第十章 二元一次方程组——2025-2026学年七年级下学期数学单元复习与题型总结（苏科版）

2025-2026学年七年级下学期数学单元复习与题型总结（2024苏科版） 第十章 二元一次方程组 题型速览 题型速览 1 模块1：思维导图 2 模块2：考点梳理 2 模块3：题型总结 3 【题型1】二元一次方程的概念与识别 3 【题型2】根据二元一次方程的解求参数值 4 【题型3】二元一次方程的整数解问题 4 【题型4】二元一次方程组的概念与识别 5 【题型5】二元一次方程组的解法 6 【题型6】含参数的二元一次方程组问题 7 【题型7】二元一次方程组的同解问题 8 【题型8】二元一次方程组的错解问题 9 【题型9】二元一次方程组的实际应用 11 【题型10】二元一次方程（组）与新定义问题 13 模块1：思维导图 模块2：考点梳理 考点1：二元一次方程（组）基本概念 1. 二元一次方程：含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程。 2. 二元一次方程组：把只含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程组叫作二元一次方程组。 3. 二元一次方程组的解：把二元一次方程组中两个方程的公共解叫作二元一次方程组的解。 考点2：二元一次方程组解法 1.代入消元法： 将方程组的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示,并代入另一个方程,消去这个未知数,从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程.这种解方程组的方法叫作代入消元法,简称代入法. 2.加减消元法： 把方程组的两个方程(或先做适当变形)的左、右两边分别相加或相减,消去其中一个未知数,从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程.这种解方程组的方法叫作加减消元法,简称加减法. 考点3：二元一次方程组的应用 运用二元一次方程组解决实际问题解题一般步骤： （1）审题；（2）设出未知数；（3）列出方程组；（4）解方程（组）；（5）检验结果；（6）写答案． 模块3：题型总结 【题型1】二元一次方程的概念与识别 例题1．下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 举一反三 1．下列方程中，是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．已知是关于x，y的二元一次方程，则的值为（   ） A． B．6 C．8 D．9 4．若关于，的方程是二元一次方程，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【题型2】根据二元一次方程的解求参数值 例题2．若是关于x，y的二元一次方程的一个解，则m的值是（    ） A．8 B．5 C． D． 举一反三 1．若是二元一次方程的一个解，则（    ） A． B． C． D． 2．若是二元一次方程的一个解，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．若关于x、y的方程有一组解是，则a的值是（    ） A．29 B． C．1 D． 4．如果是方程的一组解，那么代数式的值是（    ） A． B． C． D． 【题型3】二元一次方程的整数解问题 例题3．二元一次方程的正整数解（即x、y都是正整数）有（    ）对． A．1 B．2 C．3 D．4 举一反三 1．已知方程的一组整数解（均为整数）是，则的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 2．若关于，的二元一次方程的全体整数解可以表示为（为整数），则_______． 3．若二元一次方程有正整数解，则x的取值应为（ ） A．0 B．正偶数 C．正奇数 D．任意整数 4．已知关于的方程有正整数解，则整数的所有可能的取值的和为（   ） A． B． C． D． 【题型4】二元一次方程组的概念与识别 例题4．下列方程组中，不是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 举一反三 1．下列是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 3．下列方程组中，不是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 4．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） ①②③④ A．①② B．①②④ C．③④ D．①②③ 【题型5】二元一次方程组的解法 例题5．解下列方程组． (1)； (2)． 举一反三 1．解二元一次方程组 (1) (2) 2．解方程组： (1) (2) 3．选用适当的方法解下列方程组 (1) (2) 4．解下列方程组： (1)； (2) 【题型6】含参数的二元一次方程组问题 例题6．已知是关于x，y的方程组的解，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 举一反三 1．已知关于的二元一次方程组的解为，则代数式的值是（　　） A． B．2 C．3 D． 2．小琪在解二元一次方程组时遇到一个残缺方程组，她翻看了课后答案知道了此方程组的解为，于是她很快把残缺的两处补了出来，则●，※两处分别代表的是（    ） A．， B．，8 C．1， D．，1 3．若是二元一次方程组的解，则的值是（　　） A．18 B．20 C．22 D．25 4．若方程组的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【题型7】二元一次方程组的同解问题 例题7．已知方程组和有相同的解．则的值是（   ） A．-1 B．1 C．5 D．13 举一反三 1．若关于x，y的方程组和有相同的解，则的值为（   ） A． B． C．1 D．5000 2．已知关于，的方程组和有相同的解． (1)求这个相同的解． (2)求的值． 3．已知关于x，y的方程组 和关于x，y的方程组 的解相同，求 的值． 4．已知关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 【题型8】二元一次方程组的错解问题 例题8．一一和九九同解一个关于，的二元一次方程组一一把方程①抄错，求得方程组的解为，九九把方程②抄错，求得方程组的解为，求，的值． 举一反三 1．涵涵和轩轩同解一个二元一次方程组，涵涵把方程①抄错，求得解为，轩轩把方程②抄错，求得的解为，求方程组的正确解． 2．小王和小李同解一个二元一次方程组小明把方程①抄错，求得的解为，小文把方程②抄错，求得的解为，求，的值． 3．甲、乙两人共同解方程组，甲将①中的看成了它的相反数解得，乙抄错②中的解得，求的值． 4．小明和小文同解一个二元一次方程组小明正确解得，小文因抄错了，解得，已知小文除抄错外没有发生其他错误，求的值． 【题型9】二元一次方程组的实际应用 例题9．《九章算术》记载：“今有善田一亩，价三百；恶田一亩，价五十．今并买顷，价钱一万，问善田恶田各几何？”其译文是好田300钱一亩，坏田50钱一亩，合买好田、坏田100亩，共需10000钱，问好田、坏田各买了多少亩？ 举一反三 1．某班级开展知识竞赛，需要购买A、B两种款式的盲盒作为奖品．若买5盒A款盲盒、15盒B款盲盒，共需130元；若买10盒A款盲盒、10盒B款盲盒，共需140元． (1)求A，B款两种盲盒的单价； (2)若班级刚好用100元购进A、B两种款式的盲盒，有几种购进方案？ 2．如图，南北向的星港街与东西向的现代大道可以看成互相垂直的两条直线，十字路口记作点，星港街上的点与点的距离为． (1)若甲从点出发，骑车向北匀速直行；同时乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．经过分钟或分钟时，甲、乙两人与点的距离相等．求甲、乙两人的速度； (2)若甲从点先出发，骑车向北匀速直行，1分钟后，乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．已知两人各自保持（1）中的速度不变，则甲出发______分钟，两人与点的距离相等． 3．根据对话内容，请你用方程的知识求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？ 4．某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） (1)如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要______张长方形铁片，______张正方形铁片． (2)现有长方形铁片100张，正方形铁片50张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ (3)把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒，现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，已知每张铁板可做成3个长方形铁片或4个正方形铁片，也可以将一张铁板裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片．若充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成______个铁盒． 【题型10】二元一次方程（组）与新定义问题 例题10．定义：关于，的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“亲密方程”，例如：的“亲密方程”为． (1)方程的“亲密方程”为__________； (2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，求与它的“亲密方程”组成的方程组的解； (3)若（2）中方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 举一反三 1．定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”：__________． (2)二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m、n的值． 2．定义：在解方程组时，由，易得，由，易得，再重新组成方程组再用加减法就容易得到方程组的解了，这种二元一次方程组的解法称为二元一次方程组的轮换对称解法．请用轮换对称解法解方程组． 3．新趋势・新定义    对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足.我们就说方程组的解与具有“邻好关系”. (1)请写出一个与具有“邻好关系”的二元一次方程组； (2)方程组的解是否具有“邻好关系”？说明你的理由： (3)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值. 4．定义：关于，的二元一次方程（）的常数项和未知数的系数互换所得到的方程叫“关于系数的交换方程”，例如：的关于系数的交换方程为． (1)求方程与它的“关于系数的交换方程”组成的方程组的解． (2)请说明方程（）与它的“关于系数的交换方程”组成的方程组的解中的值与、、无关． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下学期数学单元复习与题型总结（2024苏科版） 第十章 二元一次方程组 题型速览 题型速览 1 模块1：思维导图 2 模块2：考点梳理 2 模块3：题型总结 3 【题型1】二元一次方程的概念与识别 3 【题型2】根据二元一次方程的解求参数值 5 【题型3】二元一次方程的整数解问题 7 【题型4】二元一次方程组的概念与识别 9 【题型5】二元一次方程组的解法 12 【题型6】含参数的二元一次方程组问题 15 【题型7】二元一次方程组的同解问题 17 【题型8】二元一次方程组的错解问题 21 【题型9】二元一次方程组的实际应用 25 【题型10】二元一次方程（组）与新定义问题 30 模块1：思维导图 模块2：考点梳理 考点1：二元一次方程（组）基本概念 1. 二元一次方程：含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1次的方程叫作二元一次方程。 2. 二元一次方程组：把只含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1次的方程组叫作二元一次方程组。 3. 二元一次方程组的解：把二元一次方程组中两个方程的公共解叫作二元一次方程组的解。 考点2：二元一次方程组解法 1.代入消元法： 将方程组的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示,并代入另一个方程,消去这个未知数,从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程.这种解方程组的方法叫作代入消元法,简称代入法. 2.加减消元法： 把方程组的两个方程(或先做适当变形)的左、右两边分别相加或相减,消去其中一个未知数,从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程.这种解方程组的方法叫作加减消元法,简称加减法. 考点3：二元一次方程组的应用 运用二元一次方程组解决实际问题解题一般步骤： （1）审题；（2）设出未知数；（3）列出方程组；（4）解方程（组）；（5）检验结果；（6）写答案． 模块3：题型总结 【题型1】二元一次方程的概念与识别 例题1．下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】二元一次方程需要满足三个条件：为整式方程，含有两个未知数，所含未知数的项的次数均为1，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：∵A、含有两个未知数和，所含未知数的项的次数都是1，且是整式方程，符合二元一次方程的定义； B、中项的次数为2，不符合定义； C、只含有一个未知数，不符合定义； D、中是分式，不是整式方程，不符合定义； 举一反三 1．下列方程中，是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，能够通过定义正确辨析是解题的关键． 根据二元一次方程的定义可知，二元一次方程需满足三个条件：含有两个未知数，所含未知数的项的最高次数为1，且是整式方程，据此逐一判断选项即可． 【详解】A. 同时满足三个条件，是二元一次方程，符合题意； B. 中未知数的项的最高次数为2，不符合二元一次方程定义，不符合题意； C.中项的次数是2，不符合二元一次方程定义，不符合题意； D.只含有一个未知数，是一元一次方程，不符合定义，不符合题意． 2．下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、方程中，项的次数为，不符合二元一次方程定义，故此选项不符合题意； B、方程中含有个未知数，含未知数的项的次数均为，且是整式方程，符合二元一次方程定义，故此选项符合题意； C、 只含有个未知数，不符合二元一次方程定义，故此选项不符合题意； D、 含有个未知数，不符合二元一次方程定义，故此选项不符合题意； 3．已知是关于x，y的二元一次方程，则的值为（   ） A． B．6 C．8 D．9 【答案】A 【分析】根据二元一次方程的定义，未知数x，y的次数为1且对应系数不为0，先求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程， ∴且，且， 解得，， ∴． 4．若关于，的方程是二元一次方程，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程的定义求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵关于的方程是二元一次方程， ∴，， ∴． 【题型2】根据二元一次方程的解求参数值 例题2．若是关于x，y的二元一次方程的一个解，则m的值是（    ） A．8 B．5 C． D． 【答案】C 【详解】解：把代入，得， 解得． 举一反三 1．若是二元一次方程的一个解，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二元一次方程的解的定义可得，再代入代数式计算即可求解． 【详解】解：∵是二元一次方程的一个解， ∴， ∴ ． 2．若是二元一次方程的一个解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据方程的解得到的值，再代入代数式即可求解． 【详解】解：∵ 是二元一次方程 的一个解， ∴ 将， 代入， 得 ， ∴ ． 3．若关于x、y的方程有一组解是，则a的值是（    ） A．29 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据方程解的定义，将已知解代入原方程，得到关于a的一元一次方程，求解即可得到a的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴把，代入原方程得： ， 整理得 ， 移项计算得 ， 解得 ． 4．如果是方程的一组解，那么代数式的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程的解的定义得到的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的一组解， ∴， ∴， ∴代数式的值是． 【题型3】二元一次方程的整数解问题 例题3．二元一次方程的正整数解（即x、y都是正整数）有（    ）对． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由，可得出，结合，均为正整数，即可求出二元一次方程的正整数解共有3对． 【详解】解：， ． 又，均为正整数， 或或， 二元一次方程的正整数解共有3对． 举一反三 1．已知方程的一组整数解（均为整数）是，则的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查根据二元一次方程的解的情况求参数的值．根据题意得到，由和都是整数，得到是偶数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∵和都是整数， ∴是偶数， 观察四个选项，选项B符合题意， 故选：B． 2．若关于，的二元一次方程的全体整数解可以表示为（为整数），则_______． 【答案】3 【分析】将已知的整数解代入原二元一次方程，消去参数后，解关于的一元一次方程即可得到的值． 【详解】解：把代入得 ， 展开得， 合并同类项得， 移项得， 系数化为得． 3．若二元一次方程有正整数解，则x的取值应为（ ） A．0 B．正偶数 C．正奇数 D．任意整数 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程的正整数解，熟练掌握用含一个未知数的式子表示另一个未知数以及数的奇偶性分析是解题的关键． 先将二元一次方程变形为用表示的形式，再根据正整数解的条件分析的取值特征． 【详解】解：由，可得， ∵方程有正整数解， ∴是正整数，即，且能被整除． 由，解得． 又∵能被整除，为奇数（因为奇数减是偶数）， ∴为正奇数． 故选：C． 4．已知关于的方程有正整数解，则整数的所有可能的取值的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接解方程，根据方程有正整数解，并且a为整数求出可能的取值，相加即可． 【详解】解：， 则， ∴， 若，则不成立， 若，则， ∵有正整数解， ∴a的取值为0，，，， ∴， 故选D． 【题型4】二元一次方程组的概念与识别 例题4．下列方程组中，不是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：二元一次方程组满足：共含有两个未知数，所有未知数的项的次数都是1，且均为整式方程． A、选项中两个方程均为一次方程，共含有两个未知数，是二元一次方程组，不符合题意； B、选项中方程中，项的次数是2，不满足次数为1的要求，不是二元一次方程组，符合题意； C、选项中两个方程均为一次方程，共含有两个未知数，是二元一次方程组，不符合题意； D、选项中两个方程均为一次方程，共含有两个未知数，是二元一次方程组，不符合题意． 举一反三 1．下列是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二元一次方程组的定义判断，二元一次方程组需满足：共含两个未知数，每个方程都是整式方程，每个方程中未知数的次数都为1，据此逐一验证选项即可. 【详解】解：∵ 二元一次方程组需要满足三个条件：①方程组总共含有两个未知数；②每个方程都是整式方程；③每个方程中未知数的次数为1． 对各选项判断如下： A 选项中第二个方程不是整式方程，故A 选项不符合要求； B 选项中方程组共含两个未知数，两个方程都是整式方程，且未知数次数都为1，符合二元一次方程组定义，故B选项符合要求； C 选项中方程组共含三个未知数，不符合二元一次方程组定义，故C选项不符合要求； D 选项中第二个方程的项次数为2，不符合二元一次方程组定义，故D选项不符合要求． 2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方程组中两个方程应共含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1，方程的两边都是整式，那么这样的方程组叫做二元一次方程组，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、方程组中含有三个未知数，不是二元一次方程组，不符合题意； B、方程组是二元一次方程组，符合题意； C、方程组中方程中含未知数的项的次数不是1，不是二元一次方程组，不符合题意； D、方程组中方程不是整式方程，不是二元一次方程组，不符合题意； 3．下列方程组中，不是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：二元一次方程组的定义为：由一次方程组成，且方程组中共含有两个未知数的整式方程组，叫做二元一次方程组. A中方程组仅含有两个未知数，所有方程都是一次整式方程，是二元一次方程组； B中方程组含有三个未知数，不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方程组； C中方程组仅含有两个未知数，所有方程都是一次整式方程，是二元一次方程组； D中方程组仅含有两个未知数，所有方程都是一次整式方程，是二元一次方程组． 4．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） ①②③④ A．①② B．①②④ C．③④ D．①②③ 【答案】B 【分析】根据二元一次方程组的定义：共含有两个未知数，所有方程均为一次整式方程的方程组，依次判断各方程组即可． 【详解】解：①是二元一次方程组，符合题意； ②是二元一次方程组，符合题意； ③不是整式方程，故不是二元一次方程组，不符合题意； ④是二元一次方程组，符合题意； 其中是二元一次方程组的是①②④． 【题型5】二元一次方程组的解法 例题5．解下列方程组． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ，得，解得； 把代入①，得，解得； ∴； （2）解： ，得，解得； 把代入①，得，解得； ∴． 举一反三 1．解二元一次方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 把①代入②得，解得， 把代入①得， ∴原方程组的解为； （2）解： 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为． 2．解方程组： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：， 将②代入①得， 解得， 将代入②，得， ∴方程组的解为； （2）解：， 得， 解得， 将代入②，得， 解得， ∴方程组的解为． 3．选用适当的方法解下列方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 将①代入②得，， 解得， 将③代入①得， ∴； （2）解： ①去分母得，， 得，， 将④代入②得，， 解得， ∴． 4．解下列方程组： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入消元法，（2）利用加减消元法求解比较简单． 【详解】（1）解：将代入， 得， 解得， ， 故原方程的解为． （2）解：直接将两方程相加，得， 解得， ， 故原方程的解为． 【题型6】含参数的二元一次方程组问题 例题6．已知是关于x，y的方程组的解，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据方程组解的定义，将已知解代入方程组，即可求出a和b的值，进而计算得到的值． 【详解】解：∵是方程组的解， ∴将代入方程组，得， 解得， ∴． 举一反三 1．已知关于的二元一次方程组的解为，则代数式的值是（　　） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】把代入方程组，得出关于、的方程组，求出方程组的解即可． 【详解】解：把代入方程组， 得：， 解得：， ． 2．小琪在解二元一次方程组时遇到一个残缺方程组，她翻看了课后答案知道了此方程组的解为，于是她很快把残缺的两处补了出来，则●，※两处分别代表的是（    ） A．， B．，8 C．1， D．，1 【答案】A 【详解】解：设●，※两处分别代表的是，， ∵， ∴， 解得． 3．若是二元一次方程组的解，则的值是（　　） A．18 B．20 C．22 D．25 【答案】D 【分析】本题考查方程组的解，解二元一次方程组，将解代入方程组，得到关于m和n的方程，解出m和n后计算的值． 【详解】∵是方程组的解， ∴ 解得， ∴． 故选：D． 4．若方程组的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组的解得到，即可得到答案。 【详解】解：方程组的解为， 故中， 解得． 【题型7】二元一次方程组的同解问题 例题7．已知方程组和有相同的解．则的值是（   ） A．-1 B．1 C．5 D．13 【答案】C 【分析】联立不含与的方程组成方程组，求出方程组的解得到与的值，进而求出与的值，即可求出的值． 【详解】解：根据题意联立得：， 得：， 解得：， 把代入②得， 解得：， 把代入和得：， 解得：， ． 举一反三 1．若关于x，y的方程组和有相同的解，则的值为（   ） A． B． C．1 D．5000 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的同解问题． 由于两个方程组有相同的解，可先由两个不含参数的方程联立解出公共解和，再代入含参数的方程求出和，进而计算． 【详解】解：∵两个方程组有相同的解， ∴可得方程组：， ， 解得：， 将，代入得：， 解得：， ∴， 故选：B． 2．已知关于，的方程组和有相同的解． (1)求这个相同的解． (2)求的值． 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）理解题意，先建立方程组，再运用加减消元法解出； （2）先把代入得，，再相加得，即可作答． 【详解】（1）解：∵关于，的方程组和有相同的解， ∴联立得，， ，得， 解得， 把代入，得， 解得， ∴这个相同的解为； （2）解：由（1）得， 把分别代入，， ∴，， 把上式两式相加得， ∴． 3．已知关于x，y的方程组 和关于x，y的方程组 的解相同，求 的值． 【答案】0 【分析】先求出，再将代入，解得，即可得到答案． 【详解】解：两个方程组的解相同，故是两个方程组的公共解， 解得， 将代入，得， 解得， ． 4．已知关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）解即可求解； （2）将（1）中求得的解代入求出后即可求解． 【详解】（1）解：关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． ∴二元一次方程组①与方程组②有相同的解． 由①得：， ∴这两个方程组的相同解为； （2）将代入②得 解得： ∴． 【题型8】二元一次方程组的错解问题 例题8．一一和九九同解一个关于，的二元一次方程组一一把方程①抄错，求得方程组的解为，九九把方程②抄错，求得方程组的解为，求，的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，先把代入方程②，把代入方程①得出关于m、n的方程组，解关于m、n的方程组即可，熟练掌握解二元一次方程组的一般方法，是解题的关键． 【详解】解：把代入方程②，得③， 把代入方程①，得④， 联立③④，得， 解得． 举一反三 1．涵涵和轩轩同解一个二元一次方程组，涵涵把方程①抄错，求得解为，轩轩把方程②抄错，求得的解为，求方程组的正确解． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法、加减消元法、代入消元法是正确解答的关键． 由于涵涵把方程①抄错，求得解满足方程②，轩轩把方程②抄错，求得的解满足方程①，进而求出、的值，再将原方程组变为，进而求出、的值得出正确的答案． 【详解】解：涵涵把方程①抄错，求得解为， 满足方程②， 即； 又轩轩把方程②抄错，求得的解为， 满足方程①， 即； 因此有， 解得， 所以原方程组可变为， 即， ①②得， ， 解得， 把代入①得，， 解得， 原方程组的正确的解为． 2．小王和小李同解一个二元一次方程组小明把方程①抄错，求得的解为，小文把方程②抄错，求得的解为，求，的值． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程的解法．解题的关键是根据题意建立关于、的二元一次方程组．根据题意建立关于、的二元一次方程组，求得和的值． 【详解】解：根据题意可以知道： 是方程的解， 是方程的解， 分别代入得到方程组：， 解得：． 3．甲、乙两人共同解方程组，甲将①中的看成了它的相反数解得，乙抄错②中的解得，求的值． 【答案】5 【分析】将解代入未看错的方程中，求出三个参数的值，再进行计算即可. 【详解】解：由题意，是方程组的解， ∴， ∴， 把代入，得， ∴，解得， ∴. 4．小明和小文同解一个二元一次方程组小明正确解得，小文因抄错了，解得，已知小文除抄错外没有发生其他错误，求的值． 【答案】 【分析】把代入方程组第一个方程求出c的值，将x与y的两对值代入第二个方程求出a与b的值，即可求出的值． 【详解】解：因为小明解法正确， 所以将代入得 故， 因为小文除抄错外没有发生其他错误， 所以应满足第二个方程． 代入得， 由解得 所以． 【题型9】二元一次方程组的实际应用 例题9．《九章算术》记载：“今有善田一亩，价三百；恶田一亩，价五十．今并买顷，价钱一万，问善田恶田各几何？”其译文是好田300钱一亩，坏田50钱一亩，合买好田、坏田100亩，共需10000钱，问好田、坏田各买了多少亩？ 【答案】好田买了20亩，坏田买了80亩 【详解】解：设好田、坏田分别买了、亩， 由题意可得， 解得， ∴好田买了20亩，坏田买了80亩 举一反三 1．某班级开展知识竞赛，需要购买A、B两种款式的盲盒作为奖品．若买5盒A款盲盒、15盒B款盲盒，共需130元；若买10盒A款盲盒、10盒B款盲盒，共需140元． (1)求A，B款两种盲盒的单价； (2)若班级刚好用100元购进A、B两种款式的盲盒，有几种购进方案？ 【答案】(1)A款盲盒的单价为8元，B款盲盒的单价为6元 (2)共有4种购进方案 【分析】（1）设A款盲盒每盒为元，B款每盒为元，根据题意列出二元一次方程组，据此求解即可； （2）设购进A款盲盒盒，B款盲盒盒，根据题意得到二元一次方程，据此求解即可． 【详解】（1）解：设A款盲盒每盒为元，B款每盒为元， 答：A款盲盒的单价为8元，B款盲盒的单价为6元； （2）解：设购进A款盲盒盒，B款盲盒盒， ， ， 为正整数， 或或或， 答：共有4种购进方案． 2．如图，南北向的星港街与东西向的现代大道可以看成互相垂直的两条直线，十字路口记作点，星港街上的点与点的距离为． (1)若甲从点出发，骑车向北匀速直行；同时乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．经过分钟或分钟时，甲、乙两人与点的距离相等．求甲、乙两人的速度； (2)若甲从点先出发，骑车向北匀速直行，1分钟后，乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．已知两人各自保持（1）中的速度不变，则甲出发______分钟，两人与点的距离相等． 【答案】(1)，乙的速度是 (2)4分钟或7分钟 【分析】（1）设甲的速度是，乙的速度是，根据题意列出方程组，解出的值即可； （2）设甲出发分钟后，甲、乙两人与点的距离分别为、，根据题意分、、三种情况分析，分别求出、与的关系式，结合列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：设甲的速度是，乙的速度是， ∵经过分钟或分钟时，甲、乙两人与点的距离相等 ∴， 解得：， 甲的速度是，乙的速度是； （2）解：设甲出发分钟后，甲、乙两人与点的距离分别为、， 甲到达A点所用时间为， ①当时，，， 令，则，解得（舍去）； ②当时，，， 令，则， 解得； ③当，，， 令，则， 解得：； 综上所述，甲出发4分钟或7分钟后，两人与点的距离相等． 3．根据对话内容，请你用方程的知识求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？ 【答案】现在哥哥10岁，妹妹6岁 【分析】设现在哥哥岁，妹妹岁，根据两个孩子的对话，可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设现在哥哥x岁，妹妹y岁， 根据题意得 解得： 答：现在哥哥10岁，妹妹6岁 4．某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） (1)如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要______张长方形铁片，______张正方形铁片． (2)现有长方形铁片100张，正方形铁片50张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ (3)把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒，现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，已知每张铁板可做成3个长方形铁片或4个正方形铁片，也可以将一张铁板裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片．若充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成______个铁盒． 【答案】(1)7，3 (2)加工的竖式铁容器有10个，横式铁容器有20个 (3)最多可加工铁盒19个 【分析】（1）由图可知加工1个竖式铁容器需要长方形铁片4张，正方形铁片1 张；加工1个横式铁容器需要长方形铁片3张，正方形铁片2 张，即可求解． （2）设加工的竖式铁容器有x个，横式铁容器有y个，根据题意列出方程组求解即可． （3）设做长方形铁片的铁板m张，做正方形铁片的铁板n张，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，加工1个竖式铁容器需要长方形铁片4张，正方形铁片1 张；加工1个横式铁容器需要长方形铁片3张，正方形铁片2 张． 故如果加工竖式铁容器与横式铁容器各 1 个，则共需要长方形铁片7张，正方形铁片3 张． （2）设加工的竖式铁容器有x个，横式铁容器有y个，由题意得 解得 答：加工的竖式铁容器有10个，横式铁容器有20个． （3）解：设做长方形铁片的铁板m张，做正方形铁片的铁板n张，由题意得 解得 ∴在这35张铁板中，25张做长方形铁片可做（片），9张做正方形铁片可做（片），剩1张可裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片 共可做长方形铁片（片），正方形铁片（片） ∴可做铁盒（个） 答：最多可加工铁盒19个． 【题型10】二元一次方程（组）与新定义问题 例题10．定义：关于，的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“亲密方程”，例如：的“亲密方程”为． (1)方程的“亲密方程”为__________； (2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，求与它的“亲密方程”组成的方程组的解； (3)若（2）中方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据“亲密方程”的定义即可得解； （2）联立方程组，利用加减消元法求解即可； （3）将解代入二元一次方程中，得到，，整体代入代数式化简求值即可． 【详解】（1）解：根据“亲密方程”的定义可得，方程的“亲密方程”为；        （2）解：由题意得：， 得，， 即， ， ， ， 将代入得，，解得， ， ， ， 方程组的解为； （3）解：是方程的一个解， ， ，， ． 举一反三 1．定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”：__________． (2)二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m、n的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据“反对称二元一次方程”的定义作答即可； （2）先写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”，再结合二元一次方程的解得到关于m、n的二元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：二元一次方程的“反对称二元一次方程”为， 故答案为： （2）解：二元一次方程的“反对称二元一次方程”为， ∵二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解， ∴，解得， ∴，． 2．定义：在解方程组时，由，易得，由，易得，再重新组成方程组再用加减法就容易得到方程组的解了，这种二元一次方程组的解法称为二元一次方程组的轮换对称解法．请用轮换对称解法解方程组． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，理解题意是解题的关键．根据题意得出新方程组，用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解： 由得， 由得， 组成新方程组， 解得：． 3．新趋势・新定义    对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足.我们就说方程组的解与具有“邻好关系”. (1)请写出一个与具有“邻好关系”的二元一次方程组； (2)方程组的解是否具有“邻好关系”？说明你的理由： (3)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值. 【答案】(1)答案不唯一，如等 (2)方程组的解具有“邻好关系” (3)或6 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）根据“邻好关系”的定义求解即可； （2）利用代入消元法求得方程组的解，再利用具有“邻好关系”的定义判定即可； （3）利用加减消元法求得方程组的解，再利用具有“邻好关系”的定义列出关于m的方程，解方程即可得出结论． 【详解】（1）解：具有“邻好关系”的二元一次方程组为（答案不唯一）； （2）解：具有“邻好关系”.理由如下： 解方程组， 解得， 再代入，符合条件， 所以方程组的解具有“邻好关系”； （3）解：解方程组得 因为方程组的解具有“邻好关系”， 所以， 所以，即， 所以或， 所以或6． 4．定义：关于，的二元一次方程（）的常数项和未知数的系数互换所得到的方程叫“关于系数的交换方程”，例如：的关于系数的交换方程为． (1)求方程与它的“关于系数的交换方程”组成的方程组的解． (2)请说明方程（）与它的“关于系数的交换方程”组成的方程组的解中的值与、、无关． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由题意得，解方程，即可求解； （2）由题意得两式相减得  ，根据，得出值与、、无关． 【详解】（1）解：由题意得 解得 （2）解：由题意得 两式相减得     由知，两边除以得 所以值与、、无关． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $