精品解析：广东中山市第一中学2025-2026学年高二上学期三段考数学试题

2025-2026学年广东省中山市第一中学高二上学期三段考 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项） 1. 为了研究某种病毒与血型之间的关系，决定从被感染的人群中抽取样本进行调查，这些感染人群中O型血、A型血、B型血、AB型血的人数比为4:3:3:2，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本量为的样本，已知样本中O型血的人数比AB型血的人数多20，则（ ） A. 100 B. 120 C. 200 D. 240 【答案】B 【解析】 【分析】由题知，再解方程即可得答案. 【详解】解：因为感染人群中O型血、A型血、B型血、AB型血的人数比为4:3:3:2， 所以，抽取样本量为的样本中，O型血的人数为， AB型血的人数为， 所以，，解得 故选：B 2. 已知直线与直线平行，则实数a的值是（ ） A. 2或0 B. 2 C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】讨论a是否为0，不等于0时，根据直线平行，列式计算，求得a的值，验证后即可确定答案. 【详解】当时，两直线都为，两直线重合，不符合题意； 当时，由两直线平行，得到，解得， 经检验，此时两直线不重合，即直线与直线平行， 综上，实数a的值是2. 故选：B 3. 若圆C1:x2 + y2 = 1与圆C2:x2 + y2 - 8x - 6y + m = 0内切，则m =（ ） A. 25 B. 9 C. - 9 D. - 11 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆与圆的位置关系求得正确答案. 【详解】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径为（）， 由于两圆内切，所以， 即，即， （无解）或，解得. 故选：D 4. 关于空间向量，以下说法错误的是（ ） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 已知向量是空间中的一组基底，则也是空间中的一组基底 C. 若，则是锐角 D. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 【答案】C 【解析】 【详解】A选项，设两个共线的向量为和，第三个向量为， 因为和共线，所以存在实数使得：，那么：， 根据向量共面定理，向量、、共面，所以A选项正确； B选项，若是共面的向量，则存在实数，使得：， 即，与不共面矛盾，所以B选项正确； C选项，若，则，当时，也满足条件，即不一定为锐角，所以C选项错误； D选项，由空间向量四点共面定理，对于空间中任意一点，若满足：，且， 则四点共面， 因为D选项中 ，所以四点共面，所以D选项正确. 5. 某校男生人，女生人，男生、女生每天运动时间（分钟）的平均值为，方差分别为，结合此数据，请你估计该校全体学生每天运动时间的平均值（分钟）和方差分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】依题意，平均值为： 而混合数据后，新方差计算如下：. 6. 如图为抛物线拱桥，当水面经过抛物线的焦点时，水面宽度为，若经过桥洞的一艘货船宽为，则其船体两侧的货物距离水面的最大高度不超过（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】依题意，在平面直角坐标系中画出抛物线如下所示： 设抛物线的标准方程为，焦点坐标为， 当水面过抛物线焦点时，水面宽度为，因此抛物线经过点， 即有，所以，则 ，焦点坐标为， 所以水面距离轴距离为，因为船宽，所以船刚好通过时，点在抛物线上时， 此时代入抛物线方程得，此时两侧货物不能超过m. 7. 已知，在的投影向量为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题可得：，因为在的投影向量为， 所以，即：，且， 代入，，化简得：，解得：， 所以. 8. 双曲线的左、右焦点分别为，过作一条渐近线的垂线，垂足为，延长与另一条渐近线交于点，若为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用已知条件求出点坐标，求出点到渐近线的距离，结合可以得到点到渐近线的距离为，进而利用点到直线的距离公式求出与的关系，然后求解双曲线的离心率. 【详解】由题意知，双曲线的两条渐近线方程分别为，， 过点且与渐近线垂直的直线方程为， 联立，可解得， 点到渐近线的距离， 因为，所以点到渐近线的距离为， 所以，即，所以，即双曲线的离心率为. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列描述正确的是（ ） A. 若事件满足，则与是对立事件 B. 若，则事件与相互独立 C. 掷两枚质地均匀的骰子，“第一枚出现奇数点”与“第二枚出现偶数点”是互斥事件 D. 一个袋子中有2个红球，3个绿球，不放回地从中随机地取出两球，第二次取到红球的概率为 【答案】BD 【解析】 【详解】A选项，事件与发生的概率之和为，但两个事件未必互斥，例如抛一枚骰子，得到点数为1或2或3为事件，得到点数为2或3或4为事件，显然，但两个事件不互斥，所以A选项错误； B选项，，所以，故事件与事件相互独立，所以B选项正确； C选项，互斥事件是无法同时发生的，但“第一枚出现奇数点”与“第二枚出现偶数点”是可以同时发生的，所以C选项错误； D选项，因为是不放回，第二次取到红球，则第一次可以取到红球，也可以取到绿球， 所以第二次取到红球的概率为：，所以D选项正确. 10. 从中随机取一个数记为，从中随机取一个数记为，则（ ） A. 是圆的概率为 B. 是椭圆的概率为 C. 是双曲线的概率为 D. 不是圆并且焦点在轴的概率为 【答案】BCD 【解析】 【详解】A选项，方程是圆为事件，所有的情况为种， 若事件成立，则需满足，包含，，， 所以一共有3种情况，则，所以A选项错误； B选项，方程是椭圆为事件，所有的情况为种， 若事件成立，则需满足， 若，则有三种选择； 若，则有三种选择； 若，则有三种选择， 所以一共有9种情况，则，所以B选项正确； C选项，方程是双曲线为事件，所有的情况为种， 若事件成立，则需满足，所以只能为，有四种选择， 则，所以C选项正确； D选项，不是圆并且焦点在轴为事件，所有的情况为种， 若方程是椭圆且焦点在轴，则与同为正数，且， 若，则；若，则或1，所以是椭圆且焦点在轴一共有三种情况； 若方程是双曲线且焦点在轴，则需满足， 所以，有四种选择，所以是双曲线且焦点在轴一共有四种情况， 则，所以D选项正确. 11. 如图，正方体的棱长为，点分别为的中点，点为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 当为线段中点时，平面 D. 点到直线的距离的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【详解】以为原点，方向分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，，，. A选项，可求得，，所以，因此，所以A选项正确； B选项，在中，，，， ， 因此，所以B选项错误； C选项，若为线段中点时，则，所以，易得平面的一个法向量为， 所以，且平面，所以平面，所以C选项正确； D选项，，，其中，，， 所以点到直线的距离， 且，，， 代入可得：， 当时，有最小值， 此时，所以选项正确. 三、、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系中，、，平面的一个法向量是，则点到平面的距离为______________． 【答案】 【解析】 【分析】 利用点到平面的距离公式（为平面的一个法向量）可求得点到平面的距离. 【详解】由已知条件可得，平面的一个法向量为， 所以，点到平面的距离为. 因此，点到平面的距离为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求点到平面的距离，方法如下： （1）等体积法：先计算出四面体的体积，然后计算出的面积，利用锥体的体积公式可计算出点到平面的距离； （2）空间向量法：先计算出平面的一个法向量的坐标，进而可得出点到平面的距离为. 13. 已知圆：与圆：的交点为、，则______． 【答案】 【解析】 【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标，再两圆方程作差求出公共弦方程，求出圆心到公共弦的距离，最后由勾股定理计算可得. 【详解】圆：，即， 则圆心，半径； 圆：，即， 则圆心，半径； 所以，所以， 所以两圆相交，则两圆公共弦方程为， 即， 则圆心到直线的距离， 所以公共弦. 故答案为： 14. 已知椭圆的两个焦点分别为和，短轴的两个端点分别为和，点在椭圆上，且满足，当变化时，给出下列三个命题： ①点的轨迹关于轴对称； ②对任意的使得椭圆上满足条件的点都有个； ③最小值为 其中，所有正确命题的序号是______ 【答案】①②③ 【解析】 【分析】运用椭圆的定义可得也在椭圆上，分别画出两个椭圆的图形，即可判断①正确；通过的变化，可得②正确；先联立两个椭圆方程，消去得到、关于的表达式，再代入并化简，令换元，将式子整理为含的形式，通过分析分母的最小值求出的最小值，进而得到的最小值为2，从而判断结论③正确。 【详解】椭圆的两个焦点分别为和， 短轴的两个端点分别为和， 设，点在椭圆上，且满足， 由椭圆定义可得，， 故在以为焦点的椭圆上， 即有在椭圆上. 对于①，将换为方程不变，则点的轨迹关于轴对称，故①正确； 对于②，由图象可得轨迹关于轴对称，且，则椭圆上满足条件的点有4个，故②正确; 对于③，点同时在两个椭圆上，联立方程组： 由第一个方程得 代入第二个方程化简得： 所以 展开分子: 令，则： 当时，分母取得最小值，此时： 即的最小值为2，故③正确. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知平行六面体，，，，，设，，； （1）试用、、表示； （2）求的长度； 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）根据空间向量的线性运算法则，由此能求出结果． （2）由．，，由此能求出的长度． 【详解】解：（1） ． （2）． ，， ，，设，，； ， 的长度为． 【点睛】本题考查向量的表示，考查线段长的求法，考查空间向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 16. 已知圆的圆心坐标，直线被圆截得弦长为． （1）求圆的方程； （2）从圆外一点向圆引切线，求切线方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理求出圆的半径，由此可得出圆的方程； （2）对切线的斜率是否存在进行分类讨论，在第一种情况下，写出切线方程，直接验证即可；在第二种情况下，设出切线方程为，利用圆心到切线的距离等于圆的半径，由此可得出所求切线的方程. 【小问1详解】 解：圆心到直线的距离为， 所以，圆的半径为， 因此，圆的方程为. 【小问2详解】 解：当切线的斜率不存在时，则切线的方程为，且直线与圆相切，合乎题意； 当切线的斜率存在时，设切线方程为，即， 由题意可得，解得，此时，切线的方程为. 综上所述，所求切线的方程为或. 17. 如图1，在直角梯形中，已知，将沿翻折，使得，如图2，的中点为. （1）求证：平面 （2）若的中点为，点是线段上靠近点的三等分点，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 在直角梯形中，，点为中点，所以 图1中，过点作，连接，易得四边形为正方形 所以为中点， 所以所以. 所以，所以，所以 平面 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先由直角梯形边长条件得，构造正方形推得为中点，利用边长计算证出，再求出线段长度推出，结合与相交于点，最终证得平面. （2）由平面推出两两垂直，以为原点建系，求出各点与向量坐标，结合三等分点条件确定点，联立方程求出平面法向量，取平面法向量，利用面面夹角与法向量夹角的关系，代入公式算出夹角余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点为，连接，则且， 由直角梯形可知，为正方形， 所以 由（1）知平面平面所以 因此两两垂直，以为坐标原点，以方向分别为轴，建立空间直角坐标系： 所以 因为是中点，所以，又 点是线段上靠近点的三等分点，所以 所以 设平面的一个法向量 令，则 所以平面的一个法向量为 又平面，平面的一个法向量为 由于 故平面与平面的夹角余弦值为 18. 为了选派学生参加“市中心知识竞赛”，某校对名学生进行选拔性测试，得到成绩的频率分布直方图（如图），规定：成绩大于或等于分的学生有参赛资格，成绩以下（不包括分）的学生则被淘汰. （1）估算这名学生测试的平均成绩（同组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）若该校需要选出成绩靠前的200人参赛，那么有参赛资格的学生的成绩最低是多少（结果保留整数）； （3）若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中有两种答题方案： 方案一：每人从道备选题中任意抽出道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰； 方案二：每人从道备选题中任意抽出道，若至少答对其中道，则可参加复赛，否则被淘汰. 已知学生甲只会道备选题中的道，那么甲选择哪种方案，进入复赛的可能性更大?并说明理由. 【答案】（1） 分 （2）分 （3）选择方案二，理由如下： 5道备选题中,甲会的3道题分别记为 ,不会的记为 方案一： 学生甲任抽一道题的结果有 共5种,抽中会的 ,有3种，那么参加复赛的概率为 方案二： 学生甲从 5 道题中任抽 3 道,结果如下： 共10种, 至少会 2 道题的, 有 7 种情况 那么参加复赛概率为 ，因为. 所以选择方案二,可让学生甲进入复赛概率更大. 【解析】 【分析】（1）计算成绩大于或等于分的学生频率，再求频数即得结果； （2）根据组中值计算平均数； （3）分别计算两个方案进入复赛的概率，比较大小确定最终方案. 【小问1详解】 平均成绩为： 因此该 名学生平均成绩为 分. 【小问2详解】 依题意 ，即求第 90 分位数 频率分布直方图中,分数在 的频率为 分数在 的频率为 可知第 分位数在 内, 不妨设其为 ，所以 解得 , 取整可知至少 分才有参赛资格. 【小问3详解】 选择方案二，理由略. 19. 已知椭圆的长轴长为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）已知椭圆上点处的切线方程是.在直线上任取一点引椭圆的两条切线，切点分别是、. ①求证：直线恒过定点； ②是否存在实数，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） ①设，，， 由题设可知：，， 又因为，经过点，所以， 所以，均在直线上，即， 由，解得，所以直线过定点. ②存在， 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的长轴长为，离心率为，由求解； （2）①设，，，由，，且，经过点，得到求解；②设实数存在，则，分直线斜率不存在，斜率，斜率，利用弦长公式求解. 【小问1详解】 解：由题意可知，所以， 所以， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 ①略 ②设实数存在，因为，所以， 当直线斜率不存在时，此时直线的方程为， 由解得， 所以，故. 当直线斜率时，不满足题意； 当直线斜率时，设直线的方程为，则， 故， 所以， 联立可得，显然， 所以，， 所以. 综上可知，存在满足条件. 【点睛】方法点睛：本题第二问，首先利用弦长公式得到，然后巧用，化简得到，结合韦达定理而得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年广东省中山市第一中学高二上学期三段考 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项） 1. 为了研究某种病毒与血型之间的关系，决定从被感染的人群中抽取样本进行调查，这些感染人群中O型血、A型血、B型血、AB型血的人数比为4:3:3:2，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本量为的样本，已知样本中O型血的人数比AB型血的人数多20，则（ ） A. 100 B. 120 C. 200 D. 240 2. 已知直线与直线平行，则实数a的值是（ ） A. 2或0 B. 2 C. 0 D. 3. 若圆C1:x2 + y2 = 1与圆C2:x2 + y2 - 8x - 6y + m = 0内切，则m =（ ） A. 25 B. 9 C. - 9 D. - 11 4. 关于空间向量，以下说法错误的是（ ） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 已知向量是空间中的一组基底，则也是空间中的一组基底 C. 若，则是锐角 D. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 5. 某校男生人，女生人，男生、女生每天运动时间（分钟）的平均值为，方差分别为，结合此数据，请你估计该校全体学生每天运动时间的平均值（分钟）和方差分别为（ ） A. B. C. D. 6. 如图为抛物线拱桥，当水面经过抛物线的焦点时，水面宽度为，若经过桥洞的一艘货船宽为，则其船体两侧的货物距离水面的最大高度不超过（ ） A. B. C. D. 7. 已知，在的投影向量为，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 双曲线的左、右焦点分别为，过作一条渐近线的垂线，垂足为，延长与另一条渐近线交于点，若为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列描述正确的是（ ） A. 若事件满足，则与是对立事件 B. 若，则事件与相互独立 C. 掷两枚质地均匀的骰子，“第一枚出现奇数点”与“第二枚出现偶数点”是互斥事件 D. 一个袋子中有2个红球，3个绿球，不放回地从中随机地取出两球，第二次取到红球的概率为 10. 从中随机取一个数记为，从中随机取一个数记为，则（ ） A. 是圆的概率为 B. 是椭圆的概率为 C. 是双曲线的概率为 D. 不是圆并且焦点在轴的概率为 11. 如图，正方体的棱长为，点分别为的中点，点为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 当为线段中点时，平面 D. 点到直线的距离的最小值为 三、、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系中，、，平面的一个法向量是，则点到平面的距离为______________． 13. 已知圆：与圆：的交点为、，则______． 14. 已知椭圆的两个焦点分别为和，短轴的两个端点分别为和，点在椭圆上，且满足，当变化时，给出下列三个命题： ①点的轨迹关于轴对称； ②对任意的使得椭圆上满足条件的点都有个； ③最小值为 其中，所有正确命题的序号是______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知平行六面体，，，，，设，，； （1）试用、、表示； （2）求的长度； 16. 已知圆的圆心坐标，直线被圆截得弦长为． （1）求圆的方程； （2）从圆外一点向圆引切线，求切线方程． 17. 如图1，在直角梯形中，已知，将沿翻折，使得，如图2，的中点为. （1）求证：平面 （2）若的中点为，点是线段上靠近点的三等分点，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 为了选派学生参加“市中心知识竞赛”，某校对名学生进行选拔性测试，得到成绩的频率分布直方图（如图），规定：成绩大于或等于分的学生有参赛资格，成绩以下（不包括分）的学生则被淘汰. （1）估算这名学生测试的平均成绩（同组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）若该校需要选出成绩靠前的200人参赛，那么有参赛资格的学生的成绩最低是多少（结果保留整数）； （3）若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中有两种答题方案： 方案一：每人从道备选题中任意抽出道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰； 方案二：每人从道备选题中任意抽出道，若至少答对其中道，则可参加复赛，否则被淘汰. 已知学生甲只会道备选题中的道，那么甲选择哪种方案，进入复赛的可能性更大?并说明理由. 19. 已知椭圆的长轴长为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）已知椭圆上点处的切线方程是.在直线上任取一点引椭圆的两条切线，切点分别是、. ①求证：直线恒过定点； ②是否存在实数，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $