精品解析：吉林省长春市东北师范大学附属中学经开校区2024-2025学年中考一模数学试题

九年级数学学科阶段综合性训练 考试时长：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 若的运算结果为正数，则□内的数字可以为（ ） A. B. 1 C. 0 D. 10 2. 长白山天池系由火山口积水成湖，天池湖水碧蓝，水平如境，群峰倒映，风景秀丽，总蓄水量约达，数据2040000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 印章篆刻是中华传统艺术之一，如图是一块篆刻印章的材料，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 6. 在学习完锐角三角函数后，小明想利用简单的工具求一电线杆的高度．如图，是电线杆的一根拉线，用皮尺量得米，用测角仪测得，则电线杆的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 在中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O；③作射线，交于点E，交延长线于点F．若，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点在函数的图象上．将直线沿x轴向右平移，平移后的直线与x轴交于点B，与函数的图象交于点C．若，连接，则的面积为（ ） A. B. 1 C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 因式分解：__________． 10. 计算： ________； 11. 若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是_______． 12. 在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺按如图方式摆放，若，则的大小为____________． 13. 如图①，“长春眼”摩天轮是长春市地标性建筑之一．已知摩天轮直径为65米，每个轿厢安装在摩天轮圆周36等分点处，如图②，则相邻轿厢之间的弧长为________米．（结果保留） 14. 如图，是的直径，弦于点G，点F是上一点，且满足，连接并延长交于点E，连接，给出下列结论： ①； ②； ③当时，； ④当时，的面积是． 上述结论中，正确结论的序号是_______． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 我国明代数学著作《算法统宗》记截：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤”（注：古秤十六两为一斤，故有“半斤八两”这一成语）．其大意是：“隔着墙壁听见客人在分银两，不知人数不知银两的数量，若每人分七两，还多四两；若每人分九两，则还差八两”．问客人数和银两分别是多少？ 17. 如图，有3张分别印有Q版《哪吒之魔童闹海》的卡片：A哪吒、B敖丙、C太乙真人， 现将这3张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片．请用树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有1张为“A哪吒”的概率． 18. 在学习“特殊平行四边形”时，小郑进行了这样的操作：作平行四边形对角线的垂直平分线，分别交于点M，O，N．求证：四边形为菱形． 19. 在“世界读书日”知识竞赛活动中，七年级800名学生全部参赛，从中随机取n名学生的竞赛成绩按以下五组进行整理（每名学生的得分为x）： A．；B．；C．；D．；E．． 并绘制了七年级竞赛成绩频数分布直方图，如图． 已知C组的全部数据为：71，72，70．75，74，78，76，77，76，77，79． 根据以上信息，解答下列问题： （1） ，本次调查抽取的n名学生竞赛成绩的中位数是 ； （2）若将抽取的n名学生成绩绘成扇形统计图，则D组所在扇形的圆心角为 ； （3）学校将对80分以上（含80分）的学生授予“读书新星”称号，请根据以上统计信息估计该校七年级被授予“读书新星”称号的学生人数． 20. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上，请按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上． （1）在图①中，作一个以为底的等腰直角三角形； （2）在图②中，作一个面积为的钝角三角形； （3）在图③中，作一个面积为7．且有一组邻边相等的四边形． 21. 用甲、乙两个机器同时开始加工一批零件．加工一段时间后，甲机器停工进行检修，乙机器以原来的效率继续加工，乙机器工作效率始终不变．检修结束后，甲机器提高工作效率继续加工，共用了5小时完成任务．两个机器加工的零件总数y（件）与乙机器加工时间x（时）之间的函数图象如图所示． （1）乙机器的工作效率是 件/时． （2）甲机器检修结束后，求y与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围 （3）在整个加工过程中，当甲机器与乙机器加工的零件个数相等时，求乙机器的加工时间． 22. 【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在矩形中，，点E、F分别在边上，且，连结．试探究线段与的长度之和的最小值． 【问题分析】小明以等线段中的一条线段为边，构造与另一条等线段为边的全等三角形，并将两条求和的线段“拼接到一条直线上”，再根据“两点之间线段最短”求最值，解决上述几何问题． 【问题解决】如图②，延长至点G，使，连结．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）线段与的长度之和的最小值为 【方法应用】某种简易广告牌在运输的过程中，由于运输道路状况复杂，车辆行驶时产生的颠簸、震动等外力因素可能会导致广告牌结构松动甚至散架，进而造成损坏并影响后续正常使用．为有效规避此类风险，采用钢丝绳对广告牌进行加固处理是极为必要的防护举措．小明收集了该广告牌的相关数据，并画出了示意图，如图③，在中，，米，米．和分别是两条固定端点B、C但可调节端点M、N的钢丝绳，点M在上，点N在上．在调整钢丝绳端点M、N的位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳与长度之和的最小值为 米． 23. 如图，在中；，，．动点P在折线上运动，点P不与点B重合时，以为腰作等腰三角形，使，且底边在的内部． （1）的长为 ． （2）当点P在上运动，且点Q在边上时，求的长． （3）连结，当直线将分成面积相等的两部分时，求的长． （4）设边与边的交点为点M，当点M将边分成两部分时，直接写出的长． 24. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线（c是常数），经过点，点P在抛物线上，横坐标为m，点Q的横坐标为，点Q的纵坐标与点P的纵坐标相同，点P、Q不重合． （1）求抛物线函数表达式及顶点坐标； （2）当点Q在抛物线上时，求的长度； （3）该抛物线与y轴的交点为B，当抛物线在点P和点B之间的部分（包括P、B两点）的最高点和最低点的纵坐标之差为时，求m的值； （4）已知，连结，当抛物线在内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学学科阶段综合性训练 考试时长：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 若的运算结果为正数，则□内的数字可以为（ ） A. B. 1 C. 0 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算．根据有理数的乘法计算法则，分别计算出与四个选项中的数的乘积即可得到答案． 【详解】解：，，，， 四个算式的运算结果中，只有A选项是正数， 故选：A． 2. 长白山天池系由火山口积水成湖，天池湖水碧蓝，水平如境，群峰倒映，风景秀丽，总蓄水量约达，数据2040000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了科学记数法—表示较大的数，将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．正确掌握科学记数法是解题关键． 【详解】解：， 故选：B． 3. 印章篆刻是中华传统艺术之一，如图是一块篆刻印章的材料，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识．找到从上面看所得到的图形即可，注意所有看到的或看不到的棱都应表现在俯视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线． 【详解】其俯视图为： ． 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了合并同类项、积的乘方，单项式乘除法，掌握相关运算的运算法则并能准确运用其求解是解题的关键．分别根据合并同类项、积的乘法、单项式乘除法则进行计算，即可得出结论． 【详解】解：A、，故此选项运算错误，不符合题意； B、，故此选项运算错误，不符合题意； C、，故此选项运算正确，符合题意； D、，故此选项运算错误，不符合题意． 故选：C． 5. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的解集，在数轴上表示不等式的解集，先求出不等式组的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出解集，判断即可． 【详解】解：解，得：， 在数轴上表示解集如图： 故选D． 6. 在学习完锐角三角函数后，小明想利用简单的工具求一电线杆的高度．如图，是电线杆的一根拉线，用皮尺量得米，用测角仪测得，则电线杆的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，将其转化为解直角三角形的问题是本题的关键．根据正切定义：即可解答． 【详解】解：， ， 米， 米； 故选：B． 7. 在中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O；③作射线，交于点E，交延长线于点F．若，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图，平行四边形的性质，平行线分线段成比例，等腰三角形的判定和性质，直接利用基本作图对A选项进行判断；根据平行四边形的性质得到，，，，再利用平行线的性质证明得到，则，所以，于是可对B选项进行判断；接着利用平行线的性质证明得到，则可对C选项进行判断；由于，则根据平行线分线段成比例定理可对D选项进行判断熟练利用平行四边形的性质是解题的关键 【详解】解：由作法得平分， ，所以A选项不符合题意； 四边形为平行四边形， ，，，， ， ， ， ， ， ，所以B选项不符合题意； ， ， ， ， ，所以C选项不符合题意； ， ， ，所以D选项符合题意． 故选：D． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点在函数的图象上．将直线沿x轴向右平移，平移后的直线与x轴交于点B，与函数的图象交于点C．若，连接，则的面积为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的几何意义，相似三角形的判定和性质，依据题意，由点在函数上，可得的值，从而得反比例函数的解析式，求得的长，作，交轴于点，证明，根据相似三角形的性质求得的面积，最后计算得解，熟练运用反比例函数的几何意义是解题的关键． 