5.2简单的轴对称图形第3课时（培优教学课件）数学新教材北师大版七年级下册

第五章 图形的轴对称 5.2 简单的轴对称图形 （第3课时） 学 习 目 标 1.会用尺规作图作角平分线; 2.通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理;(难点) 3.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题.(重点) 知识回顾 1.线段的对称性 (1)对称性:线段是　　　　图形;  (2)对称轴:垂直并且平分线段的　　 　是它的一条对称轴.  轴对称 直线 2.线段的垂直平分线 (1)定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的　　　　　　.(简称中垂线)  (2)性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离　　　　. 垂直平分线 相等 O P 情境引入 如果是，你能找出它的对称轴吗？ 角是生活中常见的图形，角是轴对称图形吗? 如图所示，将∠AOB对折，你发现了什么? 新知探究 探究一：角平分线的性质 1.对称性：角是　　 　图形.  轴对称 角的对称性 2.对称轴：　　 　　　　是它的对称轴.  角平分线所在的直线 如图所示，OP是∠AOB的平分线，点C是OP上的任意一点.在∠AOB的两边上画出以OP所在直线为对称轴的一组对应点D和D'，连接CD 和CD'. 新知探究 (1)你认为线段CD和CD'之间有什么关系?说说你的理由。 解:(1)CD和CD'. 理由：因为点D和点D'关于OP所在直线对称点C在OP上， 所以线段CD与CD'关于OP所在直线对称， 所以CD=CD'. 新知探究 (2)特别地，当CD⊥OA时(如图所示)，CD'与OB有怎样的位置关系?为什么?此时，线段CD和CD'之间还有(1)中的关系吗?由此你能得到什么结论? (2)当CD⊥OA时,CD'⊥OB. 理由：因为点D和点D'关于OP所在直线对称，点O，C都在OP上， 所以△OCD与△OCD'关于OP所在直线对称， 所以∠ODC=∠OD'C, 当CD⊥OA时,∠OD'C=∠ODC=90°，即CD' ⊥OB， 此时CD=CD'，还有(1)中的关系. 新知探究 知识归纳 几何语言： 角平分线的性质: 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.  ∵OP 是∠AOB的平分线， ∴CD =CD′. CD⊥OA,CD′⊥OB， 新知探究 1.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC=4，DE=1.6，则BD的长为　　　　.  2.4 解析：因为AD平分∠BAC,DE⊥AB,∠C=90°, 所以CD=DE. 因为DE=1.6,所以CD=1.6, 所以BD=BC-CD=4-1.6=2.4. 如图所示，已知∠AOB，如何作出它的平分线？ 假设∠AOB的平分线已作出，请回答下列问题: (1)这条射线有什么特征? 新知探究 探究二：用尺规作角平分线 答案:(1)这条射线平分∠AOB，这条射线上的任一点与∠AOB两条边上关于这条射线对称的一组对应点所连的两条线段相等。 新知探究 (2)如何确定这条射线上除端点之外的一个点?用三角尺、量角器、圆规等工具试一试。 如果只用尺规呢？与同伴进行交流. (2)方法不唯一。举例： (方法一)用量角器量出∠AOB的度数，在角的内部用量角器画出∠AOC=∠AOB,找射线OC上除点O外的任意一点即可。 D E (方法二)如图所示，用圆规取OD=OE，连接DE,用三角尺作DE的中点F,点F就是所求。 F 需要确定的点是角的对称轴上的点,因此应当从角两边进行“对称”的操作. 新知探究 如图所示，已知∠AOB，请用尺规作∠AOB的平分线. 例 作法: 1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE(如图). 2.分别以点D,E为圆心、以大于DE的长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点C. 3.作射线OC. 射线OC就是∠AOB的平分线. 请说说这样作的道理. D E C 新知探究 理由详解： 如图所示，连接CE，CD， C D E 由作图知OD=OE，CE=CD， 又因为OC=OC， 所以△OCE≌△OCD（SSS）， 所以∠AOC=∠BOC, 所以OC平分∠AOB. 新知探究 这两种尺规作图方法都是根据“SSS”判定三角形全等，根据全等三角形的性质得出角相等，过直线上一点作已知直线的垂线可以看成作一个平角的平分线. 过直线上一点作已知直线的垂线与作一个平角的平分线，这两种尺规作图的方法有什么共同点？与同伴进行交流. 新知探究 2.用直尺和圆规作一个角的平分线如图所示,能说明∠AOC=∠BOC的依据是(　　) A.角平分线上的点到角两边的距离相等 B.ASA C.SSS D.AAS C 新知探究 根据轴对称的性质、全等三角形的判定及性质等知识，运用了操作尝试、交流验证、猜测类比、找一找、画一画等方法. 经验：从轴对称的视角探索并感知平面图形轴对称的规律，积累研究平面图形性质的经验.（答案不唯一） 回顾研究等腰三角形、线段、角的过程，你运用了哪些方法？积累了哪些经验？ 如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D. (1)若BC=10,BD=6,则点D到AB的距离是多少? (2)若∠BAD=30°,求∠B的度数. 例1 典例分析 解:(1)因为∠C=90°,CD=BC-BD=4, 所以点D到AC的距离为4. 根据角平分线的性质,可知点D到AB的距离等于点D到AC的距离,即为4. (2)因为AD平分∠BAC,∠BAD=30°, 所以∠BAC=2∠BAD=60°. 又因为∠C=90°, 所以∠B=180°-90°-60°=30°. 典例分析 如图所示,在△ABC中,P是AC上的一点,连接BP,求作一点M,使得点M到AB和AC两边的距离相等,并且到点B和点P的距离相等.(不写作法,保留作图痕迹) 例2 解:如图，点M即为所求. 2.如图所示,已知在△ABC中,CD是AB边上的高,BE平分∠ABC,交CD于点E,BC=8.4,DE=2,则△BCE的面积等于(　　) A.16.8 B.10.4 C.8.4 D.4.2 1.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,且DC=8 cm,则点D到AB的距离是(　　) A.16 cm B.8 cm C.6 cm D.4 cm 巩固练习 B C 3.如图所示,在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=8. BD⊥CD，P是BC边上一动点,连接PD.若∠ADB=∠C,则PD长的最小值为　　　　　.  巩固练习 8 4.如图所示，在△ABC中，AB=AC,以点B为圆心，BC的长为半径作弧，交AC于点E，连接BE，再分别以点C与点E为圆心，以大于CE的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线BF交AC于点D，若∠A=40°，则∠EBD =　　　.  20° 5.如图所示，P是∠AOB的平分线上的一点,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别为C,D,连接CD交OP于点E.试说明:CE=DE. 巩固练习 解:因为P是∠AOB的平分线上的一点,PC⊥OA,PD⊥OB, 所以PC=PD,∠POC=∠POD. 因为∠POC+∠CPE=90°,∠POD+∠DPE=90°, 所以∠CPE=∠DPE. 在△CPE和△DPE中, 因为PC=PD,∠CPE=∠DPE,PE=PE, 所以△CPE≌△DPE(SAS), 所以CE=DE. 6.如图所示,CE⊥AB于点E,BD⊥AC于点D,BD,CE交于点O,且AO平分∠BAC.试说明:OB=OC. 巩固练习 解:因为AO平分∠BAC,CE⊥AB,BD⊥AC, 所以OE=OD,∠BEO=∠CDO=90°. 在△OBE和△OCD中, 因为∠EOB=∠DOC,OE=OD,∠BEO=∠CDO, 所以△OBE≌△OCD, 所以OB=OC. 巩固练习 7.如图所示,∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分线,将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动,两直角边分别与OA,OB交于点C,D,试说明:PC=PD. 解:如图,过点P作PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F, 则∠PEC=∠PFD=90°. 又因为OM是∠AOB的平分线,所以PE=PF. 因为∠COP+∠OPC+∠OCP=180°, ∠POD+∠ODP+∠DPO=180°, 所以∠COD+∠ODP+∠CPD+∠OCP=360°. 因为∠COD=90°,∠CPD=90°, 所以∠PCE+∠ODP=360°-90°-90°=180°. 又因为∠ODP+∠PDF=180°, 所以∠PCE=∠PDF. 在△PCE和△PDF中, 因为∠PCE=∠PDF,∠PEC=∠PFD,PE=PF, 所以△PCE≌△PDF(AAS), 所以PC=PD. 课堂小结 简单的轴对称图形3 角的对称性 角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.  角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.  应用注意： 一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等. 角平分线的性质 尺规作角平分线 作图依据：SSS. 作业布置 1.必做题：习题5.2第4，9，10题。 2.探究性作业：习题5.2第11题。 感谢聆听! $