5.2 第3课时 角平分线的性质（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年七年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学课件聚焦角的轴对称性、角平分线性质及尺规作图，从生活中墙角、桌角等角的实例导入，通过对折实验探究角的轴对称性，衔接轴对称知识，逐步引出角平分线性质的猜想与验证，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是以探究式学习贯穿始终，通过实验操作（对折发现轴对称）、逻辑推理（AAS证明性质）、规范作图培养学生数学眼光（抽象角的属性）、数学思维（推理验证）和数学语言（几何表达）。如利用角平分线性质求三角形面积，小结明确性质应用条件与辅助线添加技巧，助力学生掌握知识，方便教师高效教学。

5.2 简单的轴对称图形 第3课时 角平分线的性质 第五章 图形的轴对称 北师版 七年级(下) 1.从轴对称的性质中，提炼出里面的数学思想，探索并掌握角平分线的性质及尺规作图的画法.(重点) 2.由具体的客观事实，转化成抽象的猜想证明，让学生感悟数学思维解决问题的方法. 3.利用轴对称的性质，探索并掌握角平分线的性质. (难点) 素养目标 生活中哪些地方有角的身影? 请举例说明. 墙角，桌角等. 情境导入 角是生活中常见的图形，角是轴对称图形吗？如果是，请指出它的对称轴. 探究点一：角的轴对称性 新知探究 如图，将 ∠AOB 对折，你发现了什么？ O B A 角两边能完全重合 角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴. 强调：角平分线是一条射线，而角的对称轴是角平分线所在的直线. 【知识要点】 探究点一：角的轴对称性 新知探究 O B A 思考1：如图，OP 是∠AOB 的平分线，点 C 是 OP 上的任意一点. 在∠AOB 中画出以 OP 所在直线为对称轴的一组对应点 D 和 D'，连接 CD 和 CD'. (1) 你认为线段 CD 和 CD' 之间有什么关系? 说说你的理由. CD = CD'，因为∠AOB 是轴对称图形，D 和 D' 是对应点，所以 CD 和 CD' 是以 OP 所在直线为对称轴的一组对应线段，所以CD = CD'. C D D′ P 探究点二：角平分线的性质 新知探究 因为 CD⊥OA，即 ∠ODC = 90°， 所以∠OD'C =∠ODC = 90°. 所以 CD'⊥OB. 线段 CD 和 CD' 之间还有(1)中的关系. 得到结论：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 所以∠ODC 和∠OD'C 是以 OP 所在直线为对称轴的组对应角. 所以∠ODC =∠OD'C. (2) 特别地，当 CD⊥OA 时(如图)，CD' 与 OB 有怎样的位置关系? 为什么? 此时，线段 CD 和 CD' 之间还有(1)中的关系吗? 由此你能得到什么结论? O B A C D D′ CD'⊥OB. 因为∠AOB 是轴对称图形，D和 D'是对应点， P 探究点二：角平分线的性质 新知探究 已知：如图，∠AOC =∠BOC，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点 D，E. 试说明：PD = PE. P A O B D E 解：因为 PD⊥OA，PE⊥OB， 所以 ∠PDO = ∠PEO = 90°. 在 △PDO 和 △PEO 中， 所以△PDO≌△PEO(AAS). 所以 PD = PE. 验证：你能验证上题中的结论吗？ C ∠PDO =∠PEO = 90°， ∠DOP =∠EOP， OP = OP， 探究点二：角平分线的性质 新知探究 性质： 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 应用所具备的条件： (1) 点在角的平分线上； (2) 到角两边的距离(垂直). 性质的作用： 证明线段相等. B A D O C E 几何语言： 因为 OC 是∠AOB 的平分线， 所以 CD = CE. CD⊥OA，CE⊥OB， 探究点二：角平分线的性质 新知探究 例1 如图所示，在 Rt△ABC 中，BD 是 ∠ABC 的平分线，DE⊥AB，垂足为点 E. DE 与 DC 相等吗？为什么？ B A C D E 解：DE 与 DC 相等. 因为射线 BD 是 ∠ABC 的平分线，点 D到角两边 BA，BC 的距离分别是 线段 DE，DC 的长， 所以 DE = DC. 探究点二：角平分线的性质 新知探究 变式：如图，在直角△ABC 中，∠C＝90°，AP 平分∠BAC 交 BC 于点 P，若 PC＝4，AB＝14. (1) 求点 P 到 AB 的距离； (2) 求△APB 的面积. A B C P D 温馨提示：存在一条垂线段——构造应用 (2) AB·PD = 28. 解：(1) 如图，过 P 作 PD⊥AB 于点 D， 因为 AP 平分∠BAC，PD⊥AB，PC⊥AC，所以 PD = PC = 4.即 P到 AB的距离为4 探究点二：角平分线的性质 新知探究 【归纳总结】1. 应用角平分线的性质： 存在角平分线 涉及距离问题 2. 联系角平分线的性质： 面积 周长 条件 利用角平分线的性质所得到的等量关系进行转化求解 反思：回顾探究等腰三角形、线段、角的性质的过程，你运用了哪些方法? 积累了哪些经验? 探究点二：角平分线的性质 新知探究 2. △ABC 中，∠C = 90°，AD 平分∠CAB，且 BC = 8，BD = 5，则 点 D 到 AB 的距离是 . A B C D 3 E 1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是 点 E，F，若∠EDB =∠FDB = 60°， 则∠EBF = °，BE = （填图中线段）. 60 BF E B D F A C G 【针对训练】 探究点二：角平分线的性质 新知探究 解析：如图，过点 D 作 DF⊥AC 于点 F， 因为 AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB， 所以 DF＝DE＝2. 解得 AC＝3. 3. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则 AC 的长是 (　　) A．6 B．5 C．4 D．3 D B C E A D F 方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段长度是常用的方法. 探究点二：角平分线的性质 新知探究 思考 2：如图，已知∠AOB，如何作出它的平分线? 假设∠AOB 的平分线已作出，那么 (1)这条射线有什么特征? (2) 如何确定这条射线上除端点之外的一个点? 用三角尺、量角器、圆规等工具试一试. 如果只用尺规呢?与同伴进行交流. O B A 注意：需要确定的点是角对称轴上的点，因此应当从角两边进行“对称”的操作. 探究点三：利用尺规作角平分线 新知探究 A B O 例2 如图，已知∠AOB，请用尺规作∠AOB 的平分线. 探究点三：利用尺规作角平分线 新知探究 (2) 分别以点 D、点 E 为圆 心，大于 DE 的长为半径 画弧，两弧在∠AOB 的内部 相交于点 C； 作法： 1. 在 OA 和 OB 上分别截取 OD，OE，使 OD = OE； A B E D C O (3) 作射线 OC. 射线 OC 就是∠AOB 的平分线. 探究点三：利用尺规作角平分线 新知探究 思考 3：请你说说这样作图的道理. 比较：过直线上一点作已知直线的垂线与作一个角的平分线，这两种尺规作图方法有什么共同点?与同伴进行交流. 角平分线的作图依据是“SSS”. 探究点三：利用尺规作角平分线 新知探究 角平分线 性质定理 一个点：角平分线上的点； 两距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段(距离)相等 辅助线 添加 过角平分线上一点向两边作垂线段 尺规作图 属于基本作图，必须熟练掌握 课堂小结 1. 如图，MC是∠AMB的平分线，P为MC上任意 一点，PD⊥MA，垂足为点D，且PD＝3，则点P 到射线MB的距离是(　C　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 不能确定 C 当堂检测 当堂反馈 2. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分 ∠BAC，BC＝30，BD∶CD＝3∶2， 则点D到AB的距离为(　B　) A. 18 B. 12 C. 15 D. 不能确定 B 当堂反馈 3. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规作出 射线AE，AE交BC于点D. 若CD＝2，P为AB上一 动点，则PD的最小值为(　A　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 无法确定 A 4. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC， DE⊥AB. 若AC＝4，DE＝2， 则 S△ADC＝ ⁠. 4　 当堂反馈 5. 如图，BE⊥AC于点 E，CF⊥AB于点 F，BE，CF相交于点D. 若AD平分∠BAC，试说明：BD＝CD. 解：∵BE⊥AC，CF⊥AB，AD平分∠BAC， ∴DE＝DF. ∴△BFD≌△CED(ASA). ∴BD＝CD. 在△BFD与△CED中， 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $