专题09 动态几何与函数综合12大题型（解答压轴题专练）（全国通用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专题 09 动态几何与函数综合（解答压轴题） 命题预测 动态几何与函数综合是中考数学区分度最高、压轴权重最大的核心模块，融合几何动点、动线、动图形与一次函数、反比例函数、二次函数深度联动，是选择压轴、填空压轴、解答压轴大题的必考核心。动点→函数图象判断是本专题最常考的压轴题，通常为选择题压轴题，是中考复习必须重点突破的模块。综合题分值高、设问角度灵活，集几何变换、图形性质、函数解析式、分类讨论、最值探究于一体，题型规律固定、答题模板性强，熟练掌握模型与解题套路，对中考拔高提分至关重要。预计 2026 年中考命题仍将围绕动点图象判断、动态几何解析式求解、动态存在性、线段与面积最值、几何与函数融合探究等核心题型展开，延续 “小题考图象、大题考综合、压轴考探究” 的命题格局，重点考查数形结合、分类讨论、建模转化、几何直观四大核心素养。 高频考法 题型01 动点运动与分段函数图象分析压轴 题型02 二次函数背景下线段最值问题 题型03 铅垂法求动态几何面积最值问题 题型04 动点三角形面积定值与最大值探究 题型05 将军饮马与二次函数综合最值问题 题型06 动态几何线段和、差最值综合压轴 题型07 折叠变换与二次函数几何综合 题型08 旋转变换与坐标系函数综合压轴 题型09 二次函数与周长最值问题 题型10 一次函数与几何动点综合解答压轴 题型11 反比例函数与几何图形动态综合 题型12 动态几何中的角度定值与等角探究 典例·靶向·突破 题型01 动点运动与分段函数图象分析压轴 1．（2026·安徽合肥·一模）如图1，在等腰中，，动点D从点A开始沿边以每秒1个单位长度的速度运动到点B，同时，动点E从点B开始沿边以相同速度运动到点C，连接，点F为中点．设时间为，为y，y关于t的函数图象如图2所示，下列结论不正确的是（   ） A． B．连接，有最小值为 C．若点M是边的中点，则的最小值为1 D．连接，则的最小值为 2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，，的长是一元二次方程的根，过点作交于点，交对角线于点．动点从点以每秒1个单位长度的速度沿向终点运动，动点从点以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，、两点同时出发，设运动时间为秒．连接、，的面积关于运动时间的函数图象大致是（    ） A．B．C． D． 3．（2024·河南周口·模拟预测）如图1，在中，，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿线段运动，到点停止．同时动点以每秒4个单位长度的速度从点出发，沿折线运动，到点停止．图2是点、运动时，的面积随运动时间变化关系的图象，则的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·安徽阜阳·一模）如图，在边长为4的菱形中，，动点P从点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止，过点P作的垂线交菱形的边于另一点Q，在点P运动的过程中，记的面积为y，点P运动的路程为x，则y与x之间的函数图象大致是（    ） A．B．C．D． 题型02 二次函数背景下线段最值问题 5．（2026·河南周口·一模）如图，抛物线 经过点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是抛物线上的动点，过点P作轴于点D，交直线于点E，当点P在第一象限时，求线段的最大值； (3)在（2）的条件下，当取得最大值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）综合与探究 如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，点B的坐标为，顶点D的坐标为．点P为抛物线上第一象限内一点，过点P作交于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)点F在直线上，平面内存在点Q，使以点C，D，F，Q为顶点的四边形为正方形，点Q的坐标为________； (3)求的最大值； (4)点M为直线上一动点，连接并延长至点N，使，连接，当的值最大时，的最小值为________． 7．（25-26九年级上·湖北黄石·月考）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，作直线． (1)求抛物线的解析式． (2)如图，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，交于，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在请说明理由． (3)设点，点，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，以，为边构造正方形． ①用含的式子表示点的坐标； ②当正方形的边与二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点时，请直接写出的值或取值范围． 题型03 铅垂法求动态几何面积最值问题 8．（2026·广东中山·模拟预测）学校数学兴趣小组在探究二次函数最值问题的数学活动时，发现一个有趣现象：如图，直线与抛物线交于两点．点为抛物线上的动点，过点且平行于轴的直线交直线于点．当点在直线下方时，连接得到．当面积最大时，点在什么位置？ (1)数学兴趣小组成员很快就求出点的坐标，请你也求出点的坐标． (2)机智的小涛同学通过计算发现，当面积最大时，点与线段有特殊的位置关系，请你写出小涛的结论． (3)爱动脑筋的小婷根据小涛的发现提出了一个大胆的猜想：本类问题中，当面积取最大值时，动点的位置和直线与抛物线的交点都有这种“特殊关系”，请说明这种“特殊关系”是什么？并证明结论． 9．（2026·安徽池州·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于点，，点，过，的直线解析式为，为第二象限内抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)求四边形面积的取值范围； (3)若的面积为，的面积为，求的最大值． 10．（2026·陕西西安·二模）如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线相交于点M，连接． (1)求该抛物线的解析式； (2)在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使得与的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 题型04 动点三角形面积定值与最大值探究 11．（2026·山东潍坊·三模）如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴相交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点． ①连接，，当四边形的面积最大时，求此时点的坐标和四边形面积的最大值； ②探究是否存在点使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 12．（2025·青海西宁·一模）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知． (1)求抛物线的表达式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)点M是线段BC上的一个动点，过点M作x轴的垂线，与抛物线相交于点N，当点M移动到什么位置时，使的面积最大？求出的最大面积及此时M点的坐标． 13．（2025·安徽蚌埠·二模）已知二次函数图象的顶点是，且经过点． (1)求二次函数的解析式； (2)一次函数的图象经过点，与二次函数的图象交于A，B两点点在点的左侧），过点，分别作轴于点，轴于点． ①若点横坐标为2，求的长，并直接写出不等式的解； ②分别用，，，表示，，的面积，则的值是否为定值，若是，请求出该定值，若不是，请说明理由． 14．（2026·广东江门·一模）如图1，直线与反比例函数的图象在第一、三象限交于点A，B，与x轴、y轴分别交于点C，D，过点A作轴于点E，点F为x轴上一点，直线与直线关于直线对称． (1)若，，点A的横坐标为3，求反比例函数的解析式； (2)如图2，过点F作轴交于点G，过点A作于点P，连接．若k为定值，求证：的面积为定值； (3)在（1）的条件下，设抛物线的顶点为点Q，在平面直角坐标系中存在点Q，使最大，请直接写出点Q的坐标． 题型05 将军饮马与二次函数综合最值问题 15．（2024·山东淄博·一模）如图，已知直线与抛物线交于点，，且点在轴上，是轴上一点，连接． (1)求的值； (2)当取得最小值时，求点P的坐标； (3)若直线交直线于点（点在线段上，不与端点重合），交抛物线于点，连接．设，求关于的函数表达式，并求出的最小值． 16．（25-26九年级下·重庆·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线下方抛物线上的一动点，轴交于点，求最大值及此时点坐标； (3)在（2）问的基础上，点是的角平分线与的交点，点是轴上一点，点是抛物线对称轴上一点，且，连接，，求的最小值． 17．（2026·甘肃白银·二模）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图为线段上一点（不与端点重合），直线，分别交抛物线于点，，设的面积为，的面积为，求的值； (3)如图2，是抛物线的对称轴与轴的交点，过点的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点，过抛物线的顶点作直线轴，是直线上一动点．求的最小值． 18．（2026·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点，点，与轴交于点，连接、． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图1，若点为线段下方抛物线上一动点，过点作轴交于点，过点作交直线于点，、为轴上的动点（点在点的下方）且，连接、．当最大时，此时点的坐标及的最大值； (3)在（2）的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点在新抛物线上，连接．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 题型06 动态几何线段和、差最值综合压轴 19．（2026·天津南开·一模）抛物线（a，b，c为常数，）与y轴相交于点C，且，对称轴与x轴相交于点D． (1)当，时，直接写出点D的坐标和抛物线的解析式； (2)若点和点N均在抛物线上，其中，且点N在第四象限，，．点E和点G分别是线段和线段上的动点，点F为线段的中点，且． ①当时，求抛物线的解析式，并直接写出的最小值； ②当取得最小值为时，直接写出此时抛物线的解析式和点G的坐标． 20．（2026·黑龙江鸡西·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点（点在点的左侧），其中点，． (1)求抛物线的解析式，直接写出顶点坐标． (2)线段上有一动点，连接，当的值最小时，请直接写出此时点的坐标和的最小值． 21．（2026·天津东丽·一模）抛物线（，，为常数，）的顶点为，且，与轴交于点，（点在点左侧），与轴交于点，对称轴交轴于点，为坐标原点． (1)当，时，求该抛物线顶点的坐标； (2)若点，且，求的值； (3)点（）在对称轴上，，当的最小值等于时，求点的坐标和的值． 22．（2024·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，点为点平移后的对应点，连接交轴于点，点为平移后的抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 题型07 折叠变换与二次函数几何综合 23．（25-26九年级上·广东江门·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形纸片的顶点在轴上，顶点在轴上，顶点在第一象限内，．现将矩形纸片折叠，使得点的对应点恰好在轴上，折痕为过点作∥轴交于点，抛物线经过点，关于轴对称，与轴的正半轴交于点，与轴交于点． (1)的长为_____，的长为_____，折痕所在直线的解析式为____； (2)求抛物线的函数解析式； (3)设以点为圆心，为半径的圆与轴交于点，（在的上方)，与抛物线除点外的交点为，请求出四边形的面积． 24．（2024·江苏连云港·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴分别交于点和点，与轴交于点，若点的坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，若点是线段上方抛物线上的一点，直线，分别与轴交于点，则是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由； (3)过点作轴的垂线，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，将翻折得到的图象与原抛物线剩余部分的图象组成新的图形，记作图形，如图．在图形上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 25．（2026·甘肃·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．点是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，当点在直线上方的抛物线上时，过点作轴交于点，求线段的最大值及此时点的坐标． (3)如图2，将该抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，其余部分保持不变，得到一条新图象．当直线与新图象有且仅有三个公共点时，请直接写出m的取值范围． 26．（2026·贵州·一模）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过点A、B． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是第一象限内抛物线上的一个动点，求点P到直线的距离取得最大值时，点P的坐标； (3)如图2，将抛物线在直线上方的部分沿翻折得到“心形图”（包含A、B两点），若直线l：与该图形有交点，求t的取值范围． 题型08 旋转变换与坐标系函数综合压轴 27．（2026·山东济南·一模）将一副三角板按图1方式摆放在平面直角坐标系中，含角的三角板的直角边落在轴上，，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)将三角板绕点顺时针旋转至， ①如图1，点为三角板边上一点，旋转后点的对应点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标； ②如图2，若将三角板绕点顺时针旋转至，使点落在边上，请判断点旋转后的对应点是否在反比例函数图象上，并说明理由． 28．（2025·四川绵阳·一模）如图所示，抛物线的解析式为． (1)若抛物线经过点，求抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下，抛物线与x轴相交于两点（点A在点B的左侧），若将直线绕点A按顺时针方向旋转后与抛物线相交于点P，求点P的坐标； (3)如图1所示，若直线与抛物线相交于两点（M在N的左侧）O为坐标系原点，直接写出的最小值． 29．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点、，于轴交于点，且为直角三角形． (1)求该抛物线的解析式； (2)在该抛物线上是否存在点，能使点满足，若存在，求出所有点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)将绕平面内一动点旋转后所得与该抛物线没有公共点，请直接写出的取值范围________________． 题型09 二次函数与周长最值问题 30．（24-25九年级下·广东肇庆·月考）如图，抛物线交直线于坐标轴上B，C两点，交x轴于另一点A，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点D在对称轴上，当的周长最小时，求点D的坐标和的最小周长值． 31．（2026·江苏苏州·一模）如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点在抛物线上．设，当时，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ (3)如图2，保持时的矩形位置不动，平移抛物线使之经过点，得到抛物线，过点的直线交抛物线和于点（点均不与点重合），设点的横坐标为，设点的横坐标为，请求出的值． 32．（24-25九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）如图，一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于点，且与轴、轴分别交于点，其中．    (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)如图2，点为反比例函数图象在第一象限上的一点，且在点A的左侧，满足，作轴交直线于点，点为直线上一动点，连接，求周长的最小值； (3)在第（2）问的条件下，轴上有一动点，平面内有一动点，当以点为顶点的四边形是矩形时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 题型10 一次函数与几何动点综合解答压轴 33．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数图象交于点，点的坐标为，连接，动点从开始以每秒1个单位长度的速度沿轴正方向运动，设运动的时间为秒（），过点作轴，分别交，于点，． (1)求反比例函数的表达式和直线的函数表达式； (2)求的长（用含的代数式表示）； (3)点是线段上一动点（点不与点，重合），和的面积分别表示为和，当时，请直接写出（即与的积）的最大值为______． 34．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点．点为直线与轴的交点． (1)求点的坐标； (2)如图2，点是线段上的一个动点，过点作平行于轴的直线，分别交直线，于点，点，连接．设点的横坐标为， ①线段__________（用含的代数式表示） ②求面积的最大值． 题型11 反比例函数与几何图形动态综合 35．（2026·广东东莞·一模）如图1，矩形的顶点、分别在轴和轴上，点的坐标为． (1)反比例函数 的图象与边，分别交于点，，当 时，求的值和点的坐标； (2)如图2，点，分别在边，上，且反比例函数的图象经过点、，连接、，求证：； (3)如图3，反比例函数 的图象与边，分别交于点，，若以为直径的圆与矩形的边有个公共点，求的取值范围． 36．（2026·广东江门·一模）如图1，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B的坐标分别为、，顶点C在反比例函数的图象上，顶点D在反比例函数的图象上． (1)当点C的坐标为时，求a、b的值； (2)当时，求a、b应满足什么关系，请说明理由； (3)如图2，当时，在BC的延长线上取一点E，过点E作交y轴于点F，交反比例函数图象于点G，当G为的三等分点时，求点E的坐标（请用含a的代数式表示）． 37．（2026·山东济南·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，经过点、点的直线与反比例函数的图象在第三象限交于点，是以为斜边的直角三角形． (1)求反比例函数的解析式； (2)如图1，当点在轴的正半轴时，求的面积； (3)如图2，若平分，求点的坐标． 38．（2026·四川成都·二模）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式和点坐标； (2)坐标轴上是否存在一点，使得，如果存在，请求出点坐标，如果不存在，请说明理由； (3)P为反比例函数图象第一象限上一点，连接、、、、，当时，求直线解析式． 题型12 动态几何中的角度定值与等角探究 39．（2026·安徽合肥·一模）已知：抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，，． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是抛物线上异于点A的点，且的面积与的面积相等，求出点P的坐标； (3)若点Q在抛物线上，且满足，请直接写出点Q的坐标． 40．（2026·天津河西·一模）已知抛物线(，，为常数，)的顶点为，与轴相交于，两点（点在点的左侧），点，与轴交于负半轴的点． (1)当，时，求该抛物线顶点的坐标； (2)当时， ①若存在点，满足，求此时的值； ②若有点，满足，求此时的值． 41．（2026·黑龙江·一模）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 1．（2025·四川雅安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，其中点、点的横坐标分别是和． (1)当时，直接写出的取值范围； (2)求出一次函数和反比例函数的表达式； (3)将直线向左平移个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点，求的面积． 2．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标； (2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 3．（2025·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)问在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； (3)将射线绕点逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点，再将抛物线沿直线平移，得到一条新的抛物线（其顶点为）．设这两条抛物线的交点为． ①求旋转角度的正切值； ②当时，求原抛物线平移的距离． 4．（2025·西藏·中考真题）已知抛物线过点，，与轴交于点．点是轴正半轴上的动点，点是抛物线在第四象限图象上的动点，连接，，且交轴于点，交于点． (1)当时，求抛物线的解析式； (2)如图1，在（1）的条件下，若，求直线的解析式； (3)要使得成立，请探索的取值范围（直接写出结果）； (4)如图2，，当为何值时，的长度等于1？ 5．（2025·宁夏·中考真题）如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围； (3)如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由． 6．（2025·山东威海·中考真题）已知抛物线交x轴于点，点B，交y轴于点C．点C向右平移2个单位长度，得到点D，点D在抛物线上．点E为抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式及顶点E的坐标； (2)连接，点M是线段上一动点，连接，作射线． ①在射线上取一点F，使，连接．当的值最小时，求点M的坐标； ②点N是射线上一动点，且满足．作射线，在射线上取一点G，使．连接，．求的最小值； (3)点P在抛物线的对称轴上，若，则点P的坐标为___________． 7．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线对称轴上一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标； (3)在线段上是否存在点Q，使存在最小值？若存在，请直接写出点Q的坐标及最小值；若不存在，请说明理由． 8．（2025·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线过点，且对称轴为直线，直线与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，直线与y轴交于点D，与直线交于点E．若抛物线与线段有公共点，求h的取值范围； (3)过点C与垂直的直线交抛物线于P，Q两点，M，N分别是，的中点．试探究：当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点T，使得总是平分？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 09 动态几何与函数综合（解答压轴题） 命题预测 动态几何与函数综合是中考数学区分度最高、压轴权重最大的核心模块，融合几何动点、动线、动图形与一次函数、反比例函数、二次函数深度联动，是选择压轴、填空压轴、解答压轴大题的必考核心。动点→函数图象判断是本专题最常考的压轴题，通常为选择题压轴题，是中考复习必须重点突破的模块。综合题分值高、设问角度灵活，集几何变换、图形性质、函数解析式、分类讨论、最值探究于一体，题型规律固定、答题模板性强，熟练掌握模型与解题套路，对中考拔高提分至关重要。预计 2026 年中考命题仍将围绕动点图象判断、动态几何解析式求解、动态存在性、线段与面积最值、几何与函数融合探究等核心题型展开，延续 “小题考图象、大题考综合、压轴考探究” 的命题格局，重点考查数形结合、分类讨论、建模转化、几何直观四大核心素养。 高频考法 题型01 动点运动与分段函数图象分析压轴 题型02 二次函数背景下线段最值问题 题型03 铅垂法求动态几何面积最值问题 题型04 动点三角形面积定值与最大值探究 题型05 将军饮马与二次函数综合最值问题 题型06 动态几何线段和、差最值综合压轴 题型07 折叠变换与二次函数几何综合 题型08 旋转变换与坐标系函数综合压轴 题型09 二次函数与周长最值问题 题型10 一次函数与几何动点综合解答压轴 题型11 反比例函数与几何图形动态综合 题型12 动态几何中的角度定值与等角探究 典例·靶向·突破 题型01 动点运动与分段函数图象分析压轴 1．（2026·安徽合肥·一模）如图1，在等腰中，，动点D从点A开始沿边以每秒1个单位长度的速度运动到点B，同时，动点E从点B开始沿边以相同速度运动到点C，连接，点F为中点．设时间为，为y，y关于t的函数图象如图2所示，下列结论不正确的是（   ） A． B．连接，有最小值为 C．若点M是边的中点，则的最小值为1 D．连接，则的最小值为 【答案】C 【详解】解：由题意得， ∴当时，，， 在中，， ∴，即， 解得（负值已舍）， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵中，是斜边上的中点， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴当时，取最小值，此时最小值为8，即的最小值为， ∴有最小值为，故选项B正确，不符合题意； 以点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系： 那么，，，， ∵和分别为和的中点， ∴，， ， ， 时，取最小值，此时最小值为，故选项C错误，符合题意； ∵已知，，，设， ∴，， 消去得， ∴点在直线上运动， 作点关于直线的对称点， ∴的最小值为的长， ∴的最小值，故选项D正确，不符合题意． 2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，，的长是一元二次方程的根，过点作交于点，交对角线于点．动点从点以每秒1个单位长度的速度沿向终点运动，动点从点以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，、两点同时出发，设运动时间为秒．连接、，的面积关于运动时间的函数图象大致是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】解方程得出的长度，由菱形的性质与锐角函数综合，可得和的长度，进而可得点的坐标，再分类讨论，分别由运动时间表示出线段长度，代入三角形的面积公式，化简整理即可得到关于运动时间的函数，再根据二次函数的图象和性质即可判断． 【详解】解：由解得，，， ∵的长是一元二次方程的根， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴平分， ∴， ∴， ∴． 根据题意可知，， 如图，作于点，则， ∵，，， ∴， 作轴于点， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴的面积， 当时，， ∴的面积， 综上所述，， 当时，， 故可排除C、D选项， 当时，关于运动时间的函数解析式为 ∵， ∴当时的函数图象为开口朝下， 故可排除A选项， 故选：B． 3．（2024·河南周口·模拟预测）如图1，在中，，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿线段运动，到点停止．同时动点以每秒4个单位长度的速度从点出发，沿折线运动，到点停止．图2是点、运动时，的面积随运动时间变化关系的图象，则的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意和图2可推出，，得到，，当在上时，即，此时，过点作于点，再由平行四边形的性质和，可得到，从而推出，得到，可知当时，取最大值；当点Q在上时，即时，根据平行四边形的性质可推出，根据一次函数性质，可知当时，取最大值，综上当时，得到，即的面积的最大值． 【详解】解：根据题图2可知，当时，点停止运动 ， 根据题意得，， 当在上时，即，此时 过点作于点，如图1， 四边形是平行四边形 又 在中， 当时，取最大值，最大值为 当点Q在上时，即时，如图2， 四边形是平行四边形 越小，越大 ， 取最大值，最大值为 综上所述，， 取最大值，最大值为 的值为，即的面积的最大值为． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、二次函数的性质、一次函数的性质、解直角三角形、二次函数的最值、一次函数的最值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 4．（2026·安徽阜阳·一模）如图，在边长为4的菱形中，，动点P从点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止，过点P作的垂线交菱形的边于另一点Q，在点P运动的过程中，记的面积为y，点P运动的路程为x，则y与x之间的函数图象大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】根据菱形性质，以及点的运动情况分三种情况讨论，①当点P在边上，且点Q在边上，②当点P在边上，且点Q在边上，③当点P在边上，且点Q在边上，再结合解直角三角形的计算，直角三角形性质，以及三角形面积公式求解，即可解题． 【详解】解：边长为4的菱形中，， ， ①当点P在边上，且点Q在边上，即时， 如图1，，，， 即图象为开口向上的抛物线； ②当点P在边上，且点Q在边上，即时， 如图2，，，， 即图象为直线； ③当点P在边上，且点Q在边上，即时， 如图3，， ，， ， ，，， 结合②可知，， ，即图象为开口向下的抛物线． 综上所述，y与x之间的函数图象大致是． 题型02 二次函数背景下线段最值问题 5．（2026·河南周口·一模）如图，抛物线 经过点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是抛物线上的动点，过点P作轴于点D，交直线于点E，当点P在第一象限时，求线段的最大值； (3)在（2）的条件下，当取得最大值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点Q的坐标为或或或或． 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）由点B，C坐标求出直线解析式，设点P坐标为，则，求出的关系式，运用二次函数的性质可得结论． （3）求出函数图象对称轴为，设，求出，，，，分三种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将点、代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 设点P坐标为，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当时，有最大值， ∴， 设点Q的坐标为， ∵、， ∴； ； ， 当即时，，即， 解得， ∴点Q的坐标为或； 当即时，， 解得或， ∴点Q的坐标为或； 当即时，， 解得， ∴点Q的坐标为． 综上所述，点Q的坐标为或或或或． 6．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）综合与探究 如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，点B的坐标为，顶点D的坐标为．点P为抛物线上第一象限内一点，过点P作交于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)点F在直线上，平面内存在点Q，使以点C，D，F，Q为顶点的四边形为正方形，点Q的坐标为________； (3)求的最大值； (4)点M为直线上一动点，连接并延长至点N，使，连接，当的值最大时，的最小值为________． 【答案】(1) (2)或； (3) (4) 【分析】（1）设出顶点式，待定系数法进行求解即可； （2）求出点坐标，推出，进而得到，推出正方形，求出直线的解析式，设，根据，列出方程求出的值，再根据平移思想，求出点的坐标即可； （3）作轴，交于点，作于点，求出，进而得到，，得到，证明为等腰直角三角形，推出，进而得到最大时，最大，设，则，利用二次函数求最值即可； （4）根据，得到，进而得到，推出，得到当最大时，的值最大，延长至点，使，过点作的平行线，作轴，轴，利用相似，求出点坐标，推出点在过点且平行于的直线上运动，作点关于的对称点，连接，则，得到当三点共线时，最小，进行求解即可. 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为，把代入，得， 解得， ∴； （2）解：∵， ∴当时，，当时，解得， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴当点C，D，F，Q为顶点的四边形为正方形时，只能得到正方形， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， ∴， 设， ∵， ∴，解得， ∴或， ∵点先向右平移1个单位，再向上平移一个单位得到， ∴点先向右平移1个单位，再向上平移一个单位得到， ∴或； （3）解： 作轴，交于点，作于点，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 由（2）可知，，直线的解析式为， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， 设，则， ∴， ∴当时，最大为，此时最大为； （4）解：由（3）可知，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时，的值最大， 延长至点，使，过点作的平行线，作轴，轴， 则， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，点在直线上， ∴， ∴，即点在过点且平行于的直线上运动， 作点关于的对称点，连接，则， ∴当三点共线时，最小， 由（2）可知，， ∵，点在直线上， ∴， ∵点关于的对称点为， ∴垂直平分， ∴为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 7．（25-26九年级上·湖北黄石·月考）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，作直线． (1)求抛物线的解析式． (2)如图，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，交于，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在请说明理由． (3)设点，点，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，以，为边构造正方形． ①用含的式子表示点的坐标； ②当正方形的边与二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点时，请直接写出的值或取值范围． 【答案】(1) (2)存在；最大值为；此时 (3)①；②或或 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）先求出，得出，求出直线的解析式为，过点作轴，交于点．设，则，得出，证明为等腰直角三角形，得出，求出最大值即可； （3）①分两种情况：当时，点在点上方，当时，点在点下方，分别画出图形，求出结果即可； ②根据正方形的边与二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点，得出边与抛物线相交或顶点在抛物线上，得出边在点右侧，与抛物线相交，，再根据点在抛物线上，求出n的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点，将点，点的坐标分别代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：线段存在最大值；理由如下： ∵抛物线与轴交于点， 当时，得， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为，将点的坐标代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 如图1，过点作轴，交于点． 设，则， ， ， ， ， ， ∴为等腰直角三角形， ， ∴当时，有最大值，此时； （3）解：∵， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴点D、E在抛物线的对称轴上； ①当时，点在点上方，如图3，图4， ， 由旋转得：， ，； 当时，点在点下方，如图5． 同理可得：， ， ∴不论为何值，点坐标为． ②∵正方形的边与二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点， ∴边与抛物线相交或顶点在抛物线上， 如图3，边在点右侧，与抛物线相交，，解得：； 如图4，点在抛物线上，∵四边形是正方形， ， ∵， ∴， 解得：（正值舍去）； 如图5，当时，点在抛物线上． ， 解得：（负值舍去）； 综上所述，的取值范围为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求一次函数解析式，求二次函数解析式，二次函数最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 题型03 铅垂法求动态几何面积最值问题 8．（2026·广东中山·模拟预测）学校数学兴趣小组在探究二次函数最值问题的数学活动时，发现一个有趣现象：如图，直线与抛物线交于两点．点为抛物线上的动点，过点且平行于轴的直线交直线于点．当点在直线下方时，连接得到．当面积最大时，点在什么位置？ (1)数学兴趣小组成员很快就求出点的坐标，请你也求出点的坐标． (2)机智的小涛同学通过计算发现，当面积最大时，点与线段有特殊的位置关系，请你写出小涛的结论． (3)爱动脑筋的小婷根据小涛的发现提出了一个大胆的猜想：本类问题中，当面积取最大值时，动点的位置和直线与抛物线的交点都有这种“特殊关系”，请说明这种“特殊关系”是什么？并证明结论． 【答案】(1)； (2)点为线段中点 (3)直线过线段中点，证明见解析 【分析】本题主要考查二次函数，一次函数有关面积的问题，熟练掌握数形结合思想是解题的关键． （1）设点，结合题意求出点，得到的值，再联立二次函数和一次函数得到交点坐标，根据三角形面积公式，得到面积关于的二次函数，求解即可； （2）由（1）得出点的坐标，再求出点的中点坐标，比较即可得出关系； （3）设抛物线解析式为，直线，点，求出点，得到为关于的二次函数，再根据二次函数的对称性求解即可． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴设点， ∵轴， ∴， ∵点在直线上， ∴点， ∴ ∵直线与抛物线交于两点， ∴， 解得：，， 当时，；当时，， ∴，． ∴ ∵， ∴当时，有最大值，最大为， ∵把代入点中， ∴点； （2）由（1）得，当时，有最大值， ∴将代入点得：点， ∵，， 点的中点坐标为点，即点， ∴点和点重合， ∴当面积最大时，点为线段的中点； （3）猜想：当直线过线段中点时（或），最大． 证明：设抛物线解析式为：，直线：， 直线与抛物线交于两点，设， ∴则方程的解为：，， ∵点在抛物线上， ∴设点， ∵轴， ∴， ∵点在直线上， ∴点， ∴，即为关于的二次函数， ∵当时，，， 由二次函数对称性知，当时，有最大值， ∵ ∴当时，有最大值， ∴，即点为线段中点． ∴当直线过线段中点时（或），最大． 9．（2026·安徽池州·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于点，，点，过，的直线解析式为，为第二象限内抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)求四边形面积的取值范围； (3)若的面积为，的面积为，求的最大值． 【答案】(1)； (2)； (3)的最大值为． 【分析】（1）先由直线与轴交于点求出点坐标，再将，，代入抛物线解析式，求出、、的值即可； （2）先求出直线解析式，过点作轴交于点，设点（），则点，由得，结合二次函数的图象与性质即可得到四边形面积的取值范围； （3）由得出，结合二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点， 则点， 将，，代入抛物线解析式， 得， 解得， 则抛物线的表达式为； （2）解：将代入直线， 得， ， 则直线的表达式为， 如图，过点作轴交于点， 设点（），则点， ， ， ， ， ， ，对称轴为， 又， ， 四边形面积的取值范围是； （3）解：， ， ， ， ， ， ， 的最大值为． 【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质、一次函数图象与坐标轴的交点问题、面积问题(二次函数综合)，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 10．（2026·陕西西安·二模）如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线相交于点M，连接． (1)求该抛物线的解析式； (2)在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使得与的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或或 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）根据二次函数解析式求出顶点P，利用待定系数法求出直线的解析式，从而求出点，进而求出，过点Q作x轴的垂线，交于点F，设，，可求，再根据，可得，解方程求出m的值，代入解析式求出点的纵坐标，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线过点、， ，解得， 该抛物线的解析式为； （2）解：存在点Q，使得与的面积相等， ， 顶点， 当时，，则， 设直线的解析式为， 过点，， ，解得， 直线的解析式为， 当时，，则， ， 与的面积相等， ， 如图，过点Q作x轴的垂线，交于点F， 设，则， ， ， ，即， 或， 解得或2或或， ， 舍去， 当时，； 当时，； 当时，； 或或． 【点睛】注意用“铅垂法”求三角形的面积，Q、F两点之间的数值距离是两点纵坐标差的绝对值． 题型04 动点三角形面积定值与最大值探究 11．（2026·山东潍坊·三模）如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴相交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点． ①连接，，当四边形的面积最大时，求此时点的坐标和四边形面积的最大值； ②探究是否存在点使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①，最大值为；②存在，点的坐标为或 【分析】（1）根据点，的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式； （2）①先求出直线的解析式为：，设，则，用含的代数式表示的面积，进而即可求解；②分两种情况：①；②，讨论即可． 【详解】（1）解：把、代入得 ， 解之得， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：①如图， 设直线的解析式为， 把、代入得 ， 解得， ∴直线的解析式为 设，则， ∴， ∴， ， ∴对称轴， ∵，开口向下， ∴当时，有最大值，最大值为． ∴； ②当时，如图： ∴， ∴轴， ∴点的纵坐标为， ∴， 解得舍去，， ∴， 当时， ， 过点作于， ∵，，轴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由①得，， ∴， 解得（舍去），， ∴， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、解一元二次方程以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）注意需要分类讨论． 12．（2025·青海西宁·一模）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知． (1)求抛物线的表达式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)点M是线段BC上的一个动点，过点M作x轴的垂线，与抛物线相交于点N，当点M移动到什么位置时，使的面积最大？求出的最大面积及此时M点的坐标． 【答案】(1) (2)存在满足条件的点，其坐标为或 (3)点M为的中点，的面积最大，最大面积为4，此时M点坐标为 【分析】（1）由的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式； （2）可设出点坐标，则可表示出、和的长，分、两种情况分别得到关于点坐标的方程，可求得点坐标； （3）由、的坐标可求得直线的解析式，可设出M点坐标，则可表示出N点的坐标，从而可表示出的长，可表示出的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值及此时点M的坐标． 【详解】（1）解：在抛物线上， ，解得， 抛物线解析式为； （2）， 抛物线对称轴为直线， 当时，， ，且， ， 点在对称轴上， 可设， ，， 当时，， 解得，此时点坐标为； 当时， 解得（与重合，舍去）或，此时点坐标为； 综上可知：存在满足条件的点，其坐标为或； （3）当时，即，解得或， ，， 设直线解析式为， 由题意可得，解得， 直线解析式为， 点M是线段上的一个动点， 可设，则， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为4， 此时， ，即M为的中点， 点M为的中点，的面积最大，最大面积为4，此时M点坐标为． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用点的坐标表示出和是解题的关键，在（3）中用M点坐标表示出的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 13．（2025·安徽蚌埠·二模）已知二次函数图象的顶点是，且经过点． (1)求二次函数的解析式； (2)一次函数的图象经过点，与二次函数的图象交于A，B两点点在点的左侧），过点，分别作轴于点，轴于点． ①若点横坐标为2，求的长，并直接写出不等式的解； ②分别用，，，表示，，的面积，则的值是否为定值，若是，请求出该定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②的值为定值，且该定值为 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①首先求出一次函数的解析式为，然后和抛物线联立求出点横坐标为，得到，进而求解即可； ②设，，则，，将代入，得，求出，，然后表示出，得到，，进而求解即可． 【详解】（1）依题意，， 解得 二次函数的解析式为． （2）①依题意，即该一次函数的解析式为． 将代入，得， 即点的坐标为， 代入，得， 即一次函数的解析式为， 由， 解得点横坐标为 依题意，C，D横坐标分别与A，B横坐标相同， 所以， 由图像可知不等式解为． ②设，，则，． 将代入，得， 则， 解得， ，， 依题意得， ， ， ． 而 ． ，， ，． 故 所以，， 即的值为定值，且该定值为． 【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，二次函数和三角形面积综合运用，解一元二次方程以及根与系数的关系等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 14．（2026·广东江门·一模）如图1，直线与反比例函数的图象在第一、三象限交于点A，B，与x轴、y轴分别交于点C，D，过点A作轴于点E，点F为x轴上一点，直线与直线关于直线对称． (1)若，，点A的横坐标为3，求反比例函数的解析式； (2)如图2，过点F作轴交于点G，过点A作于点P，连接．若k为定值，求证：的面积为定值； (3)在（1）的条件下，设抛物线的顶点为点Q，在平面直角坐标系中存在点Q，使最大，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先求出，，得出，证明．得出，根据，点A的横坐标为3，求出，得出，即可得出答案； （2）求出，，得出，，证明四边形是矩形，得出．根据，得出，即，设，则，根据点A在反比例函数的图象上，得出，根据即可证明结论； （3）由（1）得，，，，求出抛物线的顶点Q的坐标为，得出点Q是直线上一点．证明，作点D关于直线的对称点，连接并延长，交直线于点Q，此时最大，求出点的坐标为，待定系数法求出直线的解析式为．联立，求出点Q的坐标为． 【详解】（1）解：当时，直线的解析式为， 把代入得， 把代入得， 解得：， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， 又， ∴． ∴， ∵，点A的横坐标为3， ∴， ∴，， 将代入，得， 解得：， ∴反比例函数的解析式为． （2）证明：把代入得：， 把代入得：，解得：， ∴，， ∴，， ∵轴，，轴， ∴四边形是矩形， 又直线与直线关于直线对称， ∴． 根据（1）可知：， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 即若k为定值，则的面积为定值． （3）解：由（1）得，，，， ∵直线与直线关于直线对称， ∴， ∵， ∴抛物线的顶点Q的坐标为， ∴点Q是直线上一点． 把代入得：， 解得：， ∴在直线， 把代入得：，设与y轴交于点， ∴， ∴，，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴， 作点D关于直线的对称点，连接，，如图所示： 根据轴对称可知，， ∴，当共线时取最大值， 此时，∵直线， ∴点在直线上，且， ∴根据中点坐标可知：点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为． 联立， 解得， ∴点Q的坐标为． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，二次函数的性质，一次函数的综合应用，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质，勾股定理的逆定理，两点间距离公式，中点坐标公式，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的性质． 题型05 将军饮马与二次函数综合最值问题 15．（2024·山东淄博·一模）如图，已知直线与抛物线交于点，，且点在轴上，是轴上一点，连接． (1)求的值； (2)当取得最小值时，求点P的坐标； (3)若直线交直线于点（点在线段上，不与端点重合），交抛物线于点，连接．设，求关于的函数表达式，并求出的最小值． 【答案】(1)，， (2) (3)， 【分析】（）把代入可求出，即得直线的解析式为，进而得到，再利用待定系数法可求出的值； （）取点关于轴的对称点，连接交轴于点，可得最小，利用待定系数法求出直线的解析式进而即可求解； （）设点，则点，可得，，即得到，再把二次函数转化为顶点式即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，二次函数的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， ∴直线的解析式为， 把代入，得， ∴， ∴， 把和代入抛物线得， ， 解得， 即，； （2）解：取点关于轴的对称点，连接交轴于点， 则此时最小， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∴点的坐标为； （3）解：设点，则点， ∴，， ∴ ， 即， ∵， ∴当时，取最小值，最小值为． 16．（25-26九年级下·重庆·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线下方抛物线上的一动点，轴交于点，求最大值及此时点坐标； (3)在（2）问的基础上，点是的角平分线与的交点，点是轴上一点，点是抛物线对称轴上一点，且，连接，，求的最小值． 【答案】(1) (2)的最大值为，此时， (3)的最小值为 【分析】（1）把，代入，解方程组求出、的值即可得抛物线的表达式； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式为，设，则，可得，利用二次函数的性质即可得的最大值为，； （3）先求出直线解析式，根据点是的角平分线与的交点得出，根据抛物线解析式可求出对称轴为直线，，把点向右平移个单位到，连接，交对称轴于，作，交轴于，连接，可得四边形是平行四边形，，即可得出、、三点在同一条直线上时，有最小值，最小值为，利用两点间距离公式求出的长即可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为． （2）解：∵抛物线与轴交于点， ∴当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设， ∵轴交于点， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 当时，， ∴此时，． （3）解：设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点是的角平分线与的交点，且在第三象限， ∴点到轴和轴的距离相等，横坐标与纵坐标相等， 设， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点是轴上一点，点是抛物线对称轴上一点，且， ∴， 如图，把点向右平移个单位到，连接，交对称轴于，作，交轴于，连接， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴、、三点在同一条直线上时，有最小值，最小值为， 由（2）可知，， ∴， ∴的最小值为． 17．（2026·甘肃白银·二模）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图为线段上一点（不与端点重合），直线，分别交抛物线于点，，设的面积为，的面积为，求的值； (3)如图2，是抛物线的对称轴与轴的交点，过点的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点，过抛物线的顶点作直线轴，是直线上一动点．求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用待定系数法求出的值即可． （2）设，用待定系数法求出直线，直线的函数解析式，然后与抛物线的解析式联立成方程组，求出的坐标，最后用的代数表示出，的面积即可． （3）设直线为，把点的坐标代入该解析式，可求出，的等量关系，然后把直线与抛物线联立成方程组，根据韦达定理，可得出，的横坐标的和与积关于的代数式，然后作点关于直线的对称点，连接，，根据将军饮马模型，可知，再用的代数式表示，求出的最小值即可． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为． （2）解：由，可知点，， 设，直线为， 则，解得， ， 联立得 解得或， ， 设直线为， 则，解得， ， 联立得， 解得或， ， ， ． （3）解：由，可知抛物线的对称轴为直线，顶点，点， 设直线为，由， 得， ， ， 设，， 联立直线与抛物线得， 得， ∴ 根据根与系数的关系，可得，， 如图，作点关于直线的对称点，连接，， 由题意得直线，则， ， 过点作于点，则， ，， 在中， ， 即当时，，此时， 故的最小值为． 18．（2026·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点，点，与轴交于点，连接、． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图1，若点为线段下方抛物线上一动点，过点作轴交于点，过点作交直线于点，、为轴上的动点（点在点的下方）且，连接、．当最大时，此时点的坐标及的最大值； (3)在（2）的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点在新抛物线上，连接．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)， (3)或． 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，一次函数与几何综合，二次函数的平移，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质，难度较大，属中考压轴题． （1）用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式为，直线的解析式，过点作平行于轴交抛物线于点，设，，，可得，再利用，求出，进而利用二次函数的最值求出当时，最小，最小值为4，此时，对于可利用三角形两边之差小于第三边求解，先利将点向下平移1个单位长度得，可得，即可得出，由此求出最大值为． （3）先求出平移后抛物线解析式为，再根据已知可得，然后根据点F在左侧时可得，由此求出直线的解析式为，进而联立解析式求出交点坐标，再根据对称求出另一种情况求解． 【详解】（1）解：将，代入抛物线（） 得， 解得， 所以抛物线的表达式为． （2）解：∵，，抛物线与轴交点为， ∴直线的解析式为，直线的解析式， ， 设，， 延长交于点，则 ∵轴， ∴， 又∵， ∴， ， ∴，即 当时，最大，最大值为4，此时， 将点向下平移1个单位长度得， 连接、，， ∴，四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴当点在线段与抛物线交点上时，最大值，最大值为， 则的最大值， 综上所述，，的最大值． （3）解：， ①抛物线沿射线方向平移个单位长度，即向右平移1个单位，向下平移3个单位得到新抛物线， ∵ ∴平移后抛物线的表达式为： ∵，， ∴， ， ∴， 当在左侧时，如图： ∵轴， ∴， ∴ ， ∵直线的解析式为，， 直线的解析式为 与抛物线联立得 方程组， 解得：（不合题意，舍去），， ∴． 如图2，当在右侧时，如图， 取点关于（即）的对称点， 则直线解析式为：， 直线与抛物线联立得 方程组， 解得：，（在第四象限，不合题意，舍去，）， ∴． 题型06 动态几何线段和、差最值综合压轴 19．（2026·天津南开·一模）抛物线（a，b，c为常数，）与y轴相交于点C，且，对称轴与x轴相交于点D． (1)当，时，直接写出点D的坐标和抛物线的解析式； (2)若点和点N均在抛物线上，其中，且点N在第四象限，，．点E和点G分别是线段和线段上的动点，点F为线段的中点，且． ①当时，求抛物线的解析式，并直接写出的最小值； ②当取得最小值为时，直接写出此时抛物线的解析式和点G的坐标． 【答案】(1)， (2)①抛物线的解析式为；的最小值为；②抛物线的解析式为，点G的坐标为 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①先求得，过点M，N分别作抛物线对称轴的垂线段，垂足分别为点A和点B，证明，求得，，再利用待定系数法求解即可；作于点，作于点，推出四边形是平行四边形，证明，得到，当共线时，取得最小值，最小值为的长，据此计算即可求解； ②根据①的思路求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线，， ∴抛物线的对称轴为直线，且， ∴点D的坐标为， ∵，， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①∵，，， ∴， 过点M，N分别作抛物线对称轴的垂线段，垂足分别为点A和点B， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴，， ∵点，在抛物线上，且， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； 作于点， ∵是等腰直角三角形， ∴，是的垂直平分线， 作于点，连接，，，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴，又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵点F为线段的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当共线时，取得最小值，最小值为的长， ∵， ∴， ∴取得最小值是； ②同①作出辅助线， 设， ∵取得最小值为，即， ∴， ∴，解得， ∴， ∵点， ∴， ∴， 由①可知：， ∴，， ∴，， ∵点，在抛物线上，且， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； ∵， ∴， ∴， ∵和分别是的两条中线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 过点作的平行线，再过点分别作的垂线，垂足分别为，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∴点G的坐标为，即． 20．（2026·黑龙江鸡西·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点（点在点的左侧），其中点，． (1)求抛物线的解析式，直接写出顶点坐标． (2)线段上有一动点，连接，当的值最小时，请直接写出此时点的坐标和的最小值． 【答案】(1)解析式为，顶点坐标为 (2)点坐标为，最小值为． 【分析】（1）将点A，C的坐标代入抛物线，组成方程组，即可求解； （2）令，可得点B的坐标，由此可得，，作点C关于x轴的对称点，过点作于点， 与x轴的交点即为所求点P，连接，可得的最小值为，求出点P的坐标及即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 把，代入，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点坐标为． （2）解：由， 令，则， 解得，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 作点C关于x轴的对称点，过点作于点，与x轴交于点P，连接， ∵，， ∴， 由对称可得，， ∴， ∴的最小值为， ∵， ∴， ∵，， ∴在中，，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴当点的坐标为时，的最小值． 21．（2026·天津东丽·一模）抛物线（，，为常数，）的顶点为，且，与轴交于点，（点在点左侧），与轴交于点，对称轴交轴于点，为坐标原点． (1)当，时，求该抛物线顶点的坐标； (2)若点，且，求的值； (3)点（）在对称轴上，，当的最小值等于时，求点的坐标和的值． 【答案】(1)（，） (2) (3)（，）， 【分析】（1）根据和求出的值，即可得到二次函数的解析式；把二次函数的解析式整理成顶点坐标式，即可得到抛物线顶点的坐标； （2）把、用含的式子表示出来，可得二次函数的解析式为，可得点的坐标为，点的坐标为，根据列出关于的方程，解方程即可求出的值； （3）根据轴对称的性质可知：点，，共线时，有最小值，求出二次函数的解析式为，根据抛物线过，可得：，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：，， ， 又，                                 ， 该抛物线顶点的坐标为； （2）解：如图①所示，， ，且，                  ，且对称轴为直线， 又， 可得：， ， 即， 点的坐标为，点的坐标为， 又， ，          又， ； （3）解：如图②所示，， 由（2）知，且对称轴为直线， 点的坐标为， 又点，在对称轴上， 点的坐标为， 如图，过点作，过点作，垂足为，连接， ， 又， ， 点，，共线，即时，有最小值， 又的最小值等于， ，                      ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， 又， ， ， ， 又，                 ，， ，， ， ，即， 又过， ， ． 22．（2024·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，点为点平移后的对应点，连接交轴于点，点为平移后的抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)最大值为；； (3)或 【分析】（1）直接利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）如图，延长交轴于，过作轴于，求解，可得，证明，设，，，再建立二次函数求解即可； （3）由抛物线沿射线方向平移个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，可得新的抛物线为：，，如图，当在轴的左侧时，过作轴于，证明，可得，证明，如图，当在轴的右侧时，过作轴的垂线，过作过的垂线于，同理可得：，再进一步结合三角函数建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线， ∴， 解得， ∴； （2）解：如图，延长交轴于，过作轴于， ∵当时， 解得：，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵，， 设为， ∴，解得：， ∴直线为：， 设， ∴， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴ ， 当时，取得最大值，最大值为； 此时； （3）解：∵抛物线沿射线方向平移个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位， ∴新的抛物线为：，， 如图，当在轴的左侧时，过作轴于， ∵， 同理可得：直线为， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， 解得：或（舍去） ∴； 如图，当在轴的右侧时，过作轴的垂线，过作过的垂线于， 同理可得：， 设，则， 同理可得：， ∴或（舍去）， ∴． 【点睛】本题属于二次函数的综合题，难度很大，考查了待定系数法，二次函数的性质，锐角三角函数的应用，关键是做出合适的辅助线进行转化，清晰的分类讨论是解本题的关键． 题型07 折叠变换与二次函数几何综合 23．（25-26九年级上·广东江门·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形纸片的顶点在轴上，顶点在轴上，顶点在第一象限内，．现将矩形纸片折叠，使得点的对应点恰好在轴上，折痕为过点作∥轴交于点，抛物线经过点，关于轴对称，与轴的正半轴交于点，与轴交于点． (1)的长为_____，的长为_____，折痕所在直线的解析式为____； (2)求抛物线的函数解析式； (3)设以点为圆心，为半径的圆与轴交于点，（在的上方)，与抛物线除点外的交点为，请求出四边形的面积． 【答案】(1)；；； (2)； (3) 【分析】本题考查矩形的折叠性质、勾股定理、一次函数解析式求解、二次函数的图象与性质等知识，关键是利用折叠的性质结合勾股定理求线段长度，利用函数对称性确定参数，再通过距离公式求交点距离计算面积． （1）利用折叠性质得，在中用勾股定理求，进而得；再在中设，用勾股定理列方程求解的长，然后根据、两点坐标求的解析式； （2）根据抛物线关于轴对称确定，再由轴得点横坐标为，代入解析式求点坐标，代入抛物线解析式求，从而得抛物线解析式； （3）先求的长度得到圆的半径，求出，然后结合四边形的对称性，求出的面积即可得到边形的面积． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，， ∴，，，，； 由折叠性质知，， 在中，， ∴； 设，则，， 在中，由勾股定理得， 即，解得，即； ∴点纵坐标为，即， 设所在直线的解析式为， 代入得，解得， ∴的解析式为； 故答案为：；；． （2）解：∵抛物线关于轴对称， ∴抛物线解析式为； 由，轴， ∴点横坐标为， 将代入的解析式得，即， 将代入抛物线解析式得，解得， ∴抛物线的函数解析式为； （3）解：∵， ∴， ∴以为圆心，为半径的圆的半径为， ∴． ∵点为圆心，为半径的圆与抛物线的交点分别为，， ∴四边形关于轴对称， ∴． 答：四边形的面积为． 24．（2024·江苏连云港·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴分别交于点和点，与轴交于点，若点的坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，若点是线段上方抛物线上的一点，直线，分别与轴交于点，则是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由； (3)过点作轴的垂线，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，将翻折得到的图象与原抛物线剩余部分的图象组成新的图形，记作图形，如图．在图形上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)是， (3)存在，， 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可． （2）分别代入，，易得点坐标，点坐标，设点坐标为，过作轴，可得，，①当时，，即，所以，②当时，，即，所以，所以． （3）将延翻折至，延长与轴相交于点，可得，，设，，所以，在由，可得，带入数值可得：，，所以，，，G过点作的垂线，垂足为，所以按照面积法可得的面积为，代入数值可得，所以，所以，因为，故，根据题意易得图形的抛物线为，然后分成两种情况分析①当在原抛物线上时，②当在翻折后的抛物线上时，根据，可得点坐标为和． 【详解】（1）由题意可得抛物线，过点， 故代入上式：， 可得， 故抛物线的表达式为． （2）将，代入抛物线中，即， 解得：，， 故点坐标为，点的坐标为， 将，代入抛物线中， 解得：， 故点坐标为， 由题设点坐标为， 过作轴， ∴轴， ∴，， ①当时，， 即， ∴， ②当时，， 即， ∴， ∴． （3）将延翻折至，延长与轴相交于点，如图所示： 根据翻折的规律可得，， 设，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 带入数值可得， 解得：，， ∴，，， G过点作的垂线，垂足为， ∴按照面积法可得的面积为， 代入数值可得， 解得， 故由勾股定理可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 原抛物线解析式，可化为， 故抛物线顶点坐标为， ∵过点作轴的垂线：，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，将翻折得到的图象与原抛物线剩余部分的图象组成新的图形，记作图形， ∴翻折后抛物线解析式为，即， ∴图形的抛物线为， ①当在原抛物线上时，如图： 设点坐标为， ∴， 解得（舍），， ∴． ②当在翻折后的抛物线上时，如图： 设点坐标为， ∴， 解得，（舍）， ∴． 综上可得，点坐标为、． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法，翻折变换的性质，相似三角形、勾股定理解三角形，综合性较强，熟练掌握相关知识是解决这道题的关键． 25．（2026·甘肃·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．点是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，当点在直线上方的抛物线上时，过点作轴交于点，求线段的最大值及此时点的坐标． (3)如图2，将该抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，其余部分保持不变，得到一条新图象．当直线与新图象有且仅有三个公共点时，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)有最大值，坐标为． (3)当直线与新图象有且仅有三个公共点时，m的取值范围为． 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质等，解题关键是灵活运用二次函数的图象及性质并注意分类讨论思想的运用． （1）将点A，B的坐标代入，即可求出抛物线的解析式； （2）先求直线解析式，设，则，用含的代数式表示出的长，再利用二次函数的性质求解即可； （3）利用数形结合的思想，分别求出：①当过点时m的值，②当直线与抛物线只有1个交点时m的值即可求解． 【详解】（1）解：将点，，代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由抛物线解析式得， 设直线解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线解析式为， 设，则， ． ， 当时，有最大值． 此时点坐标为； （3）解：将的图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，其顶点坐标为，如图：    ①当过点时，， 解得； ②当直线与抛物线只有1个交点时， 则方程有两个相等的实数根， 整理得：， ∴， 解得：， 综上所述，当直线与新图象有且仅有三个公共点时，m的取值范围为． 26．（2026·贵州·一模）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过点A、B． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是第一象限内抛物线上的一个动点，求点P到直线的距离取得最大值时，点P的坐标； (3)如图2，将抛物线在直线上方的部分沿翻折得到“心形图”（包含A、B两点），若直线l：与该图形有交点，求t的取值范围． 【答案】(1)； (2)点P的坐标为． (3)时，直线l与“心形图”有交点． 【分析】（1）求出，再代入求出即可； （2）设，过点P作于点M，过点P作轴交于点N，求出，得出，根据二次函数性质求出结论即可； （3）当直线l与抛物线只有一个交点时，求出，再根据对称性求出当时，直线l与“心形图”左下方只有一个交点，进而求出结论． 【详解】（1）解：一次函数与x 轴分别交于点A、B两点， 当时，；当时，； 则， 把代入： 则， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：设， 过点P作于点M，过点P作轴交于点N， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴当时，最大为， 此时点 ∴点P到直线的距离取得最大值时，点P的坐标为． （3）解：当直线l与抛物线只有一个交点时， 令，即， 则， ∴， ∴， ∴当时，直线l与“心形图”右上方只有一个交点， 此时直线l与y轴交点， ∵直线l解析式的k值与直线解析式的k值相同，为， ∴直线l与直线平行， 根据“心形图”关于直线对称，且直线可知： ∴上方直线l到直线的距离与下方直线l到直线的距离相等， 设下方直线l与轴交点为点E， 根据平行线分线段成比例可得， ， ， ，即， ∴当时，直线l与“心形图”左下方只有一个交点， 由图可知，当时，直线l与“心形图”有交点． 题型08 旋转变换与坐标系函数综合压轴 27．（2026·山东济南·一模）将一副三角板按图1方式摆放在平面直角坐标系中，含角的三角板的直角边落在轴上，，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)将三角板绕点顺时针旋转至， ①如图1，点为三角板边上一点，旋转后点的对应点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标； ②如图2，若将三角板绕点顺时针旋转至，使点落在边上，请判断点旋转后的对应点是否在反比例函数图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2)①，②在反比例函数图象上，理由见解析 【分析】（1）把的坐标为代入反比例函数即可得到答案； （2）①过点作于点，由旋转得，将代入反比例函数表达式，进而即可求解； ②过点作轴于点，过点作，交的延长线于点，先证明， 结合旋转的性质可得， 再把代入反比例函数表达式进行检验即可 【详解】（1）解：将代入反比例函数表达式得：， ∴， ∴反比例函数表达式为； （2）解：①如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴， 由旋转得， 将代入反比例函数表达式，得：， ∴， ∴， ∴； ②如图，过点作轴于点，过点作，交的延长线于点， ∴， ∴，， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， 由（1）知，， 由旋转得：，， ∴在中，，， ∴，， ∴， 将代入反比例函数表达式，得：， ∴在反比例函数图象上． 28．（2025·四川绵阳·一模）如图所示，抛物线的解析式为． (1)若抛物线经过点，求抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下，抛物线与x轴相交于两点（点A在点B的左侧），若将直线绕点A按顺时针方向旋转后与抛物线相交于点P，求点P的坐标； (3)如图1所示，若直线与抛物线相交于两点（M在N的左侧）O为坐标系原点，直接写出的最小值． 【答案】(1)该抛物线的解析式为 (2) (3) 【分析】本题主要考查二次函数的综合、旋转的性质、勾股定理、轴对称的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的综合、旋转的性质、勾股定理、轴对称的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）把点代入函数进行求解即可； （2）设直线与y轴的交点为D，过点D作于点E，由（1）可得，然后可得，则有，进而可得，则可求出直线的解析式为，最后联立函数关系式即可求解； （3）由题意易得，则有，，然后可得的和可看作是动点到定点距离之和，且动点在直线上运动，进而问题可求解． 【详解】（1）解：把点代入得：， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：设直线与y轴的交点为D，过点D作于点E，如图所示： 由（1）可知：抛物线的解析式为，点， ∴令时，则有，解得：， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质可知：， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立直线与抛物线的解析式得：， 解得：， ∴； （3）解：由题意可联立得：， 解得：， ∴， ∴，， ∴根据两点距离公式的几何意义可知：的和可看作是动点到定点距离之和，且动点在直线上运动，如图， 作点关于直线的对称点H，根据轴对称的性质可知直线垂直平分，所以，即点，连接，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可知：当动点是直线与线段的交点时，有最小值，最小值为． 29．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点、，于轴交于点，且为直角三角形． (1)求该抛物线的解析式； (2)在该抛物线上是否存在点，能使点满足，若存在，求出所有点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)将绕平面内一动点旋转后所得与该抛物线没有公共点，请直接写出的取值范围________________． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或； (3)或与抛物线没有公共点 【分析】（1）根据题意可证，得，结合已知点的坐标即可求得点C的坐标，设抛物线，将点求得a，即可得到解析式； （2）分情况：当点P位于点B的左侧，过点C作，交抛物线于点P，则点A和点B到线段的距离相等，利用平行线的性质即可求得点；当点P位于点B的右侧，连接与x轴交于点D，作，则，可证明，得，求得点，利用待定系数法求得直线的表达式，联立求得点即可； （3）根据题意可得，，，，分类：当点Q位于原点右侧时，旋转后与抛物线相切时，求得直线的解析式，进一步得直线的解析式为，联立求得s，将点代入直线上，即可求得；当点Q位于原点左侧时，旋转后在抛物线上时，将点代入函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：∵为直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵、， ∴， 则， 解得， 设抛物线， 将点代入得，解得， ∴； （2）解：存在，理由如下， 若点P位于点B的左侧，过点C作，交抛物线于点P，如图， 则点A和点B到线段的距离相等， ∴， 令，则， 解得（舍去），， ∴点， 若点P位于点B的右侧，连接与x轴交于点D，作，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则点， 设直线的表达式为，则 ，解得， 则直线的表达式为， 联立解得（舍去）或， ∴， 综上所述，点P的坐标为或； （3）解：∵将绕平面内一动点旋转后所得， ∴，，， 当点Q位于原点右侧时，旋转后与抛物线相切时，如图， 设直线的解析式为，则 ，解得， ∴直线的解析式为， ∴直线的解析式为， ∵旋转后与抛物线相切， ∴， 整理得：， ∴， 解得， 则直线的解析式为， ∵在直线上， ∴， 解得， 则时与抛物线没有公共点； 当点Q位于原点左侧时，旋转后在抛物线上时，如图， 则， 解得， ∴当时与抛物线没有公共点， 综上所述，或与抛物线没有公共点． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、待定系数法求解析式、全等三角形的判定和性质、求一次函数的解析式和旋转的性质，解题的关键是熟悉分类讨论思想和二次函数的性质旋转． 题型09 二次函数与周长最值问题 30．（24-25九年级下·广东肇庆·月考）如图，抛物线交直线于坐标轴上B，C两点，交x轴于另一点A，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点D在对称轴上，当的周长最小时，求点D的坐标和的最小周长值． 【答案】(1) (2)，的最小周长值为 【分析】（1）根据直线交坐标轴于，两点，可得点，点坐标，利用待定系数法即可求解． （2）根据当的周长最小时，则最小，此时点D为直线与直线的交点，把代入，求出y值即可求点D坐标．再求出点A坐标，从而可求得，，即可由的周长最小值求解． 【详解】（1）解：直线交坐标轴于，两点， 令，则， ∴， 令，则， ∴， ∴， 抛物线交直线于坐标轴上，两点， ， 解得， 抛物线的解析式为． （2）解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线交x轴于点A、B， ∴点A、B关于直线对称， ∵点D在抛物线的对称轴上， ∴， ∴ ∴当点B、D、C三点共线时，的值最小，最小值等于的长， ∵的周长， ∴当的周长最小时，则最小， 此时点D为直线与直线的交点，如图， 把代入，得， ∴． 把代入，得， 解得：，， ∴， ∵，， ∴，， ∴的周长最小值． 【点睛】本题考查二次函数图象与一次函数图象与坐标轴交点问题，待定系数法求抛物线解析式，抛物线的性质，利用轴对称求最短路径问题，勾股定理，熟练掌握抛物线的图象性质是解题的关键． 31．（2026·江苏苏州·一模）如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点在抛物线上．设，当时，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ (3)如图2，保持时的矩形位置不动，平移抛物线使之经过点，得到抛物线，过点的直线交抛物线和于点（点均不与点重合），设点的横坐标为，设点的横坐标为，请求出的值． 【答案】(1) (2)，29 (3)10 【分析】（1）易得抛物线过点，待定系数法求出函数解析式即可； （2）用含的代数式表示的长，对称性求出的长，根据矩形的周长公式，列出二次函数求最值即可； （3）求出点坐标，待定系数法求出平移后的解析式，设经过点的直线解析式为，分别联立直线和两个抛物线的解析式，求出，再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴， 当时，， ∵， ∴， 又∵抛物线过点，和， ∴，解得， ∴； （2）解：由（1）知：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴， ∵矩形， ∴， ∴点关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴矩形的周长为， ∴当时，矩形的周长最大为29； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴平移后的抛物线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴， 设经过点的直线解析式为， 联立，解得或； ∴， 联立，解得或； ∴， ∴． 32．（24-25九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）如图，一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于点，且与轴、轴分别交于点，其中．    (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)如图2，点为反比例函数图象在第一象限上的一点，且在点A的左侧，满足，作轴交直线于点，点为直线上一动点，连接，求周长的最小值； (3)在第（2）问的条件下，轴上有一动点，平面内有一动点，当以点为顶点的四边形是矩形时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)， (2)的周长的最小值为 (3)符合条件的点的坐标为：或或或 【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点可得，根据可得，由此求出一次函数解析式，把点代入一次函数，求出，再代入反比例函数解析式即可求解； （2）作点C关于直线的对称点，连接交于点N，则此时，周长的最小，然后运用勾股定理求解即可； （3）当为对角线时，由中点坐标公式和列出方程组求解即可；当或为对角线时，同理可解． 【详解】（1）解：一次函数中，当时，， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴在一次函数中，当时，， 解得，， ∴一次函数解析式为， 把点代入得，， 解得，，即， ∴反比例函数中，， ∴反比例函数解析式为：； （2）解：如图，取,过点Q作交反比例函数于点P，则此时,则点， ∵， ∴设直线的表达式为：，则有：, ∴， 联立上式和反比例函数的表达式得：，解得：（舍去）或1，即点，则点， 由点A、P的坐标得，直线的表达式为：， 作点C关于直线的对称点， 连接交于点N，则此时，周长的最小， ∴，即的周长的最小值为； （3）解：设点，由点A、M的坐标得，, ①当为对角线时，由中点坐标公式和得： 解得：，则点； ②当或为对角线时， 同理可得：或， 解得：或， ∴点或， 综上，或或或． 【点睛】本题主要考查一次函数，反比例图象与几何图形的综合运用，掌握待定系数法求解析，图像与坐标轴交点与二元一次方程组的计算，几何图形面积的计算方法，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合运用，图形结合，分类讨论思想是解题的关键． 题型10 一次函数与几何动点综合解答压轴 33．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数图象交于点，点的坐标为，连接，动点从开始以每秒1个单位长度的速度沿轴正方向运动，设运动的时间为秒（），过点作轴，分别交，于点，． (1)求反比例函数的表达式和直线的函数表达式； (2)求的长（用含的代数式表示）； (3)点是线段上一动点（点不与点，重合），和的面积分别表示为和，当时，请直接写出（即与的积）的最大值为______． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，直线的函数表达式为 (2) (3)36 【分析】（1）把点A的坐标代入正比例函数的表达式中求出点A的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可得，把分别代入和中，求出对应的x的值即可得到点M和点N的坐标，进而可求出； （3）根据（2）所求可得，设，则，则可求出，进而可得，据此可得答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， 把点A的坐标代入中得，解得， ∴反比例函数的表达式为； 设直线的函数表达式为，则， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：由题意得，， ∴； 在中，当时，，则， 在中，当时，，则， ∴； （3）解：由（2）可得，，， ∴当时，，， 如图所示，设，则 ∵ ， ， ， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为36． 34．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点．点为直线与轴的交点． (1)求点的坐标； (2)如图2，点是线段上的一个动点，过点作平行于轴的直线，分别交直线，于点，点，连接．设点的横坐标为， ①线段__________（用含的代数式表示） ②求面积的最大值． 【答案】(1) (2)①；②27 【分析】（1）联立两条直线解析式，求出点P坐标； （2）①设点的横坐标为，、，进而求出的值； ②先求出C点坐标，得到，求出，再利用三角形面积公式得到，最后利用二次函数的性质得到面积的最大值． 【详解】（1）解：直线与直线交于点， ， 解得， 点的坐标为； （2）①解：设点的横坐标为，轴， 、， ； ②解：点为直线与轴的交点，点是线段上的一个动点， 将代入直线得：， 解得， ， ， 由①可得， 面积为： ， 当时，面积有最大值，最大值为27． 题型11 反比例函数与几何图形动态综合 35．（2026·广东东莞·一模）如图1，矩形的顶点、分别在轴和轴上，点的坐标为． (1)反比例函数 的图象与边，分别交于点，，当 时，求的值和点的坐标； (2)如图2，点，分别在边，上，且反比例函数的图象经过点、，连接、，求证：； (3)如图3，反比例函数 的图象与边，分别交于点，，若以为直径的圆与矩形的边有个公共点，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由可得点的坐标为，代入反比例函数的表达式可得，再将代入，可求得点的坐标； （2）根据题意可得，点的坐标为，点的坐标为，则，，进而可得，利用夹角相等两边对应成比例可证明，则，从而证明； （3）设的中点为，由（2）可得，点的坐标为，圆的半径为．分情况研究，当圆与相切时，如图，设切点为点，连接，由解出，此时圆与矩形的边仅有个公共点，因此；当圆与相切时，如图，设切点为点，连接，同理可得，此时圆与矩形的边有个公共点，因此，公共部分即为的取值范围． 【详解】（1）解：在矩形中，轴，轴， ∵点的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴点的坐标为， 将点代入，得， ， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为； （2）证明：由（1）可知，，， ∵点，分别在边，上， 又∵反比例函数的图象经过点、， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：设的中点为， ∵， ∴点在圆上， ∵圆与矩形的边有个公共点， ∴圆与边、共有个公共点， 由（2）可知，点的坐标为，点的坐标为， ∴点的坐标为， ①当圆与相切时，如图，设切点为点，连接， 由（2）可知，，， 在中，， ∴， ∵圆与相切， ∴， ∴， ∴，解得， 此时圆与矩形的边仅有个公共点， ∴需向下平移，即， ②当圆与相切时，如图，设切点为点，连接， 同理①可得，， ∴，解得， 此时圆与矩形的边有个公共点，若继续向下平移，则公共点数量会超过个， ∴， 综上所述，的取值范围为． 36．（2026·广东江门·一模）如图1，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B的坐标分别为、，顶点C在反比例函数的图象上，顶点D在反比例函数的图象上． (1)当点C的坐标为时，求a、b的值； (2)当时，求a、b应满足什么关系，请说明理由； (3)如图2，当时，在BC的延长线上取一点E，过点E作交y轴于点F，交反比例函数图象于点G，当G为的三等分点时，求点E的坐标（请用含a的代数式表示）． 【答案】(1) (2)当时，，理由见解析 (3)点E的坐标为或 【分析】（1）过作轴于，过作轴于，再根据正方形的性质结合一线三垂直模型证明，得到，，同理可得，当点C的坐标为时，，解得； （2）由顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上，可得，， 根据解不等式即可； （3）当时，，解得，则，此时，过作轴于，过作轴于，则，，设，则，，得到，根据当G为的三等分点时，得到，或，分情况讨论分别求出点坐标，代入，求出，再求即可． 【详解】（1）解：过作轴于，过作轴于， ∵正方形的顶点A、B的坐标分别为、， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得， 当点C的坐标为时，， 解得； （2）解：当时，，理由如下： ∵顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上， ∴，， ∴当时，， ∴，即， ∴， 由图可得，， ∴； （3）解：当时，， 由图可得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过作轴于，过作轴于， ∴，，则 设，则，， ∴， ∵当G为的三等分点时， ∴，或， 当时， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数图象过点G， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴，， ∴； 同理当时，，； 综上所述，当G为的三等分点时，点E的坐标为或． 37．（2026·山东济南·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，经过点、点的直线与反比例函数的图象在第三象限交于点，是以为斜边的直角三角形． (1)求反比例函数的解析式； (2)如图1，当点在轴的正半轴时，求的面积； (3)如图2，若平分，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为 【分析】（1）将代入一次函数求出，再代入反比例函数求出，得到解析式； （2）利用中心对称、直角三角形斜边中线定理求出再求出，然后用底高法求面积； （3）先构造全等三角形，再根据等腰三角形的性质，用坐标法列方程求，再由中点坐标公式求出点． 【详解】（1）解：∵一次函数经过点， ∴， ∴点， ∵反比例函数经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：作轴于点，轴于点， ∴，， ∵直线与双曲线关于原点中心对称， ∴点，点关于原点中心对称， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为且， ∴在中，， ∴， ∴， ∵，是斜边上的中线， ∴， 一次函数，当时，， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：延长交的延长线于点， ∵平分， ∴， ∵为直角三角形，且斜边，点在第二象限， ∴． 在和中，， ∴， ∴，， 即点是的中点， ∵点在直线上， ∴设点， ∵点在第二象限， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴， ∴点， ∵点是的中点， ∴点的坐标为． 38．（2026·四川成都·二模）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式和点坐标； (2)坐标轴上是否存在一点，使得，如果存在，请求出点坐标，如果不存在，请说明理由； (3)P为反比例函数图象第一象限上一点，连接、、、、，当时，求直线解析式． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）将代入得得出，联立反比例函数与直线解析式，解方程，即可求解； （2）分在轴和在轴两种情况讨论，根据，利用两点距离公式建立方程，解方程，即可求解； （3）设，过点作交轴于点，交轴于点，分别求得，，根据，，建立方程求得的坐标，再求得直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， ， ∴， ∴反比例函数的表达式为， 联立， 解得：或， ∴， （2）解：①当在轴上时，设， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， ②当在轴上时，设， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，或； （3）解：如图，设，过点作交轴于点，交轴于点，连接, 设解析式为 ∴ 解得： ∴的解析式为 当时， 解得： ∴ ∵，则直线的解析式为 同理可得直线的解析式为 当时， 解得： ∴ ∵与轴交于点． 当时，， ∴ ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ 解得：（舍去）或， ∴ 设直线的解析式为 代入，得， 解得： ∴直线的解析式为 题型12 动态几何中的角度定值与等角探究 39．（2026·安徽合肥·一模）已知：抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，，． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是抛物线上异于点A的点，且的面积与的面积相等，求出点P的坐标； (3)若点Q在抛物线上，且满足，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)点P的坐标为 (3)点Q的坐标为或 【分析】（1）用待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）设直线 为 ，代入 ， ，求得直线 的解析式为 ，要使 ，点 必在过点 且平行于 的直线 上，或者在与 关于 对称的直线 上，分两种情况讨论即可； （3）设，，由题意可知，作轴于M则，，中直角边满足​或，，分两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 由题意知抛物线经过，，， 则解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线 为 ， 代入 ， ，解得 ， 直线 的解析式为 ， 要使 ，点 必在过点 且平行于 的直线 上，或者在与 关于 对称的直线 上， 情况一：点 必在过点 且平行于 的直线 上， 过点 作 设直线 为 代入 得 直线 的解析式为 联立直线 与抛物线： 解得或4， 当时，， 则， 情况二：在与 关于 对称的直线 上， 则直线 的解析式为 ， 联立直线 抛物线：，即， ，方程无解， ∴点 的坐标为 ； （3）解：设，， 由题意可知， 作轴于M则 ， ∵， 且，，， ∴中直角边满足 ​或，； ①     ，解得(舍) 或，​     代入得 ​， ② 解得， ， ， ∴点Q的坐标为或． 40．（2026·天津河西·一模）已知抛物线(，，为常数，)的顶点为，与轴相交于，两点（点在点的左侧），点，与轴交于负半轴的点． (1)当，时，求该抛物线顶点的坐标； (2)当时， ①若存在点，满足，求此时的值； ②若有点，满足，求此时的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据已知及函数图像上点的坐标特征可得，继而得出抛物线的解析式为，再转化为顶点式，可得答案； （2）①根据已知及函数图像上点的坐标特征可得，继而得出抛物线的解析式为，对称轴为，确定，根据两点间距离公式得，，得到关于的一元二次方程，求解可得答案； ②如图，连接，确定，，，得，将点沿轴向左移动个单位长度得到点，得，推出，作点关于轴的对称点，连接，得到，证明得，求得，可得答案． 【详解】（1）解：当，时，抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴抛物线的顶点的坐标为； （2）解：①∵， ∴， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴该抛物线的对称轴为， 当时，得：， ∴抛物线的顶点的坐标为， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时； ②如图，连接， ∴， ∵， ∴， 由①知：抛物线的解析式为， 当时，得：， 解得：或， 当时，， ∴，，， ∴，，， ∴， 将点沿轴向左移动个单位长度得到点， ∴点的坐标为，， ∴， ∴， ∵， ∴， 作点关于轴的对称点，连接， ∴，， ∴， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴． 41．（2026·黑龙江·一模）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)抛物线上存在点，使，此时点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可； （2）作，与x轴交于点E，则，证明，可得，点，过点B作，交抛物线于点D， 此时满足，则此时点D即为所求，求出直线的解析式为，可得直线的解析式为，然后联立得：，可求出点D的坐标；作，交y轴于点F，则此时满足，证明，，求出直线的解析式为，联立得：，求出点D的坐标． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于两点， ， 解得， 抛物线的解析式为． （2）解：抛物线上存在点，使， 根据题意得：，， 对于， 当时，， ∴点，即， 如图，作，与x轴交于点E，则， ∵， ∴， ∴， ∴点， 过点B作，交抛物线于点D， ∴， ∴， 此时满足，则此时点D即为所求； 设直线的解析式为， 把点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∴可设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：， 解得：或， ∴点的坐标为； 如图，作，交y轴于点F，则此时满足， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴同理直线的解析式为， 联立得：， 解得：或， ∴点的坐标为； 综上所述：抛物线上存在点，使，此时点的坐标为或． 1．（2025·四川雅安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，其中点、点的横坐标分别是和． (1)当时，直接写出的取值范围； (2)求出一次函数和反比例函数的表达式； (3)将直线向左平移个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点，求的面积． 【答案】(1)或； (2)一次函数和反比例函数的表达式分别为，； (3)的面积为． 【分析】（1）结合题意可知，时的取值范围即为直线与反比例函数上方时交点的横坐标的取值范围； （2）先将点、点的横坐标代入反比例函数解析式求出，，再代入一次函数解析式求解即可； （3）先求出平移后的一次函数解析式为，然后求出交点，过点作轴交于点，则，再由求解即可． 【详解】（1）解：一次函数与反比例函数的图象交于，两点，其中点、点的横坐标分别是和， 当时，或； （2）解：点、点的横坐标分别是和，且点、点在反比例函数与一次函数上， ，， ，， 将，代入， 则 解得， 一次函数和反比例函数的表达式分别为，； （3）解：由题意得，平移后的一次函数解析式为， 联立， ， 即， 解得， 经检验，是原方程的解， 点在第一象限， ， ， ， 过点作轴交于点， ， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数与反比例函数图象综合判断、求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数图象平移问题、解分式方程（化为一元二次）、反比例函数与几何综合，解题关键是将求的面积转化为求和的和． 2．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标； (2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，．； (2)． (3)能，边上的顶点的坐标为，或． 【分析】（1）求得点A，C坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；利用抛物线的解析式令，解方程即可求得点B在横坐标；利用配方法即可求得点D的坐标； （2）利用勾股定理及其逆定理得到，延长至点，使，连接，交直线于点P，利用轴对称的性质可得，B关于直线对称，此时的周长最小，过点作轴于点E，利用三角形的中位线定理得到点坐标，利用待定系数法求得直线的解析式为，再与直线联立即可求得点P坐标； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①设与交于点K，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得其面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可；②顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得据的面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可． 【详解】（1）解：中， 令，则， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∵抛物线经过A，B，C三点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． 令，则， ∴，或， ∴． ∵ ∴顶点； （2）∵，，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 延长至点，使，连接，交直线于点P，如图， 则，B关于直线对称，此时的周长最小， 过点作轴于点E， ∵轴，轴， ∴ ， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴． （3）在内部能截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． ①如图，顶点E，F，G，H在各边上，设与交于点K， 设， ∵四边形为矩形，， ∴四边形，为矩形，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形EFGH的面积取得最大值为． ∴， ∵， ∴H为的中点， ∴． 同理，点G为的中点， ∴． ②如图，顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合， 设， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形的面积取得最大值为． ∴， ∴点G为的中点， ∵， ∴为的中位线， ∴ ∴， ∴． 综上，在内部能截出面积最大的矩形(顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，配方法，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，轴对称的性质，分类讨论的思想方法，矩形的性质，直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 3．（2025·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)问在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； (3)将射线绕点逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点，再将抛物线沿直线平移，得到一条新的抛物线（其顶点为）．设这两条抛物线的交点为． ①求旋转角度的正切值； ②当时，求原抛物线平移的距离． 【答案】(1) (2)或 (3)①3；②抛物线的平移距离为 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）求出点坐标，作的中垂线交轴于点，连接，则：，得到，设，则：，勾股定理求出的值，进而得到点坐标，求出直线的解析式，作，得到，求出直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式求出点坐标，再根据对称性，求出满足题意的另一个点的坐标即可； （3）①求出直线的解析式，根据题意，得到旋转角为，作，交轴于点，作于点，则：，求出直线的解析式，进而求出点的坐标，等积法求出的长，勾股定理求出的长，再利用正切的定义进行求解即可； ②设抛物线沿着水平方向和竖直方向均移动个单位，根据平移规则求出新的抛物线的解析式，求出点的坐标，联立两个抛物线的解析式求出点坐标，作轴，交的延长线于点，证明，列出比例式求出的值，进而求出平移距离即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴相交于，两点，将两点坐标代入抛物线，得， 解得， ∴抛物线的表达式， （2）∵， ∴当时，， ∴， 作的中垂线交轴于点，连接，则：， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设，则：， 在中，由勾股定理，得， 解得， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得，解得， ∴， 过点作，交轴于点，交抛物线于点，则：， 设直线的解析式为，把代入，得，解得， ∴， 联立， 解得或， ∴； ∵， ∴当时，， ∴， 作点关于轴的对称点，连接，则：，， ∴直线与抛物线的交点也满足题意， 同法可得：直线的解析式为， 联立，解得或， ∴； 综上：或； （3）①∵， ∴， ∵， 同法可得直线的解析式为， 由题意，即为旋转角，作，交轴于点，作于点，则：， ∴， 同法可得直线的解析式为， ∴当时，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②将抛物线沿直线平移，等同于将抛物线沿直线平移， ∵， ∴抛物线在水平方向和竖直方向上的移动距离相等， 设将抛物线向右和向上分别平移个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的解析式为， ∴， 联立， 解得：， ∴， 作轴，交的延长线于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）或（舍去）； ∴抛物线在水平方向和竖直方向的平移距离均为， ∴抛物线的平移距离为； 当抛物线沿直线向下移动时，同理可得抛物线的平移距离为； 综上：抛物线的平移距离为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数图象的平移等知识点，综合性强，难度大，属于中考压轴题，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 4．（2025·西藏·中考真题）已知抛物线过点，，与轴交于点．点是轴正半轴上的动点，点是抛物线在第四象限图象上的动点，连接，，且交轴于点，交于点． (1)当时，求抛物线的解析式； (2)如图1，在（1）的条件下，若，求直线的解析式； (3)要使得成立，请探索的取值范围（直接写出结果）； (4)如图2，，当为何值时，的长度等于1？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次函数综合问题，角度问题，正切的定义，等腰三角形的性质与判定； （1）当时，二次函数的图象与轴交于，设二次函数的交点式为，展开后得到求解即可得到答案； （2）根据解析式求得点，进而勾股定理求得，作的角平分线交轴于点，则，，进而得出，根据角平分线的定义得出，求得，进而可得，从而求得点的坐标，待定系数法求解析式，即可求解． （3）先找到临界值，当时，，此时得出重合，根据题意可得是第四象限的点，则当时，即可求解； （4）根据题意得出是等腰直角三角形，进而根据已知得出，取得出是等腰直角三角形，进而求得，即可得出的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：当时，二次函数的图象与轴交于， ∴设二次函数的交点式为， ，， ∴， 解得， ∴函数的解析式为； （2）解：对于二次函数， 令，可得，则点的坐标为，则 ∵， ∴， ∵ ∴， 如图，作的角平分线交轴于点，则， ∴， 设到的距离为，则， ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵，则， ∴． ∴． 设直线的解析式为，代入， ∴， 解得：， ∴直线的解析式． （3）解：当时，， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴，则重合，重合， 又∵是第四象限的点， ∴当时，则，． ∴要使得成立， 的取值范围为； （4）解：∵， ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． 在中，． 如图所示，取． ∴． ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． ∴． ∴． 即． 5．（2025·宁夏·中考真题）如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围； (3)如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点P，横坐标为,， 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质、直线与抛物线的位置关系、三角形面积的计算以及面积相等的点的存在性问题． （1）利用顶点横坐标为和公式求出参数进而得到抛物线表达式； （2）先求点A和B的坐标，确定直线方程；将直线向上平移m个单位后与抛物线联立，利用判别式求m的范围； （3）先求对称轴与直线的交点D及顶点计算；设点P坐标，利用面积公式列方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）∵抛物线顶点横坐标为， ∴由顶点公式，其中即 ∴ ∴抛物线表达式为 ． （2）当时，即 解得或（舍去）， 故． 当时，故． 设直线的方程为 将点与点代入得 ∴直线的方程为． 向上平移m个单位后，直线方程为． 与抛物线联立： 整理得： 抛物线与直线有交点时，， 解得，又 ， ∴m 的取值范围为． （3）抛物线对称轴为． 直线当时，故． 顶点当故． 点． 设在抛物线上，． 如图， 情况1：过点C作的平行线，与抛物线交于点P，此时， 因，且，故可设直线的解析式为，将点代入求得，即的解析式为， 联立抛物线方程， 解得：或， ∴点P坐标为. 情况2：过点E作的平行线，交抛物线于点与，因， ∴直线向下平移到直线的距离等于直线向下平移到直线的距离， 当过点时，代入 ∴解析式为， 联立， 整理得：， 解得：， 即点的横坐标是，点的横坐标是. 综上所述，存在点横坐标为. 6．（2025·山东威海·中考真题）已知抛物线交x轴于点，点B，交y轴于点C．点C向右平移2个单位长度，得到点D，点D在抛物线上．点E为抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式及顶点E的坐标； (2)连接，点M是线段上一动点，连接，作射线． ①在射线上取一点F，使，连接．当的值最小时，求点M的坐标； ②点N是射线上一动点，且满足．作射线，在射线上取一点G，使．连接，．求的最小值； (3)点P在抛物线的对称轴上，若，则点P的坐标为___________． 【答案】(1)， (2)①；② (3)或 【分析】（1）令，则，得到，根据平移得到，进而根据抛物线过点，，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式为．将解析式化为顶点式，即可得到顶点E的坐标； （2）①当点O，M，F三点共线时，为最小值．对于抛物线，令，求出，进而可得直线的解析式为．由点F在射线CD上，，得到，从而可得直线的解析式为．解方程组即可解答； ②由，，得到是等腰直角三角形，从而．连接，，由两点间距离公式可得，，从而，即可得到是等腰直角三角形，因此，从而证得，得到，进而有．证明，根据勾股定理求出，即可解答． （3）分两种情况：①当点P在x轴上方时，取点，连接，得到是等腰直角三角形，，即可推出．过点A作于点K，设对称轴与x轴的交点为Q，则，从而，得到．根据的面积求得，进而在中，，把相关数据代入，即可求得，从而．②当点P在x轴下方时，由对称性可得．即可解答． 【详解】（1）解：对于抛物线，令，则， ∴， ∵点C向右平移2个单位长度，得到点D， ∴， ∵抛物线过点，， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴抛物线的顶点E的坐标为． （2）解：①如图，当点O，M，F三点共线时，为最小值． 对于抛物线，令，则， 解得，， ∴， 设过点，的直线解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∵点F在射线上，，， ∴， ∴由点，可得直线的解析式为， 解方程组得， ∴当的值最小时，点M的坐标为； ②∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 连接，， ∵，，， ∴，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴轴，即， ∴， ∴． ∵，， ∴在中，， ∴， 即的最小值为． （3）解：①当点P在x轴上方时， 取点，连接， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， ∵， ∴． 过点A作于点K，设对称轴与x轴的交点为Q， ∴， ∴， ∴． ∵，，， ∴，， ∵， 即， ∴， ∴在中，， ∵对称轴为直线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ②当点P在x轴下方时，由对称性可得． 综上所述，点P的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，两点间的距离公式，两点之间线段最短等，综合运用相关知识是解题的关键． 7．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线对称轴上一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标； (3)在线段上是否存在点Q，使存在最小值？若存在，请直接写出点Q的坐标及最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，，的最小值为 【分析】（1）对称性求出点坐标，两点式写出函数解析式即可； （2）设对称轴与轴交于点，设，，分点在轴上方和点在轴下方两种情况进行讨论求解即可； （3）在轴上取点，连接，过点作于点，交轴于，过点作于点，易得为等腰直角三角形，进而得到，推出，得到当点与点重合时，的值最小为的长，等积法求出的长，证明为等腰直角三角形，求出点坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点， ∴， ∴抛物线的解析式为：； （2）∵点在对称轴上，设对称轴与轴交于点 ∴设，； ∵旋转， ∴， 当点在轴上方时， ∵关于对称轴对称， ∴， ∴当时，满足题意，此时点与点重合，， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当点在轴下方时，如图，作对称轴于点，则：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 把代入，得：， 解得：或（舍去）； ∴； 综上：或； （3）存在； 在轴上取点，连接，过点作于点，交轴于，过点作于点，则：，， ∵， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当点与点重合时，的值最小为的长， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 在中，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； 综上：，的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 8．（2025·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线过点，且对称轴为直线，直线与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，直线与y轴交于点D，与直线交于点E．若抛物线与线段有公共点，求h的取值范围； (3)过点C与垂直的直线交抛物线于P，Q两点，M，N分别是，的中点．试探究：当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点T，使得总是平分？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)抛物线的对称轴上存在，使得总是平分． 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求解析式即可； （2）求出点的坐标，易得抛物线的顶点坐标在直线上移动，根据抛物线与线段有公共点，得到抛物线与直线有一个交点开始，将抛物线向右移动直至抛物线与线段只有一个交点为时，均满足题意，求出两个临界值即可得出结果； （3）先求出点坐标，进而求出直线的解析式，联立抛物线与直线，根据根与系数的关系结合中点坐标公式求出点坐标，同理求出点坐标，作根据平分，得到，设，根据正切的定义，列出比例式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，且对称轴为直线， ∴，解得：， ∴； （2）当时，则：， ∴当，，当时，， ∴， ∵， ∴顶点坐标在直线上移动， ∵与线段有公共点， ∴联立，整理，得：， ∴当，即：时， 此时抛物线为，与直线的交点是，在线段上，满足题意， 将从开始向右移动，直至抛物线与线段只有一个交点为时，与线段均有公共点， ∴当过点时，， 解得：或， ∴当时，抛物线与线段有公共点； （3）结论：存在； 解：∵， ∴当时，， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点在抛物线的对称轴上， ∵过点，且与直线垂直， ∴，设直线的解析式为：， 在直线上取点，在上取点，使，作轴，轴，如图，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴直线的解析式为：，即：， 联立，整理，得：， ∴，， ∵为的中点， ∴， 联立， 同理可得：， 假设存在点，使得总是平分，如图，作， ∵平分， ∴ ∴， ∴， 设，则：， 解得： ∴抛物线的对称轴上存在，使得总是平分． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $