精品解析：福建厦门市集美区集美实验学校等校2025-2026学年下学期八年级数学期中质量监测试卷

2025-2026学年（下）集美实验学校 八年级数学期中质量监测试卷 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题（本大题有10小题，每小题4分，共40分） 1. 若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的四组线段中，不能构成直角三角形的一组是（ ） A. 3，4，5， B. 6，7，8 C. 5，12，13 D. 1，，2 3. 下列关系中，是菱形具有的性质但不是平行四边形具有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 两组对边分别平行 C. 对角线互相平分 D. 两组对角分别相等 4. 如图，A，B两地被池塘隔开，小明在外选一点C，连接，分别取的中点D，E，为了测量A，B两地间的距离，则可以选择测量线段（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，，都在直线上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，的面积为4，则点到的距离为（ ） A. 4 B. 2 C. 12 D. 10 8. 某教材《阅读与思考》中的部分内容如下： 科学家如何测算岩石的年龄 你知道科学家如何测算岩石的年龄吗？解决这个问题时也用到函数这个数学工具． 1903年，英国物理学家卢寒福通过实验证实，放射性物质放出射线后，这种物质的质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢．物质所剩的质量与时间成某种函数关系，如图为表示镭的放密射规律的函数图象． 某数学社团通过查阅资料，了解到放射性物质的质量减为原来的一半所用的时间是一个不变的量，我们把这个时间称为此种放射性物质的半衰期．结合镭的放射规律的函数图象，下列说法不正确的是（ ） A. 镭所剩质量与时间成函数关系 B. 当时间为4860年时，的值为 C. 镭的半衰期是1620年 D. 镭缩减为所用的时间大约是6480年 9. 如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P是直线BD上一动点，连接PC，当PC+的值最小时，线段PD的长是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，E是边上一点，F是延长线上一点，连接交对角线于点G，连接，若，，则（　　） A. α B. C. D. 二、填空题（第11题每小题2分，12-16题每小题4分，共26分） 11. 计算： （1）___________； （2）___________； （3）___________． 12. 若一个多边形的内角和与外角和之和是，则该多边形的边数是______． 13. 如图，公路和互相垂直，点B和的中点D被一个湖泊隔开，若公路的长为10千米，则B，D两点之间的距离为______． 14. 某款汽车行驶前油箱中装满汽油70升，行驶途中每行驶1百公里耗油6升，那么该款汽车油箱中的剩余油量y（升）与它所行驶的路程x（百公里）之间的函数关系式是______（不必写取值范围） 15. 《算法统宗》记载古人丈量田地的诗：“昨日丈量地回，记得长步整三十．广斜相并五十步，不知几亩及分厘．”其大意是：昨天丈量了田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽和对角线之和为50步．不知该田有几亩？请你帮他算一算，该田有____亩．（1亩平方步） 16. 如图，已知一个矩形纸片，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点P为边上的动点，将沿折叠得到，连接、．则下列结论中： ①当时，四边形为正方形；②当时，的面积为15；③当P在运动过程中，的最小值为；④当时，．其中结论正确的有______． 三、解答题（本大题有9小题，共84分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在中，已知点和点分别在和上，且，求证：四边形是平行四边形． 20. 已知函数． （1）画出该函数图象； （2）若点在函数图象上，求点的坐标． 21. 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O． （1）在CD边上求作点E，使得BE＝DE；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，延长EO交AB于点F，连接DF，求证：四边形BEDF是菱形． 22. 在中，，，所对的边分别为a，b，c． 定义：若，则称是“完全三角形”． （1）求证：完全三角形是直角三角形； （2）在中，，若，判断是否为完全三角形，并说明理由． 23. 综合与实践： 【问题情境】： 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，，与，边分别交于，两点，易证得． 证明思路：如图2，将延长至点，使，连接，可证，再证，故． 【知识应用】 （1）如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，，与，边分别交于，两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．． 【拓展提升】 （2）若四边形是长与宽不相等的矩形，点为中点且平分，如图4，试判断，和之间的数量关系并给出证明． 24. 观察下列各式： ， ， ． 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： （1）___________． （2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式． （3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）． 25. 如图1，四边形中，对角线，互相垂直平分，过A作于H交于K，延长至M，作的平分线，交于E，交于F． （1）判断四边形的形状并证明； （2）如图2，连接，判断与的数量关系，并说明理由； （3）补全图形：延长，交延长线于G，延长，交延长线于I，探究当时，比较和的大小关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年（下）集美实验学校 八年级数学期中质量监测试卷 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题（本大题有10小题，每小题4分，共40分） 1. 若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据二次根式的意义，可知其被开方数为非负数， 因此可得x-2≥0，即x≥2. 故选D 2. 下列长度的四组线段中，不能构成直角三角形的一组是（ ） A. 3，4，5， B. 6，7，8 C. 5，12，13 D. 1，，2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的条件能否构成直角三角形，从而求解即可； 【详解】解：A、∵， ∴能组成直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵， ∴不能组成直角三角形，故此选项符合题意； C、∵， ∴能组成直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵， ∴能组成直角三角形，故此选项不符合题意． 故选：B． 3. 下列关系中，是菱形具有的性质但不是平行四边形具有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 两组对边分别平行 C. 对角线互相平分 D. 两组对角分别相等 【答案】A 【解析】 【详解】解：对角线互相垂直、两组对边分别平行、对角线互相平分、两组对角分别相等的四条性质中，对角线互相垂直是菱形具有但平行四边形不具有，其余三条性质是菱形和平行四边形都具有的. 4. 如图，A，B两地被池塘隔开，小明在外选一点C，连接，分别取的中点D，E，为了测量A，B两地间的距离，则可以选择测量线段（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中位线定理可得，即可得到解答． 【详解】解：是的中点，是的中点， 是的中位线， ， ， 即为了测量A，B两地间的距离，则可以选择测量线段， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，属于基础题，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵与不是同类二次根式，不能合并，∴A错误． ∵，∴B错误． ∵，∴C正确． ∵，∴D错误． 6. 已知点，，都在直线上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 根据一次函数的性质可进行求解． 【详解】解：由可知：，则有随的增大而增大， ∵点，，都在直线上，且， ∴； 故选：B． 7. 如图，的面积为4，则点到的距离为（ ） A. 4 B. 2 C. 12 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线间的距离处处相等，可知点  到  的距离等于点  到  的距离，即  的高，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：设点  到  的距离为  ，   点  到  的距离等于点  到  的距离，均为  ， ， ，  ，  ， ∴点  到的距离为2． 8. 某教材《阅读与思考》中的部分内容如下： 科学家如何测算岩石的年龄 你知道科学家如何测算岩石的年龄吗？解决这个问题时也用到函数这个数学工具． 1903年，英国物理学家卢寒福通过实验证实，放射性物质放出射线后，这种物质的质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢．物质所剩的质量与时间成某种函数关系，如图为表示镭的放密射规律的函数图象． 某数学社团通过查阅资料，了解到放射性物质的质量减为原来的一半所用的时间是一个不变的量，我们把这个时间称为此种放射性物质的半衰期．结合镭的放射规律的函数图象，下列说法不正确的是（ ） A. 镭所剩质量与时间成函数关系 B. 当时间为4860年时，的值为 C. 镭的半衰期是1620年 D. 镭缩减为所用的时间大约是6480年 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据函数图象获取信息，根据函数图象以及题意，逐项分析判断，即可求解． 【详解】A．由函数定义可得，镭所剩质量与时间成函数关系，故该选项正确，不符合题意； B．由图象可得，当时间为4860年时，的值为，故该选项正确，不符合题意； C．根据题意，结合图象可得镭的半衰期是1620年，故该选项正确，不符合题意； D．镭缩减至需一个半衰期，缩减至需两个半衰期，缩减至需三个半衰期，缩减至需四个半衰期，缩减至需五个半衰期，即（年），故该选项不正确，符合题意； 故选D． 9. 如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P是直线BD上一动点，连接PC，当PC+的值最小时，线段PD的长是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先过P作PE⊥BC于E，连接AP，根据△ABP≌△CBP可得AP＝CP，当点A，P，E在同一直线上时，AP+PE最短，此时，PC+的值最小，再根据含30°角的直角三角形的性质进行计算，即可得到线段PD的长． 【详解】解：如图，过P作PE⊥BC于E，连接AP， 由菱形ABCD，可得AB＝CB，∠ABP＝∠CBP＝∠ADP＝30°， ∴△ABP≌△CBP，BP＝2PE， ∴AP＝CP， ∴PC+＝AP+PE， ∵当点A，P，E在同一直线上时，AP+PE最短， ∴此时，PC+的值最小，AP⊥AD， ∵Rt△ABE中，AB＝2， ∴BE＝1，AE＝， ∴Rt△BEP中，PE＝， ∴AP＝， ∵∠ADP＝30°， ∴Rt△ADP中，PD＝2AP＝， 故选：A． 【点睛】此题主要考查菱形内的线段求解，解题的关键是熟知菱形的对称性及含30°的直角三角形的性质． 10. 如图，在正方形中，E是边上一点，F是延长线上一点，连接交对角线于点G，连接，若，，则（　　） A. α B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据正方形的性质证明 ，得到，，证得是等腰直角三角形，过作，交于，然后证明，得 ，再根据等腰三角形的性质得 ，利用三角形的外角定义即可解决问题，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形为正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 过作，交于， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形外角定义，解题的关键是掌握以上知识点． 二、填空题（第11题每小题2分，12-16题每小题4分，共26分） 11. 计算： （1）___________； （2）___________； （3）___________． 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】由二次根式乘法运算、二次根式除法运算及二次根式性质求解即可． 【详解】解：（1）； 解：（2）； 解：（3）． 12. 若一个多边形的内角和与外角和之和是，则该多边形的边数是______． 【答案】4 【解析】 【分析】设该多边形的边数为，根据“内角和与外角和之和是”列方程求解． 【详解】解：设该多边形的边数为， 根据题意得，． 解得． ∴该多边形的边数是4． 13. 如图，公路和互相垂直，点B和的中点D被一个湖泊隔开，若公路的长为10千米，则B，D两点之间的距离为______． 【答案】5千米 【解析】 【分析】利用直角三角形斜边上的中线性质来求解B和D之间的距离即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵点D是的中点，千米， ∴千米． 14. 某款汽车行驶前油箱中装满汽油70升，行驶途中每行驶1百公里耗油6升，那么该款汽车油箱中的剩余油量y（升）与它所行驶的路程x（百公里）之间的函数关系式是______（不必写取值范围） 【答案】 【解析】 【分析】先根据行驶路程和单位耗油量表示出总耗油量，再利用剩余油量等于原有油量减去总耗油量，即可推导出所求函数关系式． 【详解】解：由题意可得，该汽车行驶百公里的总耗油量为升，油箱原有油量为升，根据题意，得， 整理得． 15. 《算法统宗》记载古人丈量田地的诗：“昨日丈量地回，记得长步整三十．广斜相并五十步，不知几亩及分厘．”其大意是：昨天丈量了田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽和对角线之和为50步．不知该田有几亩？请你帮他算一算，该田有____亩．（1亩平方步） 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，利用方程思想求得矩形的宽是解答本题的关键． 根据勾股定理求得长方形的宽，然后由长方形的面积公式即可解答． 【详解】解：设该矩形的宽为x步，则对角线为步， 由勾股定理，得， 解得， 故该矩形的面积为（平方步）（亩）． 故答案是：2． 16. 如图，已知一个矩形纸片，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点P为边上的动点，将沿折叠得到，连接、．则下列结论中： ①当时，四边形为正方形；②当时，的面积为15；③当P在运动过程中，的最小值为；④当时，．其中结论正确的有______． 【答案】①② 【解析】 【分析】由矩形的性质得到，由折叠的性质得到，，，得到四边形为矩形，推出四边形为正方形，即可判断①；过点作于点，根据题意得到，，根据折叠的性质和矩形性质推出，根据直角三角形性质得到，利用即可判断②；连接，根据三角形三边关系得到，推出当时，取得最小值，利用勾股定理得到，根据，即可判断③；根据已知条件推出、、三点共线，利用平行线性质和折叠的性质，结合等量代换得到，推出，根据勾股定理算出，推出即可判断④． 【详解】解：①四边形为矩形， ， 将沿折叠得到， ，，， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形，故①正确； ②过点作于点， 点，点，， ，， ，， ， ， ， 的面积为，故②正确； ③连接， ，，当时，取得最小值， ，， ， ， 的最小值为，故③错误； ④， ， ， ， 、、三点共线， ， ， ， ， ， ， ， ，故④错误； 综上所述，结论正确的有①②， 故答案为：①②． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形三边关系，折叠的性质，勾股定理，三角形的面积的计算，30度所对直角边等于斜边的一半，熟练掌握相关性质并灵活运用即可解题． 三、解答题（本大题有9小题，共84分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：      【小问2详解】 解： 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查分式的化简求值，正确计算分式的混合运算是代入计算的前提．先将括号内的两项通分并按照同分母分式相减，再将除法化为乘法约分化简结果，最后将m的值代入计算． 【详解】解： 当时，则原式 19. 如图，在中，已知点和点分别在和上，且，求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 即 ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 根据平行四边形的性质可得，，即可得出，结合，根据线段的和差即可得出，即可证得结论． 【详解】略 20. 已知函数． （1）画出该函数图象； （2）若点在函数图象上，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据列表、描点、连线的步骤画出函数的图象即可； （2）把点代入，求出的值即可得点的坐标． 【小问1详解】 解：列表如下： x ⋯ 0 1 ⋯ y ⋯ 0 2 4 ⋯ 【小问2详解】 解：把点代入，得： ， 解得， ∴点． 21. 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O． （1）在CD边上求作点E，使得BE＝DE；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，延长EO交AB于点F，连接DF，求证：四边形BEDF是菱形． 【答案】（1）如图，点E即为所求； （2）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，OD=OB， ∴∠EDO=∠FBO， ∵∠DOE=∠BOF， ∴△DOE≌△BOF（ASA）， ∴DE=BF， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∵DE=BE， ∴四边形BEDF是菱形． 【解析】 【分析】（1）作线段BD的垂直平分线即可； （2利用矩形的性质得到∠EDO=∠FBO，证明△DOE≌△BOF（ASA），推出DE=BF，得到四边形BEDF是平行四边形，进而得到四边形BEDF是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】此题考查了矩形的性质，菱形的判定定理，作线段的垂直平分线，正确掌握各定理并进行推论论证是解题的关键． 22. 在中，，，所对的边分别为a，b，c． 定义：若，则称是“完全三角形”． （1）求证：完全三角形是直角三角形； （2）在中，，若，判断是否为完全三角形，并说明理由． 【答案】（1） 证明：由题意得，设， ∴， ∴， ∴完全三角形是直角三角形； （2） 是完全三角形，理由如下： ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理得：， ∴， 解得：或（舍）， ∴， 设 ∴， ∴（舍负）， ∴， ∴是完全三角形， 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，因式分解的应用，利用完全平方公式计算，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由勾股定理逆定理求解即可； （2）先由勾股定理得到，而，则，代入得到，整理并因式分解得到或（舍），再由勾股定理即可求求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 综合与实践： 【问题情境】： 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，，与，边分别交于，两点，易证得． 证明思路：如图2，将延长至点，使，连接，可证，再证，故． 【知识应用】 （1）如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，，与，边分别交于，两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．． 【拓展提升】 （2）若四边形是长与宽不相等的矩形，点为中点且平分，如图4，试判断，和之间的数量关系并给出证明． 【答案】（1）成立， 证明：如图，将绕点顺时针旋转得到． ， ∴，，，， ∵， ． ，，三点共线． ， ， ，， ， ， ； （2）结论：． 证明：延长，交于点，如图： 四边形是矩形， ， ， 平分， ， ， 在和中，， ． ， ． 【解析】 【分析】（1）将绕点顺时针旋转得到，根据旋转的性质得到，推出M、B、E三点共线，再证明，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）延长，交于点，先得到，再证明，即可解决． 【详解】略 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的判定，正确作出辅助线是解决此题的关键． 24. 观察下列各式： ， ， ． 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： （1）___________． （2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式． （3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知，探索发现变化规律，写出答案，并验证即可； （2）根据发现规律，写出第n个式子即可； （3）根据规律计算即可． 本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是找出规律． 【小问1详解】 解：① ； ② ； ③ ， 故． 故答案为： ． 【小问2详解】 解：∵①； ②； ③． ………… ∴按照上面各等式反映的规律，第个等式（为正整数）为 ． 【小问3详解】 解：． 25. 如图1，四边形中，对角线，互相垂直平分，过A作于H交于K，延长至M，作的平分线，交于E，交于F． （1）判断四边形的形状并证明； （2）如图2，连接，判断与的数量关系，并说明理由； （3）补全图形：延长，交延长线于G，延长，交延长线于I，探究当时，比较和的大小关系，并说明理由． 【答案】（1） 四边形是菱形， 证明：四边形中，对角线，互相垂直平分， 四边形是菱形； （2） ， 理由：由（1）知四边形的形状是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴，即， ∴， ∵的平分线，交于E， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； （3）当时，；当时，；当时， 理由：当时，；当时，；当时， 如图 设，由（2）可得 ∵四边形是菱形； ∴ ∴ ∵ ∴ 当时，即，是等腰直角三角形，则 ∴ 即当时，； 当时，则 ∴ ∵，则 ∵， ∴，即 ∴； 当时，同理可得，． 综上所述，当时，；当时，；当时，． 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定与性质、直角三角形的性质、角平分线的定义、等腰直角三角形的判定与性质、 （1）利用菱形的判定可得结论； （2）先利用菱形的性质，，根据直角三角形斜边中线性质得到，利用垂直定义和等腰三角形的性质推导出，根据角平分线的定义和角的运算得到，进而得到是等腰直角三角形即可得出结论； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $