专题09 动点问题与几何探究（2大考点）（吉林专用）2026年中考数学一模分类汇编

命学科网 专题09 考点01 动点问题 【详解】(1)解：根据题意可知CP=2t, 点Q是CP的中点， ∴.CQ=PQ=t, ∴.PN=2P0=21; 矩形PQMN中，MQ=PN=2t; (2)解：如图，当点N在边AB上时， .PN⊥BC ∴.∠C=∠BPN=90° ∠B=∠B, ∴.△BNPm△BAC, 袋贺 即2头-8-24 88’ 解得t=2; M N C P B (3)解：当0<t≤2时，S=t2t=22; 当点M在AB上时，可知△BMQ∽△BAC, Mo_Bo AC BC 即 t_8-t 88 解得t=8 · www.zxxk.com 让教与学更高效 动点问题与几何探究 31/31 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M D 当4， B 根据题意，得PD=PB=8-2t,EQ=BQ=8-t,QP=t, s-PD+0-0r-8-2a+8-0=多+8 M E D P B 【详解】(1)解：由题意得：当点P在AB上时，AP=2t; (2)解：由题意可分：①当点P在AB上时，即0≤t≤3，过点Q作QD⊥AB,如图所示： D ,ABC是等边三角形，AB=6, ∴.BC=AC=AB=6,∠B=∠C=60°， ∴.∠BQD=30°， 由题意可知：AP=BQ=21, BD-B0D-BD- a5-号4P-D0=, ②当点P在线段BC上时，此时点Q在线段AC上，即3<t≤6，过点P作PE⊥AC,如图所示： 30/31 命学科网 www.zxxk.com B OE C .CP=AB+BC -21=12-21,AO=AC+BC-2t=12-2t, 同理可得PE= 2CP=65-5t, 2 s40pE=5r-125+365, V3t2,(0≤t≤3 综上所述：S关于t的函数解析式为S= √3t2-125t+36V5,(3 3. 【详解】(1)解：由题意可得，BP=22t, ,在ABC中，∠C=90°，AC=BC=4, ∴.∠A=∠B=45°， ,PD⊥BC, .△PDB是等腰直角三角形， :PD=BD.PD2+BD'=PB2=(22, ∴.PD=2t, ,将线段PD绕点P顺时针旋转90°得到线段PE, ∴.PE=PD=2t; (2)解：如图，当点E落在AC边上时， D B 由(1)得，PE=BD=PD=2t, 由旋转得，∠EPD=∠PDB=90°， .EP∥DB, ,∠ACB=90°， 31/31 让教与学更高效 t≤6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠AEP=90°， ∴△AEP是等腰直角三角形， .'AE=PE=2t,AE2+PE2=AP2, ,∠C=90°，AC=BC=4, .AB=4V2, .AP=AB-PB=42-2√2t， ∴(22+(22=(42-22°， 解得t=1； (3)解：由(2)可知，当点E落在AC边上时，t=1, ∴.当0<t≤1时，如图，△DPE与ABC重叠部分图形的面积就是△DPE的面积， A E、 D B ,PE=PD=2t,∠EPD=90°， i.S-S.m-PDPE-x21x21-2: 2 2 当点P与点A重合时，22t=4√2， 解得t=2, .当1<t<2时，如图，△DPE与ABC重叠部分图形的面积就是四边形DPFG的面积， A D ,EP∥DB,EP=DB, ∴.四边形EPBD是平行四边形， .ED∥AB, .∠EDC=∠B=45°， ,∠ACB=90°， ∴.△CDG是等腰直角三角形， 30/31 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..CG=CD BC-BD=4-2t, ∴△AFP是等腰直角三角形， .AF=PF,AF2+PF2=AP2 =(42-22), .AF=4-2t, ∴.FG=AC-AF-GC=4-4-2t)-(4-2)=4t-4, .S=S四边形FGDP= G+0PP--4+24-2刘=6r+16-8: 2t(0<t≤1) 综上所述，S与t的函数关系式为S= -6t2+16t-81<t<2) 【详解】(1)解：AD⊥BC, .BD=AB2-AD2 =52-42 =3cm, ∴.CD=BC-BD=5-3=2cm, .AC=AD2+CD2=42+22=25cm, (2)解：当0<t<1时， 由题意得：PB=5tcm, .PO l AD 岩船 5t PO PO =4tcm, 当1<t<3时， R DO 由题意得：PA=V5(t-1)cm, 31/31 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :.PC=AC-PA=[2V5-5(t-1)cm, .POll AD, ..Pe_Pc AD AC :P_25-5-1 4 2V5 ∴.P2=6-2tcm, 综上，PQ的长为4tcm或(6-2t)cm; (3)解：当点P在BA上且点R在AC上时，如图， Q 由（2)知：PQ=4tcm,PB=5tcm ∴.PA=AB-PB=(5-5t)cm .PO=PR, .PR =4tcm, .PQ⊥BC,PR⊥PQ .PRI BC, 小是指 4t5-5t ”55 5 2.t=g' 些子<，△POR与A4BC重香部分的图形是四边除 当点P在AC上且点R在线段AB上时，如图 30/31 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 R DO C 由(2)知：PQ=(6-2t)cm,PA=V5(t-1）cm, ..PO=PR, .PR=(6-2t)cm, PQ⊥BC,PR⊥PQ, .PRIBC .PR AP BC AC 6-21=5(t-1) 525 解得：t= 17 9 当1<1<时，△POR与A8C重叠部分的图形是四形 家上，当aPOR与△ABC重叠部分的图形是四边形附，1的取值范围为。1<1或1<1<1☑ 9 （4)解：当R与BC的边B或BC垂直时，的值为秒或 秒或秒， 7 理由：当点P在BA上且点R在AD上时，AR⊥BC,如图 R Q 由(2)知：PQ=4tcm,PB=5tcm, .PA=AB-PB=(5-5tcm .PO=PR, 31/31 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .PR =4tcm, PQ⊥BC,PR⊥PQ .PR BC .PR AP …BDAB' 4t5-5t 3 .1=7 当点P在BA上且AR⊥AB时，如图 B 由（2)知：PQ=4tcm,PB=5tcm, .'PA=AB-PB=(5-5t cm, .PO=PR, .'PR=4tcm, ,∠RPQ=90°， .LAPR+LBPQ=90°， PQ⊥BC, .LBPQ+LB=90°， .∠APR=∠B, .∠PAR=∠PQB=90°， ∴.△PARn△BQP, AP PR 六BOPB' 5-5、4 3t 5t 25 解得：t= 37 当点P在AC上且点R在线段AD上时，如图 30/31 学科网 www.zxxk.com 让 D OC 由(2)知：PQ=(6-2tcm,PA=V5(t-1cm, .PO PR, ∴.PR=6-2tcm, PQ⊥BC,PR⊥PQ, .'PRIBC 器光 6-2=5(t-1) 22W5 解得：i3 7 5. 【详解】(1)解：在Rt△ABC中，BC=6,AB=8, 故AC=VAB2+BC2=V82+62=10, D为边AC的中点， :CD=4c=5个 当0<1<3时，此时点Q在BC边上运动， 则BQ=2t, 故CQ=BC-BQ=6-2t; 当3<t<5.5时，此时点Q在CD上运动， 则BC+CQ=2t, 故C0=2t-6; 综上所述：C2长为6-2t(0<t<3)或2t-6(3<t<5.5) (2)点Q在BC边上运动时（不含B、C),此时0<1<3， 31/31 致与学更高效 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BO=2t,CO=BC-BO=6-2t; ,四边形PMQN是平行四边形， .MQ∥AB, 故△CMQP△CAB, .Me_co ·ABCB 即4№-6-21 8 6 Mg=-1+89 故S=MQ·QB= 8+8-2=-16+16, 、 1 SAABC= AB.BC=1x8x6-24: 根据题意可得3 162+161 24 2 解得= 3 骏当时，5：5。c=1:2。 (3)①当0<t<3时，连接BD、PQ,交于点O,如图： C M 0 ,BD将PMON分成面积相等的两部分，PQ是oPMON的对角线， .BD经过平行四边形PMQN的中心， .P0=00, 又，∠PBQ=90°， .B0=P0, ∴.∠OPB=∠OBP. ,D为边AC的中点，∠ABC=90°， .'BD DA, ∴.∠A=∠OBA, 30/31 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠0PB=∠A, .PQ∥AC, BP BO BA BC 根据题意可得，BP=AB-AP=8-1,BQ=2t, 放8-121 86 24 解得t= 11 ②当3<t<5.5时，连接BD、MN,交于点O,如图， C D B .四边形PMQN是平行四边形， ∴.MQ∥PN,MQ=PN, 故ACMOACBA, Mo_co AB CB ..oco cM AB CA CB ,C0=2t-6,AB=8,CA=10,BC=6, 故9M-21-6CM 8 10 6 ·.OM=s4,CM=6t-18 5 即WP=8t-24 NB=NP+PB=NP+4B-4P=81-24 +8-t, 5 BM=BC-CM=6-6-18 ,BD将PMON分成面积相等的两部分，MN是oPMON的对角线， ∴.BD经过平行四边形PMQN的中心， ∴.0N=0M, 又∠PBQ=90°， 31/31 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .B0=N0, ∴.∠ONB=∠OBA. ,D为边AC的中点，∠ABC=90°， .BD =DA, .∠A=∠0BA, .∠ONB=∠A, .MN∥AC, NB_BM AB BC 8t-2 故5 +8-t6-61-18 5 8 6 解得1=48 1 综上所述，满足条件的1的值为24马 1111 6. 【详解】解：(1)如图1所示：作CG⊥AB于G点. H B(D) E 图1 在Rt△ABC中，由AC-6,∠ABC-30,得：BC=,AC =6√3.在Rt△BCG中，BG=BC·cos30°=9.四边 tan30° 形CGEH是矩形，CH=GE=BG+BE=9+6=15cm,故答案为15； (2)①当0x<6时，如图2所示. C D BE 图2 ∠GDB=60,∠GBD=30,DBX,得：DG=1 2*,BG-3 ,重叠部分的面积为y=;DGBG=;×x 22 30/31 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 9 8 ②当6≤x<12时，如图3所示. CG H AD E B 图3 BD-x,DG-1 七，BG=3 ,BE-X·6,EH=V (K-6).重叠部分的面积为y=SB06-SBEH=DGBG 2 3 BE.EH, 1 即y2 2x-6)x 2 5-6化简，得，=8+25-65 24 ③当12<x≤15时，如图4所示. ◇ G DA E B 图4 AC6,BC-65,BDX,证-（x-6.E0-5(e-0:重毫部分的丽烈为y-5c-S号ACBC-月 BEE0,y×6x66-x-6x5-6,化简，得y=18w5--12r+30-5+25x+125 3 6 6 P x2(0≤x<6) 综上所述： y= 24 2+23x-6V3(6≤x<12); x2+23x+12V312≤x≤15) 6 (3)如图5所示作NG⊥DE于G点. D G B 图5 31/31 西学科网 www.zxxk.com 点M在NG上时NMN最短，NG是△DEF的中位线，NG-)EF MB-CB35,∠B=30,MG-号MB-3N3 MN最小=35-3V3=3V5 2 考点02 几何探究 【详解】(1)证明：，矩形ABCD, .∠B=∠D=90°，AB=CD, 又，BE=DG, ∴.△ABE≌CDG(SAS); (2)解：①，折叠， ∴.EF=BE,∠BAE=∠FAE,∠AFE=∠B=90°，AF=AB, DG=GH,∠DCG=∠HCG,∠CHG=∠D=90°，CD=CH, .BE =DG, ∴.EF=GH, .矩形ABCD, .AD=BC,AB=CD,∠BAD=∠BCD=90°， .AF CH,AD-DG=BC-BE,CE=AG, 由(1)知△ABE≌△CDG(SAS), .∠BAE=∠DCG, .∠BAF=LDCH, .∠BAD-∠BAF=∠DCB-∠DCH,即∠ECH=∠GAF, ∴.△AFG≌aCHE(SAS), .FG=HE, 又，EF=GH, ∴.四边形EFGH为平行四边形； ②当点F在边AD上时， .∠AFE=90°， 30/31 让教与学更高效 3V5. 命学科网 www.zxxk.com ∴.∠EFG=180°-∠AFE=90°， 由①知：四边形EFGH为平行四边形， .四边形EFGH为矩形； (3)解：①当点F恰好落在边AD上时，此时四边形EFGH为矩形 图形即为四边形EFGH是轴对称图形， F G B 折叠， .∠BAE=∠FAE=∠BAF=45°， ∴△ABE为等腰直角三角形， .BE=AB=2; ②当EF交AD于点M,HG交BC于点N时， A M E 四边形EFGH为平行四边形， ∴.EF∥HG, AD∥BC, .四边形EMGN为平行四边形， ∴.当四边形EMGN为菱形时，四边形EFGH与矩形ABCD重叠部分 折叠， ∴.∠AEB=∠FEA,∠AFE=∠B=90°，EF=BE,AB=AF=2, ,AD∥BC, .∠MAE=∠BEA, ∴.∠MAE=∠MEA, ∴.AM=ME, 31/31 让教与学更高效 四边形EFGH与矩形ABCD重叠部分 为轴对称图形， 命学科网 www.zxxk.com 四边形EMGN为菱形， .EM =MG, .'AM =MG, 设BE=DG=x,则EF=x, BM=4M=MG=24D-DG)=8-=4- A.FM=EF-ME=x-42x厂2 13 -4, 在Rt△AFM中，由勾股定理， 解得x=2+√2或x=2-√2（舍去)： ∴BE=2+√2； ③当点E与点C重合，点G与点A重合时，如图， (GA M C(E) 由②可知，AN=AM,，四边形EMGN为平行四边形， ∴.四边形ANCM为菱形，符合题意； 此时BE=BC=8; 综上：BE=2或BE=2+√2或BE=8. 8. 【详解】解：问题探究： 证明：如图②，取边BC的中点M,连结QM. ,正方形ABCD, .AB=BC=CD=AD,∠B=∠D, ,M,H分别为边BC、CD的中点， ∴BM=5BC,DH=CD, 2 30/31 致与学更高效 命学科网 www.zxxk.com .DH=BM, AP=AO, .AD-AP=AB-AO,DP=BO, △DHP≌△BMQ(SAS), ∴.HP=MQ 问题解决：如图②，连接MF, H D M G A B ----W 图② ,HP+FQ=MQ+FQ≥MF, .当M、Q、F三点共线时，HP+F?值最小，最小值等于MF, 延长EF、CB相交于N, ,正方形ABCD,正方形AEFG,为边AB的中点，AB=4, .正方形BGFN, .FN=BN=BG=2,∠N=90°， ∴.MN=BM+BN=4 由勾股定理，得MF=√FW2+MN2=V22+42=2√5， .HP+FQ的最小值为25. 拓展提升：在正方形ABCD下方作正方形ABFG,在边BC上取点M, FN=CE,连接MN,如图③， 31/31 让教与学更高效 使CM=CE,在边EF上取点N,使 命学科网 www.zxxk.com E 0 M B G 图③ 由问题探究可知：MQ=EP,QN=EQ, .EP+EQ=MQ+QN≥MN .当M、Q、N三点共线时，EP+EQ最小，最小值等于MN, ,正方形ABCD,正方形ABFG,AB=4,DE=3, .FN=CM=CE=1,BF=AB=4,∠F=90°， ∴.MF=BC+BF-CM=7 由勾股定理得：MN=√FN2+MF2=V1P+72=5√2， ∴.EP+EQ的最小值为5√2 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，两点之间， 正确作出辅助线是解题的关键， 【详解】(1)解：①存在. 理由：AB=BC, AB=BC, LADB=∠CDB, ∴.DB平分圆周角∠ADC, ∴.圆中存在“爪形D”; ②AD+CD=BD. 理由：如图， 30/31 让教与学更高效 线段最短，利用正方形的对称性质， 命学科网 www.zxxk.com D B 图② ,四边形ABCD内接于⊙O,AB=BC .∠A+∠DCB=180°， :∠ECB+∠DCB=180°， LA=∠ECB, CE=AD,AB=BC, △BAD≌△BCE(SAS, .∠E=∠ADB, :∠ADC=120°， LE=LADB=LCDB=60°， △BDE是等边三角形， :DE BD, :AD+CD=CE +CD BD (2)解：AD+CD=√2BD. 理由：如图，延长DC至点E,使得CE=AD,连接BE. D E:∠A+∠DCB=180°，∠ECB+∠DCB= .∠A=∠ECB, ,圆中存在“爪形D”,且AD⊥DC, ∠ADB=∠CDB=∠ADC=45°， :AB=BC, :CE AD, 31/31 让教与学更高效 180°， 而学科网 www.zxxk.com △BAD≌△BCE(SAS), .∠E=∠ADB=∠CDB=45°，BD=BE, ∴.BDE为等腰直角三角形， DE=√2BD, .AD+CD=2BD 10 【详解】(1)证明：：△CBA绕点C顺时针旋转90°得△CDE, :aCBA≌△CDE,∠BCD=90°， AB=DE,∠CDE=∠ABC=90°， :LCDE=∠BCD=90°， :DE BC △EPDn△BPC, EP DE PB BC 又：DE=AB, EP AB PB-BC (2)解：如下图所示，过点E作EM⊥CD于点M, 设正方形的边长为a,则CB=CD=a, 旋转45°后CE=CB=a,∠ECD=45°， .EM-MC= 2 a, .EM BC, △EPMn△BPC, 岭 2; PB BC a 2 F A 0 G M E 30/31 与学更高效 命学科网 www.zxxk.com (3)解：BF=√13AB, 证明：如下图所示，矩形CBAD绕点C顺时针旋转得到矩形CGFE, CA=CF,∠ACF=∠BCG,∠BCD=∠GCE=90°， :点E在AC的延长线上， ∠ACG=180°-∠GCE=180°-90°=90°， :∠BCG=∠ACB+∠ACG=30°+90°=120°， 旋转角为120°， .∠ACF=120°， ∠BCD=90°， .∠ACD=∠BCD-∠ACB=90°-30°=60°， :∠DCF=∠ACF-∠ACD=120°-60°=60°， 即∠ACD=LDCF, AC=FC 在△ACD和△FCD中， ∠ACD=∠FCD, CD=CD .△ACD≌AFCD(SAS), .AD=DF,∠CDF=LCDA=90°， .∠ADC+∠FDC=180°， 即点A、D、F在同一直线上， :D为AF的中点， 设AB=x, 在Rt△ABC中，∠ACB=30°， :AC=2AB=2x, 由勾股定理得：AD=BC=√AC2-AB2=V(2x)2-x2=V3x, .AF 2AD=23x, 在Rt△BAF中，由勾股定理得：BF=√AB2+AF2=Vx2+(2V5x)2 :BF =13AB. 31/31 让教与学更高效 连接CF,连接DF, √13x, 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0 E 11. 【详解】(1)解：CD2=AD·BD; 选择第一个： 在ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB, ,LADC=LACB=90°.∠A=∠A, .△ADC∽△ACB. :4C4D AB AC ..AC2=AD.AB. 选择第二个： 在ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB, ∴.∠BDC=∠BCA=90°. ,∠B=∠B, ∴.△BDC∽△BCA. ·BCBD BA BC ∴.BC2=BD·AB. 选择第三个： ,CD⊥AB, ∴.LADC=∠CDB=90°. ∴.LA+∠ACD=90°. ∠ACB=90°， .∠BCD+∠ACD=90°. .∠A=∠BCD. .△ADC∽△CDB. AD CD ∴.CDBD 30/31 命学科网 www.zxxk.com 让 CD2=AD·BD (2)解：如图所示，CM即为所求作 B M A Q (3)解：△AEB是直角三角形 理由如下： ,∠AFC=∠ACE,∠CAF=∠EAC, ∴.△AFC∽△ACE. C、A ·AEAC ∴.AC2=AE·AF. 由(1)知AC2=AD·AB, ∴.AE·AF=AD·AB. AF_AD AB AE 又，∠FAD=∠BAE, ∴.△FAD∽△BAE. .∠ADF=∠AEB. ,CD⊥AB, ∴.LADF=90°. ∴.∠AEB=90°. △AEB是直角三角形， 12. 【详解】(I)解：四边形BDBE是菱形，理由如下： 由折叠的性质可得BD=B'D,BE=B'E,∠B'DE=∠BDE, B'D∥BC, ∴.∠B'DE=∠BED, .∠BDE=∠BED, 31/31 致与学更高效 命学科网 www.zxxk.com ∴.BD=BE, ∴.BE=BD=B'D=B'E, 四边形BDB'E是菱形 (2)①证明：DE⊥A'E,理由如下： 由(1)知四边形BDB'E是菱形， .'BD=B'E B'D, 由折叠的性质得到AD=A'D, .AD=2BD, .A'D =2BD =2B'D =2B'E, .B'D =A'B'=B'E, .∠1=∠2，∠3=∠4， ∠1+∠2+∠3+∠4=180°， ∴.∠2+∠3=90°， .DE⊥A'E; ②解：∠C=90°，AB=15,BC=9, ∴.AC=VAB2-BC2=12, 当△A'FG是以A'F为腰A'G为底的等腰三角形时，如图，延长A 则FG=A'F, D E ,∠C=90°，A'D∥BC, .∠AMD=∠C=90°， .∠AMA'=90°， 由折叠的性质得AD=A'D,∠ADF=∠A'DF,AF=A'F, ∴.△ADF≌△A'DF(SAS), 30/31 让教与学更高效 F交AB于点H,设AC,AD交点为M, 命学科网 WWw .∠A=∠DA'F; ,∠AFH=∠A'FG, .∠AHF=∠AMA'=90°； ∠A=LA, .∴.△AFH∽△ABC, F=HFAH AB BC AC ..HF:AH AF BC:AC:AB=3:4:5, ,∠A=∠DA'F,AF=A'F,∠AHF=∠A'MF, ∴.△AHF≌△AMF(AAS, .HF=FM AH A'M HF FM =3x,AH A'M=4x,AF=A'F=5x, .∴.AM=AF+FM=8x, ,A'D∥BC, .△AMDn△ACB, :4=4D,即8x=4D AC AB' 1215 ..AD=10x, .BE=BD AB-AD=15-10x, .'.CE BC-BE =10x-6, .FG=A'F=5x, ..MG=FG-FM =2x, ∴.CG=AC-AM-MG=12-8x-2x=12-10x, ,A'D∥BC, ∴.△A'MG∽△ECG, 4'M、MG CE CG 4x 2x 10x-612-10x' 解得：x=1, .A'F=5x=5; 当△A'FG是以A'F为腰FG为底的等腰三角形时， v.zxxk.com 让教与学更高效 如图，则A'F=AG, 31/31 命学科网 www.zxxk.com D 4 B4------- 同理得HF:AH:AF=BC:AC:AB=3:4:5,HF=FM,AH=A'M,AF HF=FM=3y,AH=A'M=4y,AF=A'F=5y, ∴.AM=AF+FM=8y, ,A'D∥BC, '.△AMD∽△ACB, cB,即8D AM AD 1215 ∴.AD=10y, .'BE BD=AB-AD=15-10y, ∴.CE=BC-BE=10y-6, ,△A'FG是以A'F为腰FG为底的等腰三角形，A'M⊥AC, ∴.GM=FM=3y, ∴.FG=GM+FM=6y, ..CG=AC-AF-FG=12-11y, :A'D∥BC, .△A'MG∽△ECG, .4'M_MG CE CG 4y 3y 10y-612-11y' 33 解得：y= 37 165 .A'F=5y= 379 综上，4"F的长为5或165 37 13. 【详解】解：(1)，四边形ABCD,四边形AEFG都是正方形， 30/31 让教与学更高效 =A'F, 命学科网 www.zxxk.com ∴.AE=AG,AB=AD,∠BAD=∠GAD=90°， .△ABE≌△ADG(SAS), ∴.BE=DG,∠ABE=∠ADG, 故答案为：BE=DG,∠ABE=∠ADG; (2)结论仍然成立， 理由如下：，四边形ABCD,四边形AEFG都是正方形， ∴.AE=AG,AB=AD,∠BAD=∠GAE=90°， ∴.∠GAD=∠BAE, .△ABE≌△ADG(SAS), .BE=DG,∠ABE=∠ADG: (3)如图，当点F落在AD上时，过点G作GH⊥AD于H, ,F落在边AD上， .∴.∠AFG=45°， :LAGF=90°，GF=AG=AE=√2， 在Rt△AGF中， .AF=AG2+GF2=2, .∠GHF=90°， ∴.∠HGF=45°， .∠HGF=∠AFG=45°， ..GH=HF, .GH2+HF2=2HF2=GF2=2, ∴.GH=HF=1, .AH AF-HF=1, AD=AB=3, 31/31 与学更高效 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .DH=AD-AH =2, .DG=DH2+GH2=5; 如图，当点F落在DA延长线上时，过点G作GH⊥AD交DA延长线与于H, B 同理得：AH=GH=1, ∴.DH=AD+AH=4, ∴.DG=VDH2+GH?=7; 综上，GD的长度为√5或√7. 14. 【详解】(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形 .AD∥BC, ∴.LAEB=LEBG ,平行四边形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，折痕交AD于点E,点A的对应点为F,延长EF交BC于 点G .∠AEB=LGEB .LEBG=∠GEB ∴.GB=GE. (2)解：4E=DE, 如图，取ED的中点F,连接OF, B 图(2) :O是BD的中点， ∴.OF是△BED的中位线， 30/31 命学科网 www.zxxk.com ∴.OF∥BE, ∴.∠3=∠4，∠1=∠2 ,折叠， ∴.∠1=∠3，AE=E0, .∠2=∠4， .'EF=EO, ∴.AE=EF=二ED; (3)解：如图，当点E在点P右侧时，过点E作EG⊥BC于 P E B G 图(3) 同理(1)可得EN=BN, AB=6,∠A=60°，BP⊥AD, .AP=3, PE=2, .'AE EF=5, ,四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,则EM∥BN, ∴.△EFM∽△NFB, EM EF BN FN 设FN=a,则BN=EF+FN=5+a, :BP⊥AD,EG⊥BC,AD∥BC, .∠PBG=∠BGE=∠BPE=90°， ∴.四边形PBGE是矩形， .BG PE =2,EG=PB=AB2-AP2 =33, .GN=5+a-2=3+a, 在Rt△EGN中，EN2=EG2+GN2, 31/31 让教与学更高效 点G, 命学科网 www.zxxk.com ∴(5+a2=(33+3+a2, 解：a=号 EM520 .BW1111: 又 如图，当点E在点P左侧时，过点E作EG⊥CB,交CB的延长线于 Ar G B 同理可得：四边形BPEG为矩形， .'BG EP =2,EG=BP=33, 根据折叠可得：∠AEB=∠FEB,EF=AE=AP-EP=3-2=1, .180°-∠AEB=180°-∠FEB, 即∠PEB=∠BEN, AD∥BC, .∠NBE=∠PEB, .∠BEN=∠NBE, .'EN =BN, 设NG=b,则EN=BN=NG+BG=b+2, 根据勾股定理得：EN2=NG2+EG2, 即(b+2)2=b+(33, 解得：6=23 231 EW=23 4 ·NF=EN+EF=31 135 4 AD∥BC, .△FEM∽△FNB, 30/31 让教与学更高效 点G, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 EM EF 1 4 .BNNF3535; 4 综上， 的室为或 EM BN 31/31 专题09 动点问题与几何探究 2大考点概览 考点01动点问题 考点02几何探究 动点问题 考点01 1．（2026·吉林·一模）如图，在中，，．动点P从点C出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．当点P不与点B、C重合时，取线段的中点Q，过点P作，在的上方取线段，使，以为边作矩形．设点P的运动时间为t秒．矩形与重叠部分图形的面积为S． (1)线段的长为______（用含t的代数式表示）； (2)当点N在边上时，求t的值； (3)当矩形与重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围． 【答案】(1)； (2)2； (3)． 【分析】（1）根据时间乘以速度得，可得，再根据得出答案； （2）说明，可得答案； （3）先求出当点M在上时，，当矩形与重叠部分图形为四边形时，或，画出图形，再求出面积即可． 【详解】（1）解：根据题意可知， ∵点Q是的中点， ∴， ∴； 矩形中，； （2）解：如图，当点N在边上时， ∵ ∴. ∵， ∴， ∴， 即， 解得； （3）解：当时，； 当点M在上时，可知， ∴， 即， 解得． 当时， 根据题意，得，， ∴． 2．（2026·吉林·一模）如图，在等边中，．动点P，Q分别从点A，B同时出发，点P沿折线以每秒2个单位长度的速度向终点C匀速运动．点Q沿折线以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动．连接，，．设点P运动的时间为秒，的面积为S． (1)当点P在上时，_____________（用含t的式子表示）． (2)求S关于t的函数解析式，并写出t的取值范围． 【答案】(1) (2)S关于t的函数解析式为 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）由题意可分：①当点P在上时，即，②当点P在线段上时，此时点Q在线段上，即，然后分类进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：当点P在上时，； （2）解：由题意可分：①当点P在上时，即，过点Q作，如图所示： ∵是等边三角形，， ∴， ∴， 由题意可知：， ∴， ∴； ②当点P在线段上时，此时点Q在线段上，即，过点P作，如图所示： ∴，， 同理可得， ∴； 综上所述：S关于t的函数解析式为． 3．（2026·吉林松原·一模）如图，在中，，，点从点出发沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动．当点不与重合时，过点作于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，设点的运动时间为（秒）． (1)求线段的长（用含的代数式表示）； (2)当点落在线段上时，求的值； (3)设与重叠部分图形的面积为，求与的函数关系式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）先证明是等腰直角三角形，利用勾股定理求出，然后根据旋转的性质即可求解； （）先画出图形，然后证明出是等腰直角三角形，得到，，然后代入求解即可； （）由（）可知与重叠部分的图形有两种情况，分别画出相应图形，逐个求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴； （2）解：如图，当点落在边上时， 由（）得，， 由旋转得，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得； （3）解：由（）可知，当点落在边上时，， ∴当时，如图，与重叠部分图形的面积就是的面积， ∵，， ∴； 当点与点重合时，， 解得， ∴当时，如图，与重叠部分图形的面积就是四边形的面积， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，与的函数关系式为． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，平行四边形的判定和性质，二次函数与几何图形，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 4．（2026·吉林长春·一模）如图，在中，cm，是边上的高，cm，动点从点出发沿折线向点运动（点不与的顶点重合），点在上的速度是每秒，点在上的速度是每秒cm，过点作的垂线交于点，以为腰作等腰直角三角形，，且点、线段在的同侧，设点运动的时间为（秒）． (1)_____； (2)求的长（用含的代数式表示）； (3)在运动过程中，当与重叠部分的图形是四边形时，求的取值范围； (4)连结，当与的边或垂直时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)的长为或 (3)的取值范围为或 (4)的值为秒或秒或秒， 【分析】（）先由勾股定理算出，再结合求出，最后用勾股定理算出的长度为； （）分两个时间段讨论的长度当时，点在上，由得相似三角形，按比例求出；当时，点在上，同理由相似关系求出，最终得到长度的分段表达式 （）重叠部分为四边形意味着点必须落在的内部；当点在上且点在上时，临界情况是点落在边上，利用构造相似三角形求出此时的值，得出范围； 当点在上且点在线段上时，同样利用构造相似三角形求出此时的值，得出范围；最后将两个范围合并； （）本题需分类讨论垂直于哪条边以及点的位置；， 此时点必须落在高上；分点在上和点在上两种情况，利用构造相似比列方程求解； 时：此时点只能在上，利用角度互余关系证明，通过对应边成比例列方程求解； 最后汇总所有符合条件的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， （2）解：当时， 由题意得：， ∵ ∴， ∴， ， 当时， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，的长为或； （3）解:当点在上且点在上时，如图， 由（）知： ∴ ∵， ∴， ∵. ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，与重叠部分的图形是四边形； 当点在上且点在线段上时，如图 由（）知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 当时，与重叠部分的图形是四边形； 综上，当与重叠部分的图形是四边形时，的取值范围为或； （4）解：当与的边或垂直时，的值为秒或秒或秒， 理由： 当点在上且点在上时，，如图 由（）知： ， ∴ ∵， ∴， ∵. ∴， ∴， ∴， ∴， 当点在上且时，如图 由（）知： ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 当点在上且点在线段上时，如图 由（）知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 5．（2026·吉林白山·模拟）如图，在中，，，，为边的中点，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿运动到点停止，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动到点停止，当点停止运动时，点也停止运动．过点作交的边于点，以和为边作．设点的运动时间为（秒）． (1)用含的代数式表示长； (2)点在边上运动时（不含、），若的面积为，求出关于的函数关系式，并求出为何值时，； (3)当点不与的顶点重合时，连结，直接写出将分成面积相等的两部分时t的值． 【答案】(1)长为或 (2)； (3)或 【分析】（1）先根据勾股定理和中点的定义求出，；再利用分类讨论的思想方法，结合时间，路程与速度的关系式解答即可得出结论； （2）根据题意可得，，根据平行四边形的性质得出，根据相似三角形的判定和性质得出，根据平行四边形的面积公式即可求得关于的函数关系式，根据题意，列出方程，解方程即可求出的值； （3）分两种情况讨论：①当时，连接、，交于点，利用平行四边形的性质和已知条件得到，结合直角三角形的性质得出，，根据等边对等角推得，根据平行线的判定定理得出，根据平行线分线段成比例得出，据此列出方程，解方程求出的值；②当时，连接、，交于点，根据平行四边形的性质得出，，根据相似三角形的判定和性质求出，，类比①的方法得出，据此列出方程，解方程求出的值． 【详解】（1）解：在中，，， 故， ∵为边的中点， ∴． 当时，此时点在边上运动， 则， 故； 当时，此时点在上运动， 则， 故； 综上所述：长为或 （2）点在边上运动时（不含、），此时， 故，； ∵四边形是平行四边形， ∴， 故， ∴， 即， ∴； 故， ； 根据题意可得， 解得； 故当时，． （3）①当时，连接、，交于点，如图： ∵将分成面积相等的两部分，是的对角线， ∴经过平行四边形的中心， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵为边的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据题意可得，，， 故， 解得； ②当时，连接、，交于点，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 故， ∴， ∴， ∵，，，， 故， ∴，， 即， ∴， ， ∵将分成面积相等的两部分，是的对角线， ∴经过平行四边形的中心， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵为边的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故， 解得； 综上所述，满足条件的t的值为或． 6．（2026·吉林名校调研·一模）两个三角板ABC，DEF，按如图所示的位置摆放，点B与点D重合，边AB与边DE在同一条直线上（假设图形中所有的点，线都在同一平面内）．其中，∠C=∠DEF=90°，∠ABC=∠F=30°，AC=DE=6cm．现固定三角板DEF，将三角板ABC沿射线DE方向平移，当点C落在边EF上时停止运动．设三角板平移的距离为x（cm），两个三角板重叠部分的面积为y（cm2）． （1）当点C落在边EF上时，x= cm； （2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （3）设边BC的中点为点M，边DF的中点为点N．直接写出在三角板平移过程中，点M与点N之间距离的最小值． 【答案】（1）15；（2）（3）． 【分析】（1）由锐角三角函数，得到BG的长，进而可得GE的长，由矩形的性质，可得答案； （2）分类讨论：①当0≤t＜6时，根据三角形的面积公式，可得答案；②当6≤t＜12时，③当12＜t≤15时，根据面积的和差，可得答案； （3）根据点与直线上所有点的连线中垂线段最短，可得M在线段NG上，根据三角形的中位线，可得NG的长，根据锐角三角函数，可得MG的长，根据线段的和差，可得答案． 【详解】解：（1）如图1所示：作CG⊥AB于G点． ， 在Rt△ABC中，由AC=6，∠ABC=30，得：BC==．在Rt△BCG中，BG=BC•cos30°=9．四边形CGEH是矩形，CH=GE=BG+BE=9+6=15cm，故答案为15； （2）①当0≤x＜6时，如图2所示． ， ∠GDB=60°，∠GBD=30°，DB=x，得：DG=，BG=，重叠部分的面积为y=DG•BG=××=； ②当6≤x＜12时，如图3所示． ， BD=x，DG=，BG=，BE=x﹣6，EH=．重叠部分的面积为y==DG•BG﹣BE•EH，即y=××﹣，化简，得； ③当12＜x≤15时，如图4所示． ， AC=6，BC=，BD=x，BE=（x﹣6），EG=，重叠部分的面积为y==AC•BC﹣BE•EG，即y=，化简，得=； 综上所述：； （3）如图5所示作NG⊥DE于G点． ， 点M在NG上时MN最短，NG是△DEF的中位线，NG=EF=． MB=CB=，∠B=30°，MG=MB=， MN最小==． 7．（2026·吉林·一模）如图，在矩形中，，，点E在边上，点G在边上，，连接，．将沿翻折得到，将沿翻折得到．连接，．几何探究 考点02 (1)求证； (2)①四边形的形状为_____________． ②当点F在边上时，四边形的形状为_____________． (3)当四边形与矩形重叠部分图形是轴对称图形时，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)①平行四边形；②矩形； (3)或或 【分析】（1）利用证明即可； （2）①折叠的性质，推出，证明，得到，即可得到四边形为平行四边形；②易得，即可得出结果； （3）根据四边形与矩形重叠部分图形是轴对称图形时，得到重叠部分的图形为矩形或菱形，分3种情况，画出图形进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴， 又∵， ∴； （2）解：①∵折叠， ∴，， ∵， ∴， ∵矩形， ∴， ∴，，即， 由（1）知， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形； ②当点F在边上时， ∵， ∴， 由①知：四边形为平行四边形， ∴四边形为矩形； （3）解：①当点恰好落在边上时，此时四边形为矩形，四边形与矩形重叠部分图形即为四边形是轴对称图形， ∵折叠， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴； ②当交于点，交于点时， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴当四边形为菱形时，四边形与矩形重叠部分为轴对称图形， ∵折叠， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得， 解得或（舍去）； ∴； ③当点与点重合，点与点重合时，如图， 由②可知，，四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形，符合题意； 此时； 综上：或或． 8．（2026·吉林长春·一模）【问题背景】小明遇到了这样一个问题：如图①，在正方形中，，点、分别为边、的中点，以为边向下作正方形．点、分别在边、上运动，且，连结、．求的最小值． 【问题探究】小明发现，可以利用正方形的轴对称性质将“分离”的线段与成功“接轨”，再依据“两点之间，线段最短”解决问题．具体做法如下： 证明：如图②，取边的中点，连结． 证明过程缺失 ． ． 请你帮助小明补全上述证明过程． 【问题解决】的最小值为______． 【拓展提升】如图③，在正方形中，，点、分别在边、上运动，且，点在边上，连结、．若，则的最小值为______． 【答案】问题探究：见解析；问题解决；拓展提升： 【分析】问题探究：利用正方形的性质和中点性质得，，再由，得，即可由得出，从而由全等三角形的性质得出结论； 问题解决：连接，根据两点之间，线段最短得，当M、Q、F三点共线时，值最小，最小值等于，延长、相交于N，利用正方形的性质和勾股定理求得，即可求解； 拓展提升：在正方形下方作正方形，在边上取点M，使，在边上取点N，使，连接，则，，根据两点之间，线段最短得，，所以当M、Q、N三点共线时，最小，最小值等于，利用正方形的性质和勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：问题探究： 证明：如图②，取边的中点，连结． ∵正方形， ∴，， ∵M，分别为边、的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ， ． 问题解决：如图②，连接， ∵， ∴当M、Q、F三点共线时，值最小，最小值等于， 延长、相交于N， ∵正方形，正方形，为边的中点，， ∴正方形， ∴，， ∴ 由勾股定理，得， ∴的最小值为． 拓展提升：在正方形下方作正方形，在边上取点M，使，在边上取点N，使，连接，如图③， 由问题探究可知：，， ∵ ∴当M、Q、N三点共线时，最小，最小值等于， ∵正方形，正方形，，， ∴，，， ∴ 由勾股定理得：， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，两点之间，线段最短，利用正方形的对称性质，正确作出辅助线是解题的关键． 9．（2026·吉林长春·一模）综合与探究 【问题情境】 如图①，在中，弦平分圆周角，我们将圆中以为公共点的三条弦构成的图形称为“爪形”，弦称为“爪形”的爪． (1)【猜想证明】如图②，四边形内接于，连接． ①试判断圆中是否存在“爪形”，并说明理由； ②若，延长至点，使，连结．试猜想之间的数量关系，并说明理由； (2)【深入探究】如图③，若，直接写出“爪形”的爪之间的数量关系． 【答案】(1)①存在，理由见解析；②，理由见解析； (2)，理由见解析 【分析】（1）①根据得到，推出，然后根据“爪形”的定义求解即可； ②如图，证明出，得到，然后证明出是等边三角形，得到，进而求解即可； （2）如图，延长至点，使得，连接，证明出，得到为等腰直角三角形，进而求解即可． 【详解】（1）解：①存在． 理由：∵， ， ， ∴平分圆周角， ∴圆中存在“爪形”； ②． 理由：如图， ∵四边形内接于 ∴， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ． （2）解：． 理由：如图，延长至点，使得，连接． ， ， ∵圆中存在“爪形”，且， ， ， ， ， ， ∴为等腰直角三角形， ， ． 10．（2026·吉林松原·一模）综合与实践 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某数学兴趣小组在数学课外活动中对图形的旋转进行了如下探究： (1)【初步探究】如图①，已知，，将绕点顺时针旋转得，连接交于点，交于点．求证：； (2)【类比探究】如图②，已知正方形，将正方形绕点顺时针旋转得正方形，连接交于点，直接写出的值； (3)【深入探究】如图③，已知矩形中，，将矩形顺时针旋转得矩形，点在的延长线上，连接，试探究线段与之间的数量关系，并写出证明过程． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）由旋转的性质可知，，可证，根据相似三角形的性质可证结论成立； （2）过点作于点，可知是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可知，由可证，根据相似三角形对应边成比例可得； （3）矩形绕点顺时针旋转得到矩形，连接，连接，可证，根据全等三角形的性质可证点、、在同一直线上，利用勾股定理求出结果． 【详解】（1）证明：绕点顺时针旋转得， ，， ，， ， ， ， ， 又， ； （2）解：如下图所示，过点作于点， 设正方形的边长为，则， 旋转后，， ， ， ， ； （3）解：， 证明：如下图所示，矩形绕点顺时针旋转得到矩形，连接，连接， ，，， 点在的延长线上， ， ， 旋转角为， ， ， ， ， 即， 在和中，， ， ，， ， 即点、、在同一直线上， 为的中点， 设， 在中，， ， 由勾股定理得， ， 在中，由勾股定理得：， ． 11．（2026·吉林·一模）综合与探究 【例题再现】 老师在黑板上写了这样一道题：如图①，在中，于点，找出图中所有的相似三角形，并说明理由．图中存在3组相似三角形，兴趣小组发现这道题是个很好的素材，可以得出结论：直角三角形斜边上的高分得的两个三角形相似，且都与原三角形相似． 【初步探究】 兴趣小组根据探究出来的相似三角形，分别写出三个结论：_____． (1)请补全上述结论，并选择其中一个进行证明； 【动手实践】 (2)如图③，的顶点均在的正方形网格的格点上，请仅用直尺画出边上的高； 【拓展探究】 (3)如图④，在中，，于点，为线段延长线上一点，连接并延长至点，连接、、当时，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)，证明见解析 (2)作图见解析 (3)是直角三角形，证明见解析 【分析】（1）利用相似三角形的判定即可证明； （2）根据网格图的特征取格点，连接交于即可； （3）证明，可得．由（1）知，可得，可证明，可得，再由，即可解答． 【详解】（1）解：； 选择第一个： 在中，， ， ∵．， ∴． ∴． ∴． 选择第二个： 在中，，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 选择第三个： ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． （2）解：如图所示，即为所求作． （3）解：是直角三角形． 理由如下： ∵，， ∴． ∴． ∴． 由（1）知， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴是直角三角形． 12．（2026·吉林四平·模拟）综合与探究． 问题情境：如图1，在三角形纸片中，，点在边上，．沿过点的直线折叠该纸片，使的对应线段与平行，且折痕与边交于点，得到，然后展平． (1)猜想证明：判断四边形的形状，并说明理由． (2)拓展延伸：如图2，继续沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在射线上，且折痕与边交于点，然后展平．连接交边于点，连接． ①若，判断与的位置关系，并说明理由； ②若，，，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2)①，理由见解析，②5或． 【分析】（1）由折叠的性质可得，，再根据平行线的性质可得，进而得到，由等角对等边推出，从而证明，即可得四边形是菱形； （2）①由（1）推出，由折叠的性质得到，结合已知可得，进而推出，得到，再根据三角形内角和定理即可求出，即可得到与的位置关系；②分是以为腰为底的等腰三角形和是以为腰为底的等腰三角形两种情况讨论，如图，延长交于点H，设交点为，利用三角形相似的性质建立方程求解即可． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）①证明：，理由如下： 由（1）知四边形是菱形， ∴， 由折叠的性质得到， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②解：∵，，， ∴， 当是以为腰为底的等腰三角形时，如图，延长交于点H，设交点为，则， ∵，， ∴， ∴， 由折叠的性质得，，， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； 当是以为腰为底的等腰三角形时，如图，则， 同理得，， 设， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵是以为腰为底的等腰三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； 综上，的长为或． 13．（2026·吉林吉林市·模拟）如图①，四边形与四边形是共一个顶点的两个大小不同的正方形． 【操作发现】 （1）如图②，正方形绕点A逆时针旋转，使点E落在边上，线段与的数量关系是________，与的关系是________． 【猜想证明】 （2）如图③，正方形绕点A逆时针旋转某一角度时，猜想（1）中的结论是否成立？并证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图④，正方形绕点A逆时针旋转，使点F落在直线上，当时，直接写出的长度． 【答案】（1）（2）成立，见解析（3）或 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． （1）由“”可证，可得； （2）由“”可证，可得； （3）分点落在上，点落在延长线上，两种情况讨论． 【详解】解：（1）∵四边形，四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）结论仍然成立， 理由如下：∵四边形，四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图，当点落在上时，过点G作于H， ∵F落在边上， ∴， ∵，， 在中， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当点落在延长线上时，过点G作交延长线与于H， 同理得：， ∴， ∴； 综上，的长度为或． 14．（2026·吉林白山·模拟）综合与实践 学习了平行四边形的相关知识之后，李老师带领同学们上了一节“平行四边形纸片的折叠”实践探究课程，同学们分三个小组进行探究活动． 勤学小组的探究：我们将如图（1）所示的平行四边形纸片 沿过点的直线折叠，折痕交于点， 点的对应点为， 延长交于点． (1)任务1：初步探究． 求证：． (2)创新小组的探究：我们将如图（2）所示的平行四边形纸片 沿过点的直线折叠，折痕交于点，点的对应点恰好落在的中点处 ． 任务2：猜想与验证． 猜想，之间的数量关系，并加以证明． (3)开拓小组的探究：我们将如图（3）所示的平行四边形纸片（，）沿过点的直线折叠，折痕交于点，点的对应点为 ，直线与直线交于点，直线与直线交于点 ． 任务3：求两线段的比值．过点 作于点， 若 ，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，则，根据折叠得出，等量代换得出，等边对等角即可得证； （2）取的中点，连接，则是的中位线，得出，即可得证； （3）分两种情况讨论：当点E在点P右侧时，当点E在点P左侧时，分别画出图形，根据相似三角形的判定和性质，勾股定理，求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形 ∴， ∴ ∵平行四边形纸片 沿过点的直线折叠，折痕交于点， 点的对应点为，延长交于点 ∴ ∴ ∴． （2）解：， 如图，取的中点，连接， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，当点E在点P右侧时，过点作于点， 同理（1）可得， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，则， ∴， ∴， 设，则， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：． ∴； 如图，当点E在点P左侧时，过点E作，交的延长线于点G， 同理可得：四边形为矩形， ∴，， 根据折叠可得：，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，的值为或． 18/42 1/42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 动点问题与几何探究 2大考点概览 考点01动点问题 考点02几何探究 动点问题 考点01 1．（2026·吉林·一模）如图，在中，，．动点P从点C出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．当点P不与点B、C重合时，取线段的中点Q，过点P作，在的上方取线段，使，以为边作矩形．设点P的运动时间为t秒．矩形与重叠部分图形的面积为S． (1)线段的长为______（用含t的代数式表示）； (2)当点N在边上时，求t的值； (3)当矩形与重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围． 当时， 根据题意，得，， ∴． 2．（2026·吉林·一模）如图，在等边中，．动点P，Q分别从点A，B同时出发，点P沿折线以每秒2个单位长度的速度向终点C匀速运动．点Q沿折线以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动．连接，，．设点P运动的时间为秒，的面积为S． (1)当点P在上时，_____________（用含t的式子表示）． (2)求S关于t的函数解析式，并写出t的取值范围． 3．（2026·吉林松原·一模）如图，在中，，，点从点出发沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动．当点不与重合时，过点作于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，设点的运动时间为（秒）． (1)求线段的长（用含的代数式表示）； (2)当点落在线段上时，求的值； (3)设与重叠部分图形的面积为，求与的函数关系式． 4．（2026·吉林长春·一模）如图，在中，cm，是边上的高，cm，动点从点出发沿折线向点运动（点不与的顶点重合），点在上的速度是每秒，点在上的速度是每秒cm，过点作的垂线交于点，以为腰作等腰直角三角形，，且点、线段在的同侧，设点运动的时间为（秒）． (1)_____； (2)求的长（用含的代数式表示）； (3)在运动过程中，当与重叠部分的图形是四边形时，求的取值范围； (4)连结，当与的边或垂直时，直接写出的值． 5．（2026·吉林白山·模拟）如图，在中，，，，为边的中点，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿运动到点停止，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动到点停止，当点停止运动时，点也停止运动．过点作交的边于点，以和为边作．设点的运动时间为（秒）． (1)用含的代数式表示长； (2)点在边上运动时（不含、），若的面积为，求出关于的函数关系式，并求出为何值时，； (3)当点不与的顶点重合时，连结，直接写出将分成面积相等的两部分时t的值． 6．（2026·吉林名校调研·一模）两个三角板ABC，DEF，按如图所示的位置摆放，点B与点D重合，边AB与边DE在同一条直线上（假设图形中所有的点，线都在同一平面内）．其中，∠C=∠DEF=90°，∠ABC=∠F=30°，AC=DE=6cm．现固定三角板DEF，将三角板ABC沿射线DE方向平移，当点C落在边EF上时停止运动．设三角板平移的距离为x（cm），两个三角板重叠部分的面积为y（cm2）． （1）当点C落在边EF上时，x= cm； （2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （3）设边BC的中点为点M，边DF的中点为点N．直接写出在三角板平移过程中，点M与点N之间距离的最小值． 7．（2026·吉林·一模）如图，在矩形中，，，点E在边上，点G在边上，，连接，．将沿翻折得到，将沿翻折得到．连接，．几何探究 考点02 (1)求证； (2)①四边形的形状为_____________． ②当点F在边上时，四边形的形状为_____________． (3)当四边形与矩形重叠部分图形是轴对称图形时，直接写出的长． 8．（2026·吉林长春·一模）【问题背景】小明遇到了这样一个问题：如图①，在正方形中，，点、分别为边、的中点，以为边向下作正方形．点、分别在边、上运动，且，连结、．求的最小值． 【问题探究】小明发现，可以利用正方形的轴对称性质将“分离”的线段与成功“接轨”，再依据“两点之间，线段最短”解决问题．具体做法如下： 证明：如图②，取边的中点，连结． 证明过程缺失 ． ． 请你帮助小明补全上述证明过程． 【问题解决】的最小值为______． 【拓展提升】如图③，在正方形中，，点、分别在边、上运动，且，点在边上，连结、．若，则的最小值为______． 9．（2026·吉林长春·一模）综合与探究 【问题情境】 如图①，在中，弦平分圆周角，我们将圆中以为公共点的三条弦构成的图形称为“爪形”，弦称为“爪形”的爪． (1)【猜想证明】如图②，四边形内接于，连接． ①试判断圆中是否存在“爪形”，并说明理由； ②若，延长至点，使，连结．试猜想之间的数量关系，并说明理由； (2)【深入探究】如图③，若，直接写出“爪形”的爪之间的数量关系． 10．（2026·吉林松原·一模）综合与实践 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某数学兴趣小组在数学课外活动中对图形的旋转进行了如下探究： (1)【初步探究】如图①，已知，，将绕点顺时针旋转得，连接交于点，交于点．求证：； (2)【类比探究】如图②，已知正方形，将正方形绕点顺时针旋转得正方形，连接交于点，直接写出的值； (3)【深入探究】如图③，已知矩形中，，将矩形顺时针旋转得矩形，点在的延长线上，连接，试探究线段与之间的数量关系，并写出证明过程． 11．（2026·吉林·一模）综合与探究 【例题再现】 老师在黑板上写了这样一道题：如图①，在中，于点，找出图中所有的相似三角形，并说明理由．图中存在3组相似三角形，兴趣小组发现这道题是个很好的素材，可以得出结论：直角三角形斜边上的高分得的两个三角形相似，且都与原三角形相似． 【初步探究】 兴趣小组根据探究出来的相似三角形，分别写出三个结论：_____． (1)请补全上述结论，并选择其中一个进行证明； 【动手实践】 (2)如图③，的顶点均在的正方形网格的格点上，请仅用直尺画出边上的高； 【拓展探究】 (3)如图④，在中，，于点，为线段延长线上一点，连接并延长至点，连接、、当时，请判断的形状，并说明理由． 12．（2026·吉林四平·模拟）综合与探究． 问题情境：如图1，在三角形纸片中，，点在边上，．沿过点的直线折叠该纸片，使的对应线段与平行，且折痕与边交于点，得到，然后展平． (1)猜想证明：判断四边形的形状，并说明理由． (2)拓展延伸：如图2，继续沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在射线上，且折痕与边交于点，然后展平．连接交边于点，连接． ①若，判断与的位置关系，并说明理由； ②若，，，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长． 13．（2026·吉林吉林市·模拟）如图①，四边形与四边形是共一个顶点的两个大小不同的正方形． 【操作发现】 （1）如图②，正方形绕点A逆时针旋转，使点E落在边上，线段与的数量关系是________，与的关系是________． 【猜想证明】 （2）如图③，正方形绕点A逆时针旋转某一角度时，猜想（1）中的结论是否成立？并证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图④，正方形绕点A逆时针旋转，使点F落在直线上，当时，直接写出的长度． 14．（2026·吉林白山·模拟）综合与实践 学习了平行四边形的相关知识之后，李老师带领同学们上了一节“平行四边形纸片的折叠”实践探究课程，同学们分三个小组进行探究活动． 勤学小组的探究：我们将如图（1）所示的平行四边形纸片 沿过点的直线折叠，折痕交于点， 点的对应点为， 延长交于点． (1)任务1：初步探究． 求证：． (2)创新小组的探究：我们将如图（2）所示的平行四边形纸片 沿过点的直线折叠，折痕交于点，点的对应点恰好落在的中点处 ． 任务2：猜想与验证． 猜想，之间的数量关系，并加以证明． (3)开拓小组的探究：我们将如图（3）所示的平行四边形纸片（，）沿过点的直线折叠，折痕交于点，点的对应点为 ，直线与直线交于点，直线与直线交于点 ． 任务3：求两线段的比值．过点 作于点， 若 ，请直接写出的值． 18/42 1/42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $