3.5　一次函数与二元一次方程的关系 教案 2025-2026学年湘教版数学八年级下册

3.5　一次函数与二元一次方程的关系 　　【教学目标】 1.掌握作函数图象解二元一次方程的方法; 2.掌握利用二元一次方程确定一次函数表达式的方法; 3.进一步理解方程与函数的联系; 4.通过学生的思考和操作,引入二元一次方程与一次函数的关系,同时培养学生初步的数形结合的意识和能力. 【重点难点】 重点:1.二元一次方程和一次函数的关系; 2.能根据一次函数的图象求二元一次方程的解. 难点:方程和函数之间的对应关系即数形结合的意识和能力. 【教学过程】 一、复习 1. 同学们:什么叫二元一次方程及二元一次方程的解? 2.一次函数的图象是什么? 二、探究归纳 问题1:一次函数y=5-x的图象如图所示. (1)方程x+y=5的解有多少个?写出其中的几个. (2)在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点,它们在一次函数y=5-x的图象上吗? (3)在一次函数y=5-x的图象上任取一点,它的坐标满足方程x+y=5吗? (4)以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=5-x的图象相同吗? 分析:(1)方程x+y=5的解有无数多个,如:,等; (2)在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点,它们在一次函数y=5-x的图象上; (3)在一次函数y=5-x的图像上任取一点,它的坐标满足方程x+y=5; (4)以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=5-x的图象相同. 总结: 一般地,一次函数y=kx+b图象上任意一点的坐标都是二元一次方程kx-y+b=0的一个解,以二元一次方程kx-y+b=0的解为坐标的点都在一次函数y=kx+b的图象上. 在平面直角坐标系中,关于x,y的二元一次方程ax+by+c=0(a≠0,b≠0)表示一条直线,这条直线是一次函数y=-x-的图象. 问题2:你能找到下面两个问题之间的联系吗? (1)解方程:3x-6=0. (2)已知一次函数y=3x-6.问x取何值时,y=0? 解:(1)方程3x-6=0的解为x=2. (2)画出函数y=3x-6的图象(如图). 从图中可以看出,一次函数y=3x-6的图象与x轴交于点(2,0).这就是当y=0时,得x=2,而x=2正是方程3x-6=0的解. 总结:一般地,一次函数y=kx +b(k≠0)的图象与x轴的交点的横坐标是一元一次方程kx+b=0的解. 任何一个一元一次方程kx+b=0的解,就是一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标. 二元一次方程kx-y+b=0(k≠0)所表示的直线与x轴的交点坐标为(-,0). 例3　已知一次函数y=2x+6,求这个函数的图象与x轴交点的横坐标. 1.学生先独立思考,写出自己的解答过程 2.小组内交流,找出不同的方法 3.学生口答解题过程 方法一:(1)令y=0,解方程2x+6=0,得x=-3. 所以一次函数y=2x+6的图象与x轴交点的横坐标为-3. 方法二:画出函数y=2x+6的图象(如图). 直线y=2x+6与x轴交于点(-3,0),所以该图象与x轴交点的横坐标为-3. 三、交流反思 解一个二元一次方程ax+b=0,可以先写出二元一次方程对应的一次函数,其图象与x轴的交点坐标即为二元一次方程的解;反之,求直角坐标系中一次函数与x轴的交点坐标,可以转化成解二元一次方程ax+b=0. 四、板书设计 3.5一次函数与二元一次方程的关系 问题1 问题2 例 …… …… …… …… …… …… 　　五、教学反思 本节课学生要掌握的知识点是一次函数与二元一次方程的关系,要努力帮助学生,让其对所学的知识进行反思、归纳和总结.在整个教学过程中,教师应该利用多媒体,演示知识的形成过程,突破学生理解上的难点,同时提升学生的思维水平. 优点:为了突破重难点,在教学过程中,采用问题串的形式引导学生动手操作、自主探索来研究发现“二元一次方程的解”与“一次函数图象与x轴的交点坐标”两者之间的内在联系. 缺点:重点不突出,效果一般. 学科网（北京）股份有限公司 $