第十章 二元一次方程组【挑战压轴题题型讲练】-2025-2026学年苏科版数学七年级下册同步培优讲义

2025-2026学年苏科版（新教材）数学七年级下册专项培优讲义（题型讲练） 专题10.9 挑战压轴题『第十章 二元一次方程组』 〔23个题型讲练+能力提升练 共56题〕 【苏科版七年级下册●新教材】 1 题型一 已知二元一次方程组的解求参数 1 题型二 代入消元法 3 题型三 加减消元法 4 题型四 二元一次方程组的特殊解法 6 题型五 二元一次方程组的错解复原问题 7 题型六 构造二元一次方程组求解 9 题型七 已知二元一次方程组的解的情况求参数 11 题型八 方程组相同解问题 12 题型九 三元一次方程组的应用 13 题型十 根据实际问题列二元次方程组 14 题型十一 根据几何图形列二元次方程组 15 题型十二 方案问题（二元一次方程组的应用） 16 题型十三 行程问题（二元一次方程组的应用） 18 题型十四 工程问题（二元一次方程组的应用） 19 题型十五 数字问题（二元一次方程组的应用） 21 题型十六 年龄问题（二元一次方程组的应用） 23 题型十七 分配问题（二元一次方程组的应用） 24 题型十八 销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 25 题型十九 和差倍分问题（二元一次方程组的应用） 26 题型二十 几何问题（二元一次方程组的应用） 27 题型二十一 图表信息题（二元一次方程组的应用） 28 题型二十二 古代问题（二元一次方程组的应用） 30 题型二十三 其他问题（二元一次方程组的应用） 31 能力提升训练 33 题型一 已知二元一次方程组的解求参数 【典例分析】（24-25七年级下·河南周口·月考）已知关于x，y的二元一次方程组的解为． (1)求a，b的值； (2)若，求m的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组、代数式求值等知识点． （1）将代入得到关于a、b的二元一次方程组，然后再运用加减消元法求解即可； （2）将a、b的代入，计算即可． 【详解】（1）解：把代入关于，的二元一次方程组， 得：， 解得：； ∴，； （2）解：由（1）得：，，， ∴， 解得，， ∴的值为． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·随堂练习）甲、乙两人同时解方程组；甲看错了b，求得的解为；乙看错了a，求得的解为；你能求出原题中正确的a，b吗？ 【答案】能，， 【分析】此题考查了二元一次方程组的解．根据题意，把甲求得的解代入①，求出，把乙求得的解代入②，求出，即可得到答案． 【详解】解：能． 甲看错了b，把甲求得的解代入①， 得， 乙看错了a，把乙求得的解代入②， 得， 即，． 题型二 代入消元法 【典例分析】（25-26七年级下·河南南阳·月考）小丽准备完成题目：解二元一次方程组，发现系数“□”印刷不清． (1)她把“□”猜成2，请写出二元一次方程组的解为________； (2)妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案中x与y的值相等．”请通过计算说明原题中“□”是几． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得二元一次方程组为，然后由代入消元法求解即可； （2）设“□”为，则该方程组为，由题意可知，将其代入①并求解，可得，故，再将代入②并求解即可获得答案． 【详解】（1）解：若把“□”猜成2，则该二元一次方程组为， 由①可得③， 将③代入②，可得，解得， 将代入③，可得， ∴该方程组的解为； （2）设“□”为，则该方程组为， 根据题意，该题标准答案中x与y的值相等，即， 将代入①，可得，解得， ∴， 将代入②，可得，解得， 即原题中“□”是3． 【变式训练】（25-26七年级下·河南南阳·月考）解方程组下列做法正确的是（    ） A．将①代入②，消去 B．将①代入②，消去 C．①＋②，消去 D．①＋②，消去 【答案】B 【分析】利用代入消元法和加减消元法的运算规则，判断各选项的做法是否正确即可； 【详解】解：∵方程①已经将表示为含的代数式， ∴将①代入②，可得，消去了，因此A错误，B正确． ∵可得，整理得，无法消去或，因此C，D错误． 题型三 加减消元法 【典例分析】（24-25七年级下·江苏南通·月考）已知关于x、y的方程组（实数m是常数）． (1)若，求实数m的值； (2)若，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先将方程组中的两个方程相加，得，再将代入，得到关于的方程，解方程即可求出实数的值； （2）先将方程组中的两个方程相减，得，再解不等式组，即可求出的取值范围； （3）先根据绝对值的定义去掉绝对值的符号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： 得， ∵， ∴， 解得； （2）解： 得， ∵， ∴， 解得； （3）解：在（2）的条件下， ∴，， ∴ 【变式训练】（25-26七年级下·福建·期中）解方程或方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可； （2）先将原方程组化为标准形式，再利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， ,得， 解得， 将代入①，得， 解得， ∴原方程组的解为； （2）解：原方程组化为， ，得， 解得， 将代入①式，得， 解得， ∴原方程组的解为． 题型四 二元一次方程组的特殊解法 【典例分析】（24-25七年级下·浙江温州·期中）若关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的二元一次方程组的解为______． 【答案】 【分析】将第二个方程组中的和分别作为一个整体，参照第一个方程组的解即可得到结果． 【详解】解：根据题意得，， 解得， 所以，关于，的二元一次方程组的解为． 【变式训练】（25-26七年级下·山东聊城·月考）我们在解二元一次方程组时，若假设，则原方程组可化为，解之得，即，解之得，在上面的解题过程中，我们把某个式子看成一个整体，并且用一个字母去替代它，像这种解方程组的方法叫作换元法． (1)已知关于、的二元一次方程组的解为，求关于、的二元一次方程组的解； (2)请用上面的换元法解方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，得到，然后解方程组即可； （2）设，得到，然后解方程组即可； 【详解】（1）解：设， 则原方程组可化为， ， 解得：； （2）设， 则原方程组可化为， 化简整理得， 解得：， ， 解得． 题型五 二元一次方程组的错解复原问题 【典例分析】（25-26七年级下·陕西西安·月考）甲、乙两名同学在讨论方程的解时，甲得出一组正确的解为，乙将a与b的位置看错了，得出一组解为，求原方程中a，b的值． 【答案】， 【分析】本题考查了二元一次方程的解． 将代入得到，将代入得到，求解方程组即可． 【详解】解：将代入得到， 乙将a与b的位置看错了，得出一组解为， 则将代入得到， 可得， ，得， 解得． 将代入①，得， 解得． 【变式训练】（24-25七年级下·吉林白山·期中）已知方程组由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为 (1)求、的值； (2)求原方程组正确的解． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据题意可得满足方程②，满足方程①，分别代入方程进行求解即可得到答案； （2）根据（1）所求得到原方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解：甲看错了方程①中的，得到方程组的解为， 满足方程②， ， ； 乙看错了方程②中的，得到方程组的解为， 满足方程①， ， ； （2）解：由（1）得原方程组为， 得：， 解得， 把代入①得：， 解得， 方程组的解为． 题型六 构造二元一次方程组求解 【典例分析】（24-25七年级下·重庆北碚·期末）对有理数、、定义一种新运算，规定．下列说法： ①当时，若，则； ②当且时，则； ③当时，若，，自然数、满足，且，则满足条件的的值有15个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】此题考查了新定义问题，二元一次方程组的应用，解题的关键掌握新定义运算法则． ①将代入判断即可；②根据题意列出二元一次方程组求出x，y的值，然后代入判断即可；③根据定义得到，然后结合自然数，且，逐个代入求解判断即可． 【详解】①当且时， 代入定义得，即，正确； ②当且时， 解得， ∴，错误； ③当，时，，即， ∵自然数，且， ∴ ∴ ∴当时， ∴（舍去）或0或1， ∴或2； ∴当时， ∴或1或2， ∴或6或7； ∴当时， ∴或2或3， ∴或10或12； ∴当时， ∴或3或4， ∴或15或17； ∴当时， ∴或4或5， ∴或20或22； ∴当时， ∴或5或6， ∴或25或27； 综上所述，满足条件的的值有17个，故③错误． 综上，其中正确的个数是1． 故选：B． 【变式训练】（24-25七年级下·山东泰安·期中）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有小球16个、28个、28个，先从甲袋中取出个小球放入乙袋，再从乙袋中取出个小球放入丙袋，最后从丙袋中取出个小球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则的值等于__________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组，解方程组得出，再求出的值，即可解答． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 题型七 已知二元一次方程组的解的情况求参数 【典例分析】（25-26七年级下·重庆垫江·月考）已知关于x、y的方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值为______． 【答案】 【分析】得：，从而得到，再结合，即可求出的值． 【详解】解： 得：， ∴， ∵， ∴ 解得：． 【变式训练】（25-26七年级下·重庆·月考）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则m的值为________． 【答案】4 【分析】利用加减消元法求出方程组的解，再把方程组的解代入方程中得到关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解： 得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为， ∵关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解， ∴， 解得． 题型八 方程组相同解问题 【典例分析】（24-25七年级下·河南新乡·期中）已知方程组和方程组有相同的解，则，的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两个方程组有相同的解，说明该解同时满足所有方程，因此先联立不含参数的方程求出公共解，再将公共解代入含参数的方程，得到关于的方程组即可求解． 【详解】解：根据题意，联立不含参数的方程得 ， ①+②得，解得， 把代入①得 ，解得， 把代入和得： ， 将代入得，解得 把代入得 ， 所以，即选项A符合题意． 【变式训练】（25-26七年级下·山东聊城·月考）已知方程组与有相同的解，求、的值及方程组的解． 【答案】，，方程组的解为 【分析】根据两个方程组解相同，将不含、的方程联立求出、的值，再将、的值代入其余两个方程即可求出、的值． 【详解】解：根据题意，得， 由得，， 将代入得，， 解得， 将代入得，， 方程组的解为， 把代入方程组， 可得， 得，， 得，， 解得， 将代入得，， 解得， ，，方程组的解为． 题型九 三元一次方程组的应用 【典例分析】（25-26七年级下·全国·课后作业）某车间每天能生产甲种零件120个，或者乙种零件100个，或者丙种零件200个．甲、乙、丙三种零件分别取3个、2个、1个才能配成一套，车间计划30天内生产的零件正好成套．请问甲、乙、丙三种零件各应生产几天才能完成计划？ 【答案】甲、乙、丙三种零件各应生产15天、12天、3天才能完成计划 【分析】本题的等量关系为：甲生产零件的天数+乙生产零件的天数+丙生产零件的天数=30，甲、乙、丙所生产零件个数比为3:2:1，由此可得出方程组求解． 【详解】解：设甲、乙、丙三种零件各应生产天、天、天才能完成计划． 由题意，得整理，得 代入第一个方程，得，解得， 所以，即 答：甲、乙、丙三种零件各应生产15天、12天、3天才能完成计划． 【变式训练】（25-26七年级下·陕西咸阳·开学考试）某次数学竞赛前70名获奖，原定一等奖10人，二等奖20人，三等奖40人，现调整为一等奖15人，二等奖25人，三等奖30人．调整后一等奖平均分数降低3分，二等奖平均分数降低2分，三等奖平均分数降低1分，如果原来二等奖比三等奖平均分数多6分，求调整后一等奖比二等奖平均分数多几分？ 【答案】分． 【分析】此题主要考查了三元一次方程组的应用，关键是读懂题意，找出之间的数量关系，列出方程，求出一等奖比二等奖平均分多的分数． 先设原一等奖平均分为x分，原二等奖平均分为y分，原三等奖平均分为z分，由于总分不变，列出方程组，求出一等奖比二等奖平均分多的分数，最后根据调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2分列出代数式，即可求出答案． 【详解】解：设原一等奖平均分为x分，原二等奖平均分为y分，原三等奖平均分为z分，由于总分不变，得： 整理得：① ∵原来二等奖比三等奖平均分数多6分， ∴，即② 将②代入①得到，， ∵调整后一等奖平均分为分，二等奖平均分为分， ∴， 即调整后一等奖比二等奖平均分数多分． 题型十 根据实际问题列二元次方程组 【典例分析】（24-25七年级下·贵州遵义·期末）《九章算术》中记录这样一道数学问题：“今有五雀、六燕，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”大意为：今有5只雀和六只燕子，每只雀都一样重，每只燕也一样重，5只雀比6只燕子重，如果交换一只雀和一只燕子，两边就一样重，如果把他们合到一起，总共1斤，问一只雀和一只燕子分别重多少？设一只雀重斤，一只燕子重斤，则可得方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，准确找出等量关系式解题关键． 设一只雀重斤，一只燕子重斤，根据“5只雀比6只燕子重，如果交换一只雀和一只燕子，两边就一样重，如果把他们合到一起，总共1斤”，可得二元一次方程组，即可选出答案． 【详解】解：设一只雀重斤，一只燕子重斤，则可得方程组为：， 故选：B． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏盐城·月考）某校运动员分组训练，若每组人，余人；若每组人，则缺人；设运动员人数为人，组数为组，则列方程组为______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设运动员人数为人，组数为组，根据题意列出方程组即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设运动员人数为人，组数为组， 根据题意得，， 故答案为：． 题型十一 根据几何图形列二元次方程组 【典例分析】（25-26七年级下·陕西渭南·月考）用5张大小、形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案（不重叠），已知点的坐标为，求一个长方形纸片的长与宽． 【答案】一个长方形纸片的长是3，宽是1 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是根据点的坐标及长方形边长关系列出方程组求解长和宽． 设长方形的长为、宽为，根据点B的坐标和图形中边长关系，列二元一次方程组求解． 【详解】解：设长方形纸片的长是，宽是， 根据题意，得解得 答：一个长方形纸片的长是3，宽是1． 【变式训练】（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，周长为的长方形中刚好铺满块完全相同的小长方形木块，则每块小长方形木块的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查二元一次方程组的实际运用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出个等量关系，准确地找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．根据题意可知，本题中的相等关系是“周长为”和“小长方形的两个长等于一个长加两个宽”，列得方程组进行求解即可． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 则， 解得， 所以每块小长方形的面积为， 故选：． 题型十二 方案问题（二元一次方程组的应用） 【典例分析】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）某租车公司分两批采购、两种型号的新能源汽车，第一批购进1辆型汽车、4辆型汽车，共花费68万元；第二批购进2辆型汽车、3辆型汽车，共花费76万元（同类型汽车进价不变）． (1)求、型汽车每辆的进价分别是多少万元? (2)为扩展租车业务，该租车公司计划再用200万元购进、两种型号的新能源汽车（两种车型都买），若恰好用完万元，该租车公司共有几种购买方案? 【答案】(1)A型汽车每辆进价为万元，B型汽车每辆进价为万元 (2)共有种购买方案 【分析】本题考查二元一次方程组的应用和不定方程的正整数解问题．解题关键是通过两批采购的费用列出方程组，求出两种车型的进价；再根据总预算列出不定方程，结合 “两种车型都买” 的条件求正整数解．易错点是忽略 “正整数解” 的限制，或在解不定方程时漏解． 【详解】（1）解：设型汽车进价为 万元，型汽车进价为 万元． 根据题意，得方程组： 解得． 答案：型汽车进价万元，型汽车进价万元． （2）解：设购买 辆型汽车，辆型汽车，总花费万元， 得方程： 化简得 ． 为使 为正整数， 必须满足能够被整除，且 ， 即满足能够被整除且 ． 可能的值为，对应 值分别为． 方案一 方案二 方案三 答： 共有种购买方案． 【变式训练】（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）茶叶促销活动前后，，两种茶叶的销量（单位：两）和销售额（单位：元）对比情况如下表．已知促销时茶叶是按原价的八折销售，其打折后的价格与茶叶打折前的价格相同． 茶叶销量 茶叶销量 销售额 打折前 300 200 6900 打折后 500 400 9360 (1)每两，茶叶的原价分别是多少？ (2)促销期间，王阿姨带了96元要买茶叶和打折后为8元的茶叶（两种茶叶的销量均为正整数），若所带的钱刚好用完，请通过计算说明她有几种购买方案． 【答案】(1)每两A，B茶叶的原价分别是15元，12元； (2)三种购买方案，方案一：购买2两A茶叶和9两C茶叶；方案二：购买4两A茶叶和6两C茶叶；方案三：购买6两A茶叶和3两C茶叶 【分析】（1）依据题意，设每两A茶叶的原价是x元，则每两B茶叶的原价是y元，可得，进而计算可以得解； （2）依据题意，促销期间，A茶叶单价为12元/两，C茶叶单价为8元/两，又设购买A茶叶a两，C茶叶c两为正整数，则，故，进而可以计算得解． 本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出方程组是关键． 【详解】（1）解：由题意，每两A茶叶的原价是x元，则每两B茶叶的原价是y元， ， 答：每两A，B茶叶的原价分别是15元，12元； （2）解：由题意，促销期间，A茶叶单价为12元/两，C茶叶单价为8元/两， 设购买A茶叶a两，C茶叶c两为正整数， ， 需为正偶数， 为偶数，即a为偶数． ∵， ，4， 或或 共有3种方案． 题型十三 行程问题（二元一次方程组的应用） 【典例分析】（2025·山东威海·二模）某景区的起点是一段上坡路，走过上坡路后便是一段通往终点的平路．如果上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从起点到终点需要，从终点返回到起点需要．求该景区起点到终点的路程． 【答案】该景区起点到终点的路程是 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设从甲地到乙地的上坡长为，平路长为，根据时间等于路程除以速度建立方程组，解方程组求出的值，由此即可得． 【详解】解：设从甲地到乙地的上坡长为，平路长为，则从乙地到甲地的下坡长为，平路长为， 由题意得：， 解得， 则甲地到乙地全程是． 【变式训练】（23-24七年级下·全国·课后作业）某车站有甲、乙两辆汽车，若甲车先出发后乙车出发，则乙车出发后追上甲车；若甲车先开出后乙车出发，则乙车出发后追上甲车，求甲、乙两车的速度． 【答案】甲车的速度为，乙车的速度为 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键，根据题意列出二元一次方程组，求解即可得到答案. 【详解】解：设甲车的速度为，乙车的速度为，由题可得： 解得 答：甲车的速度为，乙车的速度为. 题型十四 工程问题（二元一次方程组的应用） 【典例分析】（23-24七年级下·山东聊城·期末）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元． (1)求甲、乙装修组工作一天，商店各需支付多少元费用？ (2)若装修完后，商店每天可盈利200元，现有如下三种方式装修：①甲单独做；②乙单独做；③甲乙合做，你认为如何安排施工更有利于商店经营？说明理由． 【答案】(1)甲组工作一天商店应支付300元，乙组工作一天商店应支付140元 (2)安排甲乙合作施工更有利于商店经营，理由见解析 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元，根据甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元，列出方程组，解方程组即可； （2）分别求出三种情况下的费用，然后进行比较得出答案即可． 【详解】（1）解：设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元， 依题意得：， 解得：， 所以，甲组工作一天商店应支付300元，乙组工作一天商店应支付140元． （2）解：设甲、乙装修组的工作效率分别为m，n， 由题意得， 解得：， 所以，甲单独完成需要12天，乙单独完成需要24天． 选择①所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为：（元）； 选择②所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为：（元）； 选择③所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为：（元）． 因为，所以，安排甲乙合作施工更有利于商店经营． 【变式训练】（24-25七年级下·广东深圳·期末）玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需6周完成，共需装修费为万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费万元，玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成． (1)设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，则可列出方程为 ． (2)如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？ (3)如果从节的开支的角度考虑呢？请说明理由． 【答案】(1) (2)时间上考虑选择甲公司 (3)从节约开支上考虑选择乙公司，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． （1）设工作总量为1，设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，根据工作总量等于工作效率乘以工作时间列出方程即可求解． （2）列出方程组求出甲乙单独做所用的时间，然后比较大小，进行作答即可； （3）列出方程组求出各自单独做的周费用，再乘以他们所需时间计算总费用，然后比较大小，进行作答即可． 【详解】（1）解：设工作总量为1，甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n， 依题意得， 故答案为：． （2）解：设工作总量为1，甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n， 依题意得，， 解得：， ∵， ∴甲公司的效率高， ∴从时间上考虑选择甲公司． （3）解：从节约开支上考虑选择乙公司，理由如下； 设甲公司每周费用为万元，乙公司每周费用为万元， 依题意得，， 解得：， ∴甲公司共需万元，乙公司共需万元， ∵， ∴从节约开支上考虑选择乙公司． 题型十五 数字问题（二元一次方程组的应用） 【典例分析】（25-26七年级下·四川·期中）定义：对于任意一个四位数，若千位上的数字与十位上的数字之和等于百位上的数字与个位上的数字之和，则称这个四位数为“奥妙数”．例如：3157，因为，所以3157是“奥妙数”；5479，因为，所以5479不是“奥妙数”．若“奥妙数”中，百位数上的数字是十位上的数字的2倍，千位上的数字与个位上的数字之和能被10整除，则满足条件的“奥妙数”为___________． 【答案】5005，6424，7843 【分析】本题主要考查整数的性质及方程求解，设千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，根据“奥妙数”定义有，由条件和能被10整除，代入得且，结合和，求解c和d的整数解，得到三组解，结合各数位上数字的取值范围，求解即可得到最终答案． 【详解】解：设千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，则，． 由“奥妙数”定义，． 由条件，，代入得，即． 由条件，能被10整除，即是10的倍数． 由于，且，所以可能为0、10、20．但，故，因此或20． 若，则，但，矛盾．所以． 因此． 由，得． 又，所以，即． 解，且，得整数解：时；时；时． 对应：时，；时，；时，． 对应：时时时． 所以得到数字5005、6424、7843． 因此满足条件的“奥妙数”为5005，6424和7843． 故答案为：5005，6424，7843． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是一个最简单的二阶幻圆的模型．有以下要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等．求图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字． 【答案】填写的数字分别为2，9 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字分别为x，y，根据：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设题图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字分别为x，y． 根据题意，得：， 整理，得， 解得：， 故题图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字分别为2，9． 题型十六 年龄问题（二元一次方程组的应用） 【典例分析】（2024·安徽芜湖·一模）已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，求甲、乙现在的年龄的差． 【答案】5岁． 【分析】假设甲、乙现在的年龄分别是x岁和y岁，利用年龄差不变可以列出等式构造二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：假设甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，由题意可得： 即由此可得：， ∴，即甲比乙大5岁． 【变式训练】（23-24七年级下·广东江门·开学考试）甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁．”则今年甲的年龄为____岁， 乙的年龄为______岁． 【答案】 28 21 【分析】设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁，则甲比乙大岁，然后根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁，则甲比乙大岁， 由题意得：， 解得：， 即今年甲的年龄为28岁，乙的年龄为21岁， 故答案为：28，21． 题型十七 分配问题（二元一次方程组的应用） 【典例分析】（2025·陕西西安·一模）王老师买了一批图书准备分给某班的学生阅读，若每名学生分3本书，则剩余18本书，若每名学生发4本书，则还少22本书．则这批书有多少本？ 【答案】这些书有138本 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设这批书有x本，该班共有y名学生，根据“若每名学生分3本书，则剩余18本书，若每名学生发4本书，则还少22本书”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设这批书有x本，该班共有y名学生， 根据题意得：， 解得：， 答：这些书有138本． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉12个或螺母20个，一个螺钉要配两个螺母，为使每天的产品刚好配套，应如何安排？ 【答案】安排10人生产螺钉，12人生产螺母 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意得出，再求解即可得出答案． 【详解】解：设安排人生产螺钉，人生产螺母， 根据题意列方程组得， 解得； 答：安排10人生产螺钉，12人生产螺母． 题型十八 销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 【典例分析】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）某学校足球队购进A，B两款足球，若购进10个A款足球和20个B款足球需2000元；若购进20个A款足球和30个B款足球需3400元，设A、B两款足球的进价分别为x元、y元，求x和y的值． 【答案】x的值为80，y的值为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据“购进10个A款足球和20个B款足球需2000元；购进20个A款足球和30个B款足球需3400元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 解得： 答：x的值为80，y的值为． 【变式训练】（24-25七年级下·四川绵阳·期末）打折前，在某商场买6件A商品和3件B商品共用元，买5件A商品和1件B商品共用元．该商场做活动打折后，买件A商品和件B商品共用元． (1)没打折时，一件A商品，一件B商品分别多少钱？ (2)做活动时，商场商品打几折？ (3)做活动时买件A商品和件B商品，比不做活动时少花多少钱？ 【答案】(1)一件A商品16元，一件B商品4元 (2)折 (3)少花元 【分析】本题综合运用了二元一次方程组建模、解方程、折扣计算等知识点，关键在于准确列出等量关系，并理解“打折”是整体价格按比例减少的概念，适用于任意数量商品的统一折扣．本题考查二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用以及折扣问题的计算． （1）设没打折时，一件A商品元，一件B商品元，根据“买6件A商品和3件B商品共用元，买5件A商品和1件B商品共用元”列方程组求解即可； （2）设做活动时，商场商品打折，根据“该商场做活动打折后，买件A商品和件B商品共用元”列一元一次方程求解即可； （3）分别计算出不打折时总价和打折后总价，再求解即可． 【详解】（1）解：设没打折时，一件A商品元，一件B商品元， 由题意，得， 解得． 答：没打折时，一件A商品16元，一件B商品4元． （2）解：设做活动时，商场商品打折，由题意，得， 解得． 答：做活动时，商场商品打折． （3）解：不打折时总价为：（元）， 打折后总价为：（元）， 比不做活动时少花：（元）． 答：做活动时买100件A商品和100件B商品，比不做活动时少花80元钱． 题型十九 和差倍分问题（二元一次方程组的应用） 【典例分析】（23-24七年级下·浙江宁波·期中）甲、乙两人各有书若干本，如果甲从乙处拿10本，那么甲所有的书就比乙所有的书多5倍；如果乙从甲处拿10本，那么两人所有的书相等．问：甲、乙两人原来各有书多少本？ 【答案】甲原来有38本书，乙原来有18本书 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设甲原来有x本书，乙原来有y本书，根据如果甲从乙处拿10本，那么甲所有的书就比乙所有的书多5倍；如果乙从甲处拿10本，那么两人所有的书相等列出方程组求解即可． 【详解】解：设甲原来有x本书，乙原来有y本书， 由题意得，， 解得， 答：甲原来有38本书，乙原来有18本书． 【变式训练】（23-24七年级下·海南省直辖县级单位·期末）在某市“棚户区改造”建设工程中，有甲、乙两种车辆参加运土，已知1辆甲种车和1辆乙种车一次共可运土20立方米，5辆甲种车和2辆乙种车一次共可运土64立方米，求甲、乙两种车每辆一次分别可运土多少立方米． 【答案】甲种车辆一次运土8立方米，乙种车辆一次运土12立方米 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是理解题意，找到等量关系列方程．设甲种车辆一次运土x立方米，乙种车辆一次运土y立方米，根据题意所述的两个等量关系得出方程组，解出即可得出答案． 【详解】解：设甲种车辆一次运土x立方米，乙种车辆一次运土y立方米， 由题意得，， 解得：． 答：甲种车辆一次运土8立方米，乙种车辆一次运土12立方米．. 题型二十 几何问题（二元一次方程组的应用） 【典例分析】（2026七年级·河北·专题练习）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等．现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒若干个，则制作的甲种纸盒的数量为_____________个． 【答案】40 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用知识点，掌握根据两种纸盒所需正方形和长方形硬纸片的数量关系，建立二元一次方程组求解是解题的关键． 本题基于“资源总量与消耗分配的等量关系”，即现有正方形硬纸片和长方形硬纸片的总量是固定的，制作甲、乙两种纸盒时，这两种硬纸片的消耗数量之和分别等于其总量，通过分析甲、乙纸盒各自所需正方形、长方形硬纸片的数量，建立二元一次方程组来刻画这种 “总量与消耗的平衡关系”，即可求解出甲种纸盒的数量． 【详解】解：设制作甲种纸盒个，乙种纸盒个， 甲种无盖长方体纸盒需要张正方形硬纸片和张长方形硬纸片， 乙种无盖长方体纸盒需要张正方形硬纸片和张长方形硬纸片， 由此得到方程组： 解得： 因此，制作的甲种纸盒的数量为个． 故答案为：40． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，正方形由四个相同的大长方形，四个相同的小长方形以及一个小正方形组成，其中四个大长方形的长和宽分别是小长方形长和宽的2倍，若中间小正方形的面积为1，则大正方形的面积是（    ） A．16 B．20 C．25 D．36 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长为a，宽为b，则大长方形的长为，宽为，根据图形中大小长方形长与宽之间的关系，可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出a，b的值，再利用正方形的面积公式可求出结论． 【详解】解：设小长方形的长为a，宽为b，则大长方形的长为，宽为， 依题意，得：， 解得：， ∴． 故选：A． 题型二十一 图表信息题（二元一次方程组的应用） 【典例分析】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在的方格内，填写了一些式子或数，使各行、各列及对角线上三个数之和都相等，则________． 6 1 4 【答案】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确理解题意，抓住关键语句，列出方程组． 根据各行、各列及对角线上三个数之和都相等，列出关于，的方程组，通过加减消元法求出方程组的解，最后代入即可求解． 【详解】解：由题意得： 化简方程组，得： 由②得：， 将代入①，得：， 解得：， 故方程组的解为： ， 故答案为：． 【变式训练】（23-24七年级下·广西河池·期末）宋代数学家杨辉称幻方为纵横图，传说最早出现的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨辉在他的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造．在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等．则的值是____________． 5 n 1 m 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找到正确的数量关系是解题是解题的关键．由每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，列出方程可求解． 【详解】解：由题意可得：， ， 故答案为：2． 题型二十二 古代问题（二元一次方程组的应用） 【典例分析】（25-26七年级下·湖北孝感·期末）《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每人乘一车，最终剩余辆车，若每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？ 答：（1）人数为_____人；（2）车辆数为_____辆 【答案】 【分析】通过设车辆数为未知数，根据两种乘车方式下人数相等建立方程求解即可． 【详解】解：设车辆数为辆，由题意可得 ． 解得， ∴人数为． ∴（1）人数为人；（2）车辆数为辆． 故答案为，． 【变式训练】（25-26七年级下·全国·课后作业）我国古代数学算书《算法统宗》中有这样一个问题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？又问各该几个钱？”请列方程组解答这个问题． 【答案】甜果个，花费文；苦果个，花费文 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设甜果买了个，苦果买了个，根据九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值，再各自乘以相应的单价即可求出各自的总价． 【详解】解：设甜果买个，苦果买个， 由题意：每个甜果的价格为文，每个苦果的价格为文， 则， 解得， （文，（文， 答：甜果买了个，花了文钱，苦果买了个，花了文钱． 题型二十三 其他问题（二元一次方程组的应用） 【典例分析】（25-26七年级下·湖北襄阳·开学考试）一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内，如果人淘水，3小时淘完；如果5人淘水8小时淘完．如果要求2小时淘完，要安排______人淘水． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 设一人一小时淘水量为1单位，进水速率为单位/小时，最初水量为单位，根据条件列出方程组求解，再求小时淘完所需人数． 【详解】解：设一人一小时淘水量为1单位，进水速率为单位/小时，最初水量为单位． ∵人淘水3小时淘完，得淘出水量单位， ∴； ∵5人淘水8小时淘完，得淘出水量单位， ∴． 列方程组， 解方程组，得， 解得：； 代入得， 解得：． 要求2小时淘完时，可设需人，则淘出水量单位， ∴期间进水单位， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式训练】（25-26七年级下·北京·月考）对于二元一次方程的任意一个解，给出如下定义：若，则称为方程的“关联值”；若，则称为方程的“关联值”． (1)当时，直接写出方程的“关联值”为____________； (2)若“关联值”为4，直接写出所有满足条件的方程的解为____________； (3)直接写出方程的最小“关联值”为____________． 【答案】(1)1 (2)，； (3) 【分析】此题考查了二元一次方程的解和二元一次方程组的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系和不等关系． （1）把代入方程求出y的值，再根据“关联值”的概念求解即可； （2）根据“关联值”为4分情况列方程求解即可； （3）根据题意分两种情况求解. 【详解】（1）解：当时，即， 解得， ∵ ∴此时方程的“关联值”为1． （2）解：∵“关联值”为4， ∴①当时，即，解得， ∴方程的解为； ②当时，即，解得， ∴方程的解为； ③当时，即，解得， ∵， ∴不符合题意，应舍去； ④当时，即，解得， ∵， ∴不符合题意，应舍去； 综上所述，所有满足条件的方程的解有，； （3）解：∵， ∴， 当时，即，解得， 此时为方程的“关联值”， ∵， ∴不存在最小关联值； 当，即，解得或， ∴或， 此时为方程的“关联值”，的最小值为， ∴方程的最小“关联值”为 1．（24-25七年级下·河南新乡·期中）用加减消元法解二元一次方程组时，有如下四种解法，甲：；乙：；丙：；丁：．其中不能完成“消元”的是（    ） A．只有甲 B．甲和丙 C．甲和丁 D．乙和丁 【答案】B 【分析】依次计算四种做法，判断是否消去一个未知数即可得到结果． 【详解】解：得，即， 没有消去未知数，不能完成消元； 得，即，消去了y，能完成消元； 得，即，没有消去未知数，不能完成消元； 得，即，消去了x，能完成消元； ∴不能完成“消元”的是甲和丙 2．（2026·河北石家庄·一模）某学校文创社计划定制书签和笔记本，已知每张书签6元，每本笔记本15元．社团计划花费180元定制两种文创产品（两种都需定制），则定制方案共有（   ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】D 【分析】设两种产品的定制数量，根据总花费列出二元一次方程，结合两种产品都需定制，即数量均为正整数的条件，找出方程的正整数解个数，得到方案数． 【详解】解：设定制书签张，定制笔记本本，，均为正整数． 根据题意列方程得， 方程两边同时除以3，得， 整理得， ∵，均为正整数， ∴或或或或， ∴共有种定制方案． 3．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）“今有六十鹿进舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？（改编自《缉古算经》）”大意为：今有60只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4只鹿，大圈舍可以容纳6只鹿，求所需圈舍的间数．求得的结果有（    ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】C 【分析】设小圈舍x间，大圈舍y间，根据总鹿数列出二元一次方程，结合x，y为非负整数，即可求出解的个数． 【详解】解：设需要小圈舍x间，大圈舍y间， 依题意得：， ∴， ∵x，y均为非负整数， ∴，得， 又∵x为整数， ∴为偶数， ∵30是偶数， ∴为偶数，即y为偶数， ∴y可取0，2，4，6，8，10，共6个不同取值，对应6组不同解， ∴共有6种结果． 4．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）若关于的方程组的解是，则关于的方程组的解是___________． 【答案】 【分析】将待求方程组变形，换元后可得到与已知方程组结构相同的同解方程组，结合已知方程组的解即可求出目标方程组的解． 【详解】解：将两边同时除以2， 变形可得， 令， 则方程组可化为， 该方程组与原方程组系数完全相同，为结构相同，故其解的形式也相同， 已知原方程组的解为， 因此可得， 即，解得． 5．（25-26七年级下·河南周口·月考）若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为______． 【答案】 【分析】先解二元一次方程组，然后把方程组的解代入方程中即可求出的值． 【详解】解：由题意得， 解得， 根据题意得，把代入方程中， 得 解得． 6．（24-25七年级下·云南楚雄·期末）根据，可得，，则______． 【答案】 【分析】根据题意可得，求出的值，进而即可求解． 【详解】解：根据题中的新定义得：， ∴， 得： 解得， ∴． 7．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）关于、的方程是二元一次方程，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程的定义和解二元一次方程组，两边都是整式，含有两个未知数，并且含有未知数的项都是一次的方程，叫做二元一次方程，根据题意可得，，求解可得和的值． 【详解】根据题意可得 解得 所以． 故答案为： 8．（25-26七年级下·福建厦门·期中）解下列方程组 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 把②代入①得，， 解得：， 把代入①得，， 解得：， ∴方程组的解为． （2）解： ①②得，， 解得：， 把代入①得，， 解得：， ∴方程组的解为． 9．（25-26七年级下·湖南长沙·月考）解关于的方程组时，小强正确解得，而小刚只看错了，解得，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，先把代入原方程组得到；再利用小刚看错但解满足第一个方程的条件，将其解代入方程得到，联立两个关于的方程求出，最后代入算出结果为． 【详解】解：由题意得：是方程组的解， ∴， 解得：，， ∵小刚只看错了，解得， ∴是方程的解， ∴， ∴联立， 解得：， ∴． 10．（25-26七年级下·河南南阳·月考）【阅读感悟】 对于方程组的问题，有时候要求的结果不是每个未知数的值，而是求关于未知数的代数式的值． 如：已知实数满足，求和的值． 方法一：解方程组，分别求出的值，再代入代数式求值； 方法二：仔细观察两个方程中未知数系数之间的关系，通过适当变形后，整体求代数式的值． 解法如下： ，得：， ，得：． 比较： 方法一运算量较大，是常规思路； 方法二运算较简单，它用到了通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，则________，________； (2)对于实数，定义新运算：，其中是常数，等式右边是通常的加减法和乘法运算．如：．已知，，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据材料提示方法，，即可求解； （2）根据新定义的计算方法得到，为，结合材料提示方法，由此即可求解． 【详解】（1）解：， 得， 得，， ∴， 故答案为：；． （2）解：∵，其中是常数，，， ∴， ∵为， ∴得，， 整理得，， ∴的值为． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏科版（新教材）数学七年级下册专项培优讲义（题型讲练） 专题10.9 挑战压轴题『第十章 二元一次方程组』 〔23个题型讲练+能力提升练 共56题〕 【苏科版七年级下册●新教材】 2 题型一 已知二元一次方程组的解求参数 2 题型二 代入消元法 2 题型三 加减消元法 3 题型四 二元一次方程组的特殊解法 3 题型五 二元一次方程组的错解复原问题 4 题型六 构造二元一次方程组求解 4 题型七 已知二元一次方程组的解的情况求参数 5 题型八 方程组相同解问题 5 题型九 三元一次方程组的应用 5 题型十 根据实际问题列二元次方程组 6 题型十一 根据几何图形列二元次方程组 6 题型十二 方案问题（二元一次方程组的应用） 7 题型十三 行程问题（二元一次方程组的应用） 8 题型十四 工程问题（二元一次方程组的应用） 8 题型十五 数字问题（二元一次方程组的应用） 9 题型十六 年龄问题（二元一次方程组的应用） 10 题型十七 分配问题（二元一次方程组的应用） 10 题型十八 销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 10 题型十九 和差倍分问题（二元一次方程组的应用） 11 题型二十 几何问题（二元一次方程组的应用） 11 题型二十一 图表信息题（二元一次方程组的应用） 12 题型二十二 古代问题（二元一次方程组的应用） 13 题型二十三 其他问题（二元一次方程组的应用） 13 能力提升训练 14 题型一 已知二元一次方程组的解求参数 【典例分析】（24-25七年级下·河南周口·月考）已知关于x，y的二元一次方程组的解为． (1)求a，b的值； (2)若，求m的值． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·随堂练习）甲、乙两人同时解方程组；甲看错了b，求得的解为；乙看错了a，求得的解为；你能求出原题中正确的a，b吗？ 题型二 代入消元法 【典例分析】（25-26七年级下·河南南阳·月考）小丽准备完成题目：解二元一次方程组，发现系数“□”印刷不清． (1)她把“□”猜成2，请写出二元一次方程组的解为________； (2)妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案中x与y的值相等．”请通过计算说明原题中“□”是几． 【变式训练】（25-26七年级下·河南南阳·月考）解方程组下列做法正确的是（    ） A．将①代入②，消去 B．将①代入②，消去 C．①＋②，消去 D．①＋②，消去 题型三 加减消元法 【典例分析】（24-25七年级下·江苏南通·月考）已知关于x、y的方程组（实数m是常数）． (1)若，求实数m的值； (2)若，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，化简：． 【变式训练】（25-26七年级下·福建·期中）解方程或方程组： (1) (2) 题型四 二元一次方程组的特殊解法 【典例分析】（24-25七年级下·浙江温州·期中）若关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的二元一次方程组的解为______． 【变式训练】（25-26七年级下·山东聊城·月考）我们在解二元一次方程组时，若假设，则原方程组可化为，解之得，即，解之得，在上面的解题过程中，我们把某个式子看成一个整体，并且用一个字母去替代它，像这种解方程组的方法叫作换元法． (1)已知关于、的二元一次方程组的解为，求关于、的二元一次方程组的解； (2)请用上面的换元法解方程组． 题型五 二元一次方程组的错解复原问题 【典例分析】（25-26七年级下·陕西西安·月考）甲、乙两名同学在讨论方程的解时，甲得出一组正确的解为，乙将a与b的位置看错了，得出一组解为，求原方程中a，b的值． 【变式训练】（24-25七年级下·吉林白山·期中）已知方程组由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为 (1)求、的值； (2)求原方程组正确的解． 题型六 构造二元一次方程组求解 【典例分析】（24-25七年级下·重庆北碚·期末）对有理数、、定义一种新运算，规定．下列说法： ①当时，若，则； ②当且时，则； ③当时，若，，自然数、满足，且，则满足条件的的值有15个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式训练】（24-25七年级下·山东泰安·期中）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有小球16个、28个、28个，先从甲袋中取出个小球放入乙袋，再从乙袋中取出个小球放入丙袋，最后从丙袋中取出个小球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则的值等于__________． 题型七 已知二元一次方程组的解的情况求参数 【典例分析】（25-26七年级下·重庆垫江·月考）已知关于x、y的方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值为______． 【变式训练】（25-26七年级下·重庆·月考）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则m的值为________． 题型八 方程组相同解问题 【典例分析】（24-25七年级下·河南新乡·期中）已知方程组和方程组有相同的解，则，的值分别为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级下·山东聊城·月考）已知方程组与有相同的解，求、的值及方程组的解． 题型九 三元一次方程组的应用 【典例分析】（25-26七年级下·全国·课后作业）某车间每天能生产甲种零件120个，或者乙种零件100个，或者丙种零件200个．甲、乙、丙三种零件分别取3个、2个、1个才能配成一套，车间计划30天内生产的零件正好成套．请问甲、乙、丙三种零件各应生产几天才能完成计划？ 【变式训练】（25-26七年级下·陕西咸阳·开学考试）某次数学竞赛前70名获奖，原定一等奖10人，二等奖20人，三等奖40人，现调整为一等奖15人，二等奖25人，三等奖30人．调整后一等奖平均分数降低3分，二等奖平均分数降低2分，三等奖平均分数降低1分，如果原来二等奖比三等奖平均分数多6分，求调整后一等奖比二等奖平均分数多几分？ 题型十 根据实际问题列二元次方程组 【典例分析】（24-25七年级下·贵州遵义·期末）《九章算术》中记录这样一道数学问题：“今有五雀、六燕，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”大意为：今有5只雀和六只燕子，每只雀都一样重，每只燕也一样重，5只雀比6只燕子重，如果交换一只雀和一只燕子，两边就一样重，如果把他们合到一起，总共1斤，问一只雀和一只燕子分别重多少？设一只雀重斤，一只燕子重斤，则可得方程组为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏盐城·月考）某校运动员分组训练，若每组人，余人；若每组人，则缺人；设运动员人数为人，组数为组，则列方程组为______． 题型十一 根据几何图形列二元次方程组 【典例分析】（25-26七年级下·陕西渭南·月考）用5张大小、形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案（不重叠），已知点的坐标为，求一个长方形纸片的长与宽． 【变式训练】（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，周长为的长方形中刚好铺满块完全相同的小长方形木块，则每块小长方形木块的面积为（    ） A． B． C． D． 题型十二 方案问题（二元一次方程组的应用） 【典例分析】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）某租车公司分两批采购、两种型号的新能源汽车，第一批购进1辆型汽车、4辆型汽车，共花费68万元；第二批购进2辆型汽车、3辆型汽车，共花费76万元（同类型汽车进价不变）． (1)求、型汽车每辆的进价分别是多少万元? (2)为扩展租车业务，该租车公司计划再用200万元购进、两种型号的新能源汽车（两种车型都买），若恰好用完万元，该租车公司共有几种购买方案? 【变式训练】（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）茶叶促销活动前后，，两种茶叶的销量（单位：两）和销售额（单位：元）对比情况如下表．已知促销时茶叶是按原价的八折销售，其打折后的价格与茶叶打折前的价格相同． 茶叶销量 茶叶销量 销售额 打折前 300 200 6900 打折后 500 400 9360 (1)每两，茶叶的原价分别是多少？ (2)促销期间，王阿姨带了96元要买茶叶和打折后为8元的茶叶（两种茶叶的销量均为正整数），若所带的钱刚好用完，请通过计算说明她有几种购买方案． 题型十三 行程问题（二元一次方程组的应用） 【典例分析】（2025·山东威海·二模）某景区的起点是一段上坡路，走过上坡路后便是一段通往终点的平路．如果上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从起点到终点需要，从终点返回到起点需要．求该景区起点到终点的路程． 【变式训练】（23-24七年级下·全国·课后作业）某车站有甲、乙两辆汽车，若甲车先出发后乙车出发，则乙车出发后追上甲车；若甲车先开出后乙车出发，则乙车出发后追上甲车，求甲、乙两车的速度． 题型十四 工程问题（二元一次方程组的应用） 【典例分析】（23-24七年级下·山东聊城·期末）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元． (1)求甲、乙装修组工作一天，商店各需支付多少元费用？ (2)若装修完后，商店每天可盈利200元，现有如下三种方式装修：①甲单独做；②乙单独做；③甲乙合做，你认为如何安排施工更有利于商店经营？说明理由． 【变式训练】（24-25七年级下·广东深圳·期末）玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需6周完成，共需装修费为万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费万元，玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成． (1)设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，则可列出方程为 ． (2)如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？ (3)如果从节的开支的角度考虑呢？请说明理由． 题型十五 数字问题（二元一次方程组的应用） 【典例分析】（25-26七年级下·四川·期中）定义：对于任意一个四位数，若千位上的数字与十位上的数字之和等于百位上的数字与个位上的数字之和，则称这个四位数为“奥妙数”．例如：3157，因为，所以3157是“奥妙数”；5479，因为，所以5479不是“奥妙数”．若“奥妙数”中，百位数上的数字是十位上的数字的2倍，千位上的数字与个位上的数字之和能被10整除，则满足条件的“奥妙数”为___________． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是一个最简单的二阶幻圆的模型．有以下要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等．求图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字． 题型十六 年龄问题（二元一次方程组的应用） 【典例分析】（2024·安徽芜湖·一模）已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，求甲、乙现在的年龄的差． 【变式训练】（23-24七年级下·广东江门·开学考试）甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁．”则今年甲的年龄为____岁， 乙的年龄为______岁． 题型十七 分配问题（二元一次方程组的应用） 【典例分析】（2025·陕西西安·一模）王老师买了一批图书准备分给某班的学生阅读，若每名学生分3本书，则剩余18本书，若每名学生发4本书，则还少22本书．则这批书有多少本？ 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉12个或螺母20个，一个螺钉要配两个螺母，为使每天的产品刚好配套，应如何安排？ 题型十八 销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 【典例分析】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）某学校足球队购进A，B两款足球，若购进10个A款足球和20个B款足球需2000元；若购进20个A款足球和30个B款足球需3400元，设A、B两款足球的进价分别为x元、y元，求x和y的值． 【变式训练】（24-25七年级下·四川绵阳·期末）打折前，在某商场买6件A商品和3件B商品共用元，买5件A商品和1件B商品共用元．该商场做活动打折后，买件A商品和件B商品共用元． (1)没打折时，一件A商品，一件B商品分别多少钱？ (2)做活动时，商场商品打几折？ (3)做活动时买件A商品和件B商品，比不做活动时少花多少钱？ 题型十九 和差倍分问题（二元一次方程组的应用） 【典例分析】（23-24七年级下·浙江宁波·期中）甲、乙两人各有书若干本，如果甲从乙处拿10本，那么甲所有的书就比乙所有的书多5倍；如果乙从甲处拿10本，那么两人所有的书相等．问：甲、乙两人原来各有书多少本？ 【变式训练】（23-24七年级下·海南省直辖县级单位·期末）在某市“棚户区改造”建设工程中，有甲、乙两种车辆参加运土，已知1辆甲种车和1辆乙种车一次共可运土20立方米，5辆甲种车和2辆乙种车一次共可运土64立方米，求甲、乙两种车每辆一次分别可运土多少立方米． 题型二十 几何问题（二元一次方程组的应用） 【典例分析】（2026七年级·河北·专题练习）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等．现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒若干个，则制作的甲种纸盒的数量为_____________个． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，正方形由四个相同的大长方形，四个相同的小长方形以及一个小正方形组成，其中四个大长方形的长和宽分别是小长方形长和宽的2倍，若中间小正方形的面积为1，则大正方形的面积是（    ） A．16 B．20 C．25 D．36 题型二十一 图表信息题（二元一次方程组的应用） 【典例分析】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在的方格内，填写了一些式子或数，使各行、各列及对角线上三个数之和都相等，则________． 6 1 4 【变式训练】（23-24七年级下·广西河池·期末）宋代数学家杨辉称幻方为纵横图，传说最早出现的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨辉在他的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造．在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等．则的值是____________． 5 n 1 m 题型二十二 古代问题（二元一次方程组的应用） 【典例分析】（25-26七年级下·湖北孝感·期末）《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每人乘一车，最终剩余辆车，若每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？ 答：（1）人数为_____人；（2）车辆数为_____辆 【变式训练】（25-26七年级下·全国·课后作业）我国古代数学算书《算法统宗》中有这样一个问题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？又问各该几个钱？”请列方程组解答这个问题． 题型二十三 其他问题（二元一次方程组的应用） 【典例分析】（25-26七年级下·湖北襄阳·开学考试）一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内，如果人淘水，3小时淘完；如果5人淘水8小时淘完．如果要求2小时淘完，要安排______人淘水． 【变式训练】（25-26七年级下·北京·月考）对于二元一次方程的任意一个解，给出如下定义：若，则称为方程的“关联值”；若，则称为方程的“关联值”． (1)当时，直接写出方程的“关联值”为____________； (2)若“关联值”为4，直接写出所有满足条件的方程的解为____________； (3)直接写出方程的最小“关联值”为____________． 1．（24-25七年级下·河南新乡·期中）用加减消元法解二元一次方程组时，有如下四种解法，甲：；乙：；丙：；丁：．其中不能完成“消元”的是（    ） A．只有甲 B．甲和丙 C．甲和丁 D．乙和丁 2．（2026·河北石家庄·一模）某学校文创社计划定制书签和笔记本，已知每张书签6元，每本笔记本15元．社团计划花费180元定制两种文创产品（两种都需定制），则定制方案共有（   ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 3．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）“今有六十鹿进舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？（改编自《缉古算经》）”大意为：今有60只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4只鹿，大圈舍可以容纳6只鹿，求所需圈舍的间数．求得的结果有（    ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 4．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）若关于的方程组的解是，则关于的方程组的解是___________． 5．（25-26七年级下·河南周口·月考）若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为______． 6．（24-25七年级下·云南楚雄·期末）根据，可得，，则______． 7．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）关于、的方程是二元一次方程，则_____． 8．（25-26七年级下·福建厦门·期中）解下列方程组 (1)； (2)． 9．（25-26七年级下·湖南长沙·月考）解关于的方程组时，小强正确解得，而小刚只看错了，解得，求的值． 10．（25-26七年级下·河南南阳·月考）【阅读感悟】 对于方程组的问题，有时候要求的结果不是每个未知数的值，而是求关于未知数的代数式的值． 如：已知实数满足，求和的值． 方法一：解方程组，分别求出的值，再代入代数式求值； 方法二：仔细观察两个方程中未知数系数之间的关系，通过适当变形后，整体求代数式的值． 解法如下： ，得：， ，得：． 比较： 方法一运算量较大，是常规思路； 方法二运算较简单，它用到了通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，则________，________； (2)对于实数，定义新运算：，其中是常数，等式右边是通常的加减法和乘法运算．如：．已知，，求的值． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $