广东中山市第一中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

2025-2026年广东省中山市第一中学高二上学期数学10月考 一、单选题 1设P是双线需一式-1止一点，A,乃分别是双曲线左右两个供点，若P听引=9.则P3 y2 于() A.1 B.17 C.1或17 D.5或13 2.“m=-2”是“直线l1:(m+1)x+y-1=0与直线2：2x+my+1=0平行”的（) A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.设，y∈R,向量a=(c,2,2),i=(2,,2),=(3,-6,3),且a⊥c,/,则a+=(). A.3v2 B.4v2 C.5 D.6 4,椭圆C: y2,x2 +=1(a>b>0)的上顶点为A:点P,Q均在C吐，且关于轴对称，若直线AP, 4 AQ的斜率之积为3则C的离心率为（) .3 B. 2 2 2 c. D. 5.己知动圆C与圆(x-2)2+2=25内切，同时与圆(x+2)2+2=1外切，则动圆C的圆心轨迹方 程为() A. 25+-1 B. -1 2 25 c. ·=1(x卡-3) D. 9+=1(e≠-3) 6.己知圆C:(c-3)2+(g-4)2=9,直线1：mc+y-2m-3=0.则直线1被圆C截得的弦长的最 小值为() A.2√7 B.V⑩ C.22 D.6 7.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=AD=AA1=1, ∠A1AB=∠A1AD=LBAD=60°，则下列选项中错误的一项是() C A B D A. 直线A1C与BD所成的角为90° B.线段AC的长度为V2 C.直线A1C与BB1所成的角为90 D.直线AC与平面ABCD所成角的正弦值为y 8若椭圆G和C的方程分别为之+兰 2+21@>b>o)和名≠ +2=入(a>6>0,A>0且A≠1)则 称C和CG,为相似陆圆，已知稀圆G:子+苦 2 3=1,C2:子+3=0<入<)：过C上任意 点P作直线交C于M,N两点，且P+P穴=0，则△MON的面积最大时，λ的值为() 1 A. 3 B. 2 C.4 D. 二、多选题 9已知幅圆C:云+号=1石，乃分别为它的左有熊点，点P是稀圆上的一个动点，下列结论中正 确的有() A.椭圆离心率为 25 B. IP|+1PF2=10 C. 若∠FPF=90°，则△乃PF的面积为9 D. 10 P网+P网最大值为号 10.己知实数心，y满足曲线C的方程x2+2-2-2=0,则下列选项正确的是（) A.x2+2的最大值是√5+1 B.y+1的最大值是2+V6 x+1 C.过点(0，v②作曲线C的切线，则切线方程为x-√2y+2=0 D.z-y+3的最小值是2V2-√ 11.如图，设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点E是AB的中点，点P,F为空间内两点，且 BP=λBC+uBB1,入4∈[0,1，BF=tBC(t∈[0,1)，则() D B A E B A.若D1F⊥平面A1C1D,则点F与点B重合 B.设DP=√5，则动点P的轨迹长度为 C.平面CDE与平面A1D1E的夹角的余弦值为V@ D.社=子则平面D,EF骏正方体所符截面的周长为6 +√2 3 三、填空题 12.若方程 y m+2+6-m =1表示的曲线为椭圆，则m的取值范围为 13.已知圆C:x2+y2-2x-4划-4=0，P为直线1：x+y+2=0上一点，过点P作圆C的两条切 线，切点分别为A和B,当四边形PACB的面积最小时，则直线AB的方程为 14.如图所示，用一束与平面α成60°角的平行光线照射球0，在平面a上形成的投影为椭圆C及其内 部，则椭圆C的离心率为 四、解答题 15.己知直线：y=3x+7,试求： (1)点P(2,5)关于直线的对称点的坐标； (2)直线y=x+3关于直线对称的直线方程： (3)直线关于点A(4,2)对称的直线方程. 16已蜘双曲线0：三-草-1a>06>0的东、右焦点分别为，后，古P在双商线右支（且不在 坐标轴上)， )若双曲线C与椭圆号+子-1有共同的焦点，且双曲线C过点Q2,),求该双曲线的标准方程， ②)若6=1，∠BPB=3求△PB的面积， 17.如图1，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，DE⊥AB于点E,将△ADE沿DE折起到 △A1DE的位置，使A1DLBE,如图2. (1)求多面体A1-BCD的体积： (2)求二面角E-A1D一B的余弦值： ③)在线段BD上是否存在点P,使平面A1EPL平面A1BP?若存在，求出邵的值；若不存请说明理 由. 18.在平面直角坐标系xOy中，设△ABCJ项点坐标分别为A(0,9),B(-3V5,0),C(3V5,0),Q(0,m) ,(m>0),圆M为△ABC的外接圆. (1)求圆M的方程： (2)直线过点P(5,1)与圆M相交于EF两点，EF=4vV,求直线的方程： (3)若圆M上存在点P,满足PQ=2PO,求实数m的取值范围. 19.已知A,B两点的坐标分别是(2,0：(-2,0)，直线AP,BP相交于点卫，且它们的斜*之积是- ,记点P的轨迹为曲线C,直线与曲线C交于不同的两点M,N, (1)求曲线C的方程； (2)若以线段MN为直径的圆经过点A(2,0) ①求证：直线过定点D,并求出D的坐标； ②求三角形AMN面积的最大值. 2025-2026年广东省中山市第一中学高二上学期数学10月考 参考答案 【答案】 1.B 2.C 3.D 4.C 5.c 6.A 7.D 8.B 9.B,C,D 10.B,C 11.A,B,D 12.(-2,2)儿U2,6) 13.5ax+5y+3=0 14a.5 1s(兰) (2)7x+y+13=0 (3)3x-y-27=0 16.0)g-=1 2 (2)3 17.(1)3 (②)V②1 7 ③存在，日 18.(1)x2+(g-2)2=49 (2)x=5或12x-5y-55=0 (3)5≤m≤27 19n号+号-1.e≠2划且o≠0 2①证明见解析，D(层小②出 【解析】 1双曲线号-5=1的a=4b-256=6 由双曲线的定义可得PF|-Pl=2a=8. 因为P=9,所以9-PF‖=8，得|PF2=1或17， 若PF=1,则P在右支上，应有PF2引≥c-a=2,不成立： 若P=17,则P在左支上，应有P2≥c+a=10,成立. 故选：B. 2.直线1：(m+1)x+y-1=0与直线2：2+my+1=0平行，则满足 m(m+1)=2,解得m=-2或m=1, (m+1≠-2 因此“m=-2”是“直线l:(m+1)x+y-1=0与直线2：2x+my+1=0平行”的充分不必要条件， 故选：C 3.因为a⊥c,a=(x,2,2),c=(3,-6,3), 所以3x-12+6=0,所以x=2, 因场/66=22.8=8-®，8列所以号名-景所以g=4 所以d+6=(4,-2,4), 所以a+=V42+(-2)2+42=6. 故选：D. 4.A(0,a,设P(c1,),则Q(c1,-), 则kAP=二0，k40=二欢二0。 k如-a.当8-8金-子 11 x2 装爱=1用好 6(a2-) a2 所似器-号-景即唱-是 a2=4 a2 匠以椭圆c的离心率e=:一 1 a2=2 故选：C. BOA e-2+=25的圆心为A2,0,半径m1=5. (c+2)2+2=1的圆心为B(-2,0),半径r2=1, 动圆C与圆(x-2)2+2=25内切，设动圆半径为r,.CA=r1-T=5-r, 动圆C与圆(c+2)2+2=1外切，.1CB=2+r=1+r, .|CA+|CB=6=2a,lAB=4=2c, ,2a>2c,.动圆C的轨迹是以A,B为焦点的椭圆， a=3,c=2,.b2=a2-c2=5 :动圆C的轨迹方程为号+苦-1e≠-3列， 故选：C. 6.直线1：mx+y-2m-3=m(x-2)+y-3=0, 今-=日{所以直战1缸注定Pa 圆C:(x-3)2+(y-4)2=9的圆心为C(3,4),半径为r=3, 且PC2=(2-3)2+(3-4)2=2<9,即P在圆内， 当CP⊥时，圆心C到直线1的距离最大为d=|PC=√2， 此时，直线1被圆C截得的弦长最小，最小值为2√2-d严=2v√7. 故选：A. 7.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，令AB=d,AD=i,AA=c, 由AB=AD=AA1=1,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°， 得d=何=国=1，a,6=6:8=a8=分 对于A,显然4C=a+方-c,BB=-a+i, 则4C.BD=(a+i-)·(-d+而=-2++a.d-i.d=0,即A1d1BD, 因此直线A1C与BD所成的角为90°，A正确： 对于B,41C=(a+石-)2=2++2-26.=2，即A1C=V2,B正确： 对于C,A1己.BB=(a+元-)d=ac+i.c-2=0,即A1d1BB, 因此直线A1C与BB1所成的角为90°，C正确； 对于D,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD是菱形，即ACLBD, 又A1C⊥BD,A1C∩AC=C,A1C,ACC平面A1CA,于是BD⊥平面A1CA, 又BDC平面ABCD,则平面A1CA⊥平面ABCD, 连接AC交BD于点O,在平面A1CA内过点A1作A1E⊥AC于点E,如图， D C 由平面A1CA∩平面ABCD=AC,因此A1E⊥平面ABCD,即直线A1C与平面ABCD所成角为LA1CA, Ad=a+i,则Ad=a+=2++2a.石=3，即AC=vV3, 由AABB,及选项C,C=0,则n∠A,CA=店=号D嘴误 故选：D 8.当直线MN的斜率不存在时，设直线MN的方程为x=co,-2V≤x0≤2√A, 联立等+苦=1，可得 =0 =8×V1-1 所以MW=2W3×/1-4: 所以△NON的前积为Saow=V店ay1-兰 由P+PN=了，可得P为MN的中点，所以P(,0), 因为点P在椭圆C2上，所以0=±2WA,所以SAMON=2V3×/A(1-), 当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=sc+t, 联立号+号-1，消去刺得，4g2+3)r2+8运+-12=0. y=sx+t ∴.△=64s2-4(4s2+3)(4t2-12)=48(4s2-t2+3)>0, 吸eN2:h则+幻购12 4s2+3 4十边=8+2)+2光4gt 3t = 2 2 4十3+t=42+3' 所以P点坐标为-42+34g2+3 4st 3t 因为点P在椭圆C2上，所以t=λ(4s2+3), 因为原点O到直线MN的距离为一4 v1+s2 |MN=V1+g21z2-x=V1+g2×V√1+2)2-412， 所以A MON的面积为SNON=H一4=2v3YP+3 4s2+3 -23×VAa+可×y=s+可=2wW3×VA1-. 4s2+3 综上，SAMON=2VB×VA(1-),又0<X<1 又sow=2×V0-刃-28×y()+ 1 所以当A=2时，△M0N的面积最大， 故选：B. 9.由椭圆方程可知，a=5,b=3,c=√a2-2=4, 所以萌圆的离心率阳=日=专故4错误： 由椭圆定义知P+PF2=2a=10,故B正确； 又E=2C=8,因为∠FPF2=90°，所以PF2+|PF22=E2=64, (PF+P2)2=|PF2+|PF22+2P川PF2|=64+2 PF PF2=100 解得：PAPR=18,所以△APB的面积为PFPE=9,故C正确： 1 1 1/1 1 PaI+P》=(+P器+PR） PF2l PF PEI+PEI=10PEI+PEl) 因≤路 2PF2≤9， g≤P 设器-e[日可，由对纠两数的性贡可得函刊=t+在6 PFI 上单调递减，在[1,9上单调递增，且 ()=1o 82 所以 82 PF PE 91 1 所以 10 ,故D正确。 PlPF/max 10 9 故选：BCD. 10.因为x2+22-2x-2=0→(x-1)2+y2=3, 所以圆c的圆心C(1,0),半径为r=√3. 对于A项，x2+y表示圆上的点P(x,)到定点0(0,0)距离的平方，如图所示， 所以x2+2的最大值为(0C+r)}2=(W1-2+02+V=1+V3③2=4+2√3，故A项错误： 对于B项，y+表示圆上的点（红，g)与点M(-1,-1)的连线的斜率，如图所示， x+1 设k=y+上， x+11 即kx-y+k-1=0, 由圆心C(1,0)到直线kx一y+k-1=0的距离d= 12k-1 ≤r, Vk2+1 即2k-1 √2+1 ≤V3,解得2-6≤k≤2+V6, 所议号的最大值为2+心.数郑项确， 对于C项，设过点(0，√②)作曲线C的切线，则其斜率存在，故可设切线方程为y=mx+√2， 由圆心到直线的距离d=r可得m+v Vm2+1 =V3,解得m=2 所以切线方程为y三2：+V②，即z-V2g+2=0,故c项正确 对于D项，口-y+3引=V2×巴一+3到表示圆上任意一点Q到直线2一g+3=0的距离的V2倍，如图所示， 2 又圆心c到直线：-y+3=0的距离d=4=2V2, 2 所以圆上任意一点Q到直线x-y+3=0的距离的最小值为d-r=2v2-V3, 所以x-y+3的最小值为V2(2V2-V③)=4-V6,故D项错误。 故选：BC. 11.由正方体的性质知，D1B⊥平面A1C1D, 若点F不与B重合，因为D1F⊥平面A1C1D, 则D1F/D1B,与D1F∩DB=D1矛盾， 故当D1F⊥平面A1CD时，点F与B重合，故A正确； 因为BP=XBC+uBB1,X,h∈[0,1， 所以点P在平面BCC1B1上， 因为DP=√D1C2+CP2=√4+Cp2=V5, 所以C1P=1, 则动点P的轨迹是以点C1为圆心， 以1为半径的圆的子故其长度为 ,故B正确： 对于C,以点D为坐标原点， 分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz, 如图所示，则A1(2,0,2),C(0,2,2),D1(0,0,2),E(2,1,0), 所以C2=(2,-1,-2),D12=(2,1,-2),A1至=(0,1，-2). 设平面C1D1E的一个法向量为n=(1,,), 平面A1D1E的一个法向量为n2=(c2,2,2), 则 n.C应=21-h-21=0得人1=1 ·D1它=21+h-2a1=01=0 令1=1，a=1,所以7=(1,0,1)， 同理结合 A1运=0得=(0,2,1， .D1应=0 园 因为cosn,= √10 10 所以平面C:DE与平面A1D1E的夹角的余弦值为y 10 ,故C错误： 对于D,过E,F的直线分别交DADC的延长线于点G,M, 然后再分别连接D1MD1G,交侧棱A1A于点H 交侧棱CC于点N,连接EH和NF,如图所示： D C ZA D B B D B(F) G 则得截面为五边形D1HEFN, 截面的周长为6v3 +√2，故D正确. 3 故选：ABD 12.由方程22 m+2>0 m+2+6-m =1表示的曲线为椭圆，则满足 6-m>0 m+2≠6-m 解得-2<m<2或2<m<6,所以实数m的取值范围为(-2,2)儿U2,6). 故答案为：（-2,2)儿U2,6) 13.由x2+2-2x-4划-4=0，得到(x-1)2+(y-2)2=9,所以圆心C(1,2),半径r=3, 如图，IAPI=VPC-AC=VPC-9: 所以四边形PACB的面积S=2×2AP·AC=3VPC-9, 所以当PC最小时，S也最小，此时，PC11, 故PC的方程为y-2=x-1,即x-y+1=0, 联立y十！0解得：=是y=号即P(多) 0x+y+2=0 所以直线AB的方程为（多-）e-)+(号-2）。-)=0， 化简得：5c+5y+3=0. YA 故答案为：5x+5y+3=0 14.设球0半径为r,由题意知：OB⊥AB,OB=T,∠BAO=60°， OBT 2r ∴.IOA= sm2BA0=百=V51 椭圆的长半轴长a=1oA=20 3 椭圆短半轴长为球的半径，即b=, 所以e2-c 62 =1- a2s1、 1 椭圆的离心率为号 故答案为： 1 B 15.(1)设点P(2,5)关于直线l:y=3x+7的对称点的坐标为(a,b), b-5 a-2 ×3=-1 则有题意可得 解得 a=- b+5 =3×些+7 b=器 故点P(2,5)关于直线l:y=3x+7的对称点的坐标为 /1433\ -55 2)由3=3x+7可得=2 y=x+3y=1 直线y=x+3与直线：y=3x+7的交点为E(-2,1), 再在直线y=x+3上取一点M(0,3) 设点M(0,3)关于直线l:y=3x+7的对称点为N(m,n), 则由 ∫"2×3=-1 =3×受+7 解得m-号 2 (n=19 5 即N 1219 55 由题意可得E、N两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为-7，