2026年北京市海淀区教师进修学校附属实验学校中考数学零模试卷

**基本信息** 2026年海淀中考数学零模卷以海洋塑料污染、广告预算优化等真实情境为载体，分层考查几何性质、代数运算、统计应用等核心知识，突出逻辑推理与数学建模能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/16|轴对称与中心对称、多边形内角和、概率计算|第7题结合几何作图考查推理意识，第8题函数图象综合考查抽象能力| |填空题|8/16|函数取值范围、因式分解、统计估计|第16题广告预算分配渗透优化思想，第13题反例设计培养批判性思维| |解答题|12/68|菱形与矩形证明、圆的切线判定、二次函数应用|第25题防腐剂实验数据建模体现数据意识，第27题几何旋转综合考查空间观念|

2026年北京市海淀区教师进修学校中考数学零模试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 1.下列图形中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.A，B是数轴上位于原点O异侧的两点点A在点B的左侧，若点A，B分别对应的实数为a，b，且，则a，，b，中最大的数是(    ) A. a B. C. b D. 3.若一个多边形的每个内角都是，则该多边形为(    ) A. 十边形 B. 八边形 C. 六边形 D. 四边形 4.小明的讲义袋里放了大小相同的试卷共12张，其中语文6张、数学4张、英语2张，他随机地从讲义袋中抽出1张，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为(    ) A. B. C. D. 5.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m可能取的值是(    ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6.据相关资料显示每年的有860万吨塑料垃圾进入海洋，而超过50种鱼类被发现正在食用塑料垃圾，每年至少10亿个海洋生物因塑料制品而失去生命，860万这个数用科学记数法表示正确的是(    ) A. B. C. D. 7.已知锐角如图， 在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作PQ，交射线OB于点D，连接CD； 分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交PQ于点M，N； 连接OM， 根据以上作图过程及所作图形，下列结论： ①； ②； ③； ④若，则 所有正确结论的序号是(    ) A. ①② B. ③④ C. ①②③ D. ①②③④ 8.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B在函数的图象上，直线AB交x轴于点C，交y轴于点D，过点A作轴于点E，过点B作轴于点F，AE与BF交于点G，连接AF，给出下面四个结论：①；②∽；③；④上述结论中，所有正确结论的序号是(    ) A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9.在函数中，自变量x的取值范围是______. 10.在实数范围内因式分解：      . 11.分式方程的解为        . 12.为了解某市中学生上学采用的交通方式的情况，某数学兴趣小组进行了问卷调查，共收回300份有效调查问卷.分析统计后形成如下统计表：根据以下调查结果，试估计从该市随机抽查900名中学生中采用的交通方式为“自行车”的中学生大约为        人. 采用的交通方式 公交车 自行车 私家车 走路 人数 81 39 120 60 13.能说明“若，则”是假命题的一个反例可以是      . 14.如图，PB，PC为的切线，点A在圆周上，且，，连接OP，则OP的长为        . 15.如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点P在正方形ABCD内，是等边三角形，则的面积为      . 16.某互联网公司计划将广告预算分配给甲、乙、丙、丁四个推广渠道.当向一个渠道投入n万元广告费时，公司从该渠道获得的新增用户量单位：千人与n的对应关系如表： 投入万元渠道 1 2 3 4 5 6 甲 50 75 - - - - 乙 35 59 80 95 105 110 丙 25 45 60 70 78 84 丁 20 43 64 80 92 100 如果公司将5万元广告预算分配给这四个渠道，且每个渠道至少投入1万元，为使总新增用户量最大，应向        渠道投入2万元填“甲”“乙”“丙”或“丁”； 如果公司将6万元广告预算分配给这四个渠道中的一个或多个，那么总新增用户量的最大值为        千人. 三、解答题：本题共12小题，共68分。 17.计算： 18.解不等式组： 19.已知，求代数式的值. 20.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在DA，BC的延长线上，且， 求证：四边形EBFD是矩形； 若，，求菱形ABCD的边长. 21.在平面直角坐标系xOy中，函数与的图象交于点 求k，b的值； 当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值，直接写出m的取值范围. 22.某学校开展“浸润书香校园，品诗词之美”读书活动.现有A，B两种诗词书籍整齐地叠放在桌子上，每本A书籍和每本B书籍厚度的比为5：6，根据图中所给出的数据信息，求每本A书籍的厚度. 23.一项知识问答竞赛要求以团队方式参赛，每个团队20名选手.某校准备参加此项竞赛，前期组建了两个团队，经过一段时间的培训后，对两个团队进行了一次预赛，对成绩百分制进行了整理、描述和分析.下面给出了部分信息. 一队成绩的频数分布直方图如下数据分成4组：，，，： 二队成绩如下： 68 69 70 70 71 73 77 78 80 81 82 82 82 82 83 83 83 86 91 94 一、二两队成绩的平均数、众数、中位数如下： 平均数 众数 中位数 一队 77 p 二队 m q 根据以上信息，回答下列问题： 的值为______， p ______填“>”“=”或“<”； 若两队都各去掉一个最高分和一个最低分，则下列判断正确的是______； A.一队成绩的方差增大，二队成绩的方差减小 B.两队成绩的方差都增大 C.一队成绩的方差减小，二队成绩的方差增大 D.两队成绩的方差都减小 为了选出冲击个人冠军的种子选手，学校对这次成绩90分以上的甲、乙、丙三位同学又单独进行了5次测试，平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前.这5次测试的成绩如下： 测试1 测试2 测试3 测试4 测试5 甲 90 94 90 94 91 乙 91 92 92 92 93 丙 93 90 92 93 k 若丙的排序居中，则表中为整数的值为______. 24.如图，AB为的直径，弦，垂足为点P，直线BF与AD延长线交于点F，且 求直线BF与的位置关系：并说明理由. 若，求线段BF的长. 25.某食品厂研究两种天然防腐剂添加剂A和添加剂对面包保质期的影响. 添加剂A的效果在一定浓度范围内随浓度增加而提高，但超过最佳浓度后，由于副作用等原因，保质期反而下降.添加剂B的作用机理不同，通过实验发现，在测试浓度范围内，其保质期与浓度之间近似满足稳定的线性增长关系： 在固定工艺下，改变添加剂A的添加浓度单位：，测得面包的保质期单位：天数据如下： 添加剂浓度 0 20 40 60 80 100 120 保质期天 3 5 8 10 9 7 4 以添加剂浓度c为横坐标，保质期d为纵坐标，在给定的坐标系中描出表中各点，并用平滑曲线连接. ①工厂分析发现，每增加添加剂，成本增加2元；而每延长1天保质期，可减少5元的损失.若增加添加剂能使保质期延长超过______天，则增加浓度是有利的保留一位小数 ②若1kg面包从生产到售出的时间为10天，若保质期不足10天，则每短缺1天会造成5元的损失不足1天的部分按比例计算当添加剂A浓度为时，总成本添加剂成本与损失之和为______元. ①若要求面包保质期至少为8天，且希望使用添加剂的浓度尽可能低，则选择添加剂A比选择添加剂B可以节省______的添加剂保留整数 ②当浓度c在____________范围内时，添加剂 A的保质期至少比添加剂B的保质期多1天保留整数 26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线过点和点 用含a的式子表示b； 点在抛物线上，且过点作x轴的垂线，交抛物线于点P，交直线于点Q，PQ的长随着t的增大而增大，求a的取值范围. 27.在中，，，点D在AB边上，点F在射线AC上，连接FD，将线段FD绕点F逆时针旋转得到线段FE，点E在BC边上. 如图1，点F与点C重合，，求证：E是BC的中点； 如图2，点F在AC的延长线上时，作交AB于点G，用等式表示线段BG与AD的数量关系，并证明. 28.在平面直角坐标系xOy中，的半径为对于的弦AB和点C给出如下定义：若点C在弦AB的垂直平分线上，且点C关于直线AB的对称点在上，则称点C是弦AB的“关联点”. 直线与交于A，B两点.写出一个弦AB的“关联点”的坐标为______； 若点是弦AB的“关联点”，直接写出AB的长； 已知点，对于线段MN上一点S，存在的弦PQ，使得点S是弦PQ的“关联点”.记PQ的长为t，当点S在线段MN上运动时，直接写出t的取值范围. 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年北京市海淀区教师进修学校中考数学零模试卷（解析版） 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 1.下列图形中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：选项中的图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故不符合题意； B.选项中的图形不是轴对称图形而是中心对称图形，故不符合题意； C.选项中的图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故不符合题意； D.选项中的图形是轴对称图形而不是中心对称图形，故符合题意． 故选： 根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 本题主要考查轴对称图形及中心对称图形的识别，做题的关键是掌握中心对称图形与轴对称图形的概念． 2.A，B是数轴上位于原点O异侧的两点点A在点B的左侧，若点A，B分别对应的实数为a，b，且，则a，，b，中最大的数是(    ) A. a B. C. b D. 【答案】B  【解析】解：，B是数轴上位于原点O异侧的两点点A在点B的左侧， ，， ，， ， ， 最大． 故选： 根据点A在点B的左侧，得到点a是负数，点b是正数，是正数，是负数．由得到点A到原点的距离大于点B到原点的距离．所以到原点的距离远，而且是正数． 本题考查的是实数与数轴，理解绝对值的几何意义是关键． 3.若一个多边形的每个内角都是，则该多边形为(    ) A. 十边形 B. 八边形 C. 六边形 D. 四边形 【答案】B  【解析】解：设这个多边形的边数为n，  则有，  解得：，  该多边形为八边形，  故选： 设这个多边形的边数为n，根据n边形内角和为列出方程求解即可． 本题主要考查了正多边形内角和问题，熟练掌握以上知识点是关键． 4.小明的讲义袋里放了大小相同的试卷共12张，其中语文6张、数学4张、英语2张，他随机地从讲义袋中抽出1张，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：小明的讲义袋里放了大小相同的试卷共12页，数学4页． 他随机地从讲义袋中抽出1页，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为 故选： 根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小． 本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率 5.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m可能取的值是(    ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D  【解析】解：一元二次方程有两个不相等的实数根， ，且， 解得：且， 四个选项中只有D选项符合题意． 故选： 根据一元二次方程根的情况，可知一元二次方程根的判别式，再根据一元二次方程根的定义得到，即可解题． 本题考查了一元二次方程根的判别式及定义，掌握相关知识是解题关键． 6.据相关资料显示每年的有860万吨塑料垃圾进入海洋，而超过50种鱼类被发现正在食用塑料垃圾，每年至少10亿个海洋生物因塑料制品而失去生命，860万这个数用科学记数法表示正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：860万 故选： 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 7.已知锐角如图， 在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作PQ，交射线OB于点D，连接CD； 分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交PQ于点M，N； 连接OM， 根据以上作图过程及所作图形，下列结论： ①； ②； ③； ④若，则 所有正确结论的序号是(    ) A. ①② B. ③④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D  【解析】解：由作图可知， ，故①正确； 连接DM，则， ，故②正确， ， ， ， ，故③正确； 连接 ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， 故④正确， 故选： 利用圆周角定理，平行线的判定，等边三角形的判定一一判断即可． 本题考查作图-基本作图，角平分线的定义，平行线的判定，等边三角形的判定，三角形内角和定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 8.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B在函数的图象上，直线AB交x轴于点C，交y轴于点D，过点A作轴于点E，过点B作轴于点F，AE与BF交于点G，连接AF，给出下面四个结论：①；②∽；③；④上述结论中，所有正确结论的序号是(    ) A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】A  【解析】解：①点A，B在函数的图象上， 设点A的坐标为，点B的坐标为， 轴于点E，轴于点F，AE与BF交于点G， ，，，， ，， ，， ， 故结论①正确； ②轴于点E，轴于点F，AE与BF交于点G， ， 四边形OEOEGF是矩形， ， ， 由结论①正确得：， 在和中， ，， ∽， 故结论②正确； ③， ，， 由结论①正确得：， ， ， ， 即， 故结论③正确； ④不妨假设， 过点A作轴，过点B作轴，如图所示： ，， ， 在和中， ， ≌， ， 轴，轴，轴于点E，轴于点F， ，， 四边形AMFG和四边形BNEG都是矩形， ，， ， ， 又四边形OEGF是矩形， 矩形OEGF是正方形， 依题意可知：矩形OEGF不一定是正方形， 结论④不正确， 综上所述：正确的结论的序号是①②③． 故选： ①设点，点，则，，，，进而得，，由此得，，据此可对结论①进行判断； ②证明四边形OEOEGF是矩形得，进而得，结合结论①正确即可判定和相似，据此可对结论②进行判断； ③根据三角形的面积公式得，，再根据由结论①正确得，由此得，则，据此可对结论③进行判断； ④不妨假设，过点A作轴，过点B作轴，证明和全等得，再证明四边形AMFG和四边形BNEG都是矩形得，，由此得，继而得矩形OEGF是正方形，但是依题意可知矩形OEGF不一定是正方形，据此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 此题主要考查了反比例函数图象，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，理解反比例函数图象上点的坐标满足反比例函数的表达式，熟练掌握相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质是解决问题的关键． 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9.在函数中，自变量x的取值范围是______. 【答案】  【解析】解：由题意得：， 解得：， 故答案为： 根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案． 本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 10.在实数范围内因式分解：      . 【答案】  【解析】解：； 故答案为： 原式先提取公因式4a，再利用平方差公式分解因式即可． 本题考查了多项式的因式分解，掌握分解因式的方法是解题的关键； 11.分式方程的解为        . 【答案】  【解析】解：原式， ， ， 当时，， 是原方程的解． 故答案为： 先变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验． 本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握相关知识的运算． 12.为了解某市中学生上学采用的交通方式的情况，某数学兴趣小组进行了问卷调查，共收回300份有效调查问卷.分析统计后形成如下统计表：根据以下调查结果，试估计从该市随机抽查900名中学生中采用的交通方式为“自行车”的中学生大约为        人. 采用的交通方式 公交车 自行车 私家车 走路 人数 81 39 120 60 【答案】117  【解析】解：由题意可知，估计从该市随机抽查900名中学生中采用的交通方式为“自行车”的中学生大约为人 故答案为： 用900乘采用的交通方式为“自行车”的中学生比例即可． 本题考查了统计表以及用样本估计总体，通过统计表求出采用的交通方式为“自行车”的中学生比例是解答本题的关键． 13.能说明“若，则”是假命题的一个反例可以是      . 【答案】答案不唯一  【解析】解：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 当时，满足，但不满足， 可以作为说明命题“若，则”是假命题的一个反例， 故答案为：答案不唯一 要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 选取的x的值不满足“若，则”即可． 本题考查了命题与定理，正确记忆命题写成“如果．，那么．”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假是解题关键． 14.如图，PB，PC为的切线，点A在圆周上，且，，连接OP，则OP的长为        . 【答案】2  【解析】解：连接OB，OC， 由条件可知，， ，PC为的切线， ， ，， ， ， 故答案为： 连接OB，OC，根据圆周角定理可得，再证明，即可得出，在中求出OP的长即可． 本题考查了切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，特殊角的正弦值求边长等知识，熟练掌握以上知识点是关键． 15.如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点P在正方形ABCD内，是等边三角形，则的面积为      . 【答案】  【解析】解：是等边三角形， 点P在BC的垂直平分线上， 点P到CD的距离为1， ， ， ， 的面积为， 故答案为： 的面积为，根据题意分别求出这三个三角形的面积即可解答． 本题考查正方形的性质和三角形的面积，找出三角形面积之间的关系是解题关键． 16.某互联网公司计划将广告预算分配给甲、乙、丙、丁四个推广渠道.当向一个渠道投入n万元广告费时，公司从该渠道获得的新增用户量单位：千人与n的对应关系如表： 投入万元渠道 1 2 3 4 5 6 甲 50 75 - - - - 乙 35 59 80 95 105 110 丙 25 45 60 70 78 84 丁 20 43 64 80 92 100 如果公司将5万元广告预算分配给这四个渠道，且每个渠道至少投入1万元，为使总新增用户量最大，应向        渠道投入2万元填“甲”“乙”“丙”或“丁”； 如果公司将6万元广告预算分配给这四个渠道中的一个或多个，那么总新增用户量的最大值为        千人. 【答案】甲 180   【解析】解：分别求出向各渠道投入2万元后新增用户量： 若向丁渠道投入2万元，则新增用户量为千人； 若向丙渠道投入2万元，则新增用户量为千人； 若向乙渠道投入2万元，则新增用户量为千人； 若向甲渠道投入2万元，则新增用户量为千人； ， 如果公司将5万元广告预算分配给这四个渠道，且每个渠道至少投入1万元，为使总新增用户量最大，应向甲渠道投入2万元， 故答案为：甲； 方案如下： 甲 乙 丙 丁 总新增用户量 0 0 0 6 0 0 1 5 0 0 2 4 0 0 4 2 0 0 3 3 0 0 6 0 0 0 5 1 0 1 0 5 0 1 1 4 0 1 2 3 0 1 3 2 0 1 4 1 0 1 5 0 0 2 0 4 0 2 1 3 0 2 2 2 0 2 3 1 0 2 4 0 0 3 0 3 0 3 1 2 0 3 2 1 0 3 3 0 0 4 0 2 0 4 1 1 0 4 2 0 0 5 0 1 0 5 1 0 0 6 0 0 1 0 0 5 1 0 1 4 1 0 2 3 1 0 3 2 1 0 4 1 1 0 5 0 1 1 0 4 1 1 1 3 1 1 2 2 1 1 4 0 1 1 3 1 1 2 0 3 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 3 0 1 3 0 2 1 3 1 1 1 3 2 0 1 4 0 1 1 4 1 0 1 5 0 0 2 0 0 4 2 0 1 3 2 0 2 2 2 0 3 1 2 0 4 0 2 1 0 3 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 3 0 2 2 0 2 2 2 1 1 2 2 2 0 2 3 0 1 2 4 0 0 2 3 1 0 因此，如果公司将6万元广告预算分配给这四个渠道中的一个或多个，那么总新增用户量的最大值为180千人， 故答案为： 分别求出向各渠道投入2万元后新增用户量，比较即可解答； 列举出所有分配方案，比较即可解答． 本题考查有理数的加法，有理数的大小比较，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 三、解答题：本题共12小题，共68分。 17.计算： 【答案】  【解析】解：原式 原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果． 本题主要考查了零指数幂与负指数幂及特殊三角函数值的混合运算．熟练掌握以上知识点是关键． 18. 解不等式组： 【答案】  【解析】解：， 解不等式①得； 解不等式②得； 故不等式组的解集为 分别求解两个一元一次不等式，再求出其公共解集即可． 本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键． 19.已知，求代数式的值. 【答案】  【解析】解：， ， 由已知得出，再把分式进行化简，最后整体代入求值即可． 本题考查了分式的值，正确计算是解题的关键． 20.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在DA，BC的延长线上，且， 求证：四边形EBFD是矩形； 若，，求菱形ABCD的边长. 【答案】证明见解析；     【解析】证明：四边形ABCD是菱形， ，， ， ， 即， 四边形EBFD是平行四边形， ， ， 平行四边形EBFD是矩形； 解：四边形ABCD是菱形， ，， ， ， ， ， ， 设，， ， ， ， 或不合题意舍去， ， 即菱形ABCD的边长为 先证，则四边形EBFD是平行四边形，再证明，即可得出结论； 根据菱形的性质得到，，求得，设，，根据勾股定理即可得到结论． 本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理以及锐角三角函数定义等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 21.在平面直角坐标系xOy中，函数与的图象交于点 求k，b的值； 当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值，直接写出m的取值范围. 【答案】，；     【解析】解：直线过点， ， 解得， 将点代入得：， 解得 当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值， 的取值范围是 先根据直线过点得出，再将点代入，求出k的值； 根据图象即可求得． 本题是两条直线相交或平行问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键． 22.某学校开展“浸润书香校园，品诗词之美”读书活动.现有A，B两种诗词书籍整齐地叠放在桌子上，每本A书籍和每本B书籍厚度的比为5：6，根据图中所给出的数据信息，求每本A书籍的厚度. 【答案】解：设每本A书籍厚度为xcm，则每本B书籍的厚度为 cm，桌子高度为y cm，  由题意可得  解得  答：每本A书籍厚度为  【解析】设每本A书籍厚度为x cm，桌子高度为y cm，根据图示数据以及每本A书籍和每本B书籍厚度的比为5：6列出方程组，解方程组即可． 本题考查二元一次方程组的应用，关键是找到等量关系列出方程组． 23.一项知识问答竞赛要求以团队方式参赛，每个团队20名选手.某校准备参加此项竞赛，前期组建了两个团队，经过一段时间的培训后，对两个团队进行了一次预赛，对成绩百分制进行了整理、描述和分析.下面给出了部分信息. 一队成绩的频数分布直方图如下数据分成4组：，，，： 二队成绩如下： 68 69 70 70 71 73 77 78 80 81 82 82 82 82 83 83 83 86 91 94 一、二两队成绩的平均数、众数、中位数如下： 平均数 众数 中位数 一队 77 p 二队 m q 根据以上信息，回答下列问题： 的值为______， p ______填“>”“=”或“<”； 若两队都各去掉一个最高分和一个最低分，则下列判断正确的是______； A.一队成绩的方差增大，二队成绩的方差减小 B.两队成绩的方差都增大 C.一队成绩的方差减小，二队成绩的方差增大 D.两队成绩的方差都减小 为了选出冲击个人冠军的种子选手，学校对这次成绩90分以上的甲、乙、丙三位同学又单独进行了5次测试，平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前.这5次测试的成绩如下： 测试1 测试2 测试3 测试4 测试5 甲 90 94 90 94 91 乙 91 92 92 92 93 丙 93 90 92 93 k 若丙的排序居中，则表中为整数的值为______. 【答案】82，<；  D；    【解析】解：由题意得，二队成绩中 82出现的次数最多，故众数，一队成绩的中位数位于“”，二队成绩的中位数为， ；故答案为：82，<； 若两队都各去掉一个最高分和一个最低分，则两队成绩的方差都减小； 故答案为：D； 甲选手的平均数为：， 乙选手的平均数为：， 丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中， 丙选手的平均数大于或等于甲选手的平均数， 名专业评委给乙选手的打分为91，92，92，92，93，乙选手的方差为：， 5名专业评委给丙选手的打分为93，90，92，93，k， 乙选手的方差小于丙选手的方差， 丙选手的平均数大于甲选手的平均数，小于或等于乙选手的平均数， ， ， 为整数， 为整数的值为 故答案为： 根据众数以及中位数的定义解答即可；根据方差的定义意义求解即可； 根据方差的定义和平均数的意义求解即可． 本题考查频数分布直方图，加权平均数、众数、中位数、方差，理解加权平均数、众数、中位数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提． 24.如图，AB为的直径，弦，垂足为点P，直线BF与AD延长线交于点F，且 求直线BF与的位置关系：并说明理由. 若，求线段BF的长. 【答案】直线BF是的切线，理由见解析；    【解析】证明：直线BF是的切线，理由如下： ，，同一弧， ， ， ， ， 直径AB， 直线BF是的切线； 解：连接OC， ， ， 设， ，， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得，舍去， ， ，，， ，， ∽， ，即， 解得： 由圆周角定理可得，进而得到，即；根据平行线的性质可得，再根据垂径定理可得，即直径AB，即可证明结论； 连接OC，由垂径定理可得，设，解直角三角形求得，在中，利用勾股定理求出，由∽可得即可解答． 本题主要考查圆周角定理、切线的判定和性质、三角函数解直角三角形、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识点，正确作出辅助线是解答本题的关键． 25.某食品厂研究两种天然防腐剂添加剂A和添加剂对面包保质期的影响. 添加剂A的效果在一定浓度范围内随浓度增加而提高，但超过最佳浓度后，由于副作用等原因，保质期反而下降.添加剂B的作用机理不同，通过实验发现，在测试浓度范围内，其保质期与浓度之间近似满足稳定的线性增长关系： 在固定工艺下，改变添加剂A的添加浓度单位：，测得面包的保质期单位：天数据如下： 添加剂浓度 0 20 40 60 80 100 120 保质期天 3 5 8 10 9 7 4 以添加剂浓度c为横坐标，保质期d为纵坐标，在给定的坐标系中描出表中各点，并用平滑曲线连接. ①工厂分析发现，每增加添加剂，成本增加2元；而每延长1天保质期，可减少5元的损失.若增加添加剂能使保质期延长超过______天，则增加浓度是有利的保留一位小数 ②若1kg面包从生产到售出的时间为10天，若保质期不足10天，则每短缺1天会造成5元的损失不足1天的部分按比例计算当添加剂A浓度为时，总成本添加剂成本与损失之和为______元. ①若要求面包保质期至少为8天，且希望使用添加剂的浓度尽可能低，则选择添加剂A比选择添加剂B可以节省______的添加剂保留整数 ②当浓度c在____________范围内时，添加剂 A的保质期至少比添加剂B的保质期多1天保留整数 【答案】描点并连线为：       【解析】解：描点并连线为： ①设增加添加剂能使保质期延长x天，增加浓度是有利的，则， 解得， 即增加添加剂能使保质期延长超过天，增加浓度是有利的， 故答案为：； ②由题意可得，当时，， 即当添加剂A浓度为时，保质期为8天， 此时总成本为：元 故答案为：18； ①由表格可知，若选择添加剂A，当时，， 即当保质期至少为8天时，添加剂A至少需要； 若选择添加剂B，当时，，解得， 即当保质期至少为8天时，添加剂B至少需要， 所以选择添加剂A比选择添加剂B可以节省添加剂为， 故答案为：60； ②当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； 由上可知，当时，， 当浓度c在范围内时，添加剂A的保质期至少比添加剂B的保质期多1天． 故答案为：20； 根据题意描点并连线即可； ①设增加添加剂能使保质期延长x天，增加浓度是有利的，根据损失大于成本列出不等式，求解即可； ②即当添加剂A浓度为时，保质期为8天，根据总成本等于添加剂成本与损失之和列出式子求解即可； ①分别求出保质期至少为8天时，添加剂A和添加剂B的浓度，求差即可解答； ②结合表格中添加剂A的浓度，求出相应保质期下添加剂B的浓度，找出符合题意要求的浓度范围即可． 本题考查二次函数的应用，函数的表示方法，二次函数函数图象，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线过点和点 用含a的式子表示b； 点在抛物线上，且过点作x轴的垂线，交抛物线于点P，交直线于点Q，PQ的长随着t的增大而增大，求a的取值范围. 【答案】   【解析】由题意可得： 点A、B关于对称轴对称，又抛物线的对称轴方程为， ，则； 由得， 点在抛物线上，且，， ，则， 由题意，，， ， 解方程得，， 的长随着t的增大而增大， 或， 解得：无解或， 故满足条件的a的取值范围为 根据抛物线的对称性求解即可； 先由求得，由题意，，则，然后根据二次函数的性质求解即可． 本题考查二次函数的图象与系数的关系，正确进行计算是解题关键． 27.在中，，，点D在AB边上，点F在射线AC上，连接FD，将线段FD绕点F逆时针旋转得到线段FE，点E在BC边上. 如图1，点F与点C重合，，求证：E是BC的中点； 如图2，点F在AC的延长线上时，作交AB于点G，用等式表示线段BG与AD的数量关系，并证明. 【答案】，   ，   ，，   ，   整理得，，   解得，   ，   点E是BC的中点  ，   在AB上取一点M，使得，连EM，取BG的中点N，连接EN，      ，   两直线平行，内错角相等，   ，   ，即，   ，   ，   又，   ，   ，   ，   又，   ≌，   ，，   ，   ，     【解析】证明：，  ，  ，，  ，  整理得，，  解得，  ，  点E是BC的中点；  解：，理由为：  在AB上取一点M，使得，连EM，取BG的中点N，连接EN，    ，  两直线平行，内错角相等，  ，  ，即，  ，  ，  又，  ，  ，  ，  又，  ≌，  ，，  ，  ，  根据直角三角形的两锐角互余求出，再根据角的直角三角形的性质解答即可；  在AB上取一点M，使得，连EM，取BG的中点N，连接EN，即可得到，，然后证明≌，得到，，即可得到，解答即可． 本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 28.在平面直角坐标系xOy中，的半径为对于的弦AB和点C给出如下定义：若点C在弦AB的垂直平分线上，且点C关于直线AB的对称点在上，则称点C是弦AB的“关联点”. 直线与交于A，B两点.写出一个弦AB的“关联点”的坐标为______； 若点是弦AB的“关联点”，直接写出AB的长； 已知点，对于线段MN上一点S，存在的弦PQ，使得点S是弦PQ的“关联点”.记PQ的长为t，当点S在线段MN上运动时，直接写出t的取值范围. 【答案】；  或；  或  【解析】点C在弦AB的垂直平分线，AB为的弦， 的垂直平分线过点O， 若点C在外或者圆上， 则连接CO并延长交于点D，作CD的垂直平分线与交于AB即为所求． 若点C在内， 则直线CO与交于点D，E，CD垂直平分线交于A，B，CE垂直平分线交于， 如图， 由定义可知是弦AB的“关联点”， 故答案为：； 由垂径定理可知，弦AB的垂直平分线过圆心O， 点是弦AB的“关联点”， 为弦AB的垂直平分线， 点关于直线AB的对称点为或， 当对称点为时，直线AB为，如图1，线段， 则，， 由勾股定理得，， ； 当对称点为时，直线AB为，如图1，线段， 则，， 由勾股定理得，， ； 综上所述，AB的长为； 如图，设MN交于K， 当于S时，设OS交于S，作线段的垂直平分线交于P，Q，OS交PQ于E，连接OP， 在中，， ， ， ，， 是的中点， ， ， ， 半径， ， 当点S沿线段NM运动到接近上时，PQ逐渐减小， ； 当点S与M重合时，则，PQ与互相垂直平分，如图，连接OP， ，， ， 在中，， ， 当点S运动到点K时，如图，经过点O，PQ与互相垂直平分， ， ； 综上所述，t的取值范围为； 由点坐标可知弦AB的垂直平分线为x轴，根据新定义求出各点关于弦AB对称的点坐标，然后根据是否在上，进行判断作答即可； 由垂径定理可知，弦AB的垂直平分线过圆心O，则OC为弦AB的垂直平分线，点关于直线AB的对称点为或，然后作图，构造直角三角形，利用勾股定理，垂径定理求解即可； 根据点，结合“关联点”的定义和垂径定理，分别求得PQ的极值即可得出的取值范围． 本题考查了垂径定理，轴对称的性质，中点坐标，勾股定理等知识．熟练掌握垂径定理，轴对称的性质，中点坐标，勾股定理，理解题意联系所学知识是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $