三上·江苏南京金陵中学·月考)袋中有大小、形状完全相同的 8 个白球、4 个黑球，现从中随机地连续抽取 3 次，每次取 1 个球，若每次抽取后都不放回，设取到白球的个数是 X，且，则 Y 的数学期望______． 13．(24-25高二下·河南商丘·)（多选）袋中有8个大小相同的球，其中3个黑球、5个白球.现从中任取4个球，记这4个球中黑球的个数为，则（    ） A．随机变量服从超几何分布 B． C． D．记这4个球中白球的个数为，则 14．(24-25高二下·辽宁沈阳重点高中联合体·期中)袋中有大小、形状完全相同的8个白球、4个黑球，现从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，若每次抽取后都不放回，设取到白球的个数是X，且，则Y的数学期望（   ） A．3 B．4 C．5 D．8 15．(23-24高二下·云南昭通水富第一中学·月考)（多选）下列说法正确的有（    ） A．若随机变量X的数学期望，则 B．若随机变量Y的方差，则 C．将一枚硬币抛掷3次，记正面向上的次数为X，则X服从二项分布 D．从7男3女共10名学生中随机选取5名学生，记选出女生的人数为X，则X服从超几何分布 【题型4：二项分布与超几何分布的应用题型】 16．(25-26高二下·湖南邵阳邵阳县第二高级中学·期中)某学院为了调查本校学生年月“健康上网”（健康上网是指每天上网不超过两个小时）的天数情况，随机抽取了名本校学生，统计他们在该月天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组：，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示. (1)根据频率分布直方图，求出这名学生中健康上网天数超过天的人数，以及估计上网天数的样本数据的平均数和中位数； (2)现从这名学生中任取名，设为取出的名学生中健康上网天数超过天的人数，求的分布列及均值. 17．(25-26高二下·河北衡水第二中学·期中)某人工智能模型进行指令识别训练，每次识别成功的概率为，失败的概率为，各次识别相互独立.现对该模型进行5次独立测试，设识别成功的次数为随机变量. (1)求在第二次识别成功的条件下，5次中恰有3次识别成功的概率； (2)求的分布列与数学期望. 18．(25-26高二下·重庆渝北中学校·期中)某商家为了推销新生产的玩具，举行抽奖活动.玩具有外观和内饰的颜色区别，现有25个不同的玩具，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 内饰外观 红色内饰 蓝色内饰 黄色外观 10 2 绿色外观 10 3 (1)若小华从这些玩具中随机拿一个玩具，记事件为小华取到黄色外观的玩具，事件为小华取到红色内饰的玩具，求，和； (2)该商家规定在一次抽奖中，每人可以从这些玩具中随机一次性拿两个玩具，现有两种抽奖方案： 方案一：每人参加一次抽奖活动.若拿到的两个玩具外观和内饰都异色，则获得一等奖800元；若拿到的两个玩具外观和内饰均为同色，则获得二等奖500元；若拿到的两个玩具仅外观或内饰同色，则获得三等奖300元. 方案二：每人参加三次抽奖活动.每次抽奖若拿到的两款玩具外观和内饰均为同色，获得奖金500元，否则没有奖金. 设方案一中每人获得奖金金额为X元，方案二中每人获得奖金金额为Y元.请写出X的分布列及求出X，Y的期望，并通过期望比较哪种方案获奖金额更高. 19．(25-26高二下·广西柳州民族高级中学·期中)2025年1月下旬，DeepSeek的R1模型发布，该模型在全球范围内引发广泛关注.现为了对其产品用户的使用行为进行统计分析，收集了1000名用户的每日使用时长（单位：分钟），得到如下所示的频率分布直方图，每日使用时长不小于60分钟的用户称为“忠实粉丝”. (1)求的值； (2)现采用分层抽样的方法从样本中使用时长在的用户中随机抽取7人，并从中随机抽取2人作进一步分析，记为2人中忠实粉丝的人数，求的分布列和期望. (3)用样本的频率估计概率，从该产品所有用户中抽取5人，为忠实粉丝的人数，记时对应的概率为，则为多少时最大？ 20．(25-26高二下·河南信阳普通高中·期中)某科技园区对园区内8家初创企业的研发投入与专利申请数量进行调研，得到如下数据： 企业 A B C D E F G H 研发投入x（万元） 200 500 800 1000 1500 2000 2500 3000 专利申请数y（件） 2 4 6 5 7 8 9 10 (1)从这8家企业中随机抽取1家，记事件M：抽到的企业“研发投入不超过1500万元”；事件N：抽到的企业“专利申请数超过6件”． (ⅰ)求条件概率的值； (ⅱ)判断事件M与N是否相互独立，并说明理由． (2)现在要从这8家企业中随机抽取3家进行重点扶持．记其中专利申请数大于6件的企业数为随机变量X，求X的分布列和数学期望． 【题型5：正态分布曲线的性质】 21．(25-26高二·上海复旦大学附属中学·期中)已知随机变量服从正态分布，若在内取值的概率为，则在内取值的概率为________. 22．(25-26高二·上海建平中学·期中)在一次满分为100分的数学考试中，学生的数学成绩服从正态分布.已知，则从中任选一名学生的数学成绩超过90分的概率为_________. 23．(25-26高二·天津耀华中学·期中)已知正态分布，若，则（    ） A．0.6 B．0.4 C．0.2 D．0.1 24．(25-26高二下·云南师范大学附属中学·期中)已知随机变量，若，则（   ） A．0.6 B．0.2 C．0.3 D．0.4 25．(25-26高三上·浙江杭州第四中学·期中)（多选）已知某地社交媒体用户的日活跃时长（单位：小时）服从正态分布，则（    ） A．， B．若，则 C． D． 【题型6：正态分布求概率】 26．(25-26高二·湖南长沙南雅中学等校·)（多选）某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进．部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验．记表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”．改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是（ ） 附：若，则 . A． B． C． D．取得最大值时，的估计值为53 27．(25-26高二下·广西柳州民族高级中学·期中)某次考试有10000人参加，若他们的成绩近似服从正态分布，则分数在之间的考生约有（    ）（参考数据：若，则有， A．1359人 B．1569人 C．2719人 D．3409人 28．(25-26高二·浙江台州十校联盟·期中)某市高二学生参加2026年4月期中考试，数学成绩近似服从正态分布，全市共有10000名考生，据此估计，该市期中考试数学分数介于75到115之间的人数为（   ） 参考数据：若，则，，. A．6636 B．8186 C．8400 D．9759 29．(24-25高二下·云南“美美与共”民族中学联盟·)据统计，某市高三男生的身高X（单位：）近似服从正态分布，则在全市10000名高三男生中，身高不在之间的人数大约是（   ） 参考数据：，， A．216 B．221 C．237 D．241 30．(24-25高二下·辽宁实验中学·期中)对一个物理量做n次测量，最后结果的误差，为使误差在的概率不小于0.9973，则至少要测量______次．（若，则） 【题型7：正态分布的应用题型】 31．(24-25高二下·宁夏石嘴山第三中学·期中)某校组织本校2000名学生进行针对性检测（检测分为初试和复试），并随机抽取了100名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示． (1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；（同一组数据用该区间的中点值作代表） (2)若所有学生的初试成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，，初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数、（四舍五入精确到整数）． 附：若随机变量X服从正态分布，则， ，． 32．(24-25高二下·云南昆明第三中学·期中)某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.每个人闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分前400名发放奖励. (1)假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获得奖励，请说明理由； (2)丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪. 附：若随机变量，则；；. 33．(24-25高二下·福建三明六校·期中)小张每周都去同一家商店购买一箱苹果，该商店的售货员说出售的每箱苹果的平均质量是5000克，上下浮动不超过100克.根据售货员的表述转化为数学理想模型是该商店所出售的每箱苹果的质量服从期望为5000克，标准差为100克的正态分布. (1)若随机变量服从正态分布，从的所有取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量服从正态分布. （i）若该售货员所说属实，则小张从该商店随机购买25箱苹果，记这25箱苹果的平均质量为，求. （ii）若小张每周都会将从该商店买来的苹果按箱进行称重并记录，25周后，得到的数据都在内，计算出这25箱苹果质量的平均值为4938.77克.小张举报了该商店，从概率的角度说明小张举报该商店的理由. (2)若该售货员所说属实，则现从该商店随机抽取100箱苹果，记这100箱苹果中质量在内的箱数为，求的方差.（结果保留两位小数） 附：①若随机变量服从正态分布，则，，； ②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生. ③参考数据：，，， ， 34．(24-25高二下·宁夏银川永宁县上游高级中学·期中)高中生坚持跑操有利于增强体质．某高中实践活动小组经过调查所在学校学生坚持跑操的次数与综合体测成绩等信息，得到如下数据：该学校有的学生每月平均坚持跑操的次数超过40次，这些学生中，综合体测成绩达到“及格”等级的概率为，而每月平均坚持跑操的次数不超过40次的学生的综合体测成绩达到“及格”等级的概率为． (1)若从该学校任意抽取一名学生，求该学生综合体测成绩达到“及格”等级的概率； (2)已知该实践活动小组的6名学生中有4名学生综合体测成绩达到“及格”等级，从这6名学生中抽取2名学生，记为抽取的这2名学生中综合体测成绩达到“及格”等级的人数，求随机变量的分布列和数学期望． (3)经统计：该校学生综合体测得分近似服从正态分布，若得分，则综合体测成绩达到“优秀”等级，假设学生之间综合体测成绩相互独立．现从该校所有学生中抽取40名学生，记为这40名学生中综合体测成绩达到“优秀”等级的人数，求的数学期望及方差．（结果四舍五入保留整数） 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，， 35．(24-25高二下·福建福州第十一中学·期中)冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮．某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高二年级12个班学生中每班随机选出5名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”测试成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格．若高二年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”，否则该年级体能达标为“不合格”，需要加强锻炼． (1)已知某班级的5名学生中，甲、乙2位同学体能预测不合格，从这5名学生中抽取2名，记X为抽取的2名学生中体能合格的人数，求随机变量X的分布列 (2)为了加强锻炼，甲、乙两位同学计划每天开展跳绳比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用五局三胜制（一方获胜三局则本轮比赛结束）．假设甲同学每局比赛获胜的概率均为，求甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜的条件下，前2局比赛均获胜的概率； (3)经过一段时间的体能训练后，该校再次进行了体能检测，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布．已知，请估计该校高二年级学生该次体能检测是否合格?附：． 【题型8：三大分布的综合题型】 36．(25-06高二下·福建莆田第一中学·)某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由个元件组成时设备正常运行的概率，表示控制系统由个元件组成时设备正常运行的概率）. (1)若，当时，求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和数学期望，并求； (2)已知设备升级前，单位时间的产量为件，每件产品的利润为元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是元.记设备升级后单位时间内的利润为（单位：元）. ①请用表示； ②设备升级后，已知该企业现有控制系统中有个元件（此时该系统处于正常运行），若增加个元件，则单位时间内的期望利润是否提高？ 37．(25-26高二下·河北沧州部分校·)某校在高中三个年级中抽取个学生进行体能测试，且这人中高一年级的学生有人，将这个学生编号为，，，，并按照编号从小到大进行测试，直到所有学生测试完毕. (1)求2号学生为高一学生的概率（用与表示）； (2)若，，记随机变量为最后一个被测试的高一学生的编号，求； (3)若个学生中高二学生和高三学生的人数分别为，，求高二学生先于高一学生和高三学生被测试完（高二学生被全部测试完时，高一学生和高三学生都有剩余）的概率. 38．(25-26·江苏南京外国语学校·期中)已知甲、乙两个乒乓球队之间组织友谊赛，比赛规则如下：①每个队各组织五名队员进行五场单打比赛，每场单打比赛获胜的一方得1分，失败的一方不得分；②若其中一队的累计得分先达到5分及以上，则赢得比赛的最终胜利，比赛结束；③若单打比赛结束后还未决出最终的胜负，则进行双打比赛，每场双打比赛获胜的一方得2分，失败的一方不得分．已知每场单打比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为；每场双打比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为． (1)设5场单打比赛后，甲队的累计得分为随机变量，求的概率分布列和数学期望； (2)求决出最终胜负时，共进行了6场比赛的概率． (3)求甲队赢得最终胜利的概率． 39．(25-26高二·陕西镇安中学·期末)设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的. (1)求进入商场的1位顾客恰好购买甲、乙两种商品中的一种的概率； (2)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率； (3)设表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求的分布列、及. 40．(25-26高二上·广西桂林·期末)学校举行数学知识竞赛，每班派出一个由两名同学组成的参赛队参加比赛，比赛分为初赛和决赛，规则如下：初赛由参赛队中一名同学答题3次，若3次都未答对，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少答对一次，则该队进入决赛.决赛由该队的另一名同学答题3次，每次答对得3分，未答对得0分，该队的比赛成绩为决赛的得分总和. 某班参赛队由甲、乙两名同学组成，设甲每次答题答对的概率为，乙每次答题答对的概率为，且每次答题相互独立. (1)若，甲同学参加初赛，求该班进入决赛的概率； (2)若，，乙同学参加初赛，记该班的比赛成绩为，求的分布列和数学期望； (3)设，，为使得该班的比赛成绩为9分的概率最大，应如何安排甲、乙出场比赛的顺序？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高二数学下学期常考题型归纳 【专项训练07：二项分布 超几何分布 正态分布】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：二项分布的均值与方差的性质】 1．(25-26高二·新疆实验中学·期中)若随机变量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为随机变量满足，且， 所以，整理得到，所以， 即，解得，则，所以. 2．（多选）某智能分拣站的分拣机器人每次分拣包裹的正确率为0.9，现共有200个包裹需要依次分拣，每个包裹分拣正确与否相互独立，设随机变量为分拣正确的包裹数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题意易得即可判断A；利用二项分布的期望及方差即可判断BC；根据即可确定D． 【详解】根据题意易得，A正确； ，B正确，C错误； ，D正确. 3．(25-26高二·北京第五十五中学·期中)若离散型随机变量，则______，______. 【答案】 2 4 【详解】二项分布，期望，方差. 这里，. ，. 由方差性质， . 4．(25-26高二·江苏南京金陵中学·期中)已知随机变量，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，， 所以， 所以. 5．(25-26高二下·北京西城区北京师范大学附属中学·期中)某位飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.9，设X为该运动员连续射击3次的中靶次数，则X的期望和方差分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】根据题意可知， 得到，，故B正确. 【题型2：二项分布的最大概率问题】 6．(25-26高二下·湖南长沙周南中学·)某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，若是唯一的最大值，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】利用二项分布概率公式，通过为唯一最大值需满足且，列不等式组求解正整数. 【详解】依题意，， 由是唯一的最大值，得，即， 则，整理得，解得， 而，因此. 7．(25-26高二·北京丰台区·期中)为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生30名和女生20名作为样本，设事件“了解deepseek”，“学生为女生”，据统计， ，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取20名学生，设其中了解“deepseek”的学生人数为，则当取得最大值时的 值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据条件概率公式求得，然后根据二项分布概率公式构造不等式组，求解即可. 【详解】已知， ， 又抽取男生30名和女生20名，所以. 根据条件概率公式，可得. 再根据条件概率公式，可得. 所以随机变量， 令， 解得， 因为，所以当时，取得最大值. 8．(24-25高二下·江苏宿迁泗洪县·期中)已知一篮球爱好者每次投篮投进的概率均为，若该篮球爱好者进行投篮训练20次，则该篮球爱好者投篮最有可能投进的次数为（   ） A．12或13 B．13 C．13或14 D．14 【答案】C 【分析】根据二项分布得到不等式组，求出答案. 【详解】设投进次数为，则， 故，， 由，， 则，， 解得， 又，故或14， 该篮球爱好者投篮最有可能投进的次数为13或14 9．(25-26高二·浙江台州十校联盟·期中)2026年是丙午马年，某平台推出数字马年互动抽奖活动，每次抽奖抽中“6点幸运码”的概率为（）.小明参与活动累计抽奖次，最终恰好抽中6次“6点幸运码”，但未记录总抽奖次数.设随机变量表示抽奖次时抽中“6点幸运码”的次数，现以使得最大的值估计总抽奖次数（若有多个使概率最大，则取其中最小值），并计算.下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．与6的大小关系不确定 【答案】A 【分析】先求得的表达式，由此列不等式，结合数学期望的知识确定正确答案. 【详解】由题意，服从二项分布， 则，要使最大， 则且 ，解得， 又，所以当为整数时，，； 当不为整数时，，，故. 10．(25-26高二上·黑龙江哈尔滨第三中学校·期中)为研究不同性别学生对“deep seek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件“了解deep seek”，“学生为女生”，据统计， ，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取30名学生，设其中了解deep seek的学生的人数为X，则当取得最大值时的（）值为（   ） A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】B 【分析】先根据条件概率公式求得，然后根据二项分布概率公式构造不等式组，求解即可. 【详解】已知， ，抽取男生和女生各50名，所以. 根据条件概率公式，可得. 再根据条件概率公式，可得. 所以随机变量， 令，解得， 因为，所以当时，取得最大值. 故选：B 【题型3：超几何分布的均值与方差的性质】 11．(25-26高二下·重庆渝北中学校·期中)在5件工艺品中，有2件二等品，3件一等品，现从中抽取3件，设抽得二等品件数为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得随机变量服从超几何分布， 所以，故可得. 12．(25-26高三上·江苏南京金陵中学·月考)袋中有大小、形状完全相同的 8 个白球、4 个黑球，现从中随机地连续抽取 3 次，每次取 1 个球，若每次抽取后都不放回，设取到白球的个数是 X，且，则 Y 的数学期望______． 【答案】5 【分析】先分析出的可能取值，再利用超几何分布求每个取值的概率，再用数学期望公式求出，进而求得. 【详解】X 的可能取值为 0 ，1 ，2 ，3， ，， ，， 则， 所以 ． 故答案为：5. 13．(24-25高二下·河南商丘·)（多选）袋中有8个大小相同的球，其中3个黑球、5个白球.现从中任取4个球，记这4个球中黑球的个数为，则（    ） A．随机变量服从超几何分布 B． C． D．记这4个球中白球的个数为，则 【答案】ABD 【分析】对于A，根据超几何分布的定义即可求解；对于B，求出和即可求解；对于C，根据即可求解；对于D，根据即可求解. 【详解】对于A，超几何分布的定义为从含个成功元素中无放回抽取个，成功次数服从超几何分布，符合定义，故A正确； 对于B，， ，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，所以，故C错误； 对于D，因为，故D正确. 故选：ABD. 14．(24-25高二下·辽宁沈阳重点高中联合体·期中)袋中有大小、形状完全相同的8个白球、4个黑球，现从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，若每次抽取后都不放回，设取到白球的个数是X，且，则Y的数学期望（   ） A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】C 【分析】求出X的可能取值和对应的概率，利用期望公式求出，进而求出. 【详解】X的可能取值为0,1,2,3， ，，， ， 则， 所以． 故选：C 15．(23-24高二下·云南昭通水富第一中学·月考)（多选）下列说法正确的有（    ） A．若随机变量X的数学期望，则 B．若随机变量Y的方差，则 C．将一枚硬币抛掷3次，记正面向上的次数为X，则X服从二项分布 D．从7男3女共10名学生中随机选取5名学生，记选出女生的人数为X，则X服从超几何分布 【答案】ACD 【分析】根据离散型随机变量的期望，方差的性质，可判断正确，错误；根据二项分布的概念可判断正确；根据超几何分布的概念可判断正确. 【详解】对于，因为，故正确； 对于，因为，故错误； 对于，根据二项分布的概念可知随机变量服从，故正确； 对于，根据超几何分布的概念可知服从超几何分布，故正确. 故选：. 【题型4：二项分布与超几何分布的应用题型】 16．(25-26高二下·湖南邵阳邵阳县第二高级中学·期中)某学院为了调查本校学生年月“健康上网”（健康上网是指每天上网不超过两个小时）的天数情况，随机抽取了名本校学生，统计他们在该月天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组：，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示. (1)根据频率分布直方图，求出这名学生中健康上网天数超过天的人数，以及估计上网天数的样本数据的平均数和中位数； (2)现从这名学生中任取名，设为取出的名学生中健康上网天数超过天的人数，求的分布列及均值. 【答案】(1)（人），平均数，中位数为 (2) 均值 【分析】（1）直接根据频率分布直方图计算样本的平均数及中位数可得； （2）根据随机变量服从超几何分布，从而可得分布列及期望. 【详解】（1）由图可知，健康上网天数未超过天的频率为. 所以健康上网的天数超过天的人数是（人）. 频率分布直方图中的平均数 设频率分布直方图中的中位数为，因为前三组的频率和为，前四组的频率和为， 所以中位数在第四组中，得：， 整理得： （2）因为名学生中健康上网天数超过天的人数有人， 随机变量的所有可能的取值为，且服从超几何分布，所以有： ，，， 所以Y的分布列为 所以的均值. 17．(25-26高二下·河北衡水第二中学·期中)某人工智能模型进行指令识别训练，每次识别成功的概率为，失败的概率为，各次识别相互独立.现对该模型进行5次独立测试，设识别成功的次数为随机变量. (1)求在第二次识别成功的条件下，5次中恰有3次识别成功的概率； (2)求的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 4 5 . 【分析】（1）先定义对应随机事件，分析交事件含义为第二次固定识别成功，剩余四次恰好两次成功，据此用独立概率和组合公式算出联合概率，再结合第二次识别成功的基础概率，套用条件概率公式求出结果. （2）先判断随机变量服从二项分布，确定取值范围，利用二项分布概率公式依次算出每个取值对应的概率，列出分布列，再直接用二项分布期望公式计算数学期望. 【详解】（1）设事件：第二次识别成功；事件：次中恰有3次识别成功. 则事件：第二次识别成功，且5次中恰有3次识别成功，即除第二次外，剩余4次中恰有2次识别成功. 所以. 因为，所以. （2）由题意，得，且的所有可能取值为， 则， ， ， ， ， . 所以的分布列为 0 1 2 3 4 5 . 18．(25-26高二下·重庆渝北中学校·期中)某商家为了推销新生产的玩具，举行抽奖活动.玩具有外观和内饰的颜色区别，现有25个不同的玩具，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 内饰外观 红色内饰 蓝色内饰 黄色外观 10 2 绿色外观 10 3 (1)若小华从这些玩具中随机拿一个玩具，记事件为小华取到黄色外观的玩具，事件为小华取到红色内饰的玩具，求，和； (2)该商家规定在一次抽奖中，每人可以从这些玩具中随机一次性拿两个玩具，现有两种抽奖方案： 方案一：每人参加一次抽奖活动.若拿到的两个玩具外观和内饰都异色，则获得一等奖800元；若拿到的两个玩具外观和内饰均为同色，则获得二等奖500元；若拿到的两个玩具仅外观或内饰同色，则获得三等奖300元. 方案二：每人参加三次抽奖活动.每次抽奖若拿到的两款玩具外观和内饰均为同色，获得奖金500元，否则没有奖金. 设方案一中每人获得奖金金额为X元，方案二中每人获得奖金金额为Y元.请写出X的分布列及求出X，Y的期望，并通过期望比较哪种方案获奖金额更高. 【答案】(1)，，， (2) 800 500 300 ，，方案二获奖金额更高. 【分析】（1）通过条件概率公式、概率乘法公式以及事件和概率公式即可求解； （2）通过古典概型求出X的分布列及其期望，根据二项分布求出的期望即可得结果. 【详解】（1），， ， （2）方案一中，可取800，500，300. 则， ， ， 的分布列： 800 500 300 . 方案二中，记每人三次抽奖中获奖次数为， 因为每次抽奖条件相同且独立，所以服从二项分布. 设一次抽奖的获奖概率为，则，所以， 可得中奖次数的期望为. 根据题设，，则. ，故方案二获奖金额更高. 19．(25-26高二下·广西柳州民族高级中学·期中)2025年1月下旬，DeepSeek的R1模型发布，该模型在全球范围内引发广泛关注.现为了对其产品用户的使用行为进行统计分析，收集了1000名用户的每日使用时长（单位：分钟），得到如下所示的频率分布直方图，每日使用时长不小于60分钟的用户称为“忠实粉丝”. (1)求的值； (2)现采用分层抽样的方法从样本中使用时长在的用户中随机抽取7人，并从中随机抽取2人作进一步分析，记为2人中忠实粉丝的人数，求的分布列和期望. (3)用样本的频率估计概率，从该产品所有用户中抽取5人，为忠实粉丝的人数，记时对应的概率为，则为多少时最大？ 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）根据频率之和为1即可求解； （2）根据超几何分布的概率求解分布列，即可求解； （3）根据二项分布以及组合数的计算即可求解. 【详解】（1）由，解得. （2）由频率分布直方图可知，[40,60）与[80,100）的用户数之比为3：4， 所以用分层抽样抽取的7人中，有4人是忠实粉丝，从7人中任取2人，取0，1，2， ， 所以的分布列为 0 1 2 所以 （3）用样本的频率估计概率，从所有用户中任取1人，他为忠实粉丝的概率为 所以 ， 解得：，又，故时概率最大 20．(25-26高二下·河南信阳普通高中·期中)某科技园区对园区内8家初创企业的研发投入与专利申请数量进行调研，得到如下数据： 企业 A B C D E F G H 研发投入x（万元） 200 500 800 1000 1500 2000 2500 3000 专利申请数y（件） 2 4 6 5 7 8 9 10 (1)从这8家企业中随机抽取1家，记事件M：抽到的企业“研发投入不超过1500万元”；事件N：抽到的企业“专利申请数超过6件”． (ⅰ)求条件概率的值； (ⅱ)判断事件M与N是否相互独立，并说明理由． (2)现在要从这8家企业中随机抽取3家进行重点扶持．记其中专利申请数大于6件的企业数为随机变量X，求X的分布列和数学期望． 【答案】(1)(ⅰ)；(ⅱ)事件M与N不相互独立，理由见解析； (2)分布列见解析，． 【分析】(1)(ⅰ)根据表格数据整理样本点，求出事件M和积事件的概率，再利用条件概率公式：求出条件概率； (ⅱ)根据条件概率判断方法，若积事件的概率等于概率的积，即则两个事件独立，反之不独立，由此进行判断事件M与N是否相互独立． (2)由题意可得知，随机变量X服从超几何分布，即，根据超几何分布概率公式：，求出X的分布列和数学期望． 【详解】（1）(1)(ⅰ)由题意知，事件M：研发投入不超过1500万元，包含企业A，B，C，D，E，共5家；事件N：专利申请数超过6件，包含企业E，F，G，H，共4家． 所以只有企业E． 所以，． 所以． (ⅱ)由(ⅰ)可知； 因为，；故； 显然； 因此事件M与事件N不相互独立． （2）由题意可知：专利申请数大于6件的企业有4家，从中随机抽取3家， 则X的取值可以是0，1，2，3；即； ；； ；. X的分布列为： X 0 1 2 3 P X的数学期望：． 【题型5：正态分布曲线的性质】 21．(25-26高二·上海复旦大学附属中学·期中)已知随机变量服从正态分布，若在内取值的概率为，则在内取值的概率为________. 【答案】/ 【详解】随机变量服从正态分布， 所以，曲线关于对称， , . 22．(25-26高二·上海建平中学·期中)在一次满分为100分的数学考试中，学生的数学成绩服从正态分布.已知，则从中任选一名学生的数学成绩超过90分的概率为_________. 【答案】/ 【分析】利用正态分布的对称性来求解不同区间的概率. 【详解】由题意可得，所以正态分布关于对称， 由对称性可知，， 又易知，所以. 23．(25-26高二·天津耀华中学·期中)已知正态分布，若，则（    ） A．0.6 B．0.4 C．0.2 D．0.1 【答案】C 【详解】得，所以， 所以，所以. 24．(25-26高二下·云南师范大学附属中学·期中)已知随机变量，若，则（   ） A．0.6 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】C 【分析】根据题意，求得，结合正态分布的曲线的对称性，即可求解. 【详解】由随机变量，可得正态分布的均值为，其图象关于对称， 则，所以. 25．(25-26高三上·浙江杭州第四中学·期中)（多选）已知某地社交媒体用户的日活跃时长（单位：小时）服从正态分布，则（    ） A．， B．若，则 C． D． 【答案】BCD 【分析】根据正态分布知识和对称性分别求解． 【详解】对于A，因为（单位：小时）服从正态分布，，， 根据正态分布知识，，，故A错误； 对于B，若，则，得，故B正确； 对于C，， 根据原则，可得，故C正确； 对于D，， ， 由对称性可知， 所以，故D正确． 故选：BCD． 【题型6：正态分布求概率】 26．(25-26高二·湖南长沙南雅中学等校·)（多选）某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进．部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验．记表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”．改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是（ ） 附：若，则 . A． B． C． D．取得最大值时，的估计值为53 【答案】BCD 【分析】根据概率的性质以及条件概率的计算公式，即可求解AB，根据正态分布的对称性，即可求解C，利用二项分布，结合单调性即可求解D. 【详解】对于A，依题意，经智能检测系统筛选合格的条件下，通过人工抽检合格的概率 大于直接进入人工抽检合格的概率，即，A错误； 对于B，由A中结论可得，得， 又， 于是，即， 因此，即，则，B正确； 对于C， ，C正确； 对于D，， 设， 由， 解得，， 由，解得，即， 所以取得最大值时，的估计值为53，D正确. 27．(25-26高二下·广西柳州民族高级中学·期中)某次考试有10000人参加，若他们的成绩近似服从正态分布，则分数在之间的考生约有（    ）（参考数据：若，则有， A．1359人 B．1569人 C．2719人 D．3409人 【答案】A 【详解】由成绩近似服从正态分布，得， 则 ， 则，所以分数在之间的考生约有1359人. 28．(25-26高二·浙江台州十校联盟·期中)某市高二学生参加2026年4月期中考试，数学成绩近似服从正态分布，全市共有10000名考生，据此估计，该市期中考试数学分数介于75到115之间的人数为（   ） 参考数据：若，则，，. A．6636 B．8186 C．8400 D．9759 【答案】C 【详解】由已知， 所以， 故数学分数介于75到115之间的人数为. 29．(24-25高二下·云南“美美与共”民族中学联盟·)据统计，某市高三男生的身高X（单位：）近似服从正态分布，则在全市10000名高三男生中，身高不在之间的人数大约是（   ） 参考数据：，， A．216 B．221 C．237 D．241 【答案】D 【分析】根据三段区间的概率及对称性求概率，进而估计人数. 【详解】身高不在的概率为或， 所以，人数大约是人. 故选：D 30．(24-25高二下·辽宁实验中学·期中)对一个物理量做n次测量，最后结果的误差，为使误差在的概率不小于0.9973，则至少要测量______次．（若，则） 【答案】32 【分析】利用正态分布的三段区间概率公式及性质计算即可. 【详解】由误差，得， 由误差在的概率不小于0.9973，得， 因此，解得，于是，解得， 所以至少要测量32次. 故答案为：32 【题型7：正态分布的应用题型】 31．(24-25高二下·宁夏石嘴山第三中学·期中)某校组织本校2000名学生进行针对性检测（检测分为初试和复试），并随机抽取了100名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示． (1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；（同一组数据用该区间的中点值作代表） (2)若所有学生的初试成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，，初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数、（四舍五入精确到整数）． 附：若随机变量X服从正态分布，则， ，． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平均数的求法计算即可； （2）根据原则以及正态分布的对称性计算. 【详解】（1）设样本平均数的估计值为， 则. 所以，样本平均数的估计值为62. （2）由（1）可知，样本平均数的估计值， 所以， 则 所以，估计能参加复试的人数为 32．(24-25高二下·云南昆明第三中学·期中)某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.每个人闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分前400名发放奖励. (1)假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获得奖励，请说明理由； (2)丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪. 附：若随机变量，则；；. 【答案】(1)甲能够获得奖励，理由见详解 (2)乙所说为假 【分析】（1）由，且，计算，求出前400名参赛者的最低得分，与甲的得分比较即可； （2）假设乙所说为真，由计算，求出，利用小概率事件即可得出结论． 【详解】（1）甲能够获得奖励，理由如下： 设此次闯关活动的分数记为. 由题意可知，因为， 且， 所以，则；而， 且， 可知前400名参赛者的最低得分高于，而甲的得分为270分， 所以甲能够获得奖励. （2）假设乙所说为真，则， ， 而，所以，从而， 而， 所以为小概率事件，即丙的分数为430分是小概率事件，可认为其一般不可能发生，但却又发生了，所以可认为乙所说为假. 33．(24-25高二下·福建三明六校·期中)小张每周都去同一家商店购买一箱苹果，该商店的售货员说出售的每箱苹果的平均质量是5000克，上下浮动不超过100克.根据售货员的表述转化为数学理想模型是该商店所出售的每箱苹果的质量服从期望为5000克，标准差为100克的正态分布. (1)若随机变量服从正态分布，从的所有取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量服从正态分布. （i）若该售货员所说属实，则小张从该商店随机购买25箱苹果，记这25箱苹果的平均质量为，求. （ii）若小张每周都会将从该商店买来的苹果按箱进行称重并记录，25周后，得到的数据都在内，计算出这25箱苹果质量的平均值为4938.77克.小张举报了该商店，从概率的角度说明小张举报该商店的理由. (2)若该售货员所说属实，则现从该商店随机抽取100箱苹果，记这100箱苹果中质量在内的箱数为，求的方差.（结果保留两位小数） 附：①若随机变量服从正态分布，则，，； ②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生. ③参考数据：，，， ， 【答案】(1)（i）；（ii）理由见解析； (2). 【分析】（1）（i）根据已知，应用特殊区间的概率及正态分布的对称性求；（ii）根据（i）结果及已知小概率事件的定义得结论； （2）设该大型超市所出售的每箱苹果的质量为，且，应用特殊区间的概率求得，进而有并应用二项分布的方差公式求方差. 【详解】（1）（i）依题意得，，所以. 设，因为， 则； （ii）由（i）得. 因为小张计算出这25箱苹果质量的平均值为4938.77克，且， 所以，则小张购买的这25箱苹果质量的平均值为4938.77克属于小概率事件， 小概率事件基本不会发生，这就是小张举报该超市的理由. （2）设该大型超市所出售的每箱苹果的质量为，则. 设，由， 得 ， 根据题意，得随机变量，故. 34．(24-25高二下·宁夏银川永宁县上游高级中学·期中)高中生坚持跑操有利于增强体质．某高中实践活动小组经过调查所在学校学生坚持跑操的次数与综合体测成绩等信息，得到如下数据：该学校有的学生每月平均坚持跑操的次数超过40次，这些学生中，综合体测成绩达到“及格”等级的概率为，而每月平均坚持跑操的次数不超过40次的学生的综合体测成绩达到“及格”等级的概率为． (1)若从该学校任意抽取一名学生，求该学生综合体测成绩达到“及格”等级的概率； (2)已知该实践活动小组的6名学生中有4名学生综合体测成绩达到“及格”等级，从这6名学生中抽取2名学生，记为抽取的这2名学生中综合体测成绩达到“及格”等级的人数，求随机变量的分布列和数学期望． (3)经统计：该校学生综合体测得分近似服从正态分布，若得分，则综合体测成绩达到“优秀”等级，假设学生之间综合体测成绩相互独立．现从该校所有学生中抽取40名学生，记为这40名学生中综合体测成绩达到“优秀”等级的人数，求的数学期望及方差．（结果四舍五入保留整数） 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，， 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)数学期望为6，方差为5 【分析】（1）设出事件，利用全概率公式计算；（2）利用超几何分布求分布列，利用期望定义计算期望；（3）利用正态分布求得 ，得到，然后利用二项分布的期望公式和方差公式计算. 【小题1】事件“抽取1名学生每月平均坚持跑操的次数超过40次”， 则“抽取1名学生每月平均坚持跑操的次数不超过40次”， 事件“抽取1名学生综合体测成绩达到“及格”等级” ， 由全概率公式： ， ∴从该学校任意抽取一名学生，该学生综合体测成绩达到“及格”等级的概率为； 【小题2】的可能取值为0，1，2 ， ， ，， ∴的分布列为： 0 1 2 ； 【小题3】由题意得，， ， ，， ∴的数学期望为6，方差为5. 35．(24-25高二下·福建福州第十一中学·期中)冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮．某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高二年级12个班学生中每班随机选出5名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”测试成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格．若高二年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”，否则该年级体能达标为“不合格”，需要加强锻炼． (1)已知某班级的5名学生中，甲、乙2位同学体能预测不合格，从这5名学生中抽取2名，记X为抽取的2名学生中体能合格的人数，求随机变量X的分布列 (2)为了加强锻炼，甲、乙两位同学计划每天开展跳绳比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用五局三胜制（一方获胜三局则本轮比赛结束）．假设甲同学每局比赛获胜的概率均为，求甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜的条件下，前2局比赛均获胜的概率； (3)经过一段时间的体能训练后，该校再次进行了体能检测，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布．已知，请估计该校高二年级学生该次体能检测是否合格?附：． 【答案】(1)分布列见解析 (2) (3)高二年级学生体能检测合格 【分析】（1）由题意有服从超几何分布，利用超几何分布即可求解； （2）利用条件概率公式即可求解； （3）利用正态分布的区间即可求解. 【详解】（1）由题意的可能取值为， 所以， 所以的分布列为 1 2 （2）令事件表示“甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜”，事件表示“甲以获胜”，事件表示“甲以获胜”，事件表示“甲前2局比赛均获胜”， 所以， 所以， ， 所以； （3）由已知有，所以， 所以 ， 所以高二年级学生体能检测合格. 【题型8：三大分布的综合题型】 36．(25-06高二下·福建莆田第一中学·)某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由个元件组成时设备正常运行的概率，表示控制系统由个元件组成时设备正常运行的概率）. (1)若，当时，求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和数学期望，并求； (2)已知设备升级前，单位时间的产量为件，每件产品的利润为元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是元.记设备升级后单位时间内的利润为（单位：元）. ①请用表示； ②设备升级后，已知该企业现有控制系统中有个元件（此时该系统处于正常运行），若增加个元件，则单位时间内的期望利润是否提高？ 【答案】(1) 期望为， (2)①②若，增加个元件后利润提高； 若时，增加2个元件后利润没有提高. 【分析】（1）由题意可知，利用二项分布求解即可求得期望，根据互斥事件的和事件的概率公式求解； （2）①先写出升级改造后单位时间内产量的分布列，求出设备升级后单位时间内的利润，即为； ②分以下三种情况讨论：（i）原系统中至少有个元件正常工作；（ii）原系统中恰好有个元件正常工作，新增个元件中至少有个正常工作；（iii）原系统中恰好有个元件正常工作，新增个元件全部正常工作，再对三种情况进行求和，得到，计算，与作比较，再根据判断即可. 【详解】（1）因为，所以控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为、、、， 因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为，所以， 所以， ， ， ， 所以控制系统中正常工作的元件个数的分布列为 控制系统中正常工作的元件个数的数学期望为， . （2）①升级改造后单位时间内产量的分布列为 产量 0 设备运行概率 所以升级改造后单位时间内产量的期望为， 所以 产品类型 高端产品 一般产品 产量（单位：件） 利润（单位：元） 2 1 设备升级后单位时间内的利润为，即. ②若增加个元件，则第一类：原系统中至少有个元件正常工作，其概率为； 第二类：原系统中恰好有个元件正常工作，新增个元件中至少有个正常工作， 其概率为； 第三类：原系统中恰好有个元件正常工作，新增个元件全部正常工作， 其概率为. 所以 ， 则， 所以当时，，即增加个元件设备正常工作的概率变大； 当时，，即增加个元件设备正常工作的概率没有变大. 又因为， 所以当时，增加个元件后利润提高；当时，增加个元件后利润没有提高. 37．(25-26高二下·河北沧州部分校·)某校在高中三个年级中抽取个学生进行体能测试，且这人中高一年级的学生有人，将这个学生编号为，，，，并按照编号从小到大进行测试，直到所有学生测试完毕. (1)求2号学生为高一学生的概率（用与表示）； (2)若，，记随机变量为最后一个被测试的高一学生的编号，求； (3)若个学生中高二学生和高三学生的人数分别为，，求高二学生先于高一学生和高三学生被测试完（高二学生被全部测试完时，高一学生和高三学生都有剩余）的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据全概率公式即可求解； （2）随机变量的取值为，，，，，，，分别计算概率，利用期望公式即可求解； （3）分为最后一个学生为高一学生和最后一个学生为高三学生两种情况，分别求出符合题意的排序情况，再求出总的排序情况，根据古典概率公式即可求解. 【详解】（1）设事件：第号学生为高一学生， 则 . （2）根据题意，随机变量的取值为，，，，，，， 则，， ，， ，， ， 所以的分布列为： 4 5 6 7 8 9 10 所以. （3）①若最后一个学生为高一学生，有种方法， 先将全部高三学生排在此高一学生前面，共种方法， 再将全部的高二学生一个一个地排入，确保最后一个高二学生后面有高一学生和高三学生，共有种方法， 最后将剩余的个高一学生一个一个地排入，共有种方法. 综上所述， 共有种方法； ②若最后一个学生为高三学生，有种方法， 先将全部高一学生排在此高三学生前面，共种方法， 再将全部的高二学生一个一个地排入，确保最后一个高二学生后面有高一学生和高三学生，共有种方法， 最后将剩余的个高三学生一个一个地排入，共有种方法， 综上所述，共有种方法. 综合①②，得高二学生先于高一学生和高三学生被测试完（高二学生被全部测试完时，高一学生和高三学生都有剩余）有种方法， 所以所要求的概率为. 38．(25-26·江苏南京外国语学校·期中)已知甲、乙两个乒乓球队之间组织友谊赛，比赛规则如下：①每个队各组织五名队员进行五场单打比赛，每场单打比赛获胜的一方得1分，失败的一方不得分；②若其中一队的累计得分先达到5分及以上，则赢得比赛的最终胜利，比赛结束；③若单打比赛结束后还未决出最终的胜负，则进行双打比赛，每场双打比赛获胜的一方得2分，失败的一方不得分．已知每场单打比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为；每场双打比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为． (1)设5场单打比赛后，甲队的累计得分为随机变量，求的概率分布列和数学期望； (2)求决出最终胜负时，共进行了6场比赛的概率． (3)求甲队赢得最终胜利的概率． 【答案】(1)的分布列为： 0 1 2 3 4 5 (2) (3) 【分析】（1）先确定甲队得分服从二项分布，再应用二项分布的概率公式求解每个概率值，最后计算期望即可； （2）分情况讨论5场单打后的比分，计算每种情况的概率，再求和即可； （3）甲队获胜分三类：单打获胜、单打未获胜后又赢一场双打或第一场双打未赢第二场双打赢或两场双打赢，将三种情况概率相加即可. 【详解】（1）由已知可得，则的可能取值为0，1，2，3，，4，5，对应的概率为： ，， ，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 5 数学期望. （2）决出最终胜负时，共进行了6场比赛，则进行5场比赛后，可能的比分为， 最后一场的获胜者一定是原来的领先方，可分为以下两种： ①前5场比赛中，乙队:甲队是或，第六场乙获胜，结束比赛， 则； ②前5场比赛中，甲队:乙队是或，第六场甲获胜，结束比赛， 则； 则决出最终胜负时，共进行了6场比赛的概率为. （3）甲队赢得最终胜利分为以下几种： ①甲前5场直接获胜，则； ②甲在前5场未决出胜负，进行一场双打即可获胜， 则； ③甲在前5场未决出胜负，进行两场双打中需连续打赢两场或第一场未赢第二场赢即可获胜， 则 ， 依题意可知，最多进行两场双打即可分出胜负， 则甲队赢得最终胜利的概率为. 39．(25-26高二·陕西镇安中学·期末)设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的. (1)求进入商场的1位顾客恰好购买甲、乙两种商品中的一种的概率； (2)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率； (3)设表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求的分布列、及. 【答案】(1)0.5 (2)0.8 (3)分布列见解析，2.4，0.48 【分析】（1）根据给定条件，利用对立事件、互斥事件、相互独立事件的概率公式计算作答.（2）根据给定条件，利用对立事件、相互独立事件的概率公式计算作答.（3）求出的所有可能值，利用二项分布求出概率分布列和期望作答. 【详解】（1）事件表示“顾客购买甲种商品”，事件表示“顾客购买乙种商品”， 则：，. 由题意可知，与相互独立，故，. 购买一种商品包含“买甲不买乙”和“买乙不买甲”，即，且这两个事件互斥，因此：. （2）“至少购买一种”的对立事件是“两种都不买”，即. 所以:. （3）由题意可知，表示3位顾客中至少购买一种商品的人数，每位顾客“至少买一种”的概率为， 故（二项分布）. ①分布列 二项分布概率公式： 分布列： 表格 0 1 2 3 0.008 0.096 0.384 0.512 ②期望 二项分布期望公式： ③方差 二项分布方差公式： . 40．(25-26高二上·广西桂林·期末)学校举行数学知识竞赛，每班派出一个由两名同学组成的参赛队参加比赛，比赛分为初赛和决赛，规则如下：初赛由参赛队中一名同学答题3次，若3次都未答对，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少答对一次，则该队进入决赛.决赛由该队的另一名同学答题3次，每次答对得3分，未答对得0分，该队的比赛成绩为决赛的得分总和. 某班参赛队由甲、乙两名同学组成，设甲每次答题答对的概率为，乙每次答题答对的概率为，且每次答题相互独立. (1)若，甲同学参加初赛，求该班进入决赛的概率； (2)若，，乙同学参加初赛，记该班的比赛成绩为，求的分布列和数学期望； (3)设，，为使得该班的比赛成绩为9分的概率最大，应如何安排甲、乙出场比赛的顺序？ 【答案】(1) (2)的分布列见解析，数学期望为 (3)为使得该班的比赛成绩为9分的概率最大，当时，应安排乙初赛，甲决赛；当时，应安排甲初赛，乙决赛. 【分析】（1）结合对立事件的概率公式及独立重复试验的概率计算即可. （2）确定随机变量的可能取值，分类计算概率，列出分布列，计算数学期望即可. （3）分别求出“甲初赛，乙决赛”和“乙初赛，甲决赛”的概率，比较大小即可. 【详解】（1）已知甲每次答题答对的概率为，则甲每次答题答错的概率为. 因为甲答题3次是相互独立事件，所以甲3次都未答对的概率为. 该班进入决赛的对立事件是甲3次都未答对， 所以该班进入决赛的概率为. （2）已知乙同学参加初赛，若乙3次都未答对，则该班被淘汰，比赛成绩为0分；若乙至少答对一次，则进入决赛，决赛由另一名同学答题3次，每次都答对得3分，未答对得0分， 乙初赛答对概率，甲决赛答对概率. 的可能取值为0，3，6，9. ①乙初赛全错或乙初赛至少答对1次但甲决赛全错. . ②乙初赛至少答对1次，甲决赛答对1次. . ③乙初赛至少答对1次，甲决赛答对2次. . ④乙初赛至少答对1次，甲决赛答对3次. . 所以该班的比赛成绩的分布列为 0 3 6 9 数学期望为. （3）成绩为9分的条件：初赛选手至少答对1次，决赛选手3次全答对. 甲初赛，乙决赛：. 乙初赛，甲决赛：. . 因为，所以. 又，，所以，所以. 当时，，此时，即，故乙初赛，甲决赛时，成绩为9分的概率更大； 当时，，此时，即，故甲初赛，乙决赛时，成绩为9分的概率更大； 综上，为使得该班的比赛成绩为9分的概率最大，当时，应安排乙初赛，甲决赛；当时，应安排甲初赛，乙决赛. 1 学科网（北京）股份有限公司 $