【详解】解：把代入， 可得，解得， 反比例函数的解析式为， 如图，作，交轴于点， ， ， 将直线沿x轴向右平移，平移后的直线与x轴交于点B， ， ， ， ， 根据勾股定理可得， ， ， 的面积为， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查考查因式分解-提取公因式，熟练掌握因式分解一提取公因式的方法是解题的关键． 提取公因式即可得出答案． 【详解】解：原式． 故答案为：． 10. 计算： ________； 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的减法计算即可． 本题考查了二次根式的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：． 故答案为：． 11. 若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握一元二次方程根的情况和二次函数与x轴交点个数的关系是解题的关键；根据二次函数的图象与轴有交点时解题即可. 【详解】解：二次函数的图象与轴有交点， ， 解得， 的取值范围为， 故答案为：. 12. 在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺按如图方式摆放，若，则的大小为____________． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，由，可得，即可求解． 【详解】∵， ∴， ∵，则， ∴， 故答案为：30． 13. 如图①，“长春眼”摩天轮是长春市地标性建筑之一．已知摩天轮直径为65米，每个轿厢安装在摩天轮圆周36等分点处，如图②，则相邻轿厢之间的弧长为________米．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆，弧长的计算，关键是掌握弧长公式．由弧长公式：（l是弧长，n是扇形圆心角的度数，r是扇形的半径长），由此即可计算． 【详解】解：∵每个轿厢安装在摩天轮圆周36等分的分点处， ∴相邻轿厢之间的弧所对的圆心角为， ∴相邻轿厢之间的弧长为（米）； 故答案为：． 14. 如图，是的直径，弦于点G，点F是上一点，且满足，连接并延长交于点E，连接，给出下列结论： ①； ②； ③当时，； ④当时，的面积是． 上述结论中，正确结论的序号是_______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据圆周角定理及垂径定理推出，即可判断①；证明，即可判断②；设，则，结合，得到，求出，，由，利用余弦的定义即可判断③；由已知先求出，再求出，，进而求出，利用三角形相似的性质即可求出，根据，即可判断④． 【详解】解：∵是的直径，， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故③错误； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，三角形相似的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．先计算乘法，再计算加法，然后把代入化简后的结果，即可求解． 【详解】解： ， 当时，原式． 16. 我国明代数学著作《算法统宗》记截：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤”（注：古秤十六两为一斤，故有“半斤八两”这一成语）．其大意是：“隔着墙壁听见客人在分银两，不知人数不知银两的数量，若每人分七两，还多四两；若每人分九两，则还差八两”．问客人数和银两分别是多少？ 【答案】共有名客人，两银子 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，设共有名客人，两银子，根据每人分七两，还多四两；若每人分九两，则还差八两，构建方程组即可．解题的关键是理解题意，正确列出方程组． 【详解】解：设共有名客人，两银子， 由题意可得， 解得， 答：共有名客人，两银子． 17. 如图，有3张分别印有Q版《哪吒之魔童闹海》的卡片：A哪吒、B敖丙、C太乙真人， 现将这3张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片．请用树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有1张为“A哪吒”的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列出表格或画出树状图得到所有等可能性的结果是，再找到取出的两张卡片中至少有1张为“A哪吒”的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 第一次 第二次 由表格可以看出，所有可能出现的结果共有种，这些结果出现的可能性相等，其中取出的两张卡片中至少有1张为“A哪吒”的结果有5种， ∴取出的两张卡片中至少有1张为“A哪吒”的概率为． 18. 在学习“特殊平行四边形”时，小郑进行了这样的操作：作平行四边形对角线的垂直平分线，分别交于点M，O，N．求证：四边形为菱形． 【答案】 证明：垂直平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，菱形的判定，熟练掌握各知识点是解题的关键． 根据平行四边形的性质得到，根据线段的垂直平分线得到，然后证明，则可先证明四边形为平行四边形，继而根据一组邻边相等证明为菱形． 【详解】略 19. 在“世界读书日”知识竞赛活动中，七年级800名学生全部参赛，从中随机取n名学生的竞赛成绩按以下五组进行整理（每名学生的得分为x）： A．；B．；C．；D．；E．． 并绘制了七年级竞赛成绩频数分布直方图，如图． 已知C组的全部数据为：71，72，70．75，74，78，76，77，76，77，79． 根据以上信息，解答下列问题： （1） ，本次调查抽取的n名学生竞赛成绩的中位数是 ； （2）若将抽取的n名学生成绩绘成扇形统计图，则D组所在扇形的圆心角为 ； （3）学校将对80分以上（含80分）的学生授予“读书新星”称号，请根据以上统计信息估计该校七年级被授予“读书新星”称号的学生人数． 【答案】（1）， （2） （3）该校七年级被授予“读书新星”称号的学生人数为368人 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图，中位数，扇形统计图的圆心角，样本估计总体，看到统计图，从统计图中获得必要的信息是解题的关键． （1）根据频数分布直方图即可求出，根据中位数的定义计算即可求出中位数； （2）利用D组人数所占被调查总人数的比例乘以计算即可； （3）用800乘以80分以上（含80分）的学生的占比即可求解． 【小问1详解】 解：， 将50名同学的成绩按从低到排列，则第25位，第26位的成绩的平均即为中位数． 则中位数为：． 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：(人) 该校七年级被授予“读书新星”称号的学生人数为368人. 20. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上，请按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上． （1）在图①中，作一个以为底的等腰直角三角形； （2）在图②中，作一个面积为的钝角三角形； （3）在图③中，作一个面积为7．且有一组邻边相等的四边形． 【答案】（1）如图①，即为所求 （2）如图②，即为所求． （3）如图③，四边形即为所求． 【解析】 【分析】此题主要考查图形设计，解题的关键是熟知网格的特点． （1）根据网格的特点及等腰直角三角形的特点即可作图； （2）根据网格的特点和三角形面积公式即可作图； （3）根据网格的特点和割补法求面积即可作图； 【小问1详解】 解：， ，即， 为等腰直角三角形； 【小问2详解】 解：，且为钝角； 【小问3详解】 解：， 四边形的面积为， 21. 用甲、乙两个机器同时开始加工一批零件．加工一段时间后，甲机器停工进行检修，乙机器以原来的效率继续加工，乙机器工作效率始终不变．检修结束后，甲机器提高工作效率继续加工，共用了5小时完成任务．两个机器加工的零件总数y（件）与乙机器加工时间x（时）之间的函数图象如图所示． （1）乙机器的工作效率是 件/时． （2）甲机器检修结束后，求y与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围 （3）在整个加工过程中，当甲机器与乙机器加工的零件个数相等时，求乙机器的加工时间． 【答案】（1） （2） （3）乙机器的加工时间为小时 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数解析式，一元一次方程的运用，弄清题意，读懂函数图象，理清各量间的关系是解题的关键. （1）根据图象中数据即可求解乙机器的工作效率； （2）甲机器检修结束后，设与之间的函数解析式为，根据图象中数据，利用待定系数法求解即可； （3）分阶段，根据甲机器与乙机器加工的零件个数相等，建立方程求解，即可解题． 【小问1详解】 解：（件/小时） 【小问2详解】 解：甲机器检修结束后，设与之间的函数解析式为， 由图知，过点，， 有，解得， 与之间的函数解析式为； 【小问3详解】 解：①甲检修前， 甲乙每小时工生产零件件数：（件/小时）， 则甲维修前每小时工生产零件件数：（件/小时）， 则此阶段不存在甲机器与乙机器加工的零件个数相等的情况； ②在甲检修期间， 乙机器的工作效率大于甲机器的工作效率，则此阶段不存在甲机器与乙机器加工的零件个数相等的情况； ③在甲检修完后，此时甲机器提高工作效率， 甲机器与乙机器加工的零件个数相等． ， 解得， 答：乙机器的加工时间为小时． 22. 【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在矩形中，，点E、F分别在边上，且，连结．试探究线段与的长度之和的最小值． 【问题分析】小明以等线段中的一条线段为边，构造与另一条等线段为边的全等三角形，并将两条求和的线段“拼接到一条直线上”，再根据“两点之间线段最短”求最值，解决上述几何问题． 【问题解决】如图②，延长至点G，使，连结．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）线段与的长度之和的最小值为 【方法应用】某种简易广告牌在运输的过程中，由于运输道路状况复杂，车辆行驶时产生的颠簸、震动等外力因素可能会导致广告牌结构松动甚至散架，进而造成损坏并影响后续正常使用．为有效规避此类风险，采用钢丝绳对广告牌进行加固处理是极为必要的防护举措．小明收集了该广告牌的相关数据，并画出了示意图，如图③，在中，，米，米．和分别是两条固定端点B、C但可调节端点M、N的钢丝绳，点M在上，点N在上．在调整钢丝绳端点M、N的位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳与长度之和的最小值为 米． 【答案】问题解决： （1）证明：∵矩形中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）； 方法应用： 【解析】 【分析】问题解决：（1）利用证明，即可得出结论； （2）连接，当三点共线时，有最小值，由（1）知，则有最小值，最小值为的长，利用勾股定理即可求解； 方法应用：如图作，使得．作交的延长线于．首先证明，可得，推出的最小值为的长． 【详解】问题解决： （1）略 （2）连接， 当三点共线时，有最小值， 由（1）知，则有最小值，最小值为的长， ∵，， ∴， ∴； 方法应用： 解：如图作，使得米．作交的延长线于，连接． ， ， ，， ， ， ， 的最小值为的长， ∵， ∴， ∵， ∴，， 在中， ，米， ，， ∴， 在中，米， ∴钢丝绳与长度之和的最小值为米． 【点睛】本题考查两点之间线段最短、矩形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，学会构造全等三角形解决问题是解题的关键． 23. 如图，在中；，，．动点P在折线上运动，点P不与点B重合时，以为腰作等腰三角形，使，且底边在的内部． （1）的长为 ． （2）当点P在上运动，且点Q在边上时，求的长． （3）连结，当直线将分成面积相等的两部分时，求的长． （4）设边与边的交点为点M，当点M将边分成两部分时，直接写出的长． 【答案】（1） （2） （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理即可求解； （2）当点在边上运动，点在边上时，可得； （3）当点在边上时，延长交于点E，过点Q作于点G，可知点E为中点，点在的中线上，则，利用正弦的定义得到，设，则，求出，证明，得到，求出x的值即可得解，当点P在边上，画出示意图，同上可求解； （4）分点P在上和点P在上，两种情况，画出示意图讨论即可． 【小问1详解】 解：中，，，， ∴； 【小问2详解】 解：当点在边上运动，点在边上时，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：当点在边上时，延长交于点E，过点Q作于点G， ∵直线将分成面积相等的两部分， ∴点E为中点，则点在的中线上， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴； 当点P在边上时，如图，延长交于点E，过点Q作于点G， 同理，点E为中点，则点在的中线上， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得 ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， 综上，或； 【小问4详解】 解：当点在边上时，， 设交于点F，过点作交于点，过点作于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同（2）可得， ∴， 由，得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴设，则， ∵，即， 解得：， ∴； 当点在边上时，，则，过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述：的长为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性质等知识点，难度较大，注意分类讨论的思想在本题的应用． 24. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线（c是常数），经过点，点P在抛物线上，横坐标为m，点Q的横坐标为，点Q的纵坐标与点P的纵坐标相同，点P、Q不重合． （1）求抛物线函数表达式及顶点坐标； （2）当点Q在抛物线上时，求的长度； （3）该抛物线与y轴的交点为B，当抛物线在点P和点B之间的部分（包括P、B两点）的最高点和最低点的纵坐标之差为时，求m的值； （4）已知，连结，当抛物线在内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1），顶点坐标为 （2） （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出解析式，化成顶点式，即可解答； （2）结合（1）中抛物线的对称轴，再根据二次函数的对称性即可解答； （3）分，四种情况，结合图象讨论即可； （4）分和种情况，再结合图象讨论即可． 【小问1详解】 解：将代入抛物线， 得：，即， ∴抛物线函数表达式为：， ， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：由（1）知抛物线的对称轴， ∵点P横坐标为m，点Q的横坐标为，且点Q在抛物线上，点Q的纵坐标与点P的纵坐标相同， ∴，解得：， ∴； 【小问3详解】 解：将代入，则， ∴， 根据题意：，抛物线图象开口向上，对称轴为， 当时，则在点P和点B之间的部分（包括P、B两点）的最高点为点P，最低点为点B， ∵最高点和最低点的纵坐标之差为， ∴，即， 解得：（舍去）或（舍去）； 当时，则在点P和点B之间的部分（包括P、B两点）的最高点为点B，最低点为点P， ∵最高点和最低点的纵坐标之差为， ∴，即， 解得：（舍去）或（舍去）； 当时，则在点P和点B之间的部分（包括P、B两点）的最高点为点B，最低点为， ∵最高点和最低点的纵坐标之差为， ∴，即， 解得：； 当时，则在点P和点B之间的部分（包括P、B两点）的最高点为点P，最低点为， ∵最高点和最低点的纵坐标之差为， ∴，即， 解得：或（舍去）； 综上，m的值为或； 【小问4详解】 解：∵，，点Q的横坐标为，且点Q的纵坐标与点P的纵坐标相同， ∴轴，轴， 令， 解得：或， 即或时，点重合， ①当时， 若，则，则点在点P的上方，点Q在点P的右侧， 由（2）知当点Q在抛物线上时，， 如图，若， 此时，抛物线在内部的点的纵坐标y随x的增大而增大，符合题意； 如图，若， 此时，抛物线在内部点的纵坐标y随x的增大而增大，符合题意； 若，如图， 此时，抛物线在内部没有图象． 若，则，则点在点P的下方，点Q在点P的右侧， 此时，抛物线在内部没有图象． ②当时， 若，则，即点在点P的上方，点Q在点P的左侧，如图， 此时，抛物线在内部点的纵坐标y随x的增大而减小，符合题意； 若，则，即点在点P的下方，点Q在点P的左侧，如图， 此时，抛物线在内部没有图象， 综上，m的取值范围为：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，解一元二次方程，二次函数与线段的综合．熟练掌握二次函数的图象与性质，利用分类讨论的思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $