精品解析：山西吕梁市方山县高级中学2025-2026学年高二第二学期期中考试数学试题

山西吕梁市方山县高级中学2025-2026学年高二第二学期期中考试数学试题 总分150分 时间（2小时） 命题人 薛梅 审题人 赵卫红 一、选择题，本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 对变量x，y由观测数据得散点图1；对变量y，z由观测数据得散点图2．由这两个散点图可以判断（ ）． A. 变量x与y正相关，x与z正相关 B. 变量x与y正相关，x与z负相关 C. 变量x与y负相关，x与z正相关 D. 变量x与y负相关，x与z负相关 【答案】D 【解析】 【分析】利用散点图判断. 【详解】解：由散点图知：变量x与y负相关，y与z正相关， 所以x与z负相关． 故选：D． 2. 若随机变量，，则（ ） A. 0.15 B. 0.3 C. 0.35 D. 0.7 【答案】A 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性，可知，即可得解. 【详解】由随机变量，， 可知， 故选：A 3. 已知随机变量，若，且，则（ ） A. B. C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项分布的方差公式及方差的性质求解. 【详解】因为， 所以，即，解得， 所以， 又，所以. 故选：C 4. 展开式中的系数为（ ） A. B. C. 30 D. 90 【答案】D 【解析】 【分析】由，写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】因为， 其中展开式的通项为，， 所以展开式中含的项为， 所以展开式中的系数为. 故选：D 5. （ ） A. 24 B. 60 C. 48 D. 72 【答案】A 【解析】 【分析】根据组合数以及排列数的计算即可求解. 【详解】, 故选：A 6. 从装有3个黑球和3个白球（大小、形状相同）的盒子中随机摸出3个球，用X表示摸出的黑球个数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合组合、古典概型的概念以及互斥事件概率加法公式即可求解. 【详解】根据条件，摸出2个黑球的概率为，摸出3个黑球的概率为，故P(X≥2)＝＋＝.故选：C. 7. 一口袋中有除颜色外完全相同的4个红球和2个白球，则下列结论不正确的是（ ） A. 从中任取3球，恰有一个白球的概率是 B. 从中有放回地取球6次，每次任取一球，恰好有两个白球的概率为 C. 从中不放回地取球2次，每次任取1球，若第一次已取到了红球，则第二次再次取到红球的概率为 D. 从中有放回地取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为 【答案】C 【解析】 【分析】根据古典概型公式即可判断A；根据二项分布即可判断B；根据条件概率即可判断C；利用二项分布概率公式计算可判断D. 【详解】对选项A，从中任取3球，恰有一个白球的概率是，故A正确； 对选项B，从中有放回的取球6次，每次任取一球， 则取到白球的个数， 故恰好有两个白球的概率为，故B正确； 对选项C，从中不放回的取球2次，每次任取1球，记A为“第一次取到红球”， B为“第二次取到红球”，则所求概率为，故C错误； 对选项D，从中有放回的取球3次，每次任取一球，则取到红球的个数， 至少有一次取到红球的概率为，故D正确. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用条件概率计算即可. 【详解】，则. 故选:C. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由通项公式可判断B，由特值法可判断ACD 【详解】令得，，故A正确； 因为的通项为，所以，故B正确； 令，则， 又，所以，故C错误； 令，则，故D正确； 故选：ABD 10. 甲箱中有个红球和个白球，乙箱中有个红球和个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据条件概率的概率公式及全概率的概率公式计算可得. 【详解】依题意可得，，，， 所以，故A正确、B正确、C错误； ，故D正确. 故选：ABD 11. 某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（ ） A. 若任意选择三门课程，选法总数为 B. 若物理和化学至少选一门，选法总数为 C. 若物理和历史不能同时选，选法总数为－ D. 若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用组合的概念进行计算即可判断A；分类讨论物理和化学只选一门，物理化学都选然后进行计算判断B；利用间接法进行分析判断即可判断C，将问题分三类讨论：只选物理，只选化学，同时选物理和化学，由此进行计算和判断D. 【详解】解：由题意得： 对于选项A：若任意选择三门课程，选法总数为，A错误； 对于选项B：若物理和化学选一门，有种方法，其余两门从剩余的五门中选，有种选法； 若物理和化学选两门，有种选法，剩下一门从剩余的五门中选，有种选法，所以总数为，故B错误； 对于选项C：若物理和历史不能同时选，选法总数为，故C正确； 对于选项D：有3种情况：①选物理，不选化学，有种选法； ②选化学，不选物理，有种选法； ③物理与化学都选，有种选法. 故总数，故D错误. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为________. 【答案】 【解析】 【详解】的展开式的通项公式为， 令，故的系数为. 13. 某工厂从甲、乙两个分厂定制配件．其中甲厂获得40%的订单，次品率为9%；乙厂获得60%的订单，次品率为4%．那么这批配件的次品率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意利用全概率公式求解即可. 【详解】设事件表示甲厂中的配件，则， 事件表示乙厂中的配件，则， 事件表示次品的配件，则，， 故答案为：. 14. 从甲､乙､丙3名同学中选出2人担任正､副班长两个职位，共有n种方法，则的展开式中的常数项为___________.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】先由题意求出，然后求出二项式展开式的通项公式，令的次数为零，求出的值，从而可求出展开式中的常数项 【详解】因从甲､乙､丙3名同学中选出2人担任正､副班长两个职位，共有n种方法， 所以， 所以二项式展开式的通项公式为 ， 令，得， 所以二项式展开式的常数项为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 电影《夺冠》讲述了中国女排姑娘们顽强拼搏、为国争光的励志故事，现有4名男生和3名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起． （1）女生必须坐在一起的坐法有多少种？ （2）女生互不相邻的坐法有多少种？ （3）甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)采用捆绑法即可求解； (2)采用插空法即可求解； (3)先排甲、乙、丙以外的其他4人，再把甲、乙排好，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空挡中即可； 【小问1详解】 先将3个女生排在一起，有种排法，将排好的女生视为一个整体，与4个男生进行排列，共有种排法，由分步乘法计数原理，共有(种)排法； 【小问2详解】 先将4个男生排好，有种排法，再在这4个男生之间及两头的5个空挡中插入3个女生有种方法，故符合条件的排法共有(种)； 【小问3详解】 先排甲、乙、丙以外的其他4人，有种排法，由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有种排法，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空挡中有种排法，故符合条件的排法共有(种)； 16. 假设有两箱零件，第一箱内装有10件，其中有2件次品；第二箱内装有20件，其中有3件次品．现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件． （1）求取出的零件是次品的概率； （2）已知取出的是次品，求它是从第一箱取出的概率． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用互斥事件的概率公式求取出的零件是次品的概率； （2）利用条件概率求取出的是次品，求它是从第一箱取出的概率. 【详解】（1）取出的零件是次品的概率为； （2）设取出的是次品的事件为,此次品是从第一箱取出的事件为, 则,, 所以已知取出的是次品，求它是从第一箱取出的概率为. 17. 五月初，某中学举行了“庆祝劳动光荣，共绘五一华章”主题征文活动，旨在通过文字的力量，展现劳动者的风采，传递劳动之美，弘扬劳动精神．征文筛选由A、B、C三名老师负责．首先由A、B两位老师对征文进行初审，若两位老师均审核通过，则征文通过筛选；若均审核不通过，则征文落选；若只有一名老师审核通过，则由老师C进行复审，复审合格才能通过筛选．已知每篇征文通过A、B、C三位老师审核的概率分别为，且各老师的审核互不影响． （1）已知某篇征文通过筛选，求它经过了复审的概率； （2）从投稿的征文中抽出4篇，设其中通过筛选的篇数为X，求X的分布列和数学期望． 【答案】（1）； （2） X 0 1 2 3 4 . 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式求出征文通过筛选概率，再利用条件概率公式计算得解. （2）求出的可能取值，利用二项分布求出求出分布列及期望. 【小问1详解】 设事件老师审核通过，事件老师审核通过，事件老师审核通过， 事件征文通过筛选，事件征文经过复审，则， ， ，因此， 所以它经过了复审的概率为. 【小问2详解】 依题意，可能取值为，显然， 则 ，， 所以的分布列如下： X 0 1 2 3 4 数学期望为. 18. 已知展开式前三项的二项式系数和为22． （1）求值； （2）求展开式中的常数项； （3）求展开式中二项式系数最大的项． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】1利用公式展开得前三项，二项式系数和为22，即可求出n． 2利用通项公式求解展开式中的常数项即可． 3利用通项公式求展开式中二项式系数最大的项． 【详解】解：由题意，展开式前三项的二项式系数和为22． 1二项式定理展开：前三项二项式系数为：， 解得：或舍去． 即n的值为6． 2由通项公式， 令， 可得：． 展开式中常数项为； 偶数，展开式共有7项则第四项最大 展开式中二项式系数最大的项为． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，通项公式的有关计算，属于基础题． 19. 台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入、该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示：令，数据经过初步处理得： 44 4.8 10 40.3 1.612 19.5 8.06 现有①和②两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数. （1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好? （2）根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少? （3）该公司生产的电动车毛利润为每辆200元（不含广告费、研发经费）.该公司在加大广告投入的同时也加大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的199倍.电动车的年净利润受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量影响，设随机变量服从正态分布，且满足.在（2）的条件下，求该公司年净利润的最大值大于1000（百万元）的概率.（年净利润=毛利润×年销售量-年广告费-年研发经费-随机变量）. 附：①相关系数， 回归直线中公式分别为，； ②参考数据：，，，. 【答案】（1）模型②的拟合程度更好 （2），当年广告费为6（百万元）时，产品的销售量大概是13（百万辆） （3）0.3 【解析】 【分析】（1）分别求得模型①和②的相关系数，，然后比较得出结论； （2）利用最小二乘法求解； （3）由净利润为，求解. 【小问1详解】 解：设模型①和②的相关系数分别为，. 由题意可得：， . 所以，由相关系数的相关性质可得，模型②的拟合程度更好. 【小问2详解】 因为， 又由，， 得， 所以，即回归方程为. 当时，， 因此当年广告费为6（百万元）时，产品的销售量大概是13（百万辆）. 【小问3详解】 净利润为，， 令， 所以. 可得在上为增函数，在上为减函数. 所以， 由题意得：，即， ， 即该公司年净利润大于1000（百万元）的概率为0.3. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西吕梁市方山县高级中学2025-2026学年高二第二学期期中考试数学试题 总分150分 时间（2小时） 命题人 薛梅 审题人 赵卫红 一、选择题，本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 对变量x，y由观测数据得散点图1；对变量y，z由观测数据得散点图2．由这两个散点图可以判断（ ）． A. 变量x与y正相关，x与z正相关 B. 变量x与y正相关，x与z负相关 C. 变量x与y负相关，x与z正相关 D. 变量x与y负相关，x与z负相关 2. 若随机变量，，则（ ） A. 0.15 B. 0.3 C. 0.35 D. 0.7 3. 已知随机变量，若，且，则（ ） A. B. C. 5 D. 6 4. 展开式中的系数为（ ） A. B. C. 30 D. 90 5. （ ） A. 24 B. 60 C. 48 D. 72 6. 从装有3个黑球和3个白球（大小、形状相同）的盒子中随机摸出3个球，用X表示摸出的黑球个数，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 一口袋中有除颜色外完全相同的4个红球和2个白球，则下列结论不正确的是（ ） A. 从中任取3球，恰有一个白球的概率是 B. 从中有放回地取球6次，每次任取一球，恰好有两个白球的概率为 C. 从中不放回地取球2次，每次任取1球，若第一次已取到了红球，则第二次再次取到红球的概率为 D. 从中有放回地取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 甲箱中有个红球和个白球，乙箱中有个红球和个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（ ） A. B. C. D. 11. 某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（ ） A. 若任意选择三门课程，选法总数为 B. 若物理和化学至少选一门，选法总数为 C. 若物理和历史不能同时选，选法总数为－ D. 若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为________. 13. 某工厂从甲、乙两个分厂定制配件．其中甲厂获得40%的订单，次品率为9%；乙厂获得60%的订单，次品率为4%．那么这批配件的次品率为_________． 14. 从甲､乙､丙3名同学中选出2人担任正､副班长两个职位，共有n种方法，则的展开式中的常数项为___________.（用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 电影《夺冠》讲述了中国女排姑娘们顽强拼搏、为国争光的励志故事，现有4名男生和3名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起． （1）女生必须坐在一起的坐法有多少种？ （2）女生互不相邻的坐法有多少种？ （3）甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？ 16. 假设有两箱零件，第一箱内装有10件，其中有2件次品；第二箱内装有20件，其中有3件次品．现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件． （1）求取出的零件是次品的概率； （2）已知取出的是次品，求它是从第一箱取出的概率． 17. 五月初，某中学举行了“庆祝劳动光荣，共绘五一华章”主题征文活动，旨在通过文字的力量，展现劳动者的风采，传递劳动之美，弘扬劳动精神．征文筛选由A、B、C三名老师负责．首先由A、B两位老师对征文进行初审，若两位老师均审核通过，则征文通过筛选；若均审核不通过，则征文落选；若只有一名老师审核通过，则由老师C进行复审，复审合格才能通过筛选．已知每篇征文通过A、B、C三位老师审核的概率分别为，且各老师的审核互不影响． （1）已知某篇征文通过筛选，求它经过了复审的概率； （2）从投稿的征文中抽出4篇，设其中通过筛选的篇数为X，求X的分布列和数学期望． 18. 已知展开式前三项的二项式系数和为22． （1）求的值； （2）求展开式中的常数项； （3）求展开式中二项式系数最大的项． 19. 台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入、该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示：令，数据经过初步处理得： 44 4.8 10 40.3 1.612 19.5 8.06 现有①和②两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数. （1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好? （2）根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少? （3）该公司生产的电动车毛利润为每辆200元（不含广告费、研发经费）.该公司在加大广告投入的同时也加大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的199倍.电动车的年净利润受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量影响，设随机变量服从正态分布，且满足.在（2）的条件下，求该公司年净利润的最大值大于1000（百万元）的概率.（年净利润=毛利润×年销售量-年广告费-年研发经费-随机变量）. 附：①相关系数， 回归直线中公式分别为，； ②参考数据：，，，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $