专项练习05：条件概率与贝叶斯公式6大核心题型-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

2026年高二数学下学期常考题型归纳 【专项练习05：条件概率与贝叶斯公式】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：条件概率的计算】 1．(25-26·江苏南京外国语学校·期中)2026年秦淮区南部新城灯会于春节期间盛大开幕，本届灯会规模宏大，首次实现“水上、岸上、空中”三维立体赏灯格局，尽显金陵文化的独特魅力．灯会共开设了三处核心赏灯区，分别是夫子庙核心展区、老门东传统灯区、机场跑道无人机灯区．甲、乙、丙、丁四人相约去赏灯，每个赏灯区至少有1人，每人只游览一个赏灯区．在甲游览机场跑道无人机灯区的条件下，甲与乙不到同一赏灯区的概率为（） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】江苏南京外国语学校2025-2026学年度第二学期期中考试数学试卷 【分析】先按4人分3组、每组至少1人用排列组合求出总基本事件数，再分别算出甲在指定灯区且甲乙不到同一赏灯区时，该灯区2人和仅甲1人两类情况的方法数，联立得到同时满足事件的事件数，求出联合概率，再套用条件概率公式算出最终条件概率. 【详解】记事件: 甲游览机场跑道无人机灯区，事件: 甲与乙不到同一赏灯区，则， 因为每个赏灯区至少有1人，每人只游览一个赏灯区，则先将4个人分为3组，再将这三组分配给三个赏灯区， 基本事件的总数为， 若事件、同时发生，若游览机场跑道无人机灯区有2人，则另外一人为丙或丁， 此时，不同的游览情况种数为， 若游览机场跑道无人机灯区只有甲一人，将另外三人分成两组，再将这两组分配给另外两个赏灯区， 此时，不同的游览情况种数为， 因此，， 由条件概率公式可得. 2．(25-26高二·福建福州第三中学·期中)某同学喜爱球类和游泳运动.暑假期间，该同学上午去打球的概率为.若该同学上午不去打球，则下午一定去游泳；若上午去打球，则下午去游泳的概率为.已知该同学在某天下午去游了泳，则上午打球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】福建福州第三中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试卷 【分析】上午打球为事件A，下午游泳为事件B，利用全概率公式求出，再利用条件概率公式计算即得. 【详解】设上午打球为事件A，下午游泳为事件B， 则，， 于是， 因此，所以上午打球的概率为. 3．(25-26高二下·广东实验中学·)从6名男生和4名女生中选出3人参加人工智能技能培训．在至少抽到一名女生的情况下，恰好抽到一名男生的概率为___________． 【答案】/ 【来源】广东实验中学2025—2026学年下学期高二级中段模块考试数学试卷 【分析】利用古典概型的概率公式求出，，再由条件概率公式计算可得. 【详解】设事件：至少抽到一名女生，事件：恰好抽到一名男生， 则，， 故所求概率为. 4．(25-26高二·海南中学·期中)海南的中学生中有的同学爱好排球，的同学爱好足球，的同学爱好排球或爱好足球.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好足球，则该同学也爱好排球的概率为（    ） A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4 【答案】B 【来源】海南中学2025-2026学年度第二学期期中考试高二数学试题 【详解】由题意，同时爱好两项的概率为， 记“该同学爱好足球”为事件，记“该同学爱好排球”为事件，则， 所以. 5．(25-26高二下·河北衡水第二中学·期中)鲁班锁是中国古代传统智力玩具，又称“孔明锁”，蕴含深厚的数学几何与组合逻辑，其拼接部件的搭配蕴含概率思想.现有一副经典鲁班锁，由8个拼接部件组成，分为三种类型：4个长部件､2个中部件､2个短部件，所有部件除尺寸外完全相同.现从这8个部件中随机抽取2个（不放回抽取），已知抽取的2个部件中至少有1个长部件，则这2个部件均为长部件的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】河北衡水市第二中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题 【详解】由题意得，抽取的2个部件中至少有1个长部件的情况共有（种）， 其中2个部件均为长部件的情况有（种）， 故所求概率. 【题型2：条件概率的性质】 6．(25-26高二下·安徽滁州中学·期中)（多选）在一个有限样本空间中，，且与相互独立，与互斥，则（    ） A． B． C． D．若，则与互斥 【答案】ACD 【来源】安徽滁州中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷 【详解】有限样本空间中，，且与相互独立， 所以，所以A正确； ，所以B错误； 因为与互斥，所以，， 所以，所以C正确； 若，则， 所以，所以，所以与互斥，所以D正确. 7．(25-26高二下·广西南宁沛鸿民族中学·期中)对于事件，，，，，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】广西南宁沛鸿民族中学2025-2026学年下学期期中考试高二数学试卷 【分析】利用概率乘法公式与随机事件的概率加法公式求出，再由对立事件的概率公式计算即得. 【详解】因为， 又由可得，即， 故. 8．(25-26高二·浙江温州新力量联盟期中联考·期中)（多选）设A，是一个随机试验中的两个事件，且，则（   ） A． B．事件A，B为独立事件 C． D． 【答案】AC 【来源】浙江温州新力量联盟期中联考2025-2026学年第二学期高二年级数学学科试题 【分析】应用概率基本性质计算判断A，独立事件概率乘积公式计算判断B，应用条件概率公式计算判断C，应用概率基本性质结合独立事件概率公式计算判断D. 【详解】因为， ，所以A正确； 所以B错误； ，所以C正确； ，所以D错误. 9．(25-26高二下·山东济南·期中)已知随机事件、，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】山东济南市2025-2026学年高二年级下学期期中检测数学试题 【分析】由条件概率公式可得出的值，分析可知，且与互斥，利用互斥事件的概率公式可求得的值，再利用条件概率公式可求得的值. 【详解】由条件概率公式可得，所以， 因为，且与互斥，所以， 所以， 由条件概率公式可得. 10．(25-26高二·浙江七校联盟·期中)（多选）若、分别为随机事件、的对立事件，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则独立 D． 【答案】ABD 【来源】浙江七校联盟2025-2026学年第二学期期中考试试卷高二数学 【分析】条件概率是指事件发生的条件下事件发生的概率，记为，计算公式为，其中.事件与事件相互独立的充要条件是，结合定义和性质，对选项逐一判断. 【详解】选项A，，A选项正确. 选项B，，B选项正确. 选项C，，，不能得出，选项C错误. 选项D，，D选项正确. 【题型3：全概率公式的应用】 11．(25-26·江苏南京外国语学校·期中)甲盒装有1个白球和2个黑球，乙盒装有3个白球和2个黑球，丙盒装有4个白球和1个黑球．采取掷骰子决定选盒，出现1，2或3点选甲盒，4，5点选乙盒，6点选丙盒．在选出的盒子中随机摸一球，经过秘密选盒摸球后，宣布摸得1个白球，则此球来自乙盒的概率是___________． 【答案】/ 【来源】江苏南京外国语学校2025-2026学年度第二学期期中考试数学试卷 【分析】先根据掷骰子规则确定选盒的概率，再用各盒中白球占比得到摸白球的条件概率，接着通过全概率公式算出摸到白球的总概率，最后利用贝叶斯公式，求出已知摸到白球时，该球来自乙盒的概率． 【详解】设{摸出的球来自甲盒}，{摸出的球来自乙盒}， {摸出的球来自丙盒}，{摸出白球}， 则，，， ，，， 所以 ， 所以． 12．(25-26高二下·湖南邵阳邵阳县第二高级中学·期中)甲和乙两个箱子中各装有个球，其中甲箱中有个红球、个白球，乙箱中有个红球、个白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为或，从甲箱子中随机摸出个球；否则，从乙箱子中随机摸出个球.求摸到红球的概率（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】湖南邵阳市邵阳县第二高级中学2025-2026学年下学期高二期中考试数学试题 【分析】根据全概率公式及概率的乘法公式可得. 【详解】记“选到甲箱”，“摸到红球”. 则， 从甲箱摸到红球的概率为，从乙箱摸到红球的概率为. 根据全概率公式，摸到红球的概率为. 13．(25-26高二·上海建平中学·期中)一个盒子中有4个LABUBU玩偶，3个MOKOKO玩偶.甲每次从盒子中摸取一个玩偶，若甲摸到的玩偶是LABUBU，则不放回盒中；若甲摸到的玩偶是MOKOKO，则放回盒中.甲第二次摸到的玩偶是LABUBU的概率为_________. 【答案】 【来源】上海市建平中学2025-2026学年第二学期期中教学质量检测高二数学试卷 【分析】设事件，求出相关事件的概率，利用全概率公式计算即得. 【详解】设甲第一次摸到的玩偶LABUBU为事件A，则第一次摸到的玩偶MOKOKO为事件，甲第二次摸到的玩偶LABUBU为事件， 则， 则. 14．(25-26高二·江苏徐州铜山区·期中)篮球作为三大球类运动之一，深受大众喜爱.据统计，某企业两个部门中喜欢篮球运动的员工分别占本部门总人数的，且这两个部门的员工人数之比为，现从这两个部门中随机抽取一位员工，则该员工喜欢篮球的概率为（    ） A．0.37 B．0.46 C．0.54 D．0.75 【答案】A 【来源】江苏徐州市铜山区2025-2026学年第二学期期中学情调研高二数学试题 【分析】结合全概率计算公式求解即可. 【详解】设两个部门分别为部门1、部门2，由人数比为， 可得抽到部门1的概率为，抽到部门2的概率为 ， 已知部门1喜欢篮球的概率为，部门2喜欢篮球的概率为， 根据全概率公式，随机抽取一人喜欢篮球的概率为： . 15．(25-26高二·广东东莞第一中学·期中)某知识过关题库中有，，三种难度的题目，数量分别为300，200，100.已知小明做对，，型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为__________ 【答案】 【来源】广东东莞市第一中学2025-2026学年第二学期期中检测高二数学试题 【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式计算即可. 【详解】设小明选1道类试题为事件，小明选1道类试题为事件， 小明选1道类试题为事件， 设小明答对试题为事件， 则， 而，，， 由全概率公式得： . 【题型4：贝叶斯公式的应用】 16．(25-26高二下·广东广州培英中学·期中)甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球． (1)从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率； (2)掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，则从甲箱随机抽出1个球；如果点数大于等于5，则从乙箱中随机抽出1个球， （i）求抽到的是红球的概率； （ii）若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率． 【答案】(1) (2)（i） ；（ii） 【来源】广东广州培英中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】（1）借助条件概率公式计算即可； （2）（i）利用全概率公式求解即可；（ii）利用贝叶斯公式计算即得. 【详解】（1）记事件A表示“从甲箱中抽出的2个球中有红球”，事件B表示“从甲箱中抽出的2个球都是红球”， 则 故 ； （2）（i）设事件C表示“从乙箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”，事件D表示“抽到红球”， 则 ， 则 （ii）若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率为 . 17．(25-26高二·江苏南京金陵中学·期中)（多选）已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“先从甲箱中取出2个球中恰有个红球”为事件（），“从乙箱中取出1个球是黑球”为事件，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【来源】江苏南京市金陵中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试卷 【分析】先求出事件的概率，再分别求出在这三种情况下事件的条件概率，利用全概率公式求，最后利用贝叶斯公式求，逐项判断即可. 【详解】由题意， ，故A不正确；. 当事件发生时，从甲箱移入乙箱的是个红球和个黑球， 此时乙箱中共有个红球、个黑球，共个球，所以故B正确； 再由全概率公式， 当发生时，移入乙箱的是个黑球，此时乙箱中有红黑，则 当发生时，移入乙箱的是个红球，此时乙箱中有红黑，则 于是，故C 不正确. 最后由贝叶斯公式，，故D正确. 18．(25-26高二·山东济宁第一中学等校·)某潮玩店推出了“数学家盲盒”，分为典藏盒和经典盒两种：典藏盒中有6个玩偶，其中2个隐藏款，4个常规款；经典盒中有8个玩偶，其中1个隐藏款，7个常规款．已知店里进货时，典藏盒占总量的，经典盒占总量的． (1)若随机挑选一个盒子，顾客从中任取2个玩偶，求恰好抽到1个隐藏款的概率； (2)顾客随机购买两个盲盒，从每个盒子中各抽取1个玩偶． （i）求恰好买到一个典藏盒、一个经典盒，且抽取的两个玩偶中只有1个隐藏款的概率； （ii）如果顾客抽取的两个玩偶中只有1个隐藏款，求他购买的是一个典藏盒、一个经典盒的概率． 【答案】(1) (2)（i）（ii） 【来源】山东济宁市第一中学等校2025-2026学年度第二学期质量检测高二数学试题 【分析】（1）分别求出选到典藏盒和选到经典盒任取2个玩偶恰好抽到1个隐藏款的概率，利用全概率公式求解； （2）（i）先求出恰好买到一个典藏盒、一个经典盒的概率，然后求出恰好买到一个典藏盒、一个经典盒的条件下，抽取的两个玩偶中只有1个隐藏款的概率，最后计算求解；（ii）分别求出恰好买到一个典藏盒、一个经典盒抽取的两个玩偶中只有1个隐藏款的概率，购买到两个典藏盒抽取的两个玩偶中只有1个隐藏款的概率，购买到两个经典盒抽取的两个玩偶中只有1个隐藏款的概率，然后利用贝叶斯公式求解. 【详解】（1）设事件分别为选到典藏盒、经典盒，事件为任取2个玩偶恰好抽到1个隐藏款， ，， 所以. （2）（i）设事件为恰好买到一个典藏盒、一个经典盒，事件为两个玩偶中只有1个隐藏款， ， ， 所以. （ii）设事件为购买到两个典藏盒，事件为购买到两个经典盒， ， ， 所以. ， ， 所以. ， . 19．(25-26高二·安徽淮南第二中学等校·期中)（多选）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，只有主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，下列结论正确的是（    ）. A． B．主持人打开3号箱的概率 C．若，且甲更改选择，则他获奖的概率为 D．若，甲改选2号箱比改选4号箱的中奖概率更大 【答案】BC 【来源】安徽淮南第二中学等校2025-2026学年高二第二学期期中学业质量检测数学试卷 【详解】对于A，奖品在号箱里，主持人可打开号箱，故，故A错误； 对于B，奖品在号箱里，主持人可打开号箱，故， 奖品在号箱里，主持人只能打开号箱，故， 奖品在号箱里，主持人打开号箱的概率为，故， 奖品在号箱里，主持人只能打开号箱，故， 由全概率公式可得：，故B正确； 对于C、D， （1）若甲不更改选择时，由贝叶斯公式计算 . 从而. （2）当甲更改选择时 ①若甲改选号箱，甲中奖的概率为， ②若甲改选号箱，甲中奖的概率为， ③若甲改选号箱，甲中奖的概率为， 因此甲更改选择，获奖的概率为，故C正确； 而，即甲改选号箱与改选号箱的中奖概率一样，故D错误. 20．(25-26高二·江苏锡东高级中学·期中)（多选）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）、先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件.下列结论正确的是（   ） A．事件与相互独立 B． C． D． 【答案】BC 【来源】江苏锡东高级中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试卷 【分析】根据相互独立事件的定义判断A，根据条件概率公式判断B，根据全概率公式判断C，根据贝叶斯公式判断D． 【详解】对于A：因为，，而， 所以事件与不相互独立，故A错误； 对于B：因为，，所以，故B正确； 对于C：因为，，， 所以 ，故C正确； 对于D：，故D错误． 【题型5：条件概率的证明题型】 21．(25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔普高联谊校·期中)作为江苏省内最高规格的业余足球赛事，苏超联赛自2025年5月开赛以来，凭借“十三太保”城市对抗的独特赛制引发全民热议.为了解观看某场苏超联赛与性别是否有关系，某机构在全市随机抽取了500名居民，其中男性居民与女性居民的人数比为，在抽取的男性居民中，有的人观看了这场苏超联赛，在抽取的女性居民中，有100人没有观看这场苏超联赛. (1)用频率估计概率，样本估计总体，从全市居民中随机抽取1人，试估计此人观看了这场苏超联赛的概率； (2)现定义：，其中是随机事件，从这500人中任选1人，表示“居民观看了这场苏超联赛”，表示“居民是女性”，设观看这场苏超联赛与性别的相关程度的一项度量指标，请利用样本数据求出的值； (3)用频率估计概率，在样本中，按性别比例用分层随机抽样的方法抽取5名居民，若再从这5名居民中随机抽取2人进行访谈，设这2名被访谈的居民中恰有名是观看了这场苏超联赛的男性居民的概率为，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【来源】黑龙江省齐齐哈尔市普高联谊校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题 【分析】（1）由男性居民与女性居民的人数比，可知样本中男性居民与女性居民的人数，计算其中观看这场苏超联赛的人数，用频率估计概率即可； （2）利用新定义，结合条件概率的公式计算即可； （3）利用全概率公式计算 ，代入求值即可. 【详解】（1）由题意，得样本中男性居民与女性居民的人数分别为300人，200人， 在300名男性居民中，有200人观看了这场苏超联赛， 在200名女性居民中，有100人观看了这场苏超联赛， 所以样本中，观看了这场苏超联赛的频率为. 用频率估计概率，样本估计总体，从全市居民中随机抽取1人， 估计此人观看了这场苏超联赛的概率为. （2）因为， 所以. 因为， 所以. 所以. （3）由分层随机抽样知，抽取的5名居民中，男性居民有3人，女性居民有2人. 根据频率估计概率知，男性居民中观看了这场苏超联赛的概率为，没有观看这场苏超联赛的概率为. 设3名被抽取的男性居民中，恰好抽到人被访谈为事件，则（） 设被访谈的2名居民中观看了这场苏超联赛的男性居民恰好为人为事件，则 ， 所以 ， ， . 所以. 22．一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回． (1)求第2次摸到红球的概率； (2)设第1，2，3次都摸到红球的概率为，第1次摸到红球的概率为，在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为，在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为，求，，，； (3)对于事件，试根据（2）写出，，，的等量关系式，并加以证明． 【答案】(1) (2)，，， (3)，证明见解析 【来源】福建省泉州市2024届高三上学期质量监测数学试题（二） 【分析】（1）根据全概率公式求解即可； （2）根据相互独立事件乘法公式、条件概率公式及排列数公式求解； （3）根据（2）猜想，由条件概率公式证明即可. 【详解】（1）记事件“第次摸到红球”为，则第2次摸到红球的事件为， ，，，， 由全概率公式，得 ． （2）由已知得 ， ， ，， ． （3）由（2）可得，即， 可猜想： 证明如下：由条件概率及，， 得，， 所以． 23．(24-25高二下·山东青岛·期中)春季是万物复苏的季节，也是流感病毒活跃的高发期．已知在甲，乙，丙三个地区暴发了流感，这三个地区分别有的人患了流感．假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人． (1)求这个人患流感的概率； (2)设是一组两两互斥的事件，，且，对任意的事件，证明：； (3)若此人患流感，则他来自于哪个地区的可能性最小． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)此人来自甲地区的可能性最小 【来源】山东省青岛市2024-2025学年高二下学期期中数学试题 【分析】（1）应用全概率公式计算求解； （2）应用条件概率公式计算证明； （3）应用贝叶斯公式计算求解. 【详解】（1）设“选取的人患流感”，用，分别表示选取的人来自甲，乙，丙地区， 则， 所以 由全概率公式得 （2）根据乘法公式 条件概率得 所以； （3）由（2）知： ， ， ， 所以， 答：此人来自甲地区的可能性最小 24．(24-25高二下·安徽智学大联考�皖中名校联盟合肥八中·期中)（1）甲、乙、丙三人各自独立投篮，甲和丙都投中的概率是，甲投中而丙未投中的概率是，乙投中而丙未投中的概率是.请问三人中哪一位投篮水平较高？并说明理由； （2）（i）对于事件，，，当时，求证：； （ii）若某同学做如下摸球试验：一个袋子中有10个大小完全相同的小球，其中黑球7个，白球3个，每次从袋子中随机摸出1个球，且摸出的球不再放回.若该同学摸球三次，求三次都摸到白球的概率. 【答案】（1）丙投篮水平较高，理由见解析；（2）（i）证明见解析（ii） 【来源】安徽省智学大联考�皖中名校联盟合肥八中2024-2025学年高二下学期期中测试数学试题（A卷） 【分析】（1）设甲、乙、丙三人各自独立投篮投中的概率分别为、、，根据所给条件得到方程组，求出、、，即可判断； （2）（i）根据条件概率公式证明即可；（ii）记事件“第次摸到白球”为，结合（i）的公式求出，即可得解. 【详解】（1）丙投篮水平较高，理由如下： 设甲、乙、丙三人各自独立投篮投中的概率分别为、、. 依题意，得， 解得， 因为，所以，丙投篮水平较高. （2）（ⅰ）因为，， 所以，得证. （ⅱ）记事件“第次摸到白球”为. 由题意可知，，. 由结论， 可得. 故三次都摸到白球的概率为. 25．有个编号分别是的不透明的罐子里装有除颜色外完全相同的糖果.第1个罐子中装有3颗红色糖果和2颗绿色糖果，其余罐子中都装有2颗红色糖果和2颗绿色糖果.现先从第1个罐子中随机取出一颗糖果放入第2个罐子，再从第2个罐子中随机取出一颗糖果放入第3个罐子，依此类推，直至从第个罐子中随机取出一颗糖果.设事件表示从第个罐子中取出红色糖果，记事件发生的概率为. (1)求的值； (2)求的值，并证明：当时，； (3)求（用含的式子表达）. 【答案】(1)； (2)，证明见解析； (3). 【来源】云南省红河州、文山州2025届高三第二次复习统一检测数学试题 【分析】（1）由古典概率结合题意可得答案； （2）由题意及全概率公式可得答案； （3）设，由（2）可知，然后通过构造等比数列可得答案. 【详解】（1）在第一个罐子中共有糖果颗，其中红色糖果有3颗，根据古典概型概率公式， （2）由（1）知，， 所以， 当时，由全概率公式，得 所以即； （3）记，由（2）知递推关系式，变形为， 又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以， 则即. 【题型6：全概率公式与数列递推】 26．(25-26高二下·福建三明第一中学·月考)某中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目.已知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼.请完成下列计算： (1)求甲第2天选择羽毛球的概率； (2)求在甲第2天选择羽毛球的条件下，甲第1天选择篮球的概率； (3)记甲第天选择羽毛球的概率为，请写出与的关系. 【答案】(1)； (2)； (3). 【来源】福建省三明第一中学2025-2026学年高二下学期4月月考数学试卷 【分析】（1）利用全概率公式计算求解即可. （2）利用贝叶斯公式计算求解即可. （3）根据给定条件，利用全概率公式列式并化简即得. 【详解】（1）设事件分别表示第一天选择羽毛球、乒乓球、篮球，第二天选择羽毛球的事件为， 则且两两互斥， 依题意，，， 且， 由全概率公式得. （2）由贝叶斯公式，得所求概率为. （3）设甲第天选择羽毛球的概率为，甲第天选择乒乓球的概率为， 由无论前一天选择什么，后一天选乒乓球的概率均为，得对所有均成立， 从而选择篮球的概率为， 当时，由全概率公式，得的递推关系为， 而，，化简得，. 27．（多选）某商场为了吸引顾客前来消费，开展抽奖活动，规定消费每满100元即可获得一次抽奖机会．已知顾客第一次抽奖的中奖概率为，从第二次抽奖开始，若前一次没有中奖，则这次抽奖的中奖概率为，若前一次中奖，则这次抽奖的中奖概率为．记顾客第次抽奖的中奖概率为，则（    ） A． B．某顾客消费200元，则其中奖概率为 C．的最大值为 D．当时，越大，越小 【答案】AC 【来源】安徽蚌埠市2026届高三第一次教学质量检查考试数学试题 【分析】对A，根据抽奖规则建立递推公式，代入算出验证选项；对B，用对立事件概率公式计算两次抽奖至少中奖一次的概率进行判断；对C，将递推公式变形构造等比数列，求出通项后分奇偶讨论验证选项；对D，根据通项公式分析奇偶项的单调性，进行判断. 【详解】对于A：由题意可得， 所以，A正确； 对于B：第一次未中奖的概率为，在第一次未中奖的条件下，第二次也未中奖的概率为， 因此，两次均未中奖的概率为，由对立事件的概率可得其中奖概率为：，B错误； 对于C：由得，所以是等比数列， 首项为，公比为， 所以. 当为奇数时，； 当为偶数时，随增大而减小，当时取得最大值， 综上，的最大值为，C正确； 对于D：当为奇数时，，随的增大而增大； 当为偶数时，随增大而减小，D错误； 故选：AC. 28．(25-26高二上·湖南师范大学附属中学·期末)某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登录，每次消费都有一次随机摸球的机会．已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为.记该顾客第n次摸球抽中奖品的概率为，则的值为__________、该顾客第__________次摸球抽中奖品的概率最大． 【答案】 2 【来源】湖南师范大学附属中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题 【分析】记该顾客第次摸球抽中奖品为事件，易得，利用全概率公式求出，依题意推出，记，可得递推关系，构造等比数列，求出通项，再分奇偶讨论的增减性求出其最大值即得答案. 【详解】记该顾客第次摸球抽中奖品为事件，依题意，， . 因为， 所以， 所以， 所以， 又因为，则， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 故. 当为奇数时，， 当为偶数时，，则随着的增大而减小，所以. 综上，该顾客第二次摸球抽中奖品的概率最大． 故答案为：①；② 2. 29．(25-26高三上·湖北荆州中学·月考)某答题挑战赛规则如下：比赛按轮依次进行，只有答完一轮才能进入下一轮，若连续两轮均答错，则挑战终止；每一轮系统随机地派出一道通识题或专识题，派出通识题的概率为，派出专识题的概率为.已知某选手答对通识题与专识题的概率分别为，且各轮答题正确与否相互独立. (1)求该选手在一轮答题中答对题目的概率； (2)记该选手在第轮答题结束时挑战依然未终止的概率为， （i）求； （ii）是否存在实数，使得数列为等比数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）存在，或 【来源】湖北省荆州中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试卷 【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式计算得解； （2）（i）将第3轮答题结束时挑战未终止的事件进行分拆，再利用互斥事件的加法公式及相互独立事件的乘法公式求出，同理求出；（ii）利用概率的加法公式及乘法公式列出递推公式，再利用构造法求解得证. 【详解】（1）设事件“一轮答题中系统派出通识题”，事件“该选手在一轮答题中答对”， 依题意，，， 因此， 所以该选手在一轮答题中答对题目的概率为. （2）（i）设事件“该选手在第轮答对题目”，各轮答题正确与否相互独立， 由（1）知，， 当时，挑战显然不会终止，即， 当时，则第1、2轮至少答对一轮，， 由概率加法公式得 ； 同理 . （ii）设事件“第轮答题结束时挑战未终止”， 当时，第轮答题结束时挑战未终止的情况有两种： ①第1轮答对，且第2轮到轮结束时挑战未终止； ②第1轮答错，且第2轮答对，第3轮到轮结束时挑战未终止， 因此第轮答题结束时挑战未终止的事件可表示为， 而各轮答题正确与否相互独立， 因此， 所以时，， 设存在实数，使得数列为等比数列， 当时，，整理得， 而，则，解得或， 当时，， 因此当时，数列是首项为，公比为的等比数列； 当时，数列是首项为，公比为的等比数列， 所以存在实数或，使得数列为等比数列. 30．（多选）现有甲、乙、丙、丁四人组队传球，其中甲、乙为队，丙、丁为队．已知甲、乙传给队友的概率为，丙、丁传给队友的概率为，且任一传球者会等可能地传球给非队友成员．现从甲开始传球，设传球次数为（且），则（    ） A．传球次后，球在甲手中的概率和球在乙手中的概率始终相等 B．时，球在乙手中的概率为 C．传球次后，球在队成员手中的概率恒为一个常数 D．设球在乙手中的概率为，则 【答案】BCD 【来源】浙江省名校新高考研究联盟（Z20 名校联盟）2026届高三上学期第一次联考数学试题 【分析】对B，列出各种可能传球路线，概率求和；对C，设球在A队成员手中的概率为，在B队成员手中的概率为，分别列出与之间的关系式，整理得到；对D，列出的关系式，构造等比数列求出；对A，由时概率值可判断. 【详解】对于B：由已知，甲传给乙、丙、丁的概率分别为；乙传给甲、丙、丁的概率分别为； 丙传给甲、乙、丁的概率分别为；丁传给甲、乙、丙的概率分别为； 传球的路线可能是①甲-乙-丙-乙；②甲-乙-甲-乙；③甲-乙-丁-乙；④甲-丙-甲-乙；⑤甲-丙-丁-乙；⑥甲-丁-甲-乙；⑦甲-丁-丙-乙. 其概率为，B正确； 对于C：设传球次后，球在A队成员手中的概率为，在B队成员手中的概率为， 则，所以，所以，所以是常数列，C正确； 对于D：当传球3次时，球在甲手中，传球的可能路线①甲-乙-丙-甲；②甲-乙-丁-甲；③甲-丙-丁-甲；④甲-丙-乙-甲；⑤甲-丁-丙-甲；⑥甲-丁-乙-甲. 其概率为， 所以球在A队成员手中的概率为. 由C可知，传球次后，球在A队成员手中的概率为，在B队成员手中的概率为， 所以，整理得， 所以是公比为的等比数列. 当时，，整理得，D正确； 对于A：由时，球在乙手中的概率为，结合C可知球在甲手中的概率为，故两个概率不相等，A错误. 故选：BCD. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高二数学下学期常考题型归纳 【专项练习05：条件概率与贝叶斯公式】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：条件概率的计算】 1．(25-26·江苏南京外国语学校·期中)2026年秦淮区南部新城灯会于春节期间盛大开幕，本届灯会规模宏大，首次实现“水上、岸上、空中”三维立体赏灯格局，尽显金陵文化的独特魅力．灯会共开设了三处核心赏灯区，分别是夫子庙核心展区、老门东传统灯区、机场跑道无人机灯区．甲、乙、丙、丁四人相约去赏灯，每个赏灯区至少有1人，每人只游览一个赏灯区．在甲游览机场跑道无人机灯区的条件下，甲与乙不到同一赏灯区的概率为（） A． B． C． D． 2．(25-26高二·福建福州第三中学·期中)某同学喜爱球类和游泳运动.暑假期间，该同学上午去打球的概率为.若该同学上午不去打球，则下午一定去游泳；若上午去打球，则下午去游泳的概率为.已知该同学在某天下午去游了泳，则上午打球的概率为（    ） A． B． C． D． 3．(25-26高二下·广东实验中学·)从6名男生和4名女生中选出3人参加人工智能技能培训．在至少抽到一名女生的情况下，恰好抽到一名男生的概率为___________． 4．(25-26高二·海南中学·期中)海南的中学生中有的同学爱好排球，的同学爱好足球，的同学爱好排球或爱好足球.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好足球，则该同学也爱好排球的概率为（    ） A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4 5．(25-26高二下·河北衡水第二中学·期中)鲁班锁是中国古代传统智力玩具，又称“孔明锁”，蕴含深厚的数学几何与组合逻辑，其拼接部件的搭配蕴含概率思想.现有一副经典鲁班锁，由8个拼接部件组成，分为三种类型：4个长部件､2个中部件､2个短部件，所有部件除尺寸外完全相同.现从这8个部件中随机抽取2个（不放回抽取），已知抽取的2个部件中至少有1个长部件，则这2个部件均为长部件的概率为（    ） A． B． C． D． 【题型2：条件概率的性质】 6．(25-26高二下·安徽滁州中学·期中)（多选）在一个有限样本空间中，，且与相互独立，与互斥，则（    ） A． B． C． D．若，则与互斥 7．(25-26高二下·广西南宁沛鸿民族中学·期中)对于事件，，，，，（    ） A． B． C． D． 8．(25-26高二·浙江温州新力量联盟期中联考·期中)（多选）设A，是一个随机试验中的两个事件，且，则（   ） A． B．事件A，B为独立事件 C． D． 9．(25-26高二下·山东济南·期中)已知随机事件、，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 10．(25-26高二·浙江七校联盟·期中)（多选）若、分别为随机事件、的对立事件，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则独立 D． 【题型3：全概率公式的应用】 11．(25-26·江苏南京外国语学校·期中)甲盒装有1个白球和2个黑球，乙盒装有3个白球和2个黑球，丙盒装有4个白球和1个黑球．采取掷骰子决定选盒，出现1，2或3点选甲盒，4，5点选乙盒，6点选丙盒．在选出的盒子中随机摸一球，经过秘密选盒摸球后，宣布摸得1个白球，则此球来自乙盒的概率是___________． 12．(25-26高二下·湖南邵阳邵阳县第二高级中学·期中)甲和乙两个箱子中各装有个球，其中甲箱中有个红球、个白球，乙箱中有个红球、个白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为或，从甲箱子中随机摸出个球；否则，从乙箱子中随机摸出个球.求摸到红球的概率（    ） A． B． C． D． 13．(25-26高二·上海建平中学·期中)一个盒子中有4个LABUBU玩偶，3个MOKOKO玩偶.甲每次从盒子中摸取一个玩偶，若甲摸到的玩偶是LABUBU，则不放回盒中；若甲摸到的玩偶是MOKOKO，则放回盒中.甲第二次摸到的玩偶是LABUBU的概率为_________. 14．(25-26高二·江苏徐州铜山区·期中)篮球作为三大球类运动之一，深受大众喜爱.据统计，某企业两个部门中喜欢篮球运动的员工分别占本部门总人数的，且这两个部门的员工人数之比为，现从这两个部门中随机抽取一位员工，则该员工喜欢篮球的概率为（    ） A．0.37 B．0.46 C．0.54 D．0.75 15．(25-26高二·广东东莞第一中学·期中)某知识过关题库中有，，三种难度的题目，数量分别为300，200，100.已知小明做对，，型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为__________ 【题型4：贝叶斯公式的应用】 16．(25-26高二下·广东广州培英中学·期中)甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球． (1)从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率； (2)掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，则从甲箱随机抽出1个球；如果点数大于等于5，则从乙箱中随机抽出1个球， （i）求抽到的是红球的概率； （ii）若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率． 17．(25-26高二·江苏南京金陵中学·期中)（多选）已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“先从甲箱中取出2个球中恰有个红球”为事件（），“从乙箱中取出1个球是黑球”为事件，则（   ） A． B． C． D． 18．(25-26高二·山东济宁第一中学等校·)某潮玩店推出了“数学家盲盒”，分为典藏盒和经典盒两种：典藏盒中有6个玩偶，其中2个隐藏款，4个常规款；经典盒中有8个玩偶，其中1个隐藏款，7个常规款．已知店里进货时，典藏盒占总量的，经典盒占总量的． (1)若随机挑选一个盒子，顾客从中任取2个玩偶，求恰好抽到1个隐藏款的概率； (2)顾客随机购买两个盲盒，从每个盒子中各抽取1个玩偶． （i）求恰好买到一个典藏盒、一个经典盒，且抽取的两个玩偶中只有1个隐藏款的概率； （ii）如果顾客抽取的两个玩偶中只有1个隐藏款，求他购买的是一个典藏盒、一个经典盒的概率． 19．(25-26高二·安徽淮南第二中学等校·期中)（多选）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，只有主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，下列结论正确的是（    ）. A． B．主持人打开3号箱的概率 C．若，且甲更改选择，则他获奖的概率为 D．若，甲改选2号箱比改选4号箱的中奖概率更大 20．(25-26高二·江苏锡东高级中学·期中)（多选）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）、先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件.下列结论正确的是（   ） A．事件与相互独立 B． C． D． 【题型5：条件概率的证明题型】 21．(25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔普高联谊校·期中)作为江苏省内最高规格的业余足球赛事，苏超联赛自2025年5月开赛以来，凭借“十三太保”城市对抗的独特赛制引发全民热议.为了解观看某场苏超联赛与性别是否有关系，某机构在全市随机抽取了500名居民，其中男性居民与女性居民的人数比为，在抽取的男性居民中，有的人观看了这场苏超联赛，在抽取的女性居民中，有100人没有观看这场苏超联赛. (1)用频率估计概率，样本估计总体，从全市居民中随机抽取1人，试估计此人观看了这场苏超联赛的概率； (2)现定义：，其中是随机事件，从这500人中任选1人，表示“居民观看了这场苏超联赛”，表示“居民是女性”，设观看这场苏超联赛与性别的相关程度的一项度量指标，请利用样本数据求出的值； (3)用频率估计概率，在样本中，按性别比例用分层随机抽样的方法抽取5名居民，若再从这5名居民中随机抽取2人进行访谈，设这2名被访谈的居民中恰有名是观看了这场苏超联赛的男性居民的概率为，求的值. 22．一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回． (1)求第2次摸到红球的概率； (2)设第1，2，3次都摸到红球的概率为，第1次摸到红球的概率为，在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为，在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为，求，，，； (3)对于事件，试根据（2）写出，，，的等量关系式，并加以证明． 23．(24-25高二下·山东青岛·期中)春季是万物复苏的季节，也是流感病毒活跃的高发期．已知在甲，乙，丙三个地区暴发了流感，这三个地区分别有的人患了流感．假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人． (1)求这个人患流感的概率； (2)设是一组两两互斥的事件，，且，对任意的事件，证明：； (3)若此人患流感，则他来自于哪个地区的可能性最小． 24．(24-25高二下·安徽智学大联考皖中名校联盟合肥八中·期中)（1）甲、乙、丙三人各自独立投篮，甲和丙都投中的概率是，甲投中而丙未投中的概率是，乙投中而丙未投中的概率是.请问三人中哪一位投篮水平较高？并说明理由； （2）（i）对于事件，，，当时，求证：； （ii）若某同学做如下摸球试验：一个袋子中有10个大小完全相同的小球，其中黑球7个，白球3个，每次从袋子中随机摸出1个球，且摸出的球不再放回.若该同学摸球三次，求三次都摸到白球的概率. 25．有个编号分别是的不透明的罐子里装有除颜色外完全相同的糖果.第1个罐子中装有3颗红色糖果和2颗绿色糖果，其余罐子中都装有2颗红色糖果和2颗绿色糖果.现先从第1个罐子中随机取出一颗糖果放入第2个罐子，再从第2个罐子中随机取出一颗糖果放入第3个罐子，依此类推，直至从第个罐子中随机取出一颗糖果.设事件表示从第个罐子中取出红色糖果，记事件发生的概率为. (1)求的值； (2)求的值，并证明：当时，； (3)求（用含的式子表达）. 【题型6：全概率公式与数列递推】 26．(25-26高二下·福建三明第一中学·月考)某中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目.已知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼.请完成下列计算： (1)求甲第2天选择羽毛球的概率； (2)求在甲第2天选择羽毛球的条件下，甲第1天选择篮球的概率； (3)记甲第天选择羽毛球的概率为，请写出与的关系. 27．（多选）某商场为了吸引顾客前来消费，开展抽奖活动，规定消费每满100元即可获得一次抽奖机会．已知顾客第一次抽奖的中奖概率为，从第二次抽奖开始，若前一次没有中奖，则这次抽奖的中奖概率为，若前一次中奖，则这次抽奖的中奖概率为．记顾客第次抽奖的中奖概率为，则（    ） A． B．某顾客消费200元，则其中奖概率为 C．的最大值为 D．当时，越大，越小 28．(25-26高二上·湖南师范大学附属中学·期末)某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登录，每次消费都有一次随机摸球的机会．已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为.记该顾客第n次摸球抽中奖品的概率为，则的值为__________、该顾客第__________次摸球抽中奖品的概率最大． 29．(25-26高三上·湖北荆州中学·月考)某答题挑战赛规则如下：比赛按轮依次进行，只有答完一轮才能进入下一轮，若连续两轮均答错，则挑战终止；每一轮系统随机地派出一道通识题或专识题，派出通识题的概率为，派出专识题的概率为.已知某选手答对通识题与专识题的概率分别为，且各轮答题正确与否相互独立. (1)求该选手在一轮答题中答对题目的概率； (2)记该选手在第轮答题结束时挑战依然未终止的概率为， （i）求； （ii）是否存在实数，使得数列为等比数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 30．（多选）现有甲、乙、丙、丁四人组队传球，其中甲、乙为队，丙、丁为队．已知甲、乙传给队友的概率为，丙、丁传给队友的概率为，且任一传球者会等可能地传球给非队友成员．现从甲开始传球，设传球次数为（且），则（    ） A．传球次后，球在甲手中的概率和球在乙手中的概率始终相等 B．时，球在乙手中的概率为 C．传球次后，球在队成员手中的概率恒为一个常数 D．设球在乙手中的概率为，则 1 学科网（北京）股份有限公司 $