第27章 培优专题1：反比例函数的定义、图像与性质 2025-2026学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦反比例函数定义、图像与性质，通过分层题型构建从概念应用到对称性拓展的逻辑体系，培养抽象能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义与图象|2题型+2变式|用定义求参数、函数图象共存|从定义（抽象参数）到图像（几何直观），建立k值与图像分布的关联| |比较坐标大小|2题型+4例题|知横/纵坐标比大小|结合增减性与象限分布，发展推理意识| |求变量取值范围|3题型+8小问|知x/y范围求y/x范围、参数范围|通过图像分析变量关系，强化应用意识| |中心对称性|3题型+3例题|求值、判断图形形状、求面积|利用中心对称性质解决综合问题，深化空间观念| |轴对称性|2题型+3例题|求交点坐标、转特殊角|结合轴对称性质探究几何图形与函数关系，提升创新意识|

第27章培优专题1：反比例函数的定义、 图像与性质 定义与图象 一、用定义求参数 1.若函 数y=m+4x3m-5是反比例函数，则m的值为（) A.-4B.1C.1或-4D.-1或4 答案：B 解：由题意，得m2+3m-5=-1,且m+4≠0，解得m=1.故选B. 注意： 关于y=《是反比例函数的条件： (1)x的指数为-1； (2)k≠0. 若y=m+1是反比例函数，则m的值为（） 1.1 A.1B.-1C.±1D.任意实数 答案：A 解：y=m+1x是反比例函数，m-2=-1且m+120,解得m=1故选 A. 1/12 二、图象共存 2在同一平西直角坐标系中，函数y=m+n与y=(笑中m,n是常数， mn≠0)的大致图象可能是（) 答案：C 解：A.由直线位置，得m<0,n<0,.n>0,不合题意：B.由直线位置，得 m m>0,n>0,.卫>0，不合题意：C.由直线位置，得m<0,n>0,.n<0,符 m m 合题意；D.由直线位置，得m>0,n<0,n<0,不合题意.故选C. m 2.1如图，已知二次函数y=ax+bx+c的部分图象，则一次函数 y=Cx+b-4ac与反比例函数y=a+2b+4C在同一平面直角坐标系中的图象大致 4x 是() 来米六 答案：A 解：由图象得，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，∴.C>0.,抛物线与x轴 有两个交点，∴.b2-4ac>0,∴.一次函数y=Cx+b2-4ac的图象经过第一、二、 2/12 三象限：当x=时，y=0+号0+c>0,则a+2b+4c>0,反比例画数 2 y=a+2h+4C的图象在第一、三象限，故选A 4x 比较坐标的大小 1. 模型1： (k>0) B Oa b x 条件：0<a<b a<0<b 结论：0<yy y<O<V 2. 模型2： 2 B.yg (k<0) A b a 条件： a ys a<b<0 a<0<b 结论： 0<y<yB y<0<y, 一、知横坐标比纵坐标 3.若点-2，y小，1，y,3,在反比例函数y=2+k的图象上，则 X y1,y2,y3的大小关系是 答案：2>y3>y1解：2+k2>0,.图象在一、三象限， 3/12 .-2<0<1<3,.y1<0<y3<y2.故答案为y2>y3>y1 3.1若点Ax1,yBx,y,CX,y都在反比例函数y=-m-1的 图象上，并且x2<x1<0<x3,则y1,y2,y3的大小关系是（) A.y2>y1>y3B.y1>y2>y3C.y3>y2>y1D.y3>y1>y2 答案：B 解：k=-㎡-1<0，X<X<0<,y>0,为>0，y<0在第二象限y 随x的增大而增大，·y2<y1,即y3<y2<y1. 二、知纵坐标比横坐标 4.若点A(x1,2,Bx,1,C(X,4到都在反比倒函数y=k2-2k+2的图 象上，则x1’X2,X3的大小关系是 答案：X3<X1<X2 解：K-2k+2=k-1+1>0,A,B,C三点均在第一象限，y随x的增 大而减小， ,1<2<4,∴.X3<X1<x2 4.1若点Aa,y,Bb,y,Cc,y都在反比例函数y=-m-1的图 X 象上，且y1<y2<0<y3,则a,b,c的大小关系是() A.c>b>aB.c>a>bC.a>b>cD.b>a>c 答案：D 解：k=-m-1<0,此函数图象位于二、四象限，y1<y2<0,点 Aa,y,Bb,y,在第四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大， 4/12 b>a>0,y>0,∴Cc,y在第二象限，c<0,a,b,c的大小关 系是b>a>c 求变量的取值范围 1.知x的范围，求y的范围 模型1：(k>0) x-a (1)若x>a,则0<y<m; b 若0<x<a,则y>m; (2)若b<x<0,则y<n; 若x<b,则n<y<0. x=b 模型2：(k<0) (1)若x>a,则m<y<0; ;a 若0<x<a,则y<m; (2)若b<x<0,则y>n; 若x<b,则0<y<n x=b 2.知y的范围，求x的范围 模型1：(k>0) m (1)当y>m时，0<x<a; 当y<m时，x>a或x<0: (2)当y>n时，x<b或x>0; 当y<n时，b<x<0 模型2：(k<0) m.y-m (1)当y>m时，a<x<0; 当y<m时，x<a或x>0: (2)当y<n时，0<x<b; y-n 当y>n时，x>b或x<0. 5/12 一、知x的范围，求y的范围 5.已知反比例函数y= (1)当x>1时，y的取值范围是 (2)当x←2时，y的取值范围是 (3)当-2<x≤3，且x≠0时，y的取值范围是 答案： (1)0<y<6 (2)-3<y<0 (3)y←3或y≥2 二、知y的范围，求x的范围 6.已知反比例函数y=-8 (1)当y≤2时，x的取值范围是 (2)当-4≤y<0时，x的取值范围是 (3)当-4<y≤2，且y≠0时，x的取值范围是 答案： 6/12 (1)X≤-4或x>0 (2)x≥2 (3)X>2或x≤-4 三、求参数的取值范围 7.若点AX1,t-1,BX,t+1在反比例函数y=k<0)的图象上，且 x<x2,则t的取值范围是（) A.t←1B.-1<t<1C.t>1D.t←1或t>1 答案：D 8.已知反比例函数y=K(k为常数)的图象上有三点AX1,一2， Bx,a,CX,3若X,<X<X”则a的取值范围是（） A.a>3B.a←2C.a>3或a←2D.-2<a<3. 答案：C 7/12 反比例函数的中心对称性 一、用中心对称性求值 9.若直线y=ak>0与双曲线y=2的交点为X,y,X,y,则 2x1y2-5x2y1的值为 答案：6 解：由题意知，直线y=xk>0过原点和一、三象限，且与双曲线y=2交于 两点，则这两点关于原点对称，·1=-2，y1=-y2,又.点A、点B在双曲线 y=2上，Xy=2,Xy2=2, .原式i-2x2y2+5x2y2=-2×2+5×2=6. 9.1如图，一次函数y=2x与反比例函数y=2的图象相交于A,B两点，以 AB为边作等边三角形ABC,若反比例函数y=《的图象过点C,则k的值为 答案：-6 解：由题意，得A1,2,B(-1,-2..A,B关于原点对称..AB的垂直 平分线0C过原点：直线AB为y=2x,可得直线0C为y=x:设CQ,0 又△ABC为等边三角形， 8/12 AC=AB,a-1+2a-2=2+4,a=±23 ∴.C-23,V3.∴.k=-6 二、用中心对称性判断图形形状 10.设A,B,C,D是反比例函数y=《图象上的任意四点，现有以下结论： ①四边形ABCD可以是平行四边形；②四边形ABCD可以是菱形；③四边形 ABCD不可能是矩形；④四边形ABCD不可能是正方形.其中正确的是 (写出所有正确结论的序号) 答案：①④ 解：如图，由反比例函数的对称性，得OA=OC,OB=OD,.四边形 ABCD是平行四边形.AC,BD不可能垂直，∴.四边形不可能为菱形或正方形. 故答案为①④. 三、用中心对称性求面积 11.如图，在平面直角坐标系中，正方形的中心在原点O,且正方形的一组 对边与x轴平行，若正方形的边长是2，则图中阴影部分的面积等于 9/12 答案：1 解：设反比例函数解析式y=《,由题意，得点P坐标为，1)，·正方形与双 曲线均关于坐标原点O中心对称，第三象限的阴影部分的图形与第一象限位 于正方形内部的空白部分的图形全等，故图中阴影部分的面积为1×1=1. 反比例函数的轴对称性 一、用轴对称性求，点的坐标 12.若反比例函数y=6与一次函数y=X+b的图象交于点Am,n,利用图 X 象的对称性可知它们的另一个交点是() A.n,m B.-n,-m C.-m,-nD.-m,n) 答案：B 解：反比例函数y=与一次函数y=X+b的图象均关于直线y=一x对称， 反比例函数y=6与一次函数y=x+b的图象的两个交点关于直线y=一x对称，由 Am,n得另一交点的坐标为(-n,-md.故选B. 10/12 二、用轴对称性转特殊角 13.如图，菱形ABCD的顶点A在函数y=3x>0的图象上，函数y=k0)的 图象关于直线AC对称，且经过B,D两点，若AB=2,∠BAD=30°，则k的值 为 0 答案：6+23 解：连接AC,过点B作BM⊥x轴于点M,过点A作AN⊥BM于点N.,函数 y=(k>3,X>0)的图象关于直线AC对称，设At,t,将At,t代入 y=3x0,得 X t=V3,.A3,V3,∠CAN=45°，.∠BAD=30°，∴.∠BAC=15°，∴.∠BAN=45°-15°=30 13.1如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶 点A,C分别在x轴，y轴上，反比例函数y=《k>0,X>0的图象与正方形的两 边AB,BC分别交于点M,N,连接OM,ON,MN,若∠MON=45°，MN=2, 11/12 则k的值为 答案：2+1 解：连接OB交MN于点H. '正方形OABC与双曲线的组合图形关于直线y=x对称， ∴.BM=BN,AM=CN,∠AOM=∠CON,∠BOM=∠BON, .∠MON=45°，∠AOM=∠HOM=∠HON=∠CON, ∴.AM=MH=NH=NC, .MN=2, ∴.AM=1,BM=2,AB=OA=2+1,∴.M2+1,1,.k=2+1 12/12第27章培优专题1：反比例函数的定义、 图像与性质 定义与图象 一、用定义求参数 1.若函数y=(m+4)xm43r5是反比例函数，则m的值为（) A.-4B.1C.1或-4D.-1或4 1.1若y=(m+1)2是反比例函数，则m的值为（) A.1B.-1C.±1D.任意实数 二、图象共存 2.在同一平面直角坐标系中，函数y=x+n与y=品（其中m,n是常数， mn≠0)的大致图象可能是（) 早帝年子 2.1如图，已知二次函数y=x2+bx+c的部分图象，则一次函数 y=K+b2.4ac与反比例函数y=+4在同一平面直角坐标系中的图象大致是 () 1/7 比较坐标的大小 1 模型1： (k>0) ya B 条件： 0<a<b a<0<b 结论：0<yy4 V<O<V 2. 模型2： B队y (k<0) A a 6 条件： a<b<0 a<0<b 结论： 0<y<yB V <O<V, 一、知横坐标比纵坐标 3.若点(2，y),(1,y2),(3,y3)在反比例函数y=楼的图象上，则 y1y2y3的大小关系是 3.1若点A(81y),B(x2y2),C(x3y3)都在反比例函数y=1的图象 上，并且x2<8<0<3,则y1y2y3的大小关系是（) 2/7 A.y2>y>ys B.y>y2>y3 Cys>y2>y1 D.y3>y>y2 二、知纵坐标比横坐标 4.若点A(8,2),B(x2,1),C(83,4)都在反比例函数y=2的图象上， 则x1,X2,83的大小关系是 4.1若点A(a,y),B(b,y2),C(C,y3)都在反比例函数y=g2的图象上， 且y<y2<0<y3,则a,b,c的大小关系是（) A.c>b>a B.c>a>b ca>b>c D.b>a>c 求变量的取值范围 1.知x的范围，求y的范围 模型1：(k>0) (1)若x>a,则0<y<m; 若0<x<a,则y>m; (2)若b<x<0,则y<n; 若x<b,则n<y<0. x=b 模型2：(k<0) (1)若x>a,则m<y<0; 若0<x<a,则y<m: (2)若b<x<0,则y>n; 若x<b,则0<y<n. x=6 2.知y的范围，求x的范围 3/7 模型1：(k>0) y=m (1)当y>m时，0<x<a; 0 当y<m时，x>a或x<0; x(2)当y>n时，x<b或x>0: 当y<n时，b<x<0. 模型2：(k<0) y m y=m (1)当y>m时，a<x<0; 当y<m时，x<a或x>0; (2)当y<n时，0<x<b; 当y>n时，x>b或x<0. 一、知x的范围，求y的范围 5.已知反比例函数y=. (1)当x>1时，y的取值范围是 (2)当x<-2时，y的取值范围是 (3)当-2<x≤3，且x≠0时，y的取值范围是 二、知y的范围，求x的范围 6.已知反比例函数y=-是 (1)当y≤2时，x的取值范围是 (2)当-4≤y<0时，x的取值范围是 (3)当-4<y≤2，且y≠0时，x的取值范围是 4/7 三、求参数的取值范围 7.若点A(81,t-1),B(2,t+1)在反比例函数y=袋(k<0)的图象上，且 81<2,则t的取值范围是（) A.t<-1B.-1<t<1Ct>1D.t<-1或t>1 8.已知反比例函数y=登(k为常数)的图象上有三点A(81,-2), B(82,),C(3,3),若x3<2<81,则a的取值范围是（) A.a>3B.a<-2Ca>3或a<-2D.-2<a<3. 反比例函数的中心对称性 一、用中心对称性求值 9.若直线y=w(k>0)与双曲线y=员的交点为(1y1),(x2y2),则 2xy2°5x2y1的值为 9.1如图，一次函数y=2x与反比例函数y=爱的图象相交于A,B两点，以 AB为边作等边三角形ABC,若反比例函数y=的图象过点C,则k的值为 5/7 二、用中心对称性判断图形形状 10.设A,B,C,D是反比例函数y=图象上的任意四点，现有以下结论：① 四边形ABCD可以是平行四边形；②四边形ABCD可以是菱形；③四边形ABCD不 可能是矩形；④四边形ABCD不可能是正方形.其中正确的是 .(写出所有 正确结论的序号) 三、用中心对称性求面积 11.如图，在平面直角坐标系中，正方形的中心在原点0，且正方形的一组 对边与x轴平行，若正方形的边长是2，则图中阴影部分的面积等于 反比例函数的轴对称性 一、用轴对称性求点的坐标 12.若反比例函数y=是与一次函数y=x+b的图象交于点A(m,n),利用 图象的对称性可知它们的另一个交点是() A.(n,m)B.(-n,-m)C(-m,-n)D.(-m,n) 6/7 二、用轴对称性转特殊角 13.如图，菱形ABCD的顶点A在函数y=(x>0)的图象上，函数 y=(k>3,x>0)的图象关于直线AC对称，且经过B,D两点，若 AB=2,∠BAD=30°，则k的值为 0 13.1如图，在平面直角坐标系中，正方形0ABC的顶，点0与原点重合，顶点 A,C分别在x轴，y轴上，反比例函数y=(k>0,x>0)的图象与正方形的两边 AB,BC分别交于点M,N,连接OM,ON,MN,若∠MON=45°，MN=2,则k的值 为 7/7