精品解析：安徽省合肥市第四十五中学芙蓉分校2025-2026学年下学期八年级期中数学试题

八年级期中数学练习 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 把方程配方转化成的形式，正确的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，在数轴上点所表示的数为，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，某头盔经销商经统计发现某品牌头盔5月份销售量144个，7月份销售量225个，从5月份到7月份销售量的月增长率相同，设月增长率为x，根据题意可列方程（　　） A. B. C. D. 6. 若是方程的根，则代数式的值为（） A. 0 B. 2023 C. 2024 D. 2025 7. 在平面直角坐标系中，若直线不经过第四象限，则关于的方程的实数根的情况为（ ） A. 无解 B. 两个不相等的实数根 C. 两个相等的实数根 D. 无法确定 8. 如图，在中，，，，，则的长为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 9. 如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ） A. 72 B. 52 C. 80 D. 76 10. 如图，在平面直角坐标系中，将绕点A按顺时针方向旋转到的位置，点B、O分别落在点、处，点在x轴上.再将绕点按顺时针方向旋转到的位置，点在x轴上.将绕点按顺时针方向旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去…，若点，，则点的横坐标为（　） A. 51 B. 56 C. 59 D. 63 二、填空题（每题5分，共20分） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是__________． 12. 已知等腰的边是方程的根，则的周长为________． 13. 如图，一棵树（树干与地面垂直）原来高，在一次强台风中树被强风折断，倒下后的树顶与树根的距离为，则这棵树断裂处点离地面的高度的长为_____． 14. 如图，已知，，分别是的三条边长，，我们把关于的形如的一次函数称为“勾股一次函数”．例如：，，，则是关于的勾股一次函数．若关于的形如的一次函数是勾股一次函数，则_____．若点在勾股一次函数的图象上，且的面积是5，则这个勾股一次函数的表达式是_____． 三、解答题（15-18每题8分，19-20每题10分，21-22每题12分，23题14分，共90分） 15. 计算： （1）； （2）． 16. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根． （2）若方程两个实数根的平方和等于5，求的值及方程的两根． 18. 如图，高速公路上有A，B两点相距，C，D为两村庄．已知，，于点A，于点B，现要在上建一个服务站E，使得C，D两村庄到E站的距离相等，求的长． 19. 某商场销售某款上衣，刚上市时每件售价100元，一段时间之后开始滞销，经过两次连续下降后，每件售价81元，平均每天售出30件． （1）求平均每次降价的百分率． （2）为了尽量减少库存，“五一”期间商场决定再次降价，经调查发现，一件上衣每降价1元，每天可多售出2件，若商场销售额为4590元，则每件降价多少元？ 20. 材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式，像、．两个有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同时乘以分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 例如： ， 请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题： （1）请写出的有理化因式：________；请将此式分母有理化________． （2）化简：； （3）当时，直接写出代数式的最大值：________． 21. 图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径． （1）判断的形状，并说明理由． （2）若购物车上篮子的左边缘与点的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘到地面的距离． 22. 如图，在中，，，，现有两个动点，分别从点和点同时出发，其中点以的速度，沿向终点移动；点以的速度沿向终点移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接，设动点运动时间为． （1）用含的代数式表示，的长度； （2）当为何值时，为等腰三角形？ （3）是否存在x值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 23. 借助图形可以帮助我们直观地发现数量之间的关系，而“数”又可以帮助我们更好的探究图形的特点．这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．请你根据已有的知识经验，解决以下问题： 【自主探究】 （1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：___________； （2）图2是由两个边长分别为，，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由； 【迁移应用】 根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题： （3）如图3，五边形中，，垂足为，==，，，周长为，四边形为长方形，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级期中数学练习 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题根据最简二次根式的定义判断即可，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解： A选项，不是最简二次根式， B选项，，不是最简二次根式， C选项，，不是最简二次根式， D选项，是最简二次根式． 2. 把方程配方转化成的形式，正确的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】按照配方法步骤整理方程，即可得到对应结果． 【详解】解：∵原方程为 ． 移项得 ． 根据配方法，方程两边需加上一次项系数一半的平方，这里一次项系数为，一半的平方为． ∴方程两边同时加，得 ． 整理得 ． 因此正确结果为A选项． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算正确，符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、和不是同类二次根式，不能合并，故原计算错误，不符合题意． 4. 如图所示，在数轴上点所表示的数为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理求出的长，则可得到的长，再用点C表示的数减去的长即可得到a的值． 【详解】解：如图所示，由勾股定理得 ∴， ∴． 5. 公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，某头盔经销商经统计发现某品牌头盔5月份销售量144个，7月份销售量225个，从5月份到7月份销售量的月增长率相同，设月增长率为x，根据题意可列方程（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用之增长率问题，核心是根据每月销量的增长关系列出方程． 【详解】解：∵月增长率为x，5月份销售量为144个， ∴6月份销售量为个， ∴7月份销售量为个， 又∵7月份实际销售量为225个， ∴可列方程为. 6. 若是方程的根，则代数式的值为（） A. 0 B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】D 【解析】 【分析】根据方程根的定义得到的值，再整体代入计算即可. 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴． 7. 在平面直角坐标系中，若直线不经过第四象限，则关于的方程的实数根的情况为（ ） A. 无解 B. 两个不相等的实数根 C. 两个相等的实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线不经过第四象限确定的取值范围，再通过根的判别式的符号判断方程根的情况即可． 【详解】解：直线不经过第四象限， ， 方程的根的判别式， ， 即， 方程有两个不相等的实数根． 8. 如图，在中，，，，，则的长为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长到点E，使，连接，证明，得，然后在中，根据勾股定理求出CE的长，即可得出结论． 【详解】解：如图，延长到点E，使，连接， 则， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ． 9. 如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ） A. 72 B. 52 C. 80 D. 76 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质，根据题意得：，，利用勾股定理求出的长，进而求出的值即可得到答案． 【详解】解：如图，根据题意得：，， ∴， ∴， ∴这个风车的外围周长， 故选：D． 10. 如图，在平面直角坐标系中，将绕点A按顺时针方向旋转到的位置，点B、O分别落在点、处，点在x轴上.再将绕点按顺时针方向旋转到的位置，点在x轴上.将绕点按顺时针方向旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去…，若点，，则点的横坐标为（　） A. 51 B. 56 C. 59 D. 63 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，平面直角坐标系中点的坐标变化规律问题，根据题意，正确得出点的横坐标是解题的关键； 利用勾股定理求出的长，数形结合求得点，，，，的坐标，从中得出点的横坐标，再求点的横坐标即可． 【详解】解：在中，，， ， 的周长为：， 由题知，点，，，， 由题意及旋转的规律可知： 当n为偶数时，在最高点；当n为奇数时，在x轴上， 横坐标规律为：当n为偶数时，横坐标为：6n， 当n为奇数时，横坐标为：， 是奇数， 点的横坐标为：， 故选：B． 二、填空题（每题5分，共20分） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴， ∴． 12. 已知等腰的边是方程的根，则的周长为________． 【答案】12 【解析】 【分析】先利用因式分解法求解一元二次方程得到方程的两根，再结合等腰三角形的性质与三角形三边关系，分情况计算周长，舍去不满足三边关系的结果即可． 【详解】解：， 因式分解得：， 解得：，， ① 当腰长为，底边长为时，，不满足三角形三边关系，此情况舍去； ② 当腰长为，底边长为时，满足三角形三边关系，周长为； 故的周长． 13. 如图，一棵树（树干与地面垂直）原来高，在一次强台风中树被强风折断，倒下后的树顶与树根的距离为，则这棵树断裂处点离地面的高度的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，设，则，根据勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意设，则， 在中，，即， 解得； 故答案为：． 14. 如图，已知，，分别是的三条边长，，我们把关于的形如的一次函数称为“勾股一次函数”．例如：，，，则是关于的勾股一次函数．若关于的形如的一次函数是勾股一次函数，则_____．若点在勾股一次函数的图象上，且的面积是5，则这个勾股一次函数的表达式是_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，一次函数的新定义，正确理解新定义，熟练掌握勾股定理是解题的关键． ①根据定义即可求解； ②根据定义，得，得，结合，，再利用代入解答即可． 【详解】解：①根据定义关于的形如的一次函数是勾股一次函数 ∴，解得： 故答案为：； ②∵点在勾股一次函数的图象上， ∴，则； ∵的面积是5， ∴， ∴ ∴，解得：（负值舍去） 故 ∴ 则，则 解得： 则或 ∴或 ∵ ∴， 故答案为：. 三、解答题（15-18每题8分，19-20每题10分，21-22每题12分，23题14分，共90分） 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化为最简二次根式，再根据二次根式加减运算的法则进行计算即可； （2）首先计算零指数幂，化简二次根式及绝对值，然后计算加减法即可． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解： ． 16. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【小问1详解】 解：， ∴， ∴或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴或， 解得：，． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根． （2）若方程两个实数根的平方和等于5，求的值及方程的两根． 【答案】（1） 证明：， 不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2），根为，；或，根为1，2 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系（韦达定理），掌握根的判别式的计算及应用和根与系数的关系，并灵活转化是解题关键． （1）根据根的判别式与0的关系判断即可； （2）先将平方和转化为，再通过根与系数的关系（韦达定理），得到关于m的方程，解出m，并求出方程的根即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设方程的两根为， 由韦达定理可知，， 方程两个实数根的平方和等于5，即， 又， ∴， 整理，得， 解得或， 当时，方程为，解得； 当时，方程为，解得； 综上，，根为，；或，根为1，2． 18. 如图，高速公路上有A，B两点相距，C，D为两村庄．已知，，于点A，于点B，现要在上建一个服务站E，使得C，D两村庄到E站的距离相等，求的长． 【答案】的长为 【解析】 【分析】设，则，在和中，由勾股定理表示出，．结合，列方程求解即可． 【详解】解：设，则， ，， ，， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， 由题意可知：， ∴， 解得：， 答：的长为． 19. 某商场销售某款上衣，刚上市时每件售价100元，一段时间之后开始滞销，经过两次连续下降后，每件售价81元，平均每天售出30件． （1）求平均每次降价的百分率． （2）为了尽量减少库存，“五一”期间商场决定再次降价，经调查发现，一件上衣每降价1元，每天可多售出2件，若商场销售额为4590元，则每件降价多少元？ 【答案】（1）． （2）每件应降价36元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设平均每次降价的百分率为x，根据题意，得：，即可求解； （2）设每件应降价元，由题意得方程，进而求解． 【小问1详解】 解：设平均每次降价的百分率为， 依题意，得， 解得（不合题意，舍去）． 答：平均每次降价的百分率为． 【小问2详解】 解：设每件应降价元，则每天可售出件， 依题意，得， 解得：，． 要尽快减少库存， ． 答：每件应降价36元． 20. 材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式，像、．两个有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同时乘以分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 例如： ， 请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题： （1）请写出的有理化因式：________；请将此式分母有理化________． （2）化简：； （3）当时，直接写出代数式的最大值：________． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据有理化因式的定义和平方差公式解答即可； （2）将每一项的分母有理化后即可计算； （3）先将原式化为，由，可知当时，有最小值，进而求得原式的最大值． 【小问1详解】 解：， 的有理化因式为； 分母有理化的结果为 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：， ， 当时，有最小值，最小值为， 此时的值最大，最大值为， 即代数式的最大值为． 21. 图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径． （1）判断的形状，并说明理由． （2）若购物车上篮子的左边缘与点的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘到地面的距离． 【答案】（1） 解：为直角三角形，理由如下： 在中， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形． （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理逆定理即可证明； （2）过点作，交于点，利用勾股定理求出，利用等积法求出，由点到地面的距离为即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，过点作，交于点， ∵， ∴， ∵， 即， ∴， ∴点到地面的距离为：． 22. 如图，在中，，，，现有两个动点，分别从点和点同时出发，其中点以的速度，沿向终点移动；点以的速度沿向终点移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接，设动点运动时间为． （1）用含的代数式表示，的长度； （2）当为何值时，为等腰三角形？ （3）是否存在x值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，列代数式，一元一次方程及一元二次方程的应用，能够根据题意列出相应的方程是解题的关键． （1）先根据勾股定理求得，再根据路程速度时间求出，，再根据即可． （2）根据题意，当为等腰三角形时，，建立一个关于的方程，解方程即可． （3）用含的代数式表示出四边形的面积，利用四边形的面积为建立一个关于方程，解方程即可．若有解，则存在，若无解则不存在． 【小问1详解】 解：，，， ． ，； 【小问2详解】 由题意，得 ， ． 当时，为等腰三角形； 【小问3详解】 假设存在的值，使得四边形的面积等于， 则 解得． 假设成立， 所以当时，四边形面积的面积等于． 23. 借助图形可以帮助我们直观地发现数量之间的关系，而“数”又可以帮助我们更好的探究图形的特点．这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．请你根据已有的知识经验，解决以下问题： 【自主探究】 （1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：___________； （2）图2是由两个边长分别为，，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由； 【迁移应用】 根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题： （3）如图3，五边形中，，垂足为，==，，，周长为，四边形为长方形，求四边形的面积． 【答案】（1）； （2）解：，理由如下： 图2中图形的面积：， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】本题考查的是完全平方公式的几何背景和勾股定理的验证，熟练掌握上述知识点是解题的关键. （1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：； （2）图2中图形的面积，即可变形为； （3）根据周长为，可得：，根据（2）中的结论，在中，由勾股定理得，整理得，根据，可知长方形的面积为：，即可得解. 【详解】解：（1）解：图1中阴影部分的面积可以表示为两个阴影部分的正方形的面积相加，也可表示为大正方形的面积减去两个长方形的面积，即 故答案为：； （2） 略 （3）解：设的周长为， ， 根据（2）中的结论，在中，， ， 化简，得， 整理，得， ， 长方形的面积为：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $