6.3 导数与函数的极值（讲义）高二数学人教B版选择性必修第三册

选修三 第六章 导数 6.3 导数与函数的极值 知识点一 函数的极值与极值点 (1)函数的极小值与极小值点 若函数在点处的函数值比它在点附近其他点的函数值都小， ′，而且在点附近的左侧，右侧， 则点叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值． (2)函数的极大值与极大值点 若函数在点处的函数值比它在点附近其他点的函数值都大， ′，而且在点 附近的左侧，右侧， 则点叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值． (3)极值与导数的关系 是极值点；反过来：是极值点， 即：是为极值点的必要非充分条件 (4)求函数的极值的一般步骤 ①确定函数的定义域； ②解方程＝0，得到驻点x0； ③判断在x0附近两侧的符号变化： 若左正右负，则x0为极大值点； 若左负右正，则x0为极小值点； 若不变号，则x0不是极值点. 即学即练 1.(24-25高二下·湖北武汉·月考)函数的极大值为(    ) A．0 B．1 C．3 D．4 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】求已知函数的极值 【分析】求出函数的导数，判断其符号后得单调性，从而得到极大值. 【详解】， 当或时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极大值． 故选：D 2.(多选)(25-26高二下·重庆·月考)已知函数，下列说法中正确的有(    ) A．函数的极大值为，极小值为 B．函数的单调增区间为 C．函数的单调减区间为 D．曲线在点处的切线方程为 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】求已知函数的极值、利用导数求函数的单调区间(不含参)、求在曲线上一点处的切线方程(斜率) 【分析】利用导数研究函数的极值、最值、单调性，利用导数的几何意义可求得曲线在点处的切线方程，根据计算结果可得答案. 【详解】因为，所以， 由，得或，由，得， 所以函数在上递增，在上递减，在上递增， 增区间不能合并，故选项C正确，选项B错误； 所以当时，取得极大值， 在时，取得极小值，故选项A正确； 因为，所以曲线在点处的切线方程为， 即，故选项D正确. 题型01 极值辨析 驻点左右的导数值是否异号. 典｜例｜精｜析 1.(24-25高二下·内蒙古赤峰·期末)函数在上(   ) A．既无极大值也无极小值 B．有极小值无极大值 C．既有极大值又有极小值 D．有极大值无极小值 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】函数极值的辨析 【分析】由可判断函数的单调性即可得出结论. 【详解】由题意恒成立，所以在上单调递增，既无极大值也无极小值. 故选：A 2.(25-26高二下·云南怒江·月考)已知定义在上的函数的导函数为，且的图象如图所示，则在上的极值点个数为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】函数(导函数)图象与极值的关系、函数极值点的辨析 【详解】由图可得在上有2个变号零点，所以在上的极值点个数为2. 3.(多选)(24-25高二上·浙江杭州·期末)下列说法错误的是(   ) A．一个函数的极大值一定大于极小值 B．曲线的切线可能与该曲线有不止一个公共点 C．函数在某个区间上的最大值，一定在极大值点处取到 D．若函数在某个区间上单调递增，则它的导函数在该区间上满足 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】函数极值的辨析、函数最值与极值的关系辨析 【分析】举例判断AB的正确性，对CD根据函数的有关性质可直接判断. 【详解】对A选项：函数的极值是局部性质，极大值与极小值的大小不定， 比如，在处有极大值，在处有极小值，极大值小于极小值，故A错误； 对B选项：函数在处的切线为，与有无数个公共点，故B正确； 对C选项：闭区间上的最大值，有可能在极大值点出取得，也由可能是在区间的端点处取得，故C错误； 对D选项：函数在某个区间上单调递增，则它的导函数在该区间上满足，故D错误. 故选：ACD 4.(23-24高二下·上海·期中)函数的驻点为________． 【答案】； 【难度】0.94 【知识点】函数极值点的辨析 【分析】求导，根据导数为0即可求解. 【详解】，令，解得， 故答案为： 极值点是“变号驻点”. 1.(24-25高二下·广东东莞·月考)已知函数，其导函数的图象如图所示，则(    )    A．有2个极值点 B．在处取得极小值 C．有极大值，没有极小值 D．在上单调递减 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数与导函数图象之间的关系、求已知函数的极值、函数极值点的辨析 【分析】根据导函数的图象得出导函数的符号分布情况，进而可得出函数的单调区间，再根据极值的定义即可得解. 【详解】由导函数的图象可知， 当时，，仅时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数只有一个极值大点，无极小值点，所以有极大值，没有极小值， 故ABD错误，C正确. 故选：C. 变｜式｜巩｜固 1.(24-25高二下·广东江门·期中)函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是(   ) A．函数在上单调递减 B．是函数的极小值点 C．是函数的极大值点 D．是函数的极大值 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、求已知函数的极值、函数极值点的辨析 【分析】根据导函数图象求出函数的单调区间，然后根据极值点和极值的概念逐项判断即可. 【详解】由图可知时，，所以函数在上单调递增，故A错误； 由图可知时，，所以函数在上单调递增， 不是函数的极小值点，故B错误； 由B选项可知函数在上单调递增， 由图可知时，，所以函数在上单调递减， 故是函数的极大值点，是函数的极大值，故C错误；D正确． 故选：D 2.(24-25高二下·山东威海·期末)设的导函数为，且在处可导，则“是的极值点”是“”的(   ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件、函数极值点的辨析 【分析】根据定义或举例判断“”和“是函数的极值点”之间的逻辑关系，即可得答案. 【详解】根据函数极值点的定义可知为函数的极值点，必有； 反之，当时，不一定为函数的极值点， 比如，，满足，但在R上单调递增， 即不是函数的极值点，故“为函数的极值点”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3.(24-25高二下·河北邢台·期末)“”是“函数在处取得极小值”的(    ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数极值点的辨析、充要条件的证明 【分析】求导，分，，讨论，判断原函数的单调性比较即可. 【详解】由题意得． 若，则当时，单调递减，当时，单调递增，在处取得极小值； 若，则在上单调递增，无极值； 若，则当时，单调递增，当时，单调递减， 在处取得极大值． 故“”是“函数在处取得极小值”的充要条件． 故选：A 4.(24-25高二下·北京·期末)已知函数与的图象如下图所示，设函数.则函数在上的极大值点个数为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、函数极值点的辨析 【分析】分析可知虚线表示的为函数的图象，实线表示的为函数的图象，求得，结合图象以及极大值点的定义可得出结论. 【详解】由图象可知，若虚线表示的为函数的图象， 当时，，则在上单调递增，与题意不符， 故虚线表示的为函数的图象，实线表示的为函数的图象，如下图所示： 因为，则， 由图可知，当时，，当时，， 当时，，当时，， 所以，函数在、上单调递增，在、上单调递减， 故函数在区间上有两个极大值点， 故选：C. 5.(多选)(25-26高二上·云南玉溪·月考)已知函数，则下列说法正确的是(   ) A．当时，有两个极值点 B．当时，的图象关于中心对称 C．当时，2是极大值点，则 D．当在R上单调时， 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】函数对称性的应用、由函数在区间上的单调性求参数、函数极值点的辨析、根据极值点求参数 【分析】特殊值法可排除A项，利用函数的对称性可判定B，利用导数研究函数的极值点可判定C，利用导函数非负结合判别式可判定D. 【详解】对于A，当时，，， 若时，，则在定义域内单调递增，无极值点，故A错误； 对于B，当时，，， 则，所以的图象关于中心对称，故B正确； 对于C项，当时，， ，因为2是的极大值点，所以， 解得或，若，则， 所以当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增，所以2是的极小值点，不符合题意； 故，则， 所以当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增，所以2是的极大值点，符合题意； 所以，，所以，故C正确； 对于D项，若在定义域R上是单调函数，则恒成立， 所以，解得，所以D错误， 故选：BC． 6.(2022高二·全国·专题练习)已知函数，则“”是“函数在处取得极小值”的______条件． 【答案】充分不必要 【难度】0.65 【知识点】函数极值点的辨析、判断命题的充分不必要条件 【分析】求出函数的导数，分类探讨其极值情况，再结合充分条件、必要条件的定义判断作答. 【详解】函数定义域为R，求导得：则， 当时，，函数单调递增，无极值点， 当或时，当或时，，当时，， 则在处取得极小值， 当时，当或时，，当时，， 函数在处取得极大值， 所以“”是“函数在处取得极小值”的充分不必要条件． 故答案为：充分不必要 题型02 求导求驻点判断驻点左右导数正负判断是否极值点求出极值. 典｜例｜精｜析 1.(24-25高二上·湖南怀化·期末)函数的极值为(   ) A． B． C． D．3 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】求已知函数的极值 【分析】根据函数极值的定义求解即可. 【详解】由题知的定义域为，且. 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故的极小值为，无极大值， 故选：A 2.(25-26高二下·北京·月考)已知是函数的极小值点，那么函数的极大值为(   ) A． B．1 C．4 D．5 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求已知函数的极值、根据极值点求参数 【分析】先根据是函数的极小值点求出的值，再列出表格求出的极大值 【详解】， 又是函数的极小值点，，. 经检验符合题意.. 令，，列表如下 极大值 极小值 的极大值为 3.(多选)(24-25高二下·全国·课后作业)关于函数，下列说法正确的是(    ) A．它的极大值为，极小值为 B．当时，它的最大值为，最小值为 C．它的单调递减区间为 D．它在点处的切线方程为 【答案】ACD 【难度】0.94 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程(斜率)、利用导数求函数的单调区间(不含参)、求已知函数的极值、由导数求函数的最值(不含参) 【分析】求导判断函数单调性，进一步可判断函数极值以及它在闭区间上的最值情况即可判断ABC，由导数的几何意义可判断D. 【详解】函数，． 由，得或，此时函数单调递增； 由，得，此时函数单调递减，C正确； 当时，函数取得极大值， 当时，函数取得极小值，A正确； 当时，单调递增，它的最大值为， 最小值为，B错误； ，，它在点处的切线方程为，D正确． 故选：ACD. 4.(24-25高二下·河北邢台·月考)函数的极值点为_______，极值为_______． 【答案】 2 【难度】0.85 【知识点】求已知函数的极值点、求已知函数的极值 【分析】根据导函数得出其单调性即可求出极值. 【详解】易得， 当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极小值点，极小值为． 故答案为：； 注意：“变号”. 1.(24-25高一下·北京·期末)下列函数中，存在极小值的是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、求已知函数的极值 【分析】对于AC，由指数函数、对数函数单调性判断即可；对于BD，求导判断函数单调性，进一步得极小值情况即可. 【详解】对于AC，因为对数函数、是增函数，故它们都不存在极小值，故AC错误； 对于B，，求导得， 或，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最小值，故B正确； 对于D，对求导得，且不恒成立， 所以是增函数，即不存在极小值. 故选：B. 变｜式｜巩｜固 1.(23-24高二下·甘肃定西·月考)函数的极大值为(    ) A． B．0 C．e D．1 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】求已知函数的极值 【分析】求导，令，，可求得极大值. 【详解】因为，令，得时；令，得， 所以当时，函数取得极大值． 故选：D. 2.(25-26高二上·浙江宁波·期末)已知函数，则的极值为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求已知函数的极值 【分析】利用导数求极值. 【详解】函数， 则 ， 所以当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以当时，函数取得极大值. 故选： 3.(25-26高二上·广东·期末)函数的极值点个数为(    ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求已知函数的极值 【分析】对求导，通过分析的符号即可判断单调性，从而可求极值点. 【详解】根据题意知，则， 令，则可得或， 当或时，，则单调递增； 当时，，则单调递减， 所以当时取极大值，当时，取极小值，则有两个极值点. 故选： 4.(24-25高二上·江苏连云港·期末)函数的极小值为(    ) A． B． C．15 D．17 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求已知函数的极值、利用导数求函数的单调区间(不含参) 【分析】求得，得出函数的单调性，结合极值点与极值的定义，即可求解. 【详解】由函数，可得， 当时， ，函数单调递增； 当时， ，函数单调递减； 当时， ，函数单调递增， 所以是极小值点，则函数的极小值为. 故选：B. 5.(多选)(24-25高二下·江西萍乡·期中)已知函数，则(    ) A．在上单调递减 B．的极大值为0 C．的图象是轴对称图形 D．的图象关于点对称 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】判断或证明函数的对称性、用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值 【分析】A求导，解不等式、即可；B利用单调性可知；C由时；时，可判断；D计算即可. 【详解】依题意，， 则得或；得， 则在和上单调递增，在上单调递减，故A正确； 而的极大值为，故B正确； 因，结合单调性可知时；时，， 故不是轴对称图形，故C错误；， 则关于点对称，故D正确. 故选：ABD. 6.(25-26高三上·广西河池·期末)若是函数的极值点，则的极小值为_____. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数的单调区间(不含参)、求已知函数的极值、根据极值点求参数 【分析】求得，根据，得到，进而求得函数的单调性，结合极值点和极值的定义，代入计算，即可求解. 【详解】由函数， 可得， 因为是函数的极值点，可得，解得， 所以， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以当时，函数取得极小值，极小值为. 故答案为：. 题型03 图象中判断“变号驻点” 典｜例｜精｜析 1.(24-25高二下·湖北武汉·期末)函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是(   )    A．是的极小值 B．的极值点有3个 C．在区间上单调递减 D．曲线在处的切线斜率小于零 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、函数(导函数)图象与极值的关系 【分析】根据导数的几何意义与极值、极值点的定义分别判断各选项. 【详解】A选项：由导函数图象可知是函数的极小值点， 的极小值为，A选项错误； B选项： 的极值点有两个，极大值点-3，极小值点3，B选项错误； C选项：由导函数图象可知，当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减，C选项错误； D选项：由图象可知，即函数在处切线斜率小于零，D选项正确. 故选：D. 2.(24-25高二下·新疆吐鲁番·期中)如图是函数的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的是(   ) A．当时，取得最小值 B．在上单调递增 C．当时，取得极大值 D．在上不具备单调性 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数与导函数图象之间的关系、函数(导函数)图像与极值点的关系 【分析】根据图象判断的单调性，由此求得的极值点和最值，进而确定正确选项. 【详解】由图可知，在区间上,单调递减； 在区间上,单调递增. 所以当时，取不到最小值，当时，取得极大值. 所以ABD选项错误，C选项正确. 故选：C. 3.(多选)(24-25高二下·广东广州·期中)函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是(   )    A．和是函数的极值点 B．是函数的最小值点 C．在区间上单调递增 D．在处切线的斜率大于零 【答案】CD 【难度】0.85 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、函数(导函数)图像与极值点的关系 【分析】由导函数图象与原函数关系可判断选项正误； 【详解】对于A，由图可得，又在附近，的符号发生了变化， 则是的极值点；注意到，但在附近，的符号没有发生变化，则不是函数的极值点，故A错误； 对于BC，由图可得当时，，则在上单调递增， 则不是函数的最小值点，故B错误，C正确； 对于D，由图可知，，即在处切线的斜率大于零，故D正确. 故选：CD 4.(21-22高二下·北京丰台·期末)某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.每个瓶子的造价P1(单位：元)、瓶内饮料的获利P2(单位：元)分别与瓶子的半径r(单位：cm，)之间的关系如图甲、乙所示.设制造商的利润为，给出下列四个结论： ①    当时，；②    在区间上单调递减；③    在区间上存在极小值； ④    在区间上存在极小值. 其中所有正确结论的序号是_________. 【答案】①③④ 【难度】0.65 【知识点】函数(导函数)图象与极值的关系、求曲线切线的斜率(倾斜角) 【分析】根据函数在某点处的几何意义可逐一判断. 【详解】由图可知：当时，，故，故①正确； ,当时，由图象可知，在处的切线斜率大于在处的切线斜率，故，因此 在区间上单调递增，② 错； 根据图象可知：图象先快后慢，而图象先慢后快，所以可得在上的变化是先减后增，故由极小值，③正确； ，当趋近于时，在处的切线斜率明显大于在处的切线斜率，而当趋近于0时，在处的切线斜率明显大于在处的切线斜率，所以可得在上的变化是先减后增，故由极小值，故④正确. 故答案为：①③④ 变｜式｜巩｜固 1.(24-25高二下·陕西渭南·期末)已知函数的导函数图象如图所示，则(    ) A．在上单调递增 B．在处取得极大值 C．在上单调递增 D．在处取得最小值 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、函数(导函数)图象与极值的关系 【分析】根据导函数图象的符号，确定函数的单调性，根据单调性可逐项判断. 【详解】由图可知，当时，，单调递减，故A错误； 当时，，单调递增， 时，，单调递减， 所以在处取得极大值，故B正确；C错误； 时，，单调递增， 所以和处取得极小值，最小值不能确定，故D错误； 故选：B. 2.(25-26高二上·广东广州·期末)已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是(   ) A．在区间上单调递减 B．在处取得极大值 C．在区间上单调递减 D．在处取得极小值 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、函数(导函数)图象与极值的关系 【分析】根据导函数图象与函数极值、单调性关系一一分析即可. 【详解】对A，当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减，故A错误； 对B，在附近，导函数符号不变，则在处取不到极大值，故B错误； 对C，当时，此时单调递增，故C错误； 对D，由图知为附近的最低点，则在处取得极小值，故D正确. 故选：D. 3.(25-26高二上·天津·期末)已知函数的定义域为，导函数在区间上的图象如图所示，函数在上极大值点的个数为(   )    A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】函数(导函数)图象与极值的关系 【分析】根据图象分析导函数在区间上的正负，得到的单调性，即可求得极大值个数. 【详解】由图可知，当时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以在处取得极大值，是的唯一极大值点. 故选：B. 4.(23-24高二下·广西南宁·期中)如图是函数的导函数的图象，则下列命题错误的是(    ) A．函数在内，当越来越大时的图象越来越陡峭 B．2不是函数的极值点 C．在处切线的斜率小于零 D．在区间上单调递增 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求曲线切线的斜率(倾斜角)、函数与导函数图象之间的关系、函数(导函数)图像与极值点的关系 【分析】结合导函数的图象，利用导函数与原函数的关系逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，由图知，当时，函数的图象呈递增趋势，即越来越大时， 导数值越来越大，函数上的切线斜率越来越大，则其图象越来越陡峭，故A正确； 对于B，因无论从的左边还是右边接近2时，导函数的值均为正数，故2不是函数的极值点，故B正确； 对于C，由图知，，即在处切线的斜率大于零，故C错误； 对于D，由图知，当时，恒成立，故在区间上单调递增，即D正确. 故选：C. 5.(多选)(24-25高二下·安徽滁州·期中)函数的导函数的图象如图所示，则(    ) A．是极大值点 B．是极大值点 C．是极小值点 D．是极小值点 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】函数极值点的辨析、函数(导函数)图像与极值点的关系 【分析】根据图象得到，是函数的极值点，并得到函数单调性，判断出是极大值点，是极小值点. 【详解】因为，处的导数都为零，且这两点左右两侧的导数值异号，所以，是函数的极值点， 又时，，时，，所以是极大值点； 因为时，，时，，所以是极小值点. 故选：BD. 6.(19-20高二下·河南周口·月考)如图是的导函数的图象，现有四种说法． (1)在上是增函数；(2)是的极小值点；(3)在上是增函数；(4)是的极小值点. 以上说法正确的序号是_________ 【答案】(2)，(3) 【难度】0.65 【知识点】函数(导函数)图象与极值的关系、函数与导函数图象之间的关系 【解析】利用函数的导数的图象，对选项逐一判断即可. 【详解】由函数的图象可知：，， 在上不是增函数，不正确； 时，函数在递减， 在递增，是的极小值点；所以正确； 在上，函数是增函数，所以正确； 函数在递增，在递减，是的极大值点，所以D不正确． 故答案为： 【点睛】本题主要考查函数的图象的应用，导数与函数的图象的区别，函数的极值以及函数的单调性的判断，属于中档题． 题型04 是极值点； 典｜例｜精｜析 1.(24-25高二下·河南新乡·月考)若是函数的极小值点，则实数(   ) A．6 B．3 C．2 D．4 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】根据极值点求参数 【分析】求出导数，由题意得出，求出实数的值，并验证为函数的极小值点，得解. 【详解】易得，则，解得． 当时，， 所以当和时，， 当时，，故是的极小值点，符合题意．所以. 故选：B. 2.(25-26高二下·河北雄安·月考)已知是函数的极大值点，则实数(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据极值点求参数 【分析】求导得，进而分，，，四种情况讨论求解即可. 【详解】函数的定义域为，． 因为是函数的极大值点 ①若，则，在上单调递增，没有极大值点，不符合题意； ②若，令，得， 所以当时，时， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以不是函数的极大值点，不符合题意； ③若，令，得， 当时，时， 所以在上单调递增，不是函数的极大值点，不符合题意； ④若，令，得， 当时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 是函数的极大值点，符合题意． 综上，实数 . 3.(多选)(24-25高二下·山东烟台·期末)若函数在处取得极大值，则(   ) A． B． C．为的一个增区间 D．的极小值为 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数的单调区间(不含参)、求已知函数的极值、根据极值点求参数 【分析】根据极值点处导数值为0求解，可判断AB，利用导数研究函数的单调性和极值即可判断CD. 【详解】因为， 所以， 因为函数在处取得极大值， 所以，解得或， 当时，， 当或时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以当时，取极小值，不是极大值，不符合题意． 当时，， 当或时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以当时，取极大值，符合题意． 综上，，故A正确，B错误； 由上可知，，为的一个增区间， 的极小值为，故CD正确， 故选：ACD. 4.(24-25高二下·天津武清·月考)已知函数在处取得极大值，则___________． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】根据极值点求参数 【分析】对函数求导，根据极值点求得或，再代入验证是否在处取得极大值，即可得. 【详解】由题设，且， 所以或， 当，则， 故或时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 此时在处取得极大值，满足； 当，则， 故或时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 此时在处取得极大值，满足； 综上，或. 一是判断是否极值点，二是判断是极大还是极小. 1.(25-26高二上·全国·单元测试)已知函数 在处有极小值，则的值为(    ) A．1或3 B．2 C．3 D．1 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据极值点求参数 【分析】由在处有极小值可知，解出的值，并根据单调性验证可求得的值. 【详解】因为，所以 ． 因为函数在处有极小值， 所以，解得或． 当时， ， 当时，或，当时，， 所以在处取到极小值，符合题意； 当时，， 当时，或，当时，， 所以在处取到极大值，不符合题意． 综上，的值为1． 故选：D 变｜式｜巩｜固 1.(24-25高二下·云南·期中)已知是函数的极值点，则a的值是(   ) A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】根据极值点求参数 【分析】先求出导函数，再根据极值点处导数值为0，计算求参，最后代入检验即可. 【详解】因为， 由是函数的极值点，得， 经检验，时，单调递增，得， 单调递减；单调递增； 是函数的极值点，符合题意； 故选:B． 2.(25-26高二上·全国·单元测试)已知是函数的极值点，则(    ) A．－4 B．－2 C．4 D．2 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据极值点求参数 【分析】由是函数的极值点可得，求得的值再检验即可. 【详解】由函数，可得 ， 由是函数的极值点可得， 解得，经检验符合题意，所以． 故选：C. 3.(25-26高二下·天津·月考)已知函数有三个极值点，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究方程的根、根据极值点求参数 【分析】因为函数有三个极值点，所以其导函数有三个不同的变号零点，先对原函数求导，转化为方程​有三个不同实根的问题，构造函数，对求导，分析其单调性与极值，确定范围 【详解】对求导得 有三个极值点有三个不同实根，整理得​， 设， 时，，单调递减；时，，单调递增；时，，单调递减 因此的极小值为，极大值为​；且当时，时，恒大于0 要使​有三个不同实根，则. 4.(24-25高二下·湖北武汉·期中)函数的两个极值点满足，则的最大值为(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值(不含参)、利用导数研究函数的零点、根据极值点求参数、利用导数研究双变量问题 【分析】根据极值点为导函数的零点，整理变形得，然后令代入后表示出，代入目标式转化为关于的函数，利用导数求最值即可. 【详解】由题知，函数的定义域为，， 因为有两个极值点，所以，，则，① 令，因为，所以， 将代入①整理可得，， 所以， 令，则， 设，则， 因为，所以，所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以 故选：D 5.(多选)(24-25高二下·河北保定·期末)若函数的两个极值点分别为，，且，则(    ) A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】根据极值点求参数、利用导数证明不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】利用导数的零点问题来分离参变量，利用数形结合可判断AB，对于C，再利用，代入可得，从而可判断C，对于D，利用假设，再通过计算构造函数，来证明最，从而可判断D. 【详解】由题意知，在上有2个不同的根， 即等价于在上有2个不同的交点． 令，则， ， ， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又因为，，当时，，当时，， 所以当时，与在上有2个不同的交点，且，故A正确，B错误； 对于C，由题意知，， 所以 ， 又因为，所以，则，故C正确； 对于D，设，所以， 解得，，所以， 令，则， 所以在上单调递增，则 ， 所以，故D正确． 故选：ACD． 6.(25-26高二上·重庆沙坪坝·期末)若函数恰有两个极值点，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】利用导数求函数(含参)的单调区间、根据极值点求参数 【分析】根据题意，求得，令，求得或，分，，和，四种情况讨论，结合函数的单调性和极值点的定义，即可求解. 【详解】由函数，可得， 令，即，解得或， (1)当时，可得恒成立，此时方程无解，只有一个根， 函数只有一个极值点，不符合题意，舍去； (2)当时，方程，解得，此时只有一个根， 因为时，与同号，所以，单调递增，没有极值点，不符合题意，舍去； (3)若，方程有唯一的实数解， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以为函数的极大值点，是函数的极小值点，符合题意； (4)若，方程有唯一的实数解， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以为函数的极大值点，是函数的极小值点，符合题意， 综上可得，实数的取值范围为. 故答案为：. 题型04 存在极值，转化为有“变号驻点”. 典｜例｜精｜析 1.(24-25高二下·河北承德·期中)已知函数在上存在极值，则实数的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】根据极值求参数 【分析】将在上存在极值，转化为在上有变号零点，再利用二次方程的判别式求解即可. 【详解】， 因为在上存在极值，所以在上有变号零点， 所以方程有两个不同的实数根， 故，解得或. 故选：C. 2.(23-24高二下·山东淄博·月考)若函数在内无极值，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】根据极值求参数 【分析】在内无变号零点，根据函数的单调性确定最小值和最大值的范围即可求解. 【详解】函数在内无极值， 所以在内无变号零点， 根据二次函数的对称性和单调性知，在区间单调递增， 所以或即可，解得或， 故选：C. 3.(多选)(24-25高二下·广东佛山·期中)已知函数在处取得极值0，则下列说法正确的是(    ) A． B．当时， C．当时， D．过点且与曲线相切的直线有且只有一条 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】根据极值点求参数、根据极值求参数、用导数判断或证明已知函数的单调性、求过一点的切线方程 【分析】利用极值点的性质可得方程组求出，可判断A，再利用不等式放缩，结合单调性可判断BC，最后利用导数的几何意义去判断D. 【详解】求导得，则， 解得，，此时， 由于，，，， 所以满足在处取得极大值，则，故A正确； 则， 因为当时，， 所以在和上单调递增， 又因为当时，， 所以在上单调递减， 当时，，则，故B错误； 当时，，则，故C正确； 设切点为，则切线方程为， 又点在切线上，所以 ， 整理得：，解得， 所以过点且与曲线相切的直线有且只有一条，故D正确. 故选：ACD 4.(25-26高二上·上海·期中)若函数在上存在极小值，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】根据极值求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】函数为分段函数，时函数为，时函数为. 需通过导数分析两段函数的单调性，结合极小值的定义确定的范围。 【详解】(1)当时，函数，其导数，故在上单调递增，在处取得最小值1. (2)当时，函数，求导得. ①若，则，函数在上单调递增，此时整个函数在R上单调递增，无极小值; ②若，令，解得。由于，仅考虑. 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减, 故函数在时先增后减，而时函数单调递增，故整个函数在处取得极小值. 此时，实数的取值范围为 故答案为： 判断是极大还是极小. 1.(24-25高二下·河北保定·期中)已知函数在处有极小值，则(   ) A．1 B．6 C．20 D．6或20 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】组合数的计算、根据极值求参数 【分析】利用极小值求出，根据组合数公式即可求解. 【详解】由题意有， 由，解得，或. 当时，， 由有或，有. 所以在上单调递减，在单调递增， 所以的极小值点为1满足题意，此时； 当时，， 由有或，有. 所以在单调递减，上单调递增，所以为的极大值点，不满足题意. 故选：B 变｜式｜巩｜固 1.(21-22高二下·山西阳泉·期末)若函数在处取得极值1，则(   ) A．-4 B．-3 C．-2 D．2 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】根据极值求参数、根据极值点求参数 【分析】通过对函数求导，得出和的参数值，即可求出的值. 【详解】由题意，， 在中，， 在处取得极值1， ∴，解得：，经经验满足题意， ∴， 故选：D. 2.(24-25高二下·江西上饶·期末)已知函数没有极值，则实数m的取值范围为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据极值求参数 【分析】根据题意，求得，由函数没有极值，得到，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为函数没有极值，可得， 即，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 3.(25-26高二下·河北张家口·月考)若函数在处有极值，则的单调递增区间是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数的单调区间(不含参)、根据极值求参数 【详解】因为，所以. 因为函数在处有极值，所以 ，解得. 此时当时，；当时，. 所以在上单调递增，在单调递减. 所以是函数的极大值点.故满足题意. 所以的单调递增区间是． 4.(24-25高二下·上海·月考)已知函数在上存在极小值(e为自然对数的底数)，则实数a的取值范围为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】根据极值求参数、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】对函数求导并根据导函数对参数a的取值进行分类讨论，得出相对应的单调性，再由极值点定义进行验证即可求得实数a的取值范围. 【详解】因为，所以， 令，则， 所以当或时，当时，， 所以在，上单调递减，在上单调递增， 又，， 当，即时，与x轴有且只有一个交点， 不妨设交点横坐标为，则当时，即，当时，即， 即在上单调递增，在上单调递减， 此时函数在处取得极大值，无极小值，不符合题意； 当，即时，与x轴有且只有一个交点， 不妨设交点横坐标为，则当时，即，当时，即， 即在上单调递增，在上单调递减， 此时函数在处取得极大值，无极小值，不符合题意； 当时，当时，即，当时，即， 所以在上单调递增，在上单调递减， 此时函数在处取得极大值，无极小值，不符合题意； 当时，当时，即，当时，即， 所以在上单调递增，在上单调递减， 此时函数在处取得极大值，无极小值，不符合题意； 当，即时，的图像如下所示： 即与x轴有3个交点，不妨依次设为，，， 则当或时，即， 当或时，即， 所以在处取得极小值，符合题意； 综上可得实数a的取值范围为． 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用导数的符号与函数单调性的关系，对参数a的取值进行分类讨论，再结合极小值定义并检验即可得出结论. 5.(多选)(24-25高二下·安徽宣城·期末)已知函数，则(   ) A．当时，的对称中心为 B．若函数在上递增，则 C．函数的图像过定点 D．若的极大值与极小值互为相反数，且，则 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】根据极值求参数、由函数的单调区间求参数、判断或证明函数的对称性 【分析】A选项，计算出，的对称中心为，A错误；B选项，恒成立，故，解得，B正确；C选项，，故的图像过定点；D选项，当时，不合要求，当时，求出极大值为，极小值为，根据互为相反数得到方程，变形后计算出. 【详解】A选项，时，， ，， 故，故的对称中心为，A错误； B选项，若函数在上递增，则恒成立， ，解得，B正确； C选项，，故函数的图像过定点，C正确； D选项，，令得或0， ，当时，，此时无极值，舍去， 当时，，令得或， 令得， 故的极大值为， 极小值为， 令，即， 变形为，， ，又，则，D正确. 故选：BCD 6.(25-26高二上·浙江宁波·期末)已知函数在上既有最大值，又有最小值，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、根据极值求参数、已知函数最值求参数 【分析】先对函数求导，根据导数判断函数的单调性，再结合函数在给定区间既有最大值又有最小值，建立不等式，求解. 【详解】，令，即， 解得或， 要使函数在上既有最大值，又有最小值， 则必须满足两个极值点都在内，且极值点处的函数值必须为区间内的最大值和最小值； 若，此时，则需要，解得； 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 所以，，，， 则需满足，即， 解得， 所以； 若，此时，则需要，解得； 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 所以，，，， 则需满足，即，无解； 若，则恒成立，所以函数在上单调递增， 无最大值和最小值， 综上所述：的取值范围为. 故答案为： . 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 选修三 第六章 导数 6.3 导数与函数的极值 知识点一 函数的极值与极值点 (1)函数的极小值与极小值点 若函数在点处的函数值比它在点附近其他点的函数值都小， ′，而且在点附近的左侧，右侧， 则点叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值． (2)函数的极大值与极大值点 若函数在点处的函数值比它在点附近其他点的函数值都大， ′，而且在点 附近的左侧，右侧， 则点叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值． (3)极值与导数的关系 是极值点；反过来：是极值点， 即：是为极值点的必要非充分条件 (4)求函数的极值的一般步骤 ①确定函数的定义域； ②解方程＝0，得到驻点x0； ③判断在x0附近两侧的符号变化： 若左正右负，则x0为极大值点； 若左负右正，则x0为极小值点； 若不变号，则x0不是极值点. 即学即练 1.(24-25高二下·湖北武汉·月考)函数的极大值为(    ) A．0 B．1 C．3 D．4 2.(多选)(25-26高二下·重庆·月考)已知函数，下列说法中正确的有(    ) A．函数的极大值为，极小值为 B．函数的单调增区间为 C．函数的单调减区间为 D．曲线在点处的切线方程为 题型01 极值辨析 驻点左右的导数值是否异号. 典｜例｜精｜析 1.(24-25高二下·内蒙古赤峰·期末)函数在上(   ) A．既无极大值也无极小值 B．有极小值无极大值 C．既有极大值又有极小值 D．有极大值无极小值 2.(25-26高二下·云南怒江·月考)已知定义在上的函数的导函数为，且的图象如图所示，则在上的极值点个数为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 3.(多选)(24-25高二上·浙江杭州·期末)下列说法错误的是(   ) A．一个函数的极大值一定大于极小值 B．曲线的切线可能与该曲线有不止一个公共点 C．函数在某个区间上的最大值，一定在极大值点处取到 D．若函数在某个区间上单调递增，则它的导函数在该区间上满足 4.(23-24高二下·上海·期中)函数的驻点为________． 极值点是“变号驻点”. 1.(24-25高二下·广东东莞·月考)已知函数，其导函数的图象如图所示，则(    )    A．有2个极值点 B．在处取得极小值 C．有极大值，没有极小值 D．在上单调递减 变｜式｜巩｜固 1.(24-25高二下·广东江门·期中)函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是(   ) A．函数在上单调递减 B．是函数的极小值点 C．是函数的极大值点 D．是函数的极大值 2.(24-25高二下·山东威海·期末)设的导函数为，且在处可导，则“是的极值点”是“”的(   ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.(24-25高二下·河北邢台·期末)“”是“函数在处取得极小值”的(    ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4.(24-25高二下·北京·期末)已知函数与的图象如下图所示，设函数.则函数在上的极大值点个数为(    ) A． B． C． D． 5.(多选)(25-26高二上·云南玉溪·月考)已知函数，则下列说法正确的是(   ) A．当时，有两个极值点 B．当时，的图象关于中心对称 C．当时，2是极大值点，则 D．当在R上单调时， 6.(2022高二·全国·专题练习)已知函数，则“”是“函数在处取得极小值”的______条件． 题型02 求导求驻点判断驻点左右导数正负判断是否极值点求出极值. 典｜例｜精｜析 1.(24-25高二上·湖南怀化·期末)函数的极值为(   ) A． B． C． D．3 2.(25-26高二下·北京·月考)已知是函数的极小值点，那么函数的极大值为(   ) A． B．1 C．4 D．5 3.(多选)(24-25高二下·全国·课后作业)关于函数，下列说法正确的是(    ) A．它的极大值为，极小值为 B．当时，它的最大值为，最小值为 C．它的单调递减区间为 D．它在点处的切线方程为 4.(24-25高二下·河北邢台·月考)函数的极值点为_______，极值为_______． 注意：“变号”. 1.(24-25高一下·北京·期末)下列函数中，存在极小值的是(    ) A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1.(23-24高二下·甘肃定西·月考)函数的极大值为(    ) A． B．0 C．e D．1 2.(25-26高二上·浙江宁波·期末)已知函数，则的极值为(   ) A． B． C． D． 3.(25-26高二上·广东·期末)函数的极值点个数为(    ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4.(24-25高二上·江苏连云港·期末)函数的极小值为(    ) A． B． C．15 D．17 5.(多选)(24-25高二下·江西萍乡·期中)已知函数，则(    ) A．在上单调递减 B．的极大值为0 C．的图象是轴对称图形 D．的图象关于点对称 6.(25-26高三上·广西河池·期末)若是函数的极值点，则的极小值为_____. 题型03 图象中判断“变号驻点” 典｜例｜精｜析 1.(24-25高二下·湖北武汉·期末)函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是(   )    A．是的极小值 B．的极值点有3个 C．在区间上单调递减 D．曲线在处的切线斜率小于零 2.(24-25高二下·新疆吐鲁番·期中)如图是函数的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的是(   ) A．当时，取得最小值 B．在上单调递增 C．当时，取得极大值 D．在上不具备单调性 3.(多选)(24-25高二下·广东广州·期中)函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是(   )    A．和是函数的极值点 B．是函数的最小值点 C．在区间上单调递增 D．在处切线的斜率大于零 4.(21-22高二下·北京丰台·期末)某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.每个瓶子的造价P1(单位：元)、瓶内饮料的获利P2(单位：元)分别与瓶子的半径r(单位：cm，)之间的关系如图甲、乙所示.设制造商的利润为，给出下列四个结论： ①    当时，；②    在区间上单调递减；③    在区间上存在极小值； ④    在区间上存在极小值. 其中所有正确结论的序号是_________. 变｜式｜巩｜固 1.(24-25高二下·陕西渭南·期末)已知函数的导函数图象如图所示，则(    ) A．在上单调递增 B．在处取得极大值 C．在上单调递增 D．在处取得最小值 2.(25-26高二上·广东广州·期末)已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是(   ) A．在区间上单调递减 B．在处取得极大值 C．在区间上单调递减 D．在处取得极小值 3.(25-26高二上·天津·期末)已知函数的定义域为，导函数在区间上的图象如图所示，函数在上极大值点的个数为(   )    A．0 B．1 C．2 D．3 4.(23-24高二下·广西南宁·期中)如图是函数的导函数的图象，则下列命题错误的是(    ) A．函数在内，当越来越大时的图象越来越陡峭 B．2不是函数的极值点 C．在处切线的斜率小于零 D．在区间上单调递增 5.(多选)(24-25高二下·安徽滁州·期中)函数的导函数的图象如图所示，则(    ) A．是极大值点 B．是极大值点 C．是极小值点 D．是极小值点 6.(19-20高二下·河南周口·月考)如图是的导函数的图象，现有四种说法． (1)在上是增函数；(2)是的极小值点；(3)在上是增函数；(4)是的极小值点. 以上说法正确的序号是_________ 题型04 是极值点； 典｜例｜精｜析 1.(24-25高二下·河南新乡·月考)若是函数的极小值点，则实数(   ) A．6 B．3 C．2 D．4 2.(25-26高二下·河北雄安·月考)已知是函数的极大值点，则实数(   ) A． B． C． D． 3.(多选)(24-25高二下·山东烟台·期末)若函数在处取得极大值，则(   ) A． B． C．为的一个增区间 D．的极小值为 4.(24-25高二下·天津武清·月考)已知函数在处取得极大值，则___________． 一是判断是否极值点，二是判断是极大还是极小. 1.(25-26高二上·全国·单元测试)已知函数 在处有极小值，则的值为(    ) A．1或3 B．2 C．3 D．1 变｜式｜巩｜固 1.(24-25高二下·云南·期中)已知是函数的极值点，则a的值是(   ) A．1 B．3 C．5 D．7 2.(25-26高二上·全国·单元测试)已知是函数的极值点，则(    ) A．－4 B．－2 C．4 D．2 3.(25-26高二下·天津·月考)已知函数有三个极值点，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 4.(24-25高二下·湖北武汉·期中)函数的两个极值点满足，则的最大值为(   ) A． B． C． D． 5.(多选)(24-25高二下·河北保定·期末)若函数的两个极值点分别为，，且，则(    ) A． B． C． D． 6.(25-26高二上·重庆沙坪坝·期末)若函数恰有两个极值点，则实数的取值范围为__________. 题型04 存在极值，转化为有“变号驻点”. 典｜例｜精｜析 1.(24-25高二下·河北承德·期中)已知函数在上存在极值，则实数的取值范围为(    ) A． B． C． D． 2.(23-24高二下·山东淄博·月考)若函数在内无极值，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 3.(多选)(24-25高二下·广东佛山·期中)已知函数在处取得极值0，则下列说法正确的是(    ) A． B．当时， C．当时， D．过点且与曲线相切的直线有且只有一条 4.(25-26高二上·上海·期中)若函数在上存在极小值，则实数的取值范围为__________． 判断是极大还是极小. 1.(24-25高二下·河北保定·期中)已知函数在处有极小值，则(   ) A．1 B．6 C．20 D．6或20 变｜式｜巩｜固 1.(21-22高二下·山西阳泉·期末)若函数在处取得极值1，则(   ) A．-4 B．-3 C．-2 D．2 2.(24-25高二下·江西上饶·期末)已知函数没有极值，则实数m的取值范围为(   ) A． B． C． D． 3.(25-26高二下·河北张家口·月考)若函数在处有极值，则的单调递增区间是(   ) A． B． C． D． 4.(24-25高二下·上海·月考)已知函数在上存在极小值(e为自然对数的底数)，则实数a的取值范围为(   ) A． B． C． D． 5.(多选)(24-25高二下·安徽宣城·期末)已知函数，则(   ) A．当时，的对称中心为 B．若函数在上递增，则 C．函数的图像过定点 D．若的极大值与极小值互为相反数，且，则 6.(25-26高二上·浙江宁波·期末)已知函数在上既有最大值，又有最小值，则实数的取值范围为___________． 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 选修三第六章导数 6.3 导数与函数的极值 知识网络 理清脉络 A钢举朗轮 极值 若函数fx)在点x=处的函数值f(a)此它在点x=a附近其他点的函数值都小， 与极 f(@)-0,而且在点x=附近的左侧fx)<0,右侧fx)>0, 值点 (点 则点a叫做函数的极小值点，f(a叫做函数的极小值. 若函数f)在点x=处的函数值比它在点x=附近其他点的函数值都大， f(b)=0,而且在点x=b附近的左侧fx)>0,右侧fx)<0, 极值辨析 (点) 则点如叫做函数的极大值点，()叫做函数的极大值. 求函数的极值 导数与 函数图象与极值 题 极值的 x是极值点→f(xo)=0:反过来：f(x)=0xo是极值点， 的关系 已知极值点求参 型分 数与函数 识 关系 即：fxo)-0是x为极值点的必要非充分条件 ①确定函数的定义域： 数 理 ②解方程f(x)=0,得到驻点o: 求 已知极值求参数 极 ③判断f(x)在xo附近两侧的符号变化： 极 若左正右负，则为极大值点： 值 方 步 法 若左负右正，则为极小值点： 骤 若不变号，则不是极值点 知识梳理 提理表村、▲参实慕丝 ◇知识点一 函数的极值与极值点 (1)函数的极小值与极小值点 若函数f(x)在点x=a处的函数值f(@)比它在点x=a附近其他点的函数值都小， f(@)=0,而且在点x=a附近的左侧f(x)<0,右侧f(x)>0, 则点a叫做函数的极小值点，f(@)叫做函数的极小值. (2)函数的极大值与极大值点 若函数f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大， f(b)=0,而且在点x=b附近的左侧fx)>0,右侧f(x)<0, 则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值. (3)极值与导数的关系 xo是极值点→f(xo)=0:反过来：f'(xo)=0书xo是极值点， 即：f(xo)=0是xo为极值点的必要非充分条件 (④)求函数的极值的一般步骤 ①确定函数的定义域： ②解方程f(x)=0,得到驻点o: ③判断f(x)在xo附近两侧的符号变化： 第1页共11页 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 若左正右负，则xo为极大值点： 若左负右正，则xo为极小值点： 若不变号，则x不是极值点。 《◇即学即练 1.(24-25高二下湖北武汉·月考)函数f(x)=x(x-3)2的极大值为) A.0 B.1 C.3 D.4 2.(多选25-26高二下·重庆月考)已知函数f(x)=x3-4x+2,下列说法中正确的有() A.函数f)的极大值为号极小值为-号 B.函数f(x)的单调增区间为(-∞，-2)U(2,+∞) C.函数f(x)的单调减区间为(-2,2) D.曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线方程为y=-4x+2 题型突破 抓住核心 A突破重点 。题型01极值辨析 点方法 驻点左右的导数值是否异号 奥例精韧 1.(24-25高二下·内蒙古赤峰·期末)函数f(x)=x-sinx在(0，+∞)上() A.既无极大值也无极小值 B.有极小值无极大值 C.既有极大值又有极小值 D.有极大值无极小值 2.(25-26高二下·云南怒江·月考)己知定义在(a,b)上的函数f(x)的导函数为f(x),且f(x)的图象如图所示，则 f(x)在(a,b)上的极值点个数为() C.3 D.4 第2页共11页 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.(多选)24-25高二上·浙江杭州·期末)下列说法错误的是() A.一个函数的极大值一定大于极小值 B.曲线的切线可能与该曲线有不止一个公共点 C.函数在某个区间上的最大值，一定在极大值点处取到 D.若函数f(x)在某个区间上单调递增，则它的导函数在该区间上满足f(x)>0 4.(23-24高二下.上海期中)函数fx)=,x2+2x的驻点为 舞易结 极值点是“变号驻点”。 1.(24-25高二下广东东莞月考)已知函数f(x),其导函数f(x)的图象如图所示，则() A.f(x)有2个极值点 B.f(x)在x=1处取得极小值 C.f(x)有极大值，没有极小值 D.f(x)在(-∞，1)上单调递减 变丨式巩固 1.(24-25高二下·广东江门·期中)函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示，则下列说法正确的是() A.函数y=f(x)在(1,2)上单调递减 B.x=-1是函数y=f(x)的极小值点 C.x=1是函数y=f(x)的极大值点 D.f(2)是函数y=f(x)的极大值 2.(24-25高二下.山东威海·期末)设f(x)的导函数为f(x),且f(x)在x=xo处可导，则“xo是y=f(x)的极值点” 是“f'(xo)=0"的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(24-25高二下.河北邢台期末)“m>0"是“函数f(x)=x(x-m)2在x=m处取得极小值"的) 第3页共11页 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 4,(24-25高二下.北京期末)已知函数fx)与f()的图象如下图所示，设函数g()=四.则函数g(x)在(-2,4) ex 上的极大值点个数为) A.0 B.1 C.2 D.3 5.(多选25-26高二上·云南玉溪·月考)己知函数f(x)=x3-ax2+bx+1,则下列说法正确的是() A.当b=0时，f(x)有两个极值点 B.当a=0时，f(x)的图象关于(0,1)中心对称 C.当b=时，2是极大值点，则a+b=48 D.当f(x)在R上单调时，a2≥3b 6(2022高二·全国专题练习)已知函数f()=x3+(a2+1)x2+a2x+a,则“a<-1"是“函数f)在x=-1 处取得极小值”的 条件 题型突破 抓住核心 A突破重点 题型02 点方法 求导→求驻点→判断驻点左右导数正负→判断是否极值点→求出极值， 奥例引精祠 1.(2425高二上湖南怀化期末)函数f)-三x2-mx的极值为) A计号 B./3 C.21n3 D.3 2.(25-26高二下.北京·月考)已知x=1是函数f(x)=x3-3ax+3的极小值点，那么函数f(x)的极大值为) A.-1 B.1 C.4 D.5 3.(多选24-25高二下·全国课后作业)关于函数f()=x-4x+4,下列说法正确的是() 第4页共11页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.它的极大值为号极小值为专B.当xEB,时，它的最大值为号最小值为手 c.它的单调递减区间为[-2,2] D.它在点(0,4)处的切线方程为y=-4x+4 4.(24-25高二下河北邢台·月考)函数f(x)=3x4-8x3的极值点为 ,极值为 舞易绪 注意：“变号” 1.(24-25高一下北京期末)下列函数中，存在极小值的是() A.y=lgx B.y=x(x-1)(x-2) C.y=2x D.y=x+sinx 度武巩圆 1.(23-24高二下.甘肃定西月考)函数f)=nx-的极大值为) A- B.0 C.e D.1 2(25-26高二上浙江宁波期末)已知函数f0= x2-x+21 则f(x)的极值为) A B.5 7 C. .号 3.(25-26高二上广东期末)函数f(x)=x3-6x2+9x+1的极值点个数为) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 4.(24-25高二上江苏连云港·期末)函数f(x)=x3-12x+1的极小值为) A.-17 B.-15 C.15 D.17 5.(多选24-25高二下江西萍乡期中)己知函数f(x)=2x3-9x2,则() A.f(x)在(0,3)上单调递减 B.f(x)的极大值为0 C.f(x)的图象是轴对称图形 D.f()的图象关于点（很，-）对称 6.(25-26高三上广西河池·期末)若x=1是函数f(x)=(x-2)(x-1)x-a)的极值点，则f(x)的极小值为 题型突破 抓住核心 突破重点 第5页共11页 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 >题型03 点方法 图象中判断“变号驻点” 奥例精1杨 1.(24-25高二下·湖北武汉·期末)函数y=f(x)的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是() A.3是f(x)的极小值 B.f(x)的极值点有3个 C.f(x)在区间(-∞，3)上单调递减 D.曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率小于零 2.(24-25高二下·新疆吐鲁番期中)如图是函数f(x)的导函数f(x)的图象，对于下列四个判断，其中正确的是 () 45龙 A. 当x=3时，f(x)取得最小值 B.f(x)在上单调递增 C.当x=2时，f(x)取得极大值 D.f(x)在[-1,2]上不具备单调性 3.(多选24-25高二下·广东广州·期中)函数y=f(x)的导函数y=f《x)的图象如图所示，下列命题中正确的是 （) 有2101x A.-3和-1是函数y=f(x)的极值点 B.-1是函数y=f(x)的最小值点 C.y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增 D.y=f(x)在x=-三处切线的斜率大于零 2 4.(21-22高二下·北京丰台期末)某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.每个瓶子的造价P(单位：元)、瓶 内饮料的获利P单位：元)分别与瓶子的半径单位：cm,r≤5)之间的关系如图甲、乙所示.设制造商的利 润为f(=P2-P1,给出下列四个结论： 第6页共11页 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①当r∈(0，r1)时，fr)<0:②f(r)在区间(r1,5)上单调递减：③f(r)在区间(0，r1)上存在极小值： ④f')在区间(0，r)上存在极小值. 其中所有正确结论的序号是 变式1巩圓 1.(24-25高二下.陕西渭南·期末)已知函数f(x)的导函数f(x)图象如图所示，则() y=f(x) A.f(x)在(-o,-3)上单调递增 B.f(x)在x=0处取得极大值 C.f(x)在(0,2)上单调递增 D.f(x)在x=-3处取得最小值 2.(25-26高二上广东广州期末)已知函数f(x)的导函数y=f(x)的图象如图所示，则下列结论中正确的是() y=f(x) X45 A.f(x)在区间(x1,x3)上单调递减 B.f(x)在x=x5处取得极大值 C.f(x)在区间(x3,x4)上单调递减 D.f(x)在x=x6处取得极小值 3.(25-26高二上·天津.期末)已知函数f(x)的定义域为(-3,3)，导函数f(x)在区间(-3,3)上的图象如图所示， 函数y=f(x)在(-3,3)上极大值点的个数为) B.1 C.2 D.3 第7页共11页 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.(23-24高二下广西南宁，期中)如图是函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图象，则下列命题错误的是() y A.函数y=f(x)在(2，十o)内，当x越来越大时的图象越来越陡峭 B.2不是函数y=f(x)的极值点 C.y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零 D.y=f(x)在区间(-4,4)上单调递增 5.(多选24-25高二下.安徽滁州·期中)函数f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示，则() Xa b A.x1是极大值点 B.x2是极大值点 C.x3是极小值点 D.x4是极小值点 6.(19-20高二下·河南周口·月考)如图是y=f(x)的导函数的图象，现有四种说法. v=f(x) 24/ 3137 (1)f(x)在(-2,1)上是增函数：(2)x=-1是f(x)的极小值点：(3)f(x)在(-1,2)上是增函数：(4)x=2是f(x) 的极小值点. 以上说法正确的序号是 题型突破 抓住核心A突破重点 >题型04 点方法 xo是极值点→f(x)=0: 奥引例精粉 1.(24-25高二下河南新乡.月考)若x=2是函数f(x)=x3-ax2的极小值点，则实数a=()） A.6 B.3 C.2 D.4 第8页共11页 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.(25-26高二下.河北雄安月考)已知x=0是函数f()=ln(x+1)+x3+x2-x的极大值点，则实数 a=() A.-2 C.-1 D.-月 3.(多选24-25高二下山东烟台期末)若函数f(x)=2a2x2-3ax+2lnx在x=1处取得极大值，则() A.a=1 B.a=2 C.(2,+o)为f(x)的一个增区间 D.f(x)的极小值为21n2-4 4.(24-25高二下·天津武清·月考)已知函数f(x)=x3-Qx2-a2x+3在x=-1处取得极大值，则 a 料易结 是判断是否极值点，二是判断是极大还是极小 1.(25-26高二上·全国.单元测试)已知函数f(x)=x3-2ax2+a2x+1在x=1处有极小值，则a的值为) A.1或3 B.2 C.3 D.1 变|武巩固 1.(24-25高二下·云南·期中)己知x=1是函数f(x)=(x-a)lnx+x2+1的极值点，则a的值是() A.1 B.3 C.5 D.7 2.(25-26高二上·全国单元测试)已知x=1是函数f()=alx+-3x+7的极值点，则a=() A.-4 B.-2 C.4 D.2 3.(25-26高二下·天津.月考)已知函数f(x)=ae'-二x(a∈R)有三个极值点，则实数a的取值范围是() 3 A.(o,) B.(o,) c.(,) 0.(o,) 4(24-25高二下：湖北武汉.期中)函数f()=二+nx+b(a∈R,bER)的两个极值点x1,x2满足x1<x2≤2x1 则x1+2x2的最大值为) A.21n2 B.3n2 C.4ln2 D.5n2 5.(多选24-25高二下·河北保定·期末)若函数f(x)=2ax-nx的两个极值点分别为x1,x2,且x1<x2,则(） 第9页共11页 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.0<a< B.x1>e C.f(x1)<1 D.x1x2>e2 6.(25-26高二上重庆沙坪坝期末)若函数g()=(x-1)e-2mx2恰有两个极值点，则实数m的取值范围为 题型突破 抓住核心 A突破重点 ◆题型04 点方法 存在极值，转化为有“变号驻点” 奥引例引精胡 1.(24-25高二下·河北承德.期中)已知函数f(x)=x3+Qx2+3x-1在R上存在极值，则实数a的取值范围为 () A.(-3,3) B.[-3,3] C.(-∞，-3)U(3,+0) D.(-∞，-3]U[3,+∞) 2.(23-24高二下.山东淄博·月考)若函数f(x)=x3-3ax在(0,1)内无极值，则实数a的取值范围是() A.(1,+∞) B.(-o,0 C.(-0,0]u[1,+∞) D.[0,1] 3.(多选24-25高二下·广东佛山期中)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+2在x=1处取得极值0，则下列说法 正确的是() A.a-b=3 B.当0<x<1时，f(x2)<f(x) C.当x>1时，f(x2)>f(x) D.过点(0,2)且与曲线y=f(x)相切的直线有且只有一条 4.(25-26高二上.上海·期中)若函数y= +a以+1，x<0在R上存在极小值，则实数a的取值范围为 e',x20, 舞易绪 判断是极大还是极小 1.(24-25高二下河北保定期中)已知函数f(x)=x(x-m)在x=1处有极小值，则Cg=() A.1 B.6 C.20 D.6或20 第10页共11页学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 选修三第六章导数 6.3 导数与函数的极值 知识网络 理清脉络 A钢举朗轮 极值 若函数fx)在点x=处的函数值f(a)此它在点x=a附近其他点的函数值都小， 与极 f(@)-0,而且在点x=附近的左侧fx)<0,右侧fx)>0, 值点 (点 则点a叫做函数的极小值点，f(a叫做函数的极小值. 若函数f)在点x=处的函数值比它在点x=附近其他点的函数值都大， f(b)=0,而且在点x=b附近的左侧fx)>0,右侧fx)<0, 极值辨析 (点) 则点如叫做函数的极大值点，()叫做函数的极大值. 求函数的极值 导数与 函数图象与极值 题 极值的 x是极值点→f(xo)=0:反过来：f(x)=0xo是极值点， 的关系 已知极值点求参 型分 数与函数 识 关系 即：fxo)-0是x为极值点的必要非充分条件 ①确定函数的定义域： 数 理 ②解方程f(x)=0,得到驻点o: 求 已知极值求参数 极 ③判断f(x)在xo附近两侧的符号变化： 极 若左正右负，则为极大值点： 值 方 步 法 若左负右正，则为极小值点： 骤 若不变号，则不是极值点 知识梳理 提理表村、▲参实慕丝 ◇知识点一 函数的极值与极值点 (1)函数的极小值与极小值点 若函数f(x)在点x=a处的函数值f(@)比它在点x=a附近其他点的函数值都小， f(@)=0,而且在点x=a附近的左侧f(x)<0,右侧f(x)>0, 则点a叫做函数的极小值点，f(@)叫做函数的极小值. (2)函数的极大值与极大值点 若函数f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大， f(b)=0,而且在点x=b附近的左侧fx)>0,右侧f(x)<0, 则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值. (3)极值与导数的关系 xo是极值点→f(xo)=0:反过来：f'(xo)=0书xo是极值点， 即：f(xo)=0是xo为极值点的必要非充分条件 (④)求函数的极值的一般步骤 ①确定函数的定义域： ②解方程f(x)=0,得到驻点o: ③判断f(x)在xo附近两侧的符号变化： 第1页共34页 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 若左正右负，则x为极大值点： 若左负右正，则o为极小值点： 若不变号，则x不是极值点。 《◇即学即练 1.(24-25高二下…湖北武汉·月考)函数f(x)=x(x-3)的极大值为) A.0 B.1 C.3 D.4 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】求已知函数的极值 【分析】求出函数的导数，判断其符号后得单调性，从而得到极大值 【详解】f(x)=(x-3)+2x(x-3)=3(x-1)x-3), 当x<1或x>3时，f(x)>0,当1<x<3时，f(x)<0, 故f(x)在(-∞，1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3，+∞)上单调递增， 所以f(x)在x=1处取得极大值f(1)=4. 故选：D 2.(多选(25-26高二下·重庆·月考)已知函数f(x)=号x3-4x+2,下列说法中正确的有() A.函数f)的极大值为号极小值为-碧 B.函数f(x)的单调增区间为(-∞，-2)U(2,+o) C.函数f(x)的单调减区间为(-2,2) D.曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线方程为y=-4x+2 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】求已知函数的极值、利用导数求函数的单调区间（不含参入求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】利用导数研究函数f(x)的极值、最值、单调性，利用导数的几何意义可求得曲线y=f(x)在点(O,2) 处的切线方程，根据计算结果可得答案 【详解】因为f)=x-4x+2,所以f=2-4, 由f(x)>0,得x<-2或x>2,由f(x)<0,得-2<x<2, 所以函数f(x)在(-∞，-2)上递增，在(-2,2)上递减，在(2，+o)上递增， 增区间不能合并，故选项C正确，选项B错误： 所以当x=-2时，f)取得极大值f(-2)=号×(-23-4×(-2)+2=号 在x=2时，f)取得极小值fQ)=×23-4×2+2=号故选项A正确： 第2页共34页 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 因为f(0)=-4,所以曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线方程为y-2=-4(x-0) 即y=-4x+2,故选项D正确. 题型突破 抓住核心 A突破重点 →题型01极值辨析 点方法 驻点左右的导数值是否异号 奥1例1精饲 1.(24-25高二下.内蒙古赤峰·期末)函数f(x)=x-sinx在(0，+o)上() A.既无极大值也无极小值 B.有极小值无极大值 C.既有极大值又有极小值 D.有极大值无极小值 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】函数极值的辨析 【分析】由f(x)=1-cosx≥0可判断函数f(x)的单调性即可得出结论. 【详解】由题意f(x)=1-cosx≥0恒成立，所以f(x)在(0，+oo)上单调递增，f(x)既无极大值也无极小值. 故选：A 2.(25-26高二下·云南怒江·月考)已知定义在(a,b)上的函数f(x)的导函数为f(x),且f(x)的图象如图所示，则 f(x)在(a,b)上的极值点个数为) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】函数（导函数）图象与极值的关系、函数极值点的辨析 【详解】由图可得f(x)在(a,b)上有2个变号零点，所以f(x)在(a,b)上的极值点个数为2. 3.(多选(24-25高二上·浙江杭州·期末)下列说法错误的是() A.一个函数的极大值一定大于极小值 B.曲线的切线可能与该曲线有不止一个公共点 第3页共34页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.函数在某个区间上的最大值，一定在极大值点处取到 D.若函数f(x)在某个区间上单调递增，则它的导函数在该区间上满足f(x)>0 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】函数极值的辨析、函数最值与极值的关系辨析 【分析】举例判断AB的正确性，对CD根据函数的有关性质可直接判断. 【详解】对A选项：函数的极值是局部性质，极大值与极小值的大小不定， 比如f()=x+,在x=-1处有极大值-2，在x=1处有极小值2，极大值小于极小值，故A错误： 对B选项：函数y=simx在x=处的切线为y=1,与y=sinx有无数个公共点，故B正确： 对C选项：闭区间上的最大值，有可能在极大值点出取得，也由可能是在区间的端点处取得，故C错误： 对D选项：函数f(x)在某个区间上单调递增，则它的导函数在该区间上满足f(x)≥0，故D错误. 故选：ACD 423-24高二下上海期中)函数f()=x2+2x的驻点为 【答案】x=-2 【难度】0.94 【知识点】函数极值点的辨析 【分析】求导，根据导数为0即可求解 【详解】f(x)=x+2,令f(x)=x+2=0,解得x=-2, 故答案为：x=-2 辨易猪 极值点是“变号驻点” 1.(24-25高二下·广东东莞·月考)已知函数f(x),其导函数f(x)的图象如图所示，则) A.f(x)有2个极值点 B.f(x)在x=1处取得极小值 C.f(x)有极大值，没有极小值 D.f(x)在(-o∞，1)上单调递减 【答案】c 【难度】0.94 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数与导函数图象之间的关系、求已知函数的极值、函 第4页共34页 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 数极值点的辨析 【分析】根据导函数的图象得出导函数的符号分布情况，进而可得出函数的单调区间，再根据极值的定义 即可得解 【详解】由导函数f(x)的图象可知， 当x<3时，f(x)≥0，仅x=1时，f(x)=0:当x>3时，f(x)<0, 所以函数f(x)在(-∞，3)上单调递增，在(3，+∞)上单调递减， 所以函数f(x)只有x=3一个极值大点，无极小值点，所以f(x)有极大值，没有极小值， 故ABD错误，C正确. 故选：C 变武巩固 1.(24-25高二下·广东江门期中)函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图象如图所示，则下列说法正确的是() VA A.函数y=f(x)在(1,2)上单调递减 B.x=-1是函数y=f(x)的极小值点 C.x=1是函数y=f(x)的极大值点 D.f(2)是函数y=f(x)的极大值 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、求已知函数的极值、函数极值点的辨析 【分析】根据导函数图象求出函数y=f(x)的单调区间，然后根据极值点和极值的概念逐项判断即可. 【详解】由图可知x∈(1,2)时，f(x)>0,所以函数y=f(x)在(1,2)上单调递增，故A错误： 由图可知xE(-∞，2)时，f(x)≥0，所以函数y=f(x)在(-o,2)上单调递增， x=-1不是函数y=f(x)的极小值点，故B错误： 由B选项可知函数y=f(x)在(-o,2)上单调递增， 由图可知xE(2,+∞)时，f(x)<0,所以函数y=f(x)在(2，+∞)上单调递减， 故x=2是函数y=f(x)的极大值点，f(2)是函数y=f(x)的极大值，故C错误：D正确. 故选：D 2(24-25高二下.山东威海·期末)设f(x)的导函数为f(x),且f(x)在x=xo处可导，则“xo是y=f(x)的极值点” 是“f(xo)=0”的(） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 第5页共34页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【知识点】判断命题的充分不必要条件、函数极值点的辨析 【分析】根据定义或举例判断“f(x)=0和“xo是函数y=f(x)的极值点”之间的逻辑关系，即可得答案. 【详解】根据函数极值点的定义可知xo为函数y=f(x)的极值点，必有f(xo)=0: 反之，当f(xo)=0时，xo不一定为函数y=f(x)的极值点， 比如f(x)=x3,f(x)=3x2,满足f'(0)=0,但f(x)=x3在R上单调递增， 即0不是函数f(x)=x3的极值点，故“xo为函数y=f(x)的极值点"是“f(xo)=0"的充分不必要条件。 故选：A 3.(24-25高二下·河北邢台·期末)“m>0"是“函数f(x)=x(x-m2在x=m处取得极小值”的() A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数极值点的辨析、充要条件的证明 【分析】求导f(x)=(x-m)3x-m),分m>0,m=0,m<0讨论，判断原函数的单调性比较即可. 【详解】由题意得f'(x)=(c-m)2+2x(x-m)=(x-m)(3x-m) 若m>0,则当罗<x<m时，f()<0,f)单调递减，当x>m时，f()>0,f()单调递增，f)在x=m 处取得极小值： 若m=0,则f(x)≥0，f(x)在R上单调递增，无极值： 若m<0,则当x<m时，f(x)>0,f(x)单调递增，当m<x<时，f()<0,f(x)单调递减， f(x)在x=m处取得极大值. 故“m>0"是“函数f(x)=x(x-m)2在x=m处取得极小值"的充要条件. 故选：A 4.(2425高二下北京期末)已知函数f(x)与f()的图象如下图所示，设函数g()=四.则函数g()在(-2,4) 上的极大值点个数为() A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】c 【难度】0.65 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、函数极值点的辨析 第6页共34页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【分析】分析可知虚线表示的为函数f)的图象，实线表示的为函数f(x)的图象，求得g)=国f@,结 合图象以及极大值点的定义可得出结论 【详解】由图象可知，若虚线表示的为函数f(x)的图象， 当x∈(-2,0)时，f(x)>0,则f(x)在(-2,0)上单调递增，与题意不符， 故虚线表示的为函数f(x)的图象，实线表示的为函数f(x)的图象，如下图所示： y=f在) y=f6) 因为g()=四，则g()=@ 由图可知，当-2<x<a时，g(o=@>0,当a<x<b时，g)=ff@<0, ex 当b<x<3时，g(=ff@>0,当3<x<4时，g()=f@<0, 所以，函数g(x)在(-2，a)、(b,3)上单调递增，在(a,b)、(3,4)上单调递减， 故函数g(x)在区间(-2,4上有两个极大值点， 故选：C 5.(多选25-26高二上·云南玉溪·月考)已知函数f(x)=x3-ax2+bx+1,则下列说法正确的是() A.当b=0时，f(x)有两个极值点 B.当a=0时，f(x)的图象关于(0,1)中心对称 C.当b=时，2是极大值点，则a+b=48 D.当f(x)在R上单调时，a2≥3b 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】函数对称性的应用、由函数在区间上的单调性求参数、函数极值点的辨析、根据极值点求参数 【分析】特殊值法可排除A项，利用函数的对称性可判定B,利用导数研究函数的极值点可判定C,利用导 函数非负结合判别式可判定D 【详解】对于A,当b=0时，f(x)=x3-ax2+1,f(x)=3x2-2ax, 若a=0时，f'(x)=3x2≥0，则f(x)在定义域内单调递增，无极值点，故A错误： 对于B,当a=0时，f(x)=x3+bx+1,f(-x)=-x3-bx+1, 则f()+f(-x)=2,所以f(x)的图象关于(0,1)中心对称，故B正确： 对于c项，当b=时，f网=0-ax2+x+1, f)=3x2-2ax+子因为2是f)的极大值点，所以f(②=12-4a+=0, 解得a=12或a=4,若a=4,则f(x)=3x2-8x+4=(3x-2)(x-2), 第7页共34页 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 所以当x<时，f)>0,所以f)在(-∞，)上单调递增， 当号<x<2时，f()<0,所以f)在（台，2）上单调递减， 当x>2时，f(x)>0,所以f(x)在(2，+∞)上单调递增，所以2是f(x)的极小值点，不符合题意： 故a=12,则f(x)=3x2-24x+36=3(x-2)(x-6), 所以当x<2时，f(x)>0,所以f(x)在(-∞，2)上单调递增， 当2<x<6时，f'(x)<0,所以f(x)在(2,6)上单调递减， 当x>6时，f(x)>0,所以f(x)在(6+∞)上单调递增，所以2是f(x)的极大值点，符合题意： 所以a=12,b=号-=36，所以a+b=48,故c正确： 对于D项，若fx)在定义域R上是单调函数，则f'x)=3x2-2ax+b≥0恒成立， 所以△=4a2-12b≤0，解得a2≤3b,所以D错误， 故选：BC 6.(2022高二·全国：专题练习)已知函数f()=x3+(a2+1)x2+a2x+a,则a<-1"是“函数fx)在x=-1 处取得极小值”的 条件. 【答案】充分不必要 【难度】0.65 【知识点】函数极值点的辨析、判断命题的充分不必要条件 【分析】求出函数f(x)的导数，分类探讨其极值情况，再结合充分条件、必要条件的定义判断作答 【详解】函数f因=+a2+1)x2+a2x+a定义域为R,求导得：则f)=(c+1)c+a的， 当a=±1时，f(x)≥0，函数f(x)单调递增，无极值点， 当a<-1或a>1时，当x<-a2或x>-1时，f(x)>0,当-a2<x<-1时，f(x)<0, 则f(x)在x=-1处取得极小值， 当-1<a<1时，当x<-1或x>-a2时，f(x)>0,当-1<x<-a2时，f(x)<0, 函数f(x)在x=-1处取得极大值， 所以“Q<-1"是“函数f(x)在x=-1处取得极小值"的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要 题型突破 抓住核心 A突破重点 ◆题型02 点方法 求导→求驻点→判断驻点左右导数正负→判断是否极值点→求出极值 第8页共34页 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 奥例引精韧 1.(24-25高二上湖南怀化期末)函数fx)=三x2-1nx的极值为) A计受 B.V3 C.21n3 D.3 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】求已知函数的极值 【分析】根据函数极值的定义求解即可。 【详解】由题知f(的定义域为0，+o),且f因=3x-是-兰 当0<x<9时，f)=<0:当x>时，f四=>0， 所以f)在(0,9)上单调递减，在（停，+∞）上单调递增。 故F)的极小值为f(图）=+无极大值， 故选：A 2.(25-26高二下·北京·月考)已知x=1是函数f(x)=x3-3ax+3的极小值点，那么函数f(x)的极大值为) A.-1 B.1 C.4 D.5 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求已知函数的极值、根据极值点求参数 【分析】先根据x=1是函数f(x)的极小值点求出a的值，再列出表格求出f(x)的极大值 【详解】f(x)=x3-3ax+3,fx)=3x2-3a 又x=1是函数f(x)=x3-3ax+3的极小值点，∴f(1)=3-3a=0,a=1. 经检验a=1符合题意.∴f(x)=3x2-3. 令f(x)=0,·x=士1，列表如下 -00,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+∞) f(x) 0 0 f(x) 极大值f(-1)=5 极小值f1)=1 ·f(x)的极大值为f(-1)=5 3.(多选24-25高二下.全国课后作业)关于函数f(x)=x3-4x+4,下列说法正确的是() A,它的极大值为器，极小值为-手 B.当x∈[3,4时，它的最大值为，最小值为-等 c.它的单调递减区间为[-2,2] D.它在点(0,4)处的切线方程为y=-4x+4 【答案】ACD 【难度】0.94 第9页共34页 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、 由导数求函数的最值（不含参） 【分析】求导判断函数单调性，进一步可判断函数极值以及它在闭区间上的最值情况即可判断ABC,由导数 的几何意义可判断D 【详解】函数fx)=x-4x+4,f(x)=x2-4=(x-2)x+2). 由f(x)=(x-2)(x+2)>0,得x>2或x<-2,此时函数单调递增： 由f(x)=(x-2)(x+2)<0,得-2<x<2,此时函数单调递减，C正确： 当x=-2时，函数f取得极大值f(-2)=婴 当x=2时，函数f)取得极小值f亿)=-言4正确： 当xE3,利时，f)单调递增，它的最大值为f④=号-4×4+4=碧 最小值为f3)-号-4×3+4=1,8错误： f(0)=-4,f0)=4,它在点(0,4)处的切线方程为y=-4x+4,D正确. 故选：ACD. 4.(24-25高二下河北邢台·月考)函数f(x)=3x4-8x3的极值点为 极值为 【答案】 -16 【难度】0.85 【知识点】求已知函数的极值点、求已知函数的极值 【分析】根据导函数得出其单调性即可求出极值， 【详解】易得f(x)=12x3-24x2=12x2(x-2), 当x∈(2，+oo)时，f(x)>0,当x∈(-o∞，2)时，f(x)<0, 则f(x)在(2，+oo)上单调递增，在(-o,2)上单调递减， 所以x=2是f(x)的极小值点，极小值为f(2)=3×24-8×23=-16. 故答案为：2；-16 群》易 注意：“变号” 1.(24-25高一下.北京期末)下列函数中，存在极小值的是() A.y=Igx B.y=x(x-1)(x-2) C.y=2x D.y=x+sinx 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、求已知函数的极值 【分析】对于AC,由指数函数、对数函数单调性判断即可；对于BD,求导判断函数单调性，进一步得极小 第10页共34页