专题11 导数与函数的极值、最值（高效培优讲义）数学人教B版选择性必修第三册

专题11 导数与函数的极值、最值 教学目标 1．理解极值与极值点的概念，掌握极值的判定方法与求解步骤。 2．区分极值与最值的差异，知道连续函数在闭区间上必有最值。 3．会求函数在闭区间上的最大值与最小值，掌握比较极值与端点值的方法。 4．明确导数为0是极值的必要条件，理解左右导数变号才是充要条件。 教学重难点 重点：极值的判定与求解、函数在闭区间上最值的求法。 难点：区分极值与最值，理解极值点的导数符号变化，处理含参极值问题。 知识点1极值点与极值 1.极值点与极值 （1）极小值点与极小值 若函数在点的函数值比它在点_________其他点的函数值都小，且_________,而且在点附近的左侧_________,右侧_________,就把叫做函数的_________,叫做函数的_________. （2）极大值点与极大值 若函数在点的函数值比它在点_________其他点的函数值都大，且_________,而且在点附近的左侧_________,右侧_________，就把叫做函数的_________,叫做函数的_________. （3）极大值点、极小值点统称为极值点;极大值、极小值统称为极值. 注意：函数可以有多个极大值和极小值，例如：函数在上有无数多个极大值和极小值. 2.函数极值的求法 解方程,当时: （1）如果在附近的左侧;右侧,那么是_________; （2）如果在附近的左侧,右侧,那么是_________ 极值点与极值的区别：①函数的极值点是指函数取得极值时对应点的_________,而不是点:极值是函数在极值点处取得的函数值,即函数取得极值时对应点的_________. ②极值点一定在区间的内部端点不可能为极值点. 3.导数与极值的关系 一般来说,""是“函数在点处取得极值”的_________条件.若可导函数在点处可导,且在点处取得极值,那么;后之若,则不一定是函数的极值点.函数在点处取得极值的充要条件是.且在左、右两侧的符号_________. 【即学即练】 1．函数的极大值为（    ） A．0 B．1 C．3 D．4 2．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．函数在上单调递减 B．是函数的极小值点 C．是函数的极大值点 D．是函数的极大值 知识点2函数的最大(小)值 1.最值的存在性：一般地,如果在区间上函数的图象是一条_________的曲线,那么它必有最大值与最小值. 最值与极值的区别：①函数的极值是函数在_________区间上函数值的比较；函数的最值是函数在_________区间上函数值的比较,即最大(小)值必须是整个区间上所有函数值的最大(小)者. ②函数的极值可以有_________个，但最大(小)值只能有_________个，极值只能在区间内取得，最值可以在区间端点处取得. 最值与极值的联系：如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线且只有一个极值点,那么该极值点就是_________,这里区间可以是无穷区间 2.求函数在区间上的最值的步骤： ①在区间上的极值;②将函数的各极值与_________处的函数值比较,其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 【即学即练】 3．函数在区间的最小值是（   ） A． B． C．0 D．1 4．已知函数，则当时，的最大值为（   ） A． B． C． D． 题型01 （导）函数图象与极值 【例1】已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．为的极小值点 B．恰有两个极值点 C．为的极大值点 D．恰有一个极值点 【例2】定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则函数的极大值点为___________. 【变式1-1】如图所示是的导数的图象，下列结论中不正确的是（   ） A．在区间上是增函数 B．在区间上是减函数，在区间上是增函数 C．是的极大值点 D．是的极小值点 【变式1-2】已知的导函数的图象如图所示，下列说法正确的是（    ）    A．的增区间是和 B．有4个极值点 C．的减区间是和和 D．极大值点和极小值点的个数相同 【变式1-3】已知函数，其导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．当时，函数取得最小值 B．若，则 C．函数只有一个极值点 D．当时函数取得极大值 导函数图像由正变负，原函数在该点取得极大值；导函数图像由负变正，原函数在该点取得极小值。只有导函数图像穿过 x 轴的交点才是极值点，仅相切不穿过的点不是极值点。 题型02 求函数的极值（点） 【例3】函数的极值为（   ） A． B． C． D．3 【例4】判断下列函数是否存在极值．若有，请求出极值点和极值；若没有，请说明理由． (1)； (2)． 【变式2-1】函数的极小值点是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】若函数的极大值点与极小值点分别为，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的零点和极值． 先确定函数定义域，求导并令，找出所有驻点与不可导点。逐一判断每个点左右两侧导数符号，左正右负为极大值，左负右正为极小值，严格区分极值点与极值。 题型03 已知函数的极值（点）求参数 【例5】已知函数在处有极小值，则实数的值为（   ） A．4或12 B．12 C．4 D．4或8 【例6】若函数在处有极值，则的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知函数在时取得极大值，则的极小值为__________． 【变式3-2】已知函数在处取极值，且，则的值为____. 【变式3-3】若是函数的一个极值点，则_____. 根据极值点处导数为 0、极值点在原函数上这两个条件列方程组。解出参数后，必须检验该点左右导数是否变号，排除导数为 0 但不是极值的情况。 题型04 已知极值点个数求参数 【例7】若函数有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【例8】已知函数． (1)若，判断的单调性； (2)若在上没有极值点，求的取值范围． 【变式4-1】已知函数有2个极值，则的取值范围是________. 【变式4-2】已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若没有极值点，求a的取值范围． 【变式4-3】已知函数 (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)若函数在区间内有且仅有一个极值点，求实数的取值范围. 题型05 求不含参函数的最值 【例9】函数的最小值为（   ） A． B． C．1 D．0 【例10】已知函数 在处有极值. (1)求函数的单调区间 (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【变式5-1】（多选）下列关于函数的判断正确的是（    ） A．的单调递减区间是 B．是极小值，是极大值 C．没有最小值，也没有最大值 D．有最大值，没有最小值 【变式5-2】已知函数在处取得极值为2，则在的最大值为（    ） A．4 B． C．2 D． 【变式5-3】已知函数（）在处取得极小值. (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最大值. 先求闭区间内所有极值点，计算极值与区间端点函数值。将所有数值统一比较，最大者为最大值，最小者为最小值，注意定义域对结果的限制。 题型06 根据函数的最值求参数【例11】已知函数在上有最大值，则的取值范围是__________. 【例12】已知函数． (1)若在处取得极值，求的所有极值； (2)若在上的最小值为，求的取值范围． 【变式6-1】已知函数在区间上的最小值为0，则实数的值为_________ 【变式6-2】若函数． (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)已知（为自然对数函数的底数），若在区间上的最小值为3，求实数的值． 【变式6-3】已知函数． (1)若函数在区间上单调递增，求m的取值范围； (2)设函数，若在区间上取得最小值4，求m的值． 题型07 求含参函数的极值、最值 【例13】已知函数，曲线在处的切线方程为. (1)求实数的值； (2)函数的导函数为，求函数在区间上的最小值. 【例14】函数. (1)当时，求的单调区间； (2)当时，求在区间上的最值. 【变式7-1】已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线斜率； (2)讨论函数的极值； 【变式7-2】已知函数 (1)时，求在处切线方程； (2)讨论的极值． 【变式7-3】已知函数． (1)当时，求函数在上的值域； (2)试讨论函数的极值． 题型08 恒成立问题 【例15】已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若不等式恒成立，求的最大值． 【例16】已知函数. (1)当时，求的极值点； (2)若不等式对恒成立，求a的取值范围. 【变式8-1】已知函数，若对任意恒成立，则a的最小值为（   ） A． B． C． D．0 【变式8-2】已知函数. (1)讨论的单调性. (2)若恒成立，求的值. 【变式8-3】已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)若，且当时，恒成立，求的取值范围． 将或恒成立转化为函数在区间上的最值问题。求导确定最值，建立最值不等式求解参数范围，注意分类讨论与端点取值。 题型09 零点问题 【例17】已知函数 (1)求在处的切线方程； (2)讨论在上的零点个数. 【例18】已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)若函数有两个零点，求的取值范围. 【变式9-1】若函数在区间内有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有且仅有一个零点，求的值. 【变式9-3】已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求的零点个数． 一、单选题 1．函数的极小值为（    ） A． B． C． D． 2．定义在上的函数的图象如图所示，则在上的极值点个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知函数在处有极小值，则的值为（    ） A．1或3 B．2 C．3 D．1 4．设的导函数为，且在处可导，则“是的极值点”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．若函数在其定义域内的区间内有极值点，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．是函数的极值点，则a的值为（   ） A． B． C． D． 7．已知等比数列的各项均为正数；是函数的两个极值点，则（   ） A．2026 B．2025 C．1014 D．1013 8．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数的导函数在上的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．在上单调递增 B．当时，取得极大值 C．当时，取得极小值 D．是在上的最大值 10．已知函数，，且在处取得极小值，则（    ）． A． B．仅有一个极值点 C．当时， D．当时， 三、填空题 11．函数的极值点为__________. 12．已知函数，则函数的值域为____________． 13．若为单调函数，则的最大值为________. 四、解答题 14．已知函数，且. (1)求，的值； (2)若，求函数的最大值和最小值. 15．已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若对于任意的，总有，求a的取值范围． 16．已知函数． (1)，求的单调区间； (2)若在区间上有2个极值点，求实数的取值范围． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 导数与函数的极值、最值 教学目标 1．理解极值与极值点的概念，掌握极值的判定方法与求解步骤。 2．区分极值与最值的差异，知道连续函数在闭区间上必有最值。 3．会求函数在闭区间上的最大值与最小值，掌握比较极值与端点值的方法。 4．明确导数为0是极值的必要条件，理解左右导数变号才是充要条件。 教学重难点 重点：极值的判定与求解、函数在闭区间上最值的求法。 难点：区分极值与最值，理解极值点的导数符号变化，处理含参极值问题。 知识点1极值点与极值 1.极值点与极值 （1）极小值点与极小值 若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，且,而且在点附近的左侧,右侧,就把叫做函数的极小值点,叫做函数的极小值. （2）极大值点与极大值 若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，且,而且在点附近的左侧,右侧，就把叫做函数的极大值点,叫做函数的极大值. （3）极大值点、极小值点统称为极值点;极大值、极小值统称为极值. 注意：函数可以有多个极大值和极小值，例如：函数在上有无数多个极大值和极小值. 2.函数极值的求法 解方程,当时: （1）如果在附近的左侧;右侧,那么是极大值; （2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值 极值点与极值的区别：①函数的极值点是指函数取得极值时对应点的横坐标,而不是点:极值是函数在极值点处取得的函数值,即函数取得极值时对应点的纵坐标. ②极值点一定在区间的内部端点不可能为极值点. 3.导数与极值的关系 一般来说,""是“函数在点处取得极值”的必要不充分条件.若可导函数在点处可导,且在点处取得极值,那么;后之若,则不一定是函数的极值点.函数在点处取得极值的充要条件是.且在左、右两侧的符号不同. 【即学即练】 1．函数的极大值为（    ） A．0 B．1 C．3 D．4 【答案】D 【详解】， 当或时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极大值． 故选：D 2．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．函数在上单调递减 B．是函数的极小值点 C．是函数的极大值点 D．是函数的极大值 【答案】D 【详解】由图可知时，，所以函数在上单调递增，故A错误； 由图可知时，，所以函数在上单调递增， 不是函数的极小值点，故B错误； 由B选项可知函数在上单调递增， 由图可知时，，所以函数在上单调递减， 故是函数的极大值点，是函数的极大值， 故C错误；D正确． 故选：D 知识点2函数的最大(小)值 1.最值的存在性：一般地,如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值与最小值. 最值与极值的区别：①函数的极值是函数在局部区间上函数值的比较；函数的最值是函数在整个区间上函数值的比较,即最大(小)值必须是整个区间上所有函数值的最大(小)者. ②函数的极值可以有多个，但最大(小)值只能有一个，极值只能在区间内取得，最值可以在区间端点处取得. 最值与极值的联系：如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线且只有一个极值点,那么该极值点就是最值点,这里区间可以是无穷区间 2.求函数在区间上的最值的步骤： ①在区间上的极值;②将函数的各极值与端点处的函数值比较,其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 【即学即练】 3．函数在区间的最小值是（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【详解】由题得， 所以当时，当时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在区间的最小值是. 故选：A 4．已知函数，则当时，的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，可得， 当时，；当时，； 故在上单调递增，在上单调递减， 故当时，在时取得极大值，也即最大值. 故选：B 题型01 （导）函数图象与极值 【例1】已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．为的极小值点 B．恰有两个极值点 C．为的极大值点 D．恰有一个极值点 【答案】D 【分析】详解】该图象为函数的导函数的图象. 当为0，且左右两侧符号发生变化时，该函数取得极值. 通过图象可以看出，导函数为0的点有两个，分别是在和处. 在时，导函数左右两侧符号相反，左侧为负，函数递减，右侧为正，函数递增， 所以该函数在处取得极小值. 而在处，导函数左右两侧的符号均为正，所以此处不是函数的极值点. 这说明恰有一个极值点，故ABC错误，D正确. 【例2】定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则函数的极大值点为___________. 【答案】1 【分析】详解】极大值点在导函数的零点处，且满足零点的左侧为正，右侧为负， 由导函数的图象可知，这样的极大值点为1， 故答案为：1 【变式1-1】如图所示是的导数的图象，下列结论中不正确的是（   ） A．在区间上是增函数 B．在区间上是减函数，在区间上是增函数 C．是的极大值点 D．是的极小值点 【答案】A 【分析】详解】根据图象知，当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减，故A错误，故B正确； 当时，取得极大值，是的极大值点，故C正确； 当时，取得极小值，是的极小值点，故D正确. 故选：A. 【变式1-2】已知的导函数的图象如图所示，下列说法正确的是（    ）    A．的增区间是和 B．有4个极值点 C．的减区间是和和 D．极大值点和极小值点的个数相同 【答案】A 【分析】详解】由图可知的增区间为和，减区间为和，故A正确，C错误， 所以有3个极值点分别是，故B错误，极大值点为，极小值点为，故D错误. 故选：A. 【变式1-3】已知函数，其导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．当时，函数取得最小值 B．若，则 C．函数只有一个极值点 D．当时函数取得极大值 【答案】D 【分析】详解】，由图象可知，，且当时，， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 对于A：如图是函数的大致图象，易得无最值，故A错： 对于B，当时，，由，得，故B错误； 对于C、D：有两个极值点1和2，且当时函数取得极小值，当时函数取得极大值，故C错误，D正确． 故选：D. 导函数图像由正变负，原函数在该点取得极大值；导函数图像由负变正，原函数在该点取得极小值。只有导函数图像穿过 x 轴的交点才是极值点，仅相切不穿过的点不是极值点。 题型02 求函数的极值（点） 【例3】函数的极值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】详解】由题知的定义域为，且. 当时，； 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故的极小值为，无极大值， 故选：A 【例4】判断下列函数是否存在极值．若有，请求出极值点和极值；若没有，请说明理由． (1)； (2)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【详解】（1）因为，所以． 令，解得或．当变化时，，的变化如下表． x 2 0 0 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 因此，的极小值点为，极大值点为， 当时，有极小值，且极小值为； 当时，有极大值，且极大值为． （2）因为，所以， 所以在上单调递增，所以没有极值． 【变式2-1】函数的极小值点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】详解】对函数求导得，. 令，则或. 若，则或；若，则. 所以函数在，上单调递增，在上单调递减. 所以函数的极小值点是. 故选：C. 【变式2-2】若函数的极大值点与极小值点分别为，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】详解】由，得， 则当时，；当或时，， 故在和上单调递增，在上单调递减， 所以函数的极大值点与极小值点分别为，， 则，，所以， 故选：C. 【变式2-3】已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的零点和极值． 【答案】(1) (2)函数的零点为，极小值为，没有极大值. 【详解】（1）由，得. 从而，. 故曲线在处的切线经过点，且斜率为， 故切线方程为，即. （2）函数的定义域为， 令可得，解得， 时，， 当时，， 故在上单调递减，在上单调递增. 所以的极小值，没有极大值. 先确定函数定义域，求导并令，找出所有驻点与不可导点。逐一判断每个点左右两侧导数符号，左正右负为极大值，左负右正为极小值，严格区分极值点与极值。 题型03 已知函数的极值（点）求参数 【例5】已知函数在处有极小值，则实数的值为（   ） A．4或12 B．12 C．4 D．4或8 【答案】C 【分析】详解】由函数，可得， 因为函数在处取得极小值，可得，解得或， 当时，令，解得或； 令，解得， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处有极小值，符合题意， 当时，令，可得或；令，可得， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处有极大值，不符合题意，舍去. 综上可得，. 【例6】若函数在处有极值，则的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以. 因为函数在处有极值，所以，解得. 此时当时，；当时，. 所以在上单调递增，在单调递减. 所以是函数的极大值点.故满足题意. 所以的单调递增区间是． 【变式3-1】已知函数在时取得极大值，则的极小值为__________． 【答案】0 【分析】详解】由， 由，有，可得或6． 当时，， 可得函数的单调递减区间为，单调递增区间为，， 可得是函数的极小值点，不合题意； 当时，， 可得函数的单调递减区间为，单调递增区间为，， 可得是函数的极大值点，符合题意． 可得的极小值为． 【变式3-2】已知函数在处取极值，且，则的值为____. 【答案】 【分析】详解】因为，所以， 因为函数在处取极值，且， 所以，解得或， 当，时，，，此时函数有极值点； 当，时，，此时函数在上为增函数，无极值点. 所以，，故. 【变式3-3】若是函数的一个极值点，则_____. 【答案】 【分析】详解】， 因为是函数的极值点， 所以，即， 故，所以，. 故答案为： 根据极值点处导数为 0、极值点在原函数上这两个条件列方程组。解出参数后，必须检验该点左右导数是否变号，排除导数为 0 但不是极值的情况。 题型04 已知极值点个数求参数 【例7】若函数有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】详解】由，得，从而， 则，得． 故选：B. 【例8】已知函数． (1)若，判断的单调性； (2)若在上没有极值点，求的取值范围． 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减 (2) 【详解】（1）当时，，其定义域为， ， 由，得．由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减． （2）因为， ， 当时，， 若在上没有极值点，则在上单调， 即在上恒成立，或在上恒成立． 若在上恒成立，则，解得， 若在恒成立，则，解得． 综上所述，a的取值范围为． 【变式4-1】已知函数有2个极值，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】详解】由题意的定义域为，且， 因为有2个极值，所以有2个变号零点， 令，可得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 当时，，当时，， 而，可得，解得， 故的取值范围是. 【变式4-2】已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若没有极值点，求a的取值范围． 【答案】(1)单调递减区间是和，单调递增区间是 (2) 【详解】（1）若，则， 函数定义域为， ． 当时，； 当时，； 当时，， 故的单调递减区间是和，单调递增区间是． （2）， 函数，当，即时，恒成立， 则有，单调递减，此时没有极值点，符合题意． 当时，方程有两个实数根，，不妨设， 则，． 当时，，此时在区间，上单调递减， 在区间上单调递增，所以是的极小值点，是的极大值点，不符合题意； 同理可知，当时，在区间上单调递增，上单调递减，是的极大值点，不符合题意． 综上，a的取值范围是． 【变式4-3】已知函数 (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)若函数在区间内有且仅有一个极值点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，可得， 则， 又， 所以函数在点处的切线方程为：； （2）由于， 则， 若，当时，则，所以， 则在区间上单调递增，没有极值点，舍去； 若，设，则在区间上恒成立， 所以在区间上单调递增，即在区间上单调递增， 又，， 所以在区间上有唯一的零点， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以在区间内有唯一的极值点，符合题意． 综上，实数的取值范围是． 题型05 求不含参函数的最值 【例9】函数的最小值为（   ） A． B． C．1 D．0 【答案】D 【分析】详解】. 设，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则. 令，，则， 因为在上单调递增， 所以当时，取得最小值，且最小值为0. 故的最小值为0. 【例10】已知函数 在处有极值. (1)求函数的单调区间 (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)单调增区间：；单调减区间： (2)最大值为，最小值为 【详解】（1）因为，所以， 因为在处有极值，所以， 即，解得， 故，， 令，则或， 当时，，所以在上单调递减， 当或时，，所以在和上单调递增， 所以单调增区间：，单调减区间：， （2）由（1）知，在区间上，在上单调递减， 在上单调递增，所以在处取极小值， 即， ， ， 所以最大值为，最小值为. 【变式5-1】（多选）下列关于函数的判断正确的是（    ） A．的单调递减区间是 B．是极小值，是极大值 C．没有最小值，也没有最大值 D．有最大值，没有最小值 【答案】BD 【分析】详解】对于A，由，得，当时，，是的单调递增区间，故A错误； 对于B，由A知，在，上是减函数，在上是增函数，是的极小值，是的极大值，故B正确； 对于C，D，当时，恒成立，且在上单调递增，在上单调递减，当时，取得最大值，又当时，，无最小值，故C错误，D正确． 故选：BD. 【变式5-2】已知函数在处取得极值为2，则在的最大值为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】详解】， 因为在处取得极值为2， 所以 ， 当时，，所以函数在上单调递增， 当时，，所以函数在上单调递减， 所以在处取得极值， 当时，单调递增，所以. 【变式5-3】已知函数（）在处取得极小值. (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 因在取极小值，则，解得或. 当时，，令，解得或， 当或时，；当时，， 所以在，单调递增，在单调递减，是的极大值点，不符合题意， 当时，，令，解得或， 当或时，；当时，， 所以在，单调递增，在单调递减，是的极小值点，符合题意， 因此，此时. （2）由（1）知， 所以函数在，单调递增，在单调递减， 且，，所以函数在上的最大值为. 先求闭区间内所有极值点，计算极值与区间端点函数值。将所有数值统一比较，最大者为最大值，最小者为最小值，注意定义域对结果的限制。 题型06 根据函数的最值求参数 【例11】已知函数在上有最大值，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】详解】已知函数，求导得， 令，解得或， 当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，单调递减， 因此，函数在处取得极大值， 为了使在区间上有最大值，需要同时满足以下两个条件： ①极大值点在区间内，即，解得； ②区间端点处的函数值小于等于极大值，即且，由函数的单调性可知，当时，恒成立， ，解得； 综上所述，的取值范围是. 【例12】已知函数． (1)若在处取得极值，求的所有极值； (2)若在上的最小值为，求的取值范围． 【答案】(1)极大值，极小值 (2) 【详解】（1）定义域为， 则， 由于在处取得极值，故， 则， 令，则或，函数在上均单调递增， 令，则，函数在上单调递减， 故当时，取到极大值， 当时，取到极小值； （2）由于， 当时，，仅在时等号成立，在上单调递增， 则，符合题意； 当时，则时，，在上单调递减， 时，，在上单调递增， 故，不符合题意； 当时，，在上单调递减， 故，不符合题意； 综上，可知的取值范围为. 【变式6-1】已知函数在区间上的最小值为0，则实数的值为_________ 【答案】 【分析】详解】求导得， 当时，，，则在上单调递减， 则函数的最小值为与矛盾，舍去； 当时，令，得（负根舍去）. ①若，即时，在单调递减，则函数的最小值为，矛盾，舍去； ②若，即时，在单调递减，在单调递增， 函数的最小值在处取得，即， 解得，满足. 综上，可得实数的值为. 【变式6-2】若函数． (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)已知（为自然对数函数的底数），若在区间上的最小值为3，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1），其中，则， 由导数的几何意义可得， 又， 在点处的切线方程为． （2），其中，则， ，则， 由可得，由可得， 函数在上单调递减，在上单调递增， ，解得，符合题意． 综上，． 【变式6-3】已知函数． (1)若函数在区间上单调递增，求m的取值范围； (2)设函数，若在区间上取得最小值4，求m的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）函数的定义域为. 所以. 若函数在区间上单调递增，则在区间上恒成立，即在区间上恒成立， 即在区间上恒成立. 令，则是减函数， 所以. 所以m的取值范围是. （2）函数，. 若，则恒成立，所以在区间上单调递增， 在处取得最小值，最小值为， 所以，，与矛盾，舍去； 若， 则当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 当，即时，在上单调递增，在处取得最小值，最小值为， 所以，与矛盾，舍去； 当，即时，在上单调递减，在处取得最小值，最小值为， 所以，； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得最小值，最小值为， 所以，与矛盾，舍去. 综上所述，. 题型07 求含参函数的极值、最值 【例13】已知函数，曲线在处的切线方程为. (1)求实数的值； (2)函数的导函数为，求函数在区间上的最小值. 【答案】(1) (2)当时，的最小值为；当时，的最小值为 【详解】（1）由题知， 则，得， ，将点代入切线方程得， 故. （2）由（1）知，令， 令，得或， ①当时，若，，单调递减， 故函数在区间上的最小值为； ②当时，若，，单调递减， 若，单调递增， 故函数在区间上的最小值为； 综上，当时，的最小值为； 当时，的最小值为. 【例14】函数. (1)当时，求的单调区间； (2)当时，求在区间上的最值. 【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为； (2)最大值为， 最小值为 【详解】（1）当时，，则， 由，得或，由，得， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为； （2）由，得， 由，得或， 因为，所以， 所以当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 所以的最大值为， ，， 因为，所以， 所以的最小值为. 【变式7-1】已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线斜率； (2)讨论函数的极值； 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）当时， . ，. 即曲线在处的切线斜率为. （2）. 所以. 当时，， ，. 在上单调递增，无极值； 当时， 令，解得. 当时， ，在上单调递减； 当时， ，在上单调递增 在上单调递减，在上单调递增. ， 所以在处取得极小值为，无极大值. 综上： 当时， 无极值； 当时，有极小值为，无极大值. 【变式7-2】已知函数 (1)时，求在处切线方程； (2)讨论的极值． 【答案】(1)； (2)当时，极小值，无极大值， 当时，极大值为，极小值为， 当时，无极值， 当时，极大值为，极小值为. 【详解】（1）当时， ，定义域， 由，即切点为， 求导得，代入得，即斜率， 由点斜式得，即. （2）由， 求导得：，， 当时， ， 当时，单调递减；时，单调递增， 故仅有极小值，无极大值， 当，即时， ， 和时，， 时，， 故在和单调递增，在单调递减， 故极大值为，极小值为， 当时， 恒成立， 在定义域内单调递增，无极值， 当时， ，​， 和时，，时，， 在和单调递增，在单调递减， 故极大值为，极小值为， 综上：当时，极小值，无极大值， 当时，极大值为，极小值为， 当时，无极值， 当时，极大值为，极小值为. 【变式7-3】已知函数． (1)当时，求函数在上的值域； (2)试讨论函数的极值． 【答案】(1) (2)当时，无极值；当时，处取极大值，极大值为处取极小值，极小值为. 【详解】（1）当时，,， 令，得, 在上单调减，在上单调增，处取极小值也是最小值， 又因为, 所以，函数在上的值域为； （2）， 当时，恒成立，在R上单调增，无极值； 当时，令,得 令,得， 令,得， 所以，处取极大值，极大值为 处取极小值，极小值为. 综上，当时，恒成立，在R上单调增，无极值； 当时，处取极大值，极大值为 处取极小值，极小值为. 题型08 恒成立问题 【例15】已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若不等式恒成立，求的最大值． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 【详解】（1）当时，，函数定义域为， 有， 解得，解得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）不等式恒成立， 即恒成立，即恒成立. 令，则， 当时，则，函数在上单调递增， 因为，不符合题意； 当时，由，得，则函数在上单调递增， 由，得，则函数在上单调递减， 故的最大值为， 由和，解得. 综上可得，的最大值为. 【例16】已知函数. (1)当时，求的极值点； (2)若不等式对恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1)极小值点为，极大值点为0 (2) 【详解】（1）由题意得， 当时，令，得或， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 则函数的极小值点为，极大值点为0. （2）由，得到， 因为，所以，则， 令，则， 当时，，即在区间上单调递增， 当时，，即在区间上单调递减，所以， 得到，所以，故的取值范围为． 【变式8-1】已知函数，若对任意恒成立，则a的最小值为（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】详解】由题意知对任意恒成立， 所以对任意恒成立. 记，则， 当时，；当时，； 故在上单调递增，在上单调递减， 故当时，在时取得极大值，也即最大值. 所以，故a的最小值为. 【变式8-2】已知函数. (1)讨论的单调性. (2)若恒成立，求的值. 【答案】(1)当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增． (2)． 【详解】（1）函数的定义域为 ，求导得 ， 当 时，恒有 ，即 ，故 在 上单调递增． 当 时，由 ，解得 ． 当 时， ；当 时， ． 故 在 上单调递减，在 上单调递增． 综上，当 时， 在 上单调递增； 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增． （2）由题意，对任意 ，都有 ． 若 ，由第（1）知 在 上单调递增，因 ，则当 时，， 这与 恒成立矛盾．即 不合题意，故有 ． 当 时，由第（1）可知 在 上单调递减，在 上单调递增，故 在 处取得最小值． 则 对任意 恒成立，等价于 ． 即 ， 令 ，其中 ．则 ． 当 时，，所以 ，则 在 上单调递增； 当 时，，所以 ，故 在 上单调递减． 因此 在 处取得最大值为．即对任意 ，都有 ，且等号仅在 时成立． 又题意要求对任意 ，恒有  ， 综上分析，必有 ，即 ． 下面验证 符合题意．当 时，，且 ． 由第（1）可知，此时 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 的最小值为 ．因此对任意 ，都有 ． 故． 【变式8-3】已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)若，且当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. (2) 【详解】（1）函数的定义域为，求导得 ， 当时，，故函数在上单调递减； 当时，令 ，得 ；令 ，得 ； 故函数在上单调递减，在上单调递增， 综上，当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）可知，若，则函数在上单调递减，在上单调递增； 当即时，函数在上单调递减，， 解得与矛盾，舍去； 当即时，函数在上单调递减，在上单调递增 当时取最小值，，，故得. 综上可得，的取值范围为 将或恒成立转化为函数在区间上的最值问题。求导确定最值，建立最值不等式求解参数范围，注意分类讨论与端点取值。 题型09 零点问题 【例17】已知函数 (1)求在处的切线方程； (2)讨论在上的零点个数. 【答案】(1) (2)当时，无零点；当时，个零点；当时，个零点 【详解】（1），则， 又，所以在处的切线方程为. （2）讨论函数 的零点个数，即方程的解. 当时，等价于：，令， 问题转化为直线与的交点个数. ，得，当时，，单调递减； 当 时，，单调递增；是极小值点，. 时，时， . 结合的取值讨论零点个数： 当时，与无交点， 当时，与有1个交点， 当 时，与有2个交点， 综上：当时，无零点；当时，个零点；当时，个零点. 【例18】已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)若函数有两个零点，求的取值范围. 【答案】(1)的极大值为，的极小值为 (2) 【详解】（1）当时，， 则， 令，， ，或，单调递增， ，，单调递减， 当时，取得极大值，， 当时，取得极小值，， 因此的极大值为，的极小值为. （2）函数， 令，即， 因为，所以，即 令， 则函数有两个零点转化为直线与曲线有两个交点. 又， 因为恒成立， 所以当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 则在处取得极小值，也是最小值，. 当，，，， 当，，，， 要使直线与曲线有两个交点，则， 的取值范围为. 【变式9-1】若函数在区间内有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 令， 当时，单调递增， 当时，单调递减，， 函数的图象如下图所示： 因为函数在区间内有两个零点， 所以直线与函数有两个不同的交点， 所以，所以实数的取值范围是. 【变式9-2】已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有且仅有一个零点，求的值. 【答案】(1) (2)9 【详解】（1）当时，，， 得， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）方法一：，， ， 令，，得， 故在内单调递增，又， 则当，，得，单调递减， 当，，得，单调递增， 从而在处取得极小值，同时也是最小值， 最小值为. 又当且时，，当时，， 由函数有且仅有一个零点，可得， 则a的值为9. 方法二：，， 令得， 令，， 则， 令，，得， 故在内单调递增，又， 则当，，得，单调递减， 当，，得，单调递增， 从而在处取得极小值，同时也是最小值， 最小值为. 又当且时，，当时，， 由函数有且仅有一个零点，可得， 则的值为9. 【变式9-3】已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求的零点个数． 【答案】(1)的单调递减区间为；单调递增区间为，； (2)1个． 【详解】（1）解：由题可得， 令，解得或， 令，解得；令0，解得或， 所以的单调递减区间为；单调递增区间为，． （2）解：由（1）知，在上单调递增，在上单调递减， 故在上的最大值为， 因此在上无零点 在区间上，单调递增，且，， 故在上存在唯一零点 综上，函数仅有1个零点． 一、单选题 1．函数的极小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对求导：， 因为恒成立，令，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 因此是的极小值点， ，​ 即函数极小值为. 2．定义在上的函数的图象如图所示，则在上的极值点个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】由图知，的图象在区间上依次单调递减，单调递增，单调递减，单调递增，单调递减， 结合极值点的定义知，共有4个极值点. 3．已知函数在处有极小值，则的值为（    ） A．1或3 B．2 C．3 D．1 【答案】D 【详解】因为，所以． 因为函数在处有极小值， 所以，解得或． 当时，， 当时，或，当时，， 所以在处取到极小值，符合题意； 当时，， 当时，或，当时，， 所以在处取到极大值，不符合题意． 综上，的值为1． 故选：D 4．设的导函数为，且在处可导，则“是的极值点”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】根据函数极值点的定义可知为函数的极值点，必有； 反之，当时，不一定为函数的极值点， 比如，，满足，但在R上单调递增， 即不是函数的极值点， 故“为函数的极值点”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5．若函数在其定义域内的区间内有极值点，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由， 则当时，，当时，， 所以函数的减区间为，增区间为， 则依题意有，可得， 故选：C. 6．是函数的极值点，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】求导得：， 因为是极值点，所以， 即， 代入 ​得， 在左右导数符号改变，确实是极值点，符合条件， 因此的值为. 7．已知等比数列的各项均为正数；是函数的两个极值点，则（   ） A．2026 B．2025 C．1014 D．1013 【答案】D 【详解】， 令，解得或， 所以函数的单调递增区间为和， 令，解得，所以函数的单调递减区间为， 因此是函数的两个极值点，因此， 8．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，有两个极值点， 有两个不同的实根，即有两个根. 令，则，直线与的图象有两个交点. 若直线与的图象相切，则设切点为. 由于，则切线的斜率为，∴切线方程为， 即，，解得，. ∵要使直线与的图象有两个交点，，. 二、多选题 9．已知函数的导函数在上的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．在上单调递增 B．当时，取得极大值 C．当时，取得极小值 D．是在上的最大值 【答案】BC 【详解】对于A，由题图可知时，，则单调递减，故A错误； 对于B、C，由题图易知在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，， 所以当时，取得极大值，当时，取得极小值，故B、C正确； 对于D，在上的最大值应是与中的较大者，故D错误． 10．已知函数，，且在处取得极小值，则（    ）． A． B．仅有一个极值点 C．当时， D．当时， 【答案】AC 【详解】由，得①． ，由在处取得极小值，得，即②， 联立①②，解得，． 所以，定义域为， . 当或时，； 当或时，. 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取得极大值，在处取得极小值，符合题意. 又，所以为奇函数． 对于A，，故A正确； 对于B，有一个极大值点和一个极小值点，所以B错误； 对于C，当时，， 令，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在处取得极小值，即最小值，， 因此恒成立，即恒成立，故C正确； 对于D，当时，， 当时，，，即，故D错误． 三、填空题 11．函数的极值点为__________. 【答案】1 【详解】由题意得， 令，得或（舍）， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以为的极小值点，无极大值点. 12．已知函数，则函数的值域为____________． 【答案】 【详解】当时，， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 显然当时，，因此，， 所以当时，， 当时，， 当时，单调递减， 当时，单调递增，， 显然，当时，， 当时，，当时，， 所以当时，， 所以函数的值域为， 故答案为： 13．若为单调函数，则的最大值为________. 【答案】 【详解】函数，则， 设，则， 当时，，则函数单调递增， 当时，，则函数单调递减， 当时，， 且时，，当时，， 即， 因为函数为上的单调函数，只能是在上恒成立， 所以，即， 即的最大值为. 四、解答题 14．已知函数，且. (1)求，的值； (2)若，求函数的最大值和最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1），由得：； 由得：， 联立上述两式，解该方程组得：. （2）由（1）得：，求导得：， 令，则，解得：或. 所以当或时，，当时，， 所以在和上递增，在上递减， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，. 比较得： 15．已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若对于任意的，总有，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）当时，， ，切点为， ，所以， 则切线方程为，也即． （2）， ①，此时，对所有恒成立，满足条件； ②，当时，，而， 故，不满足恒成立，排除； ③，令分子，解得， 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， 因此在处取得最大值， 由题意知，解得，所以． 综上所述，． 16．已知函数． (1)，求的单调区间； (2)若在区间上有2个极值点，求实数的取值范围． 【答案】(1)函数的单调递减区间为，单调递增区间为． (2)． 【分析】 【详解】（1）依题意，当时，，此时函数的定义域为， ， 令，即，解得； 令，即，解得； 故当时，，当时，， 故函数的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）依题意，，则， 令，得， 令，故问题转化为在区间内有两个不等根， 故，解得， 综上所述，实数的取值范围为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $