专题08 函数综合与实际应用（3大考点）（吉林专用）2026年中考数学一模分类汇编

动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题08函数综合与实际应用 考点01 反比例函数实际应用 【详解】(1)解：：四边形AOEB是矩形， ∴.BE=OA=6,OE=AB=2, .B(2,6), 设BC段滑梯所在双曲线的解析式为y=(k≠0)， .k=2×6=12, y=2x≥21. x (2)解：CD=1.5, .点C的纵坐标为1.5， 当=15时，15=2，解得：x=8, ∴.点C的横坐标为8，即OD=8, ∴.DE=0D-0E=8-2=6米。 答：B,C之间的水平距离DE的长度为6米. 2. 【详解】(1)解：由题意得：1200×0.5=F1, 六碱方F关于动方臂的函数解折式为F-1>0: (2)解：由1)可知：F=6001>0), 六当1=1.5m时，则F=600 400N, 1.5 答：撬动石头至少需要400N的力. 3. 【详解】(1)解：设y与x之间的函数关系式为y=x>0), :x=1时，y=120, :k=1×120=120, 120 ·y与x之间的函数关系式为y= 2(x>0): 1/21 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)解：对于y= 120(x>0)· x 120=20, 当x=6时，y= 6 :在第一象限内，y随x的增大而减小， :工厂想要在6天内完成这批零件的生产，每天至少需要生产20个零件. 4 【详解】解：(1)由表格可知，vt=30, (kmh)与)之间的函数关系式为v=30 =30=36 (2)当1=时，=3 6 答：它的平均速度是36km/h. (3)根据题意，得30≤80，解得1≥3 答：行驶时间应不少于n. 8 考点02 次函数实际应用 【详解】(1)解：由图象可知，B、C两地的距离为120km,A、B两地的距离为180km, ∴.a=180+120=300, “轿车的速度为： 180 =120km/h, 15 ∴.轿车从B开往C地所需的时间为： 120≥1h, 120 ∴.b=3-1=2; 故答案为：300,2； (2)轿车比货车晚h到达终点， :赛车气达C地所用时间为：3号争。 M.o. ,货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地， M120 2/21 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 设y=kx+b(k≠0)， k+b=0 3 k=-90 解得 k+b=120 b=240' 3 ∴.y=-90x+240 8 (3)由(2)可知，货车的速度为：120÷兰=90kmh, 当轿车到达B地之前：120x+90x+40=300,解得：x-: 当轿车到达B地，货车离B地40km时，40÷90=4h,则：x= 01 44_16<2符合题意： 399 当货车到达C地时，此时轿车离点C的距离为：120×-40km,恰好满足题意，此时x= 3 3: 综上：轿车出发或h啖号h时与货车相距40km。 21 3 6: 【详解】(1)解：在平面直角坐标系中描点，如图所示： V毫升◆ 24 21 18 15 12 9 102030405060701/秒 (2)解：根据解析(1)可知：这些点在一条直线上，因此滴水量V(毫升)是时间t(秒)的一次函数， 设V=k1+b,把10,3，（20,6)代入得： 10k+b=3 20k+b=6' k=0.3 解得： b=0 .V=0.31; (3)解：把1=3600代入得：V=0.3×3600=1080, .1毫升水的质量约为1克， 1/21 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .1小时会滴水1080克，即1.08千克： 50÷1.08=46.3(小时)， 即滴水46.3小时能达到一个人的月平均饮水量. 7. 【详解】(1)解：设一次函数解析式为y2=kx+b(k≠0)， 将A0,10),E(2,70)代入y2=kx+bk≠0)中得， 〔b=10 2k+b=70' b=10 解得：k=30 .2关于x的函数解析式：2=30x+10; (2)解：对于y2=30x+10, 当y2=100时，100=30x+10, 解得：x=3, 即用普通充电桩充电时，汽车电池电量从10kW·h充到100kW·h需3h, 根据图象得用快速充电桩充电时，汽车电池电量从10wh充到10kW,h需h, 327 =-h, 33 即快速充电桩比普通充电桩少用h; (3)解：当0<x≤，时，使用快速充电桩充电1小时，能充(70-10)÷}=180kWh, 21 时，使用快速充电桩充电1小时，能充100一703 =90kW.h, 3 根据题意得：乙品牌电动车使用普通充电桩充电1小时，能充24kW·h, ,电池电量相差10kW·h, 当0<x≤二时，24x+25-(180x+10)=10或24x+25-(180x+10)=10, 解得：x=5 25 或x= 1561 156' 速充电桩，电池电量从10kwh充到70kWh,此时使用普通充 2/21 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 25kW.h充到24×-+25=33kW.h, 3 70-33=38>10, 2 :当<x≤时，在两辆车充电过程中，电池电量之差大于10kW:h 3 综上所述，电池电量相差10kWh时，充电时间为，5h或 156156 8. 【详解】(1)解：观察图象可知：甲乙两地相距420km,m=3+2=5, 故答案为：420,5； (2)解：设直线CD的解析式为y=+b,把C(5,270),D(6.5,420)代入得到 [5k+b=270 6.5k+b=420, k=100 解得6=-230’ ∴.直线CD的解析式为y=100x-230; (3)解：设线段OA所在的直线的解析式为y=kx, 把点A7,420)代入得420=7k, 解得k=60, .y=60x, 由题意：60x-(100x-230)=10, 解得x=5.5,x-5=0.5, 或(100x-230)-60x=10, 解得x=6,x-5=1, 答：小轿车停车休息后还要提速行驶0.5或1小时，与货车之间相距10km. 9. 【详解】（1)解：4min前只进水，总水量为20L,因此进水管每分钟进水20-5L, 4min到12min共8min,既进水又出水，水量从20L增加到30L,总增加水量10L, 设出水管每分钟出水aL,可得：8×(5-a)=30-20,解得a=3.75. 故答案为：5；3.75. 1/21 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)解：当4≤x≤12时，y是x的一次函数，设y=x+b, 由图可知，函数过点(4,20)和12,30)， 4k+b=20 代入得： 12k+b=30 5 k= 解得4， b=15 因此函数关系式为：y-x+154≤r512。 (3)解：因为28>20， 所以x在4≤x≤12范围内， 将y=28代入解析式：28=x+15, 4 52 解得：x= =10.4. 5 10. 【详解】(1)解：由题可知，频率f与水位高度h可近似为一次函数关系， 则设f=h+b(k≠0)， :当h=4时，f=410；当h=12时，f=370: [4k+b=410 [k=-5 12k+b=370' 解得b=430' 则f=-5h+430; (2)解：：音名G4的频率f是392Hz, 当f=392时，-5h+430=392,解得h=7.6, :该水瓶中需要注入的水位高度为7.6cm; (3)解：：当水位高度为4cm时，所使用的水量为80ml,当水位高度为20cm时，所使用的水量为400ml, :当水位高度为lcm时，所使用的水量为20ml, :当水位高度为7.6cm时，所使用的水量为7.6×20=152ml. 考点03 二次函数综合 11. 【详解】(1)解：“二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于点C(1,0),交y轴于点B(0,3), 2/21 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 「-1+b+c=0 [b=-2 c=3 解得 c=3 ·二次函数的解析式y=-x2-2x+3. (2)解：连接OP, D y B y=-x2-2x+3=-(x+12+4,二次函数图象的顶点为P, A P-1,4). .P9=4,00=1. 由y=-x2-2x+3,得 x1=1,x2=-3. :二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴相交于点A, 0A=3 am=5am+5w04,0*+o800-x3x4+分3x1-= 2 (3)解：由点M在对称轴上，则设M(-1,m), 由(2)知，0A=3, .A-3,0) :△AMB是以AB为底边的等腰三角形， :AM =BM 则AMP=BM2. [（-3)-(-1)]+m2=(-1)2+(m-32. 解得m=1. .M-1,1. (4)解：“点E为抛物线y=-x2+bx+c上的一个动点，且横坐标为n, En,-n2-2n+3. 1/21 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :点F的横坐标为-2n+1,且线段EF∥x轴， .E、F纵坐标相等. .F(-2n+1,-n2-2n+3. 当n=-2n+1时，E、F重合， 誅 5 3 2 3-2-1 解得n=3 1 :线段EF与抛物线有两个公共点， :不符合题意。 当-1≤n<二时，n<-2n+1. 3 .E在F左侧.如图 欲 E 2 22 此时，线段EF与抛物线有一个交点，不符合题意. 当n<-1时，n<-2n+1. ∴E在F左侧.如图 2/21 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E 2 3-2-101 23衣 点E关于直线x=-1对称点E横坐标为-2-n 此时，线段EF与抛物线有两个公共点. n<-1. 当n>亏时，m>-2n+1. E在F右侧，如图 桥 4 3 E” 3-2-1023x 此时，点E关于直线x=-1对称点E"横坐标为-2-n, 当E”与F重合时，线段EF与抛物线有两个公共点. .-2-n=-2n+1,解得n=3. n≥3. 综上，n<-1或n≥3 12. 4 【详解】(1)解：：抛物线y=-2+4x+3的对称轴为直线1：x=2x- =2,点A与点0关于直线1对 称， ∴点A的坐标为(4,0)； (2)解：.点O0,0)和点A(4,0)关于对称轴x=2对称，抛物线关于x=2对称 1/21 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 若点P也在对称轴上，则整个图形关于x=2对称，交点B和C也关于x=2对称，从而OB=AC .m=2; (3)解：设PA的中点为D, .P(m,-m+10),A(4,0) m+4 .Xp= 2，=二m+10)+010-m 2 2 2 解得：m1=4,m2=-2 ,PC≤AC D点在c点的下方，近A的收置，即0(+) .-2≤m≤4 (4)解：，点P关于点B的对称点B,点P关于点C的对称点C, 当B与点O重合时，则B是OP的中点， -5 代入y=-x2+4x+3 02m-4） 解得：m=5±7 当C与点A重合时，则C是OP的中点， 由3可得0”-生生 解得：m1=4,m2=-2 2/21 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B ,线段B'C'与线段OA有公共点 ∴.m的取值范围为：-2≤m≤5-√17或4≤m≤5+V17 13. 详解】(1)解：”抛物线y=一x+c过点A(,0 .0=x-02-(10+c, 2 .c=2 3 2)解：由1)得抛物线解析式为y=-- ·对称轴为直线x=1, 当x=1时，y=212 1 3 --1- =-2, ·顶点T1,-2), :点P在抛物线上，横坐标为t,且在对称轴左侧， PH⊥对称轴，垂足为H, :PH =1-t, .PH2=1-t)2, m-1(-+-, 3 PH.-}=2 7H1t-)3 (3)解：：点C为抛物线与y轴交点， 1/21 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .co- 点P在第四象限， >0且-1 2 30, 解得：0<1<3， 抛物线弧CP的最高点与最低点需分情况讨论： 当0<t≤1时，弧CP在对称轴左侧，抛物线单调递减， 。最商点为C0-昌、最低点为P-1月， 2 知形的商为（--1多=1 2 3 2 2 f2+-1-f+: 当1<1≤2时，弧CP包含顶点T1,-2),且yp≤c, 最高点为C0,-多，最低点为70，-2， 矩形的商为(3-(-2)2 1 f=2t+)=2t+1 当2<t<3时，弧CP包含顶点TL,-2),且yp>yc, 设滴点为P-1-,层低点为T0-2》, 知形的高为-13-(2)-. f=2+2-]=2+1. -2+4t(0<t≤1) 综上所述：f={2t+11<t≤2) t2+1 (2<t<3) 14. 【详解】(1)解：把A(2,n代入y=x2(x≤2，得m=22=4: (2)解：，y=x2(x≤2)， .顶点坐标为(0,0)， 2/21 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 将图象H,绕点A旋转180°得到的图象记为H2, 由(1)知：A(2,4) 则H2的顶点坐标为4,8)， ∴.H2的解析式为y=-(x-4)+8(x≥2)； (3)解：①当m<0时，则点Q的横坐标为4+m<4, P,Q两点的纵坐标相同， ∴.P,2两点关于y=x的对称轴对称，即关于y轴对称， .∴.m+4+m=0, .m=-2; 当m≥0时，则点0的横坐标为4-m≤4， :m+4-m=2,且PQ两点的纵坐标相同， 2 .点P,Q关于点A对称，且P,Q的纵坐标与点A的纵坐标相同， ∴.4-m和2关于y轴对称， ∴.4-m+2=0, ∴.m=6; 综上：m=-2或m=6; ②当m≥0时，则点0的横坐标为4-m, 当yo-yp=6时，即-(4-m-4)+8-m2=6,解得m=1或m=-1(舍去)， .当0≤m<1,点P与点Q之间部分（包括点P和点Q)的最高点与最低点的纵坐标的差大于6； 当yp-yo=6时，即-(m-4)+8-(4-m)=6,解得m=3或m=5, 当m>3时，点P与点Q之间部分（包括点P和点Q)的最高点与最低点的纵坐标的差大于6； 当m<0时，则9点坐标为4+m, 当y。=6时，则-(4+m-4)+8=6,解得m=-√2或m=√2（舍去）； ∴.当-√2<m<0时，点P与点Q之间部分（包括点P和点Q)的最高点与最低点的纵坐标的差大于6； 当yp=6时，则：m2=6,解得m=-√6或m=√6（舍去）， ∴.当m<-√6时，点P与点Q之间部分（包括点P和点Q)的最高点与最低点的纵坐标的差大于6； 1/21 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 综上：m<-√6或-√2<m<1或m>3时，点P与点Q之间部分（包括点P和点Q)的最高点与最低点的 纵坐标的差大于6. 15. 【详解】(1)解：由题意得： 2 -b+c=0 9 +3b+C=0 2 b=-1 解得： 3, C=- ·该抛物线的解析式为y=-x一2 1 3 2 2)解：由(1)可知抛物线解析式为y=2--},则对称轴为直线x=1, 3 2 设点A(x,y,B(x2,y2),由题意可知：当m<x<m+1<x<m+3时，总有>2， 如图， P.m O:m+1 -九M:m+3 要想保证>2，则ye≥yM,即点M离对称轴更近， .m+3-1≤1-(m+1, 解得：m≤-l; (3)解：如图： ①由题意可知：Pn-m引Qa+1m+-(m+-》, 2/21 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ca+1m2-m引M+3m+3-m+3到-》，pm+1m+-(m+到-别 c--小1,0=kw动=2，c0m-m号++a-1+到+ 0D-a÷-a÷-++s++-2m+. ,△PCQ的面积是△QDM的面积的2倍， 1 m+=2×,×2×2m+2斗， 1 2x1m+2 解得：m= 17 6m 149 ②当点P与点Q关于对称轴对称时，m+m+1=1,解得：m= 2 2 当点Q与点M关于对称轴对称时， m+1+m+3=1,解得：m=-1, 当m时，则8》c38） ∴.2，C重合，如图：此时四边形PDMC内部没有抛物线，不符合题意； yD -(C 当m>号时，点Q在四边形PDMC内部，如图所示：符合题意； M 当-1<m<二时，点Q在四边形PDMC外部，如图所示：不符合题意； 1/21 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C 当m=-1时，则P-L,0,Q0》0-引，C0.0,如图：此时四边形PDvc内部没有抛物线， 不符合题意； KC) (D) 当m<-1时，点Q在四边形PDMC内部，如图所示：不符合题意； 综上所述：当m>号时，抛物线在四边形PDMC内部的点的纵坐标y随x的增大而增大. 16. 【详解】(1)解：：抛物线y=ax2+2x+c经过原点O,点B-1,-3)在抛物线上， c=0 a-2+c=-3' a=-1 解得 c=0 2/21 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ·抛物线的解析式为y=-x2+2x, :y=-x2+2x=-x-12+1, :抛物线的顶点坐标为1，； (2)解：：点M是抛物线上一点（不与点B重合），其横坐标为m, 又以BM为对角线作矩形BCMD,BC垂直于y轴，且抛物线在矩形BCMD内部的图象从左到右逐渐上升， 如图： 则当M在C上方时满足条件， 当点C、M重合时，为满足题干条件的临界点， :当y=-3时，有-x2+2x=-3, 解得x1=3,x2=-1, 此时，m=3, :当m<3且m≠-I时，抛物线在矩形BCMD内部的图象从左到右逐渐上升； (3)解：“点M横坐标为m, ·yM=-m2+2m, 当点M在点C的上方时， :矩形BCMD内部的抛物线（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为2， -m2+2m--3=2, 解得m=1+√2或m=1-√2； 当点M在点C的下方时， ·矩形BCMD内部的抛物线（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为2， .-3--m2+2m=2, 解得m=1+√6或m=1-√6； 1/21 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 综上，当矩形BCMD内部的抛物线（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为2时，m的值 为1+√2或1-√2或1+√6或1-√6； (4)解：由(3)可知yM=-m2+2m, :矩形BCMD为正方形， .BC=MC, ∴m-(-1=m2+2m-(-3外，即m+1=-m2+2m+3 ·m+1=-m2+2m+3或m+1=--m2+2m+3, 解得m=2或m=-1(不合题意，舍去)或m=4或m=-1(不合题意，舍去)， 综上，当矩形BCMD为正方形时，m的值为2或4. 【点晴】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，矩形的性质， 坐标与图形的性质，正方形的性质，数形结合是解答本题的关键. 17. 【详解】(1)解：对于y=x2+2x-3x<0), 列表： -1 -2 -3 … -4 -3 0 对于y=-x2+4x-3x20), 列表： 0 1 2 3 4 …… -3 0 0 -3 描点，连线，如图， 2/21 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3 2 -5-4-1-2-10 4 -1 2 (2)解：把x=m=1代入y=-x2+4x-3x≥0)，得，y4=-12+4×1-3=0, 把x=-m=-1代入y=x2+2x-3x<0),得yB=(-1)2+2×(-1)-3=-4, ∴.y4-yB=0-（-4)=4 故答案为：4； (3)解：当m>0时： ∴.Am,-m2+4m-3,B-m,m2-2m-3, ,过线段AB的中点P作y轴的垂线PQ, ÷p=-m+4m-3+m2-2m-3=m-3, 2 由图可知，当m>0时；图象最高点为(2,1)， 当m<0时：图象最低点为-1，-4)， ∴.当直线PQ与抛物线G的函数图象有三个交点时，-4<m-3<1, 解得-1<m<4, .0<m<4; 当m<0时， Am,m2+2m-3,B-m,-m2-4m-3, ÷p=m+2m-3,m2-4m-3三-m-3 2 由图可知，当直线PQ与抛物线G的函数图象有三个交点时，-4<-m-3<1, ∴.解得：-4<m<1, ∴.-4<m<0 1/21 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3 2 -5-4- -2-10 45衣 综上所述：当直线PQ与抛物线G的函数图象有三个交点时，-4<m<0,0<m<4; (4)解：当m≥0时： ,Am,-m2+4m-3）,B-m,m2-2m-3, ∴.yB=(-m+3)x+(m-3)=(-m+3)(x-1, .直线AB必过点1,0)； 当m<0时， Am,m2+2m-3,B-m,-m2-4m-3, .yB=(m+3)x-(m+3)=(m+3)(x- .直线AB必过点1，O): 当m=3或m=-3时，A,B,C在同一直线上，无法构成三角形， 结合下图分析： ,抛物线G的图象在ABC内部（不包括边界）y随着x的增大而增大或y随着x的增大而减小， ∴.m<-3或-2≤m<-1或1≤m<3. 45衣 摆>3 2<3 1≤m<2 0<m<1 2/21 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4 451 -4--2-1 B45 1总m安0 3<-2 1/21 专题08 函数综合与实际应用 3大考点概览 考点01反比例函数实际应用 考点02一次函数实际应用 考点03二次函数综合 反比例函数实际应用 考点01 1．（2026·吉林·一模）如图，为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，建立如图的坐标系后，其中，矩形为向上攀爬的梯子，米，进口，且米，出口C点距水面的距离为． (1)求段滑梯所在双曲线的解析式； (2)若为米，求B，C之间的水平距离的长度． 【答案】(1) (2)6米 【分析】（1）根据矩形的性质得到点，设段滑梯所在双曲线的解析式为，再利用待定系数法求解即可； （2）根据题意得到点C的纵坐标为，代入（1）中双曲线的解析式，求解出点C的横坐标，得到的长，利用即可解答． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 设段滑梯所在双曲线的解析式为， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴点C的纵坐标为， 当时，，解得：， ∴点C的横坐标为8，即， ∴米． 答：B，C之间的水平距离的长度为6米． 2．（2026·吉林·一模）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡．后来人们把它归纳为“杠杆原理”．通俗地说，杠杆原理为：阻力×阻力臂=动力×动力臂．大伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为和． (1)求动力F关于动力臂l的函数解析式． (2)当动力臂为时，撬动石头至少需要多大的力？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据“阻力×阻力臂=动力×动力臂”可直接进行求解； （2）由（1）可直接进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴动力F关于动力臂l的函数解析式为； （2）解：由（1）可知：， ∴当时，则， 答：撬动石头至少需要的力． 3．（2026·吉林松原·一模）某工厂生产一批零件，零件总数一定，每天生产的零件数y（个）与生产天数x（天）成反比例关系．已知时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若工厂想要在6天内完成这批零件的生产，那么每天至少需要生产多少个零件？ 【答案】(1) (2)每天至少生产20个 【分析】本题考查反比例函数的应用，理解题意是解题的关键． （1）设y与x之间的函数关系式为，将，代入计算即可； （2）将代入（1）中解析式即可求解． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 时，， ， y与x之间的函数关系式为； （2）解：对于， 当时，， 在第一象限内，y随x的增大而减小， 工厂想要在6天内完成这批零件的生产，每天至少需要生产20个零件． 4．（2026·吉林名校调研·一模）问题情境： 区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪搜集了某路段测速区间内若干小型汽车行驶的平均速度与行驶时间的数据如下表．建立模型： （1）根据调查数据可知，该路段测速区间内小型汽车平均速度是行驶时间的函数．求与之间的函数关系式； 小型车辆 行驶时间 平均速度 问题解决： （2）若某辆小汽车通过该测速区间的行驶时间为，求它的平均速度； （3）已知该测速区间限速要求不超过，小汽车通过该测速区间时，行驶时间应控制在怎样的范围内？ 【答案】（）；（）它的平均速度是；（）行驶时间应不少于． 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （）由表格可知，从而求得函数解析式； （）把代入解析式即可求解； （）根据题意得，然后反比例函数的性质即可求解． 【详解】解：（）由表格可知，， ∴与之间的函数关系式为； （）当时，， 答：它的平均速度是． （）根据题意，得，解得， 答：行驶时间应不少于． 一次函数实际应用 考点02 5．（2026·吉林四平·模拟）一条公路上依次有A、B、C三地，一辆轿车从A地出发途经B地接人，停留一段时间后原速驶往C地；一辆货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地（卸货时间忽略不计）．两车同时出发，轿车比货车晚到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货车距各自出发地的距离y（单位：）与轿车的行驶时间x（单位：h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)图中a的值是_______，b的值是_______； (2)在货车从B地返回C地的过程中，求货车距出发地的距离y（单位：）与行驶时间x（单位：h）之间的函数解析式； (3)直接写出轿车出发多长时间与货车相距40． 【答案】(1)300，2 (2) (3)或或 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图象中有效的获取信息，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）根据货车的图象得到B、C两地的距离为，进而求出的值，求出轿车的速度，求出轿车从开往地所需的时间，进而求出的值； （2）根据轿车比货车晚到达终点，求出点坐标，进而求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （3）分轿车到达地之前，轿车到达地，货车离地，以及货车到达地时，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，B、C两地的距离为，A、B两地的距离为， ∴， ∵轿车的速度为：， ∴轿车从开往地所需的时间为：， ∴； 故答案为：300，2； （2）∵轿车比货车晚到达终点， ∴货车到达地所用时间为：， ∴， ∵货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地， ∴， 设， ∴，解得：， ∴； （3）由（2）可知，货车的速度为：， ∴当轿车到达地之前，，解得：； 当轿车到达地，货车离地时，，则：符合题意； 当货车到达地时，此时轿车离点的距离为：，恰好满足题意，此时； 综上：轿车出发或或时与货车相距40． 6．（2026·吉林吉林市·模拟）项目式学习 项目主题：节约用水从你我做起． 项目背景：我国人均水资源量只有2100立方米，仅为世界人均水平的．全国约有三分之二的城市缺水，约有四分之一的城市严重缺水．生活中，有时会见到水龙头滴水的现象，因此某校综合与实践小组的同学以“节约用水从你我做起”为主题开展项目式学习． 驱动任务：探究水龙头滴水量与时间的关系． 项目实施：①准备一个容量为50毫升的量筒． ②选择一处滴水的水龙头，用该量筒接水． ③每隔10秒，观察并记录量筒中水的体积 数据记录： 时间t/秒 10 20 30 40 50 60 70 滴水量V/毫升 3 6 9 12 15 18 21 问题解决：请完成下列任务． (1)请在如图所示的平面直角坐标系中描出上表中的数据对应的点． (2)滴水量V（毫升）是时间t（秒）的________（填“一次”“二次”或“反比例”）函数，并求出V与t的函数表达式． (3)按照此滴水速度，1小时会滴水多少千克（结果保留两位小数，1毫升水的质量约为1克）？一个人的月平均饮水量为50千克，则滴水多少小时能达到一个人的月平均饮水量（结果保留一位小数）？ 【答案】(1)见解析 (2)一次； (3)1小时会滴水千克；滴水小时能达到一个人的月平均饮水量 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法． （1）根据表格中的数据描点即可； （2）根据函数图象，得出滴水量V（毫升）是时间t（秒）的一次函数，利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）把代入求出，即可得出1小时滴水量，用50千克除以1小时滴水量，即可得出滴水时间． 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中描点，如图所示： （2）解：根据解析（1）可知：这些点在一条直线上，因此滴水量V（毫升）是时间t（秒）的一次函数， 设，把，代入得： ， 解得：， ∴； （3）解：把代入得：， ∵1毫升水的质量约为1克， ∴1小时会滴水克，即千克； （小时）， 即滴水小时能达到一个人的月平均饮水量． 7．（2026·吉林白山·模拟）学科实践 新能源汽车的发展正从电动化迈向智能化与能源低碳化的融合新阶段．某校数学兴趣小组为了解新能源汽车的充电情况，对甲品牌汽车进行了调查研究，绘制了如图所示的汽车电池电量y（单位：）与充电时间x（单位：h）之间的函数图象，其中折线表示该品牌汽车用快速充电桩充电时与x的函数关系；线段表示其用普通充电桩充电时与x的函数关系．根据相关信息，回答下列问题： (1)求关于x的函数表达式． (2)该品牌汽车电池电量从充到，快速充电桩比普通充电桩少用多少h． (3)某天李明与王强下班后决定给电动汽车充电，充电情况如下表． 品牌 充电方式 充电前电量 李明 甲 快速充电 王强 乙 普通充电 已知乙品牌电动汽车使用普通充电桩充电1小时，能充，且充电速度始终保持不变，两人同时充电，在两辆车充电过程中，电池电量相差时，充电时间为多久？（直接写出答案）（说明：充至即充满，停止充电） 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）设一次函数解析式为，再将两点坐标代入即可； （2）当时，，即用普通充电桩充电时，汽车电池电量从充到需，根据图象得用快速充电桩充电时，汽车电池电量从充到需，即可； （3）分两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：设一次函数解析式为， 将代入中得， ， 解得：， ∴关于的函数解析式：； （2）解：对于， 当时，， 解得：， 即用普通充电桩充电时，汽车电池电量从充到需， 根据图象得用快速充电桩充电时，汽车电池电量从充到需， ∵， 即快速充电桩比普通充电桩少用； （3）解：当时，使用快速充电桩充电1小时，能充， 当时，使用快速充电桩充电1小时，能充， 根据题意得：乙品牌电动车使用普通充电桩充电1小时，能充， ∵电池电量相差， 当时，或， 解得：或， 当时，使用快速充电桩，电池电量从充到，此时使用普通充电桩，电池电量从充到， ∵， ∴当时，在两辆车充电过程中，电池电量之差大于； 综上所述，电池电量相差时，充电时间为或． 8．（2026·吉林长春名校调研·一模）一辆货车和一辆小轿车同时从甲地出发，货车匀速行驶至乙地，小轿车中途停车休息2小时后提速行驶至乙地．设行驶时间为，货车的路程为，小轿车的路程为，图中的线段与折线分别表示、与x之间的函数关系． (1)甲、乙两地相距________km，________； (2)求线段所在直线的函数表达式； (3)小轿车停车休息后提速再行驶多长时间，与货车之间相距10km？ 【答案】(1)420；5 (2)； (3)休息后还要提速行驶或小时，与货车之间相距． 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）直接根据图象写出两地之间的距离和的值； （2）利用待定系数法确定函数的解析式即可； （3）分成两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：观察图象可知：甲乙两地相距，， 故答案为：420，5； （2）解：设直线的解析式为，把 代入得到 ， 解得 ， ∴直线的解析式为； （3）解：设线段所在的直线的解析式为 ， 把点代入得 ， 解得， ∴ 由题意：， 解得，， 或， 解得，， 答：小轿车停车休息后还要提速行驶或小时，与货车之间相距． 9．（2026·吉林长春·一模）一个有进水管与出水管的容器，前只进水不出水，在随后的既进水又出水，每分的进水量与出水量是两个常数．容器内的水量（单位：L）与时间（单位：）之间的函数关系如图所示． (1)进水管每分进水______L，出水管每分出水______L； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)当容器内的水量是时，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了函数图象的信息获取，待定系数法求一次函数解析式． （1）因为前4分钟只进水，所以用4分钟后的水量除以4可得到进水管每分钟进水量；因为4到12分钟既进水又出水，先算出这段时间的水量变化量，结合进水量和时间，可求出出水管每分钟出水量． （2）因为当时，与是一次函数关系，利用待定系数法求解函数关系式． （3）将代入（2）中求得的函数关系式中，求解即可． 【详解】（1）解：前只进水，总水量为，因此进水管每分钟进水， 到共，既进水又出水，水量从增加到，总增加水量， 设出水管每分钟出水，可得：，解得． 故答案为：；． （2）解：当时，是的一次函数，设， 由图可知，函数过点和， 代入得： ， 解得， 因此函数关系式为：． （3）解：因为， 所以在范围内， 将代入解析式： ， 解得：． 10．（2026·吉林·一模）【知识背景】某学校的学习小组计划用同种型号的玻璃瓶制作一组水瓶乐器．根据物理学中的振动频率和音调的关系可知，在敲击玻璃瓶时，声音的振动频率随瓶中水位高度的变化而变化．水位越高，振动越慢，音调越低；水位越低，振动越快，音调越高． 【信息收集】学习小组通过查阅资料，列出以下音名与频率的对照表（表1）： 音名 频率 【数据记录】学习小组进行了多次实验，记录水瓶不同水位高度h与对应的振动频率f的部分数据如下表（表2）： 水位高度 4 8 12 16 20 频率 【建立模型】学习小组以水位高度h为横坐标，频率f为纵坐标，根据表2中的数据绘制散点图．观察各点的分布特征，发现其大致分布在一条直线附近，表明f与h之间存在近似线性关系．基于此，学习小组将表2中的频率数据保留整数位后，采用线性函数对其变化规律进行近似刻画，进而求出水瓶乐器的频率f与水位高度h的函数关系式． 【解决问题】根据以上信息，解答下列问题： (1)请依照学习小组的方法，求水瓶乐器的频率f与水位高度h的函数关系式（不要求写出h的取值范围）． (2)若要制作能敲击出音名的水瓶乐器，求该水瓶中需要注入的水位高度． (3)已知水瓶乐器中的水量随水位高度均匀变化，当水位高度为时，所使用的水量为；当水位高度为时，所使用的水量为．若要制作能敲击出音名的水瓶乐器，直接写出该水瓶中需要注入的水量． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题可知，频率f与水位高度h可近似为一次函数关系，利用待定系数法即可求解； （2）根据表格可知，音名的频率f是，代入解析式，计算即可； （3）先求出水位高度为的用水量为，再根据（2）的结果，计算即可． 【详解】（1）解：由题可知，频率f与水位高度h可近似为一次函数关系， 则设， 当时，；当时，； ，解得， 则； （2）解：音名的频率f是， 当时，，解得， 该水瓶中需要注入的水位高度为； （3）解：当水位高度为时，所使用的水量为，当水位高度为时，所使用的水量为， 当水位高度为时，所使用的水量为， 当水位高度为时，所使用的水量为． 二次函数综合 考点03 11．（2026九年级·吉林·专题练习）如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，交轴于点． (1)求此二次函数的解析式； (2)如图①，设二次函数图象的顶点为，对称轴与轴交于点，求四边形的面积（请在图①中探索）； (3)二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由（请在图②中探索）； (4)点为抛物线上的一个动点，且横坐标为，点的横坐标为，且线段轴，当线段与抛物线有两个公共点时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为 (4)或 【分析】本题考查了二次函数图象与的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． （1）将B，C两点坐标代入抛物线的解析式，进一步求解得出结果； （2）连接，将二次函数的解析式配方求得顶点的坐标，令求得A的坐标，从而求得，，的长，再根据求得结果； （3）设，表示出和，根据列出方程求得m的值，进而求得结果． （4）分情况考虑E、F情况，结合线段与抛物线有两个公共点，求得的取值范围． 【详解】（1）解：二次函数的图象与轴交于点，交轴于点， 解得 二次函数的解析式． （2）解：连接， ，二次函数图象的顶点为， ． ，． 由，得 ，． 二次函数的图象与轴相交于点， ． ． （3）解：由点在对称轴上，则设， 由（2）知，， ． 是以为底边的等腰三角形， ． 则． ． 解得． ． （4）解：点为抛物线上的一个动点，且横坐标为， ． 点的横坐标为，且线段轴， 、F纵坐标相等． ． 当时，E、F重合， 解得． 线段与抛物线有两个公共点， 不符合题意． 当时，． 在F左侧．如图 此时，线段与抛物线有一个交点，不符合题意． 当时，． 在F左侧．如图 点关于直线对称点横坐标为 此时，线段与抛物线有两个公共点． ． 当时，． 在F右侧，如图 此时，点关于直线对称点横坐标为． 当与F重合时，线段与抛物线有两个公共点． ，解得． ． 综上，或 12．（2026·吉林长春·一模）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点．已知抛物线的对称轴为直线，点与点关于直线对称．点在直线上，连接、分别交抛物线于点、，设点的横坐标为． (1)求点的坐标； (2)当时，的值为______； (3)当时，求的取值范围； (4)作点关于点的对称点，点关于点的对称点，连结．当线段与线段有公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）先求得抛物线的对称轴为直线，根据轴对称的性质即可得出点的坐标； （2）根据轴对称图形的性质可得在对称轴上，即可求解； （3）先求得的中点的坐标，求得临界值，即重合时的值，根据得出点在点的下方，进而求得的范围； （4）先求得分别与重合时的的值，结合函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线：，点与点关于直线对称， ∴点的坐标为； （2）解：∵点和点关于对称轴对称，抛物线关于对称 若点也在对称轴上，则整个图形关于对称，交点和也关于对称，从而 ∴； （3）解：设的中点为， ∵， ∴， 当重合时，， 解得： ∵ ∴点在点的下方，靠近的位置，即 ∴ （4）解：∵点关于点的对称点，点关于点的对称点， 当与点重合时，则是的中点， ∴ 代入 ∴ 解得： 当与点重合时，则是的中点， 由（3）可得 解得： ∵线段与线段有公共点 ∴的取值范围为：或 13．（2026·吉林四平·模拟预测）抛物线与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C，T是抛物线的顶点，P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为t． (1)求c的值； (2)如图1，若点P在对称轴左侧，过点P作对称轴的垂线，垂足为H，求的值； (3)定义：抛物线上两点M，N之间的部分叫做抛物线弧（含端点M和N）．过M，N分别作x轴的垂线，过抛物线弧的最高点和最低点分别作y轴的垂线，直线与围成的矩形叫做抛物线弧的特征矩形，若点P在第四象限，记抛物线弧的特征矩形的周长为f．求f关于t的函数解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点代入抛物线解析式求． （2）先求出抛物线对称轴及顶点坐标，表示出点和垂足的坐标，计算和，再求比值． （3）根据点在第四象限确定的范围，按抛物线弧是否包含对称轴及最高点位置分三种情况讨论，分别求出特征矩形的长和宽，进而得到周长关于的函数解析式． 【详解】（1）解： 抛物线过点， ， ． （2）解：由（1）得抛物线解析式为， 对称轴为直线， 当时，， 顶点， 点在抛物线上，横坐标为，且在对称轴左侧， ， 对称轴，垂足为， ， ， ， ， ． （3）解： 点为抛物线与轴交点， ， 点在第四象限， 且 ， 解得：， 抛物线弧的最高点与最低点需分情况讨论： 当时，弧在对称轴左侧，抛物线单调递减， 最高点为，最低点为， 矩形的高为， ； 当时，弧包含顶点，且， 最高点为，最低点为， 矩形的高为， ； 当时，弧包含顶点，且， 最高点为，最低点为， 矩形的高为， ． 综上所述： 14．（2026·吉林·一模）如图1，二次函数的图象经过点．如图2，将二次函数的图象记为，将图象绕点A旋转得到的图象记为，将图象和组合成的图象记为H． (1)求n的值． (2)求图象对应的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (3)点P，Q是图象H上两个不同的点，其横坐标分别为m，． ①当点P与点Q的纵坐标相等时，直接写出m的值． ②当图象H在点P与点Q之间部分（包括点P和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差大于6时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①或；②或或 【分析】（1）把代入进行求解即可； （2）求出的顶点坐标，进而求出函数解析式，写出自变量的取值范围即可； （3）①分和，两种情况，根据对称性进行求解即可；②分和两种情况，每种情况再分两种情况，求出临界点，即可． 【详解】（1）解：把代入，得； （2）解：∵， ∴顶点坐标为， 将图象绕点A旋转得到的图象记为， 由（1）知： 则的顶点坐标为， ∴的解析式为； （3）解：①当时，则点的横坐标为， ∵两点的纵坐标相同， ∴两点关于的对称轴对称，即关于轴对称， ∴， ∴； 当时，则点的横坐标为， ∵，且两点的纵坐标相同， ∴点关于点对称，且的纵坐标与点的纵坐标相同， ∴和2关于轴对称， ∴， ∴； 综上：或； ②当时，则点的横坐标为， 当时，即，解得或（舍去）， ∴当，点P与点Q之间部分（包括点P和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差大于6； 当时，即，解得或， ∴当时，点P与点Q之间部分（包括点P和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差大于6； 当时，则点坐标为， 当时，则，解得或（舍去）； ∴当时，点P与点Q之间部分（包括点P和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差大于6； 当时，则：，解得或（舍去）， ∴当时，点P与点Q之间部分（包括点P和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差大于6； 综上：或或时，点P与点Q之间部分（包括点P和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差大于6． 15．（2026·吉林松原·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴交于点和．点P、Q、M均在该抛物线上，横坐标分别为m、、． (1)求该抛物线对应的函数关系式； (2)在该抛物线上P、Q两点之间的部分任取一点A，在Q、M两点之间的部分任取一点B（点A、B均不与端点重合），若点A的纵坐标总大于点B的纵坐标，则m的取值范围是_____； (3)过点P作垂直于直线于点C，过点M作垂直于直线于点D． ①当的面积是的面积的2倍时，求m的值； ②连接，当此抛物线在四边形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①或；② 【分析】（）根据待定系数法即可求解； （）由（）可知抛物线解析式为，则对称轴为直线，设点，，由题意可知：当时，总有，要想保证，则，即点离对称轴更近，所以，然后解不等式即可； （）先求得，，，，根据的面积是的面积的倍，则，求的值即可； 当点与点关于对称轴对称时，，解得：，当点与点关于对称轴对称时，，解得：，然后分四种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：由（）可知抛物线解析式为，则对称轴为直线， 设点，由题意可知：当时，总有， 如图， 要想保证，则，即点离对称轴更近， ∴， 解得：； （3）解：如图： 由题意可知：，，，， ∴，，，， ∵的面积是的面积的倍， ∴， 解得：，； 当点与点关于对称轴对称时，，解得：， 当点与点关于对称轴对称时，，解得：， 当时，则，， ∴重合，如图：此时四边形内部没有抛物线，不符合题意； 当时，点在四边形内部，如图所示：符合题意； 当时，点在四边形外部，如图所示：不符合题意； 当时，则，，，，如图：此时四边形内部没有抛物线，不符合题意； 当时，点在四边形内部，如图所示：不符合题意； 综上所述：当时，抛物线在四边形内部的点的纵坐标随的增大而增大． 16．（2026·吉林吉林·模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点O，与x轴正半轴交于另一点A，点B在抛物线上，点M是抛物线上一点（不与点B重合），其横坐标为m，以为对角线作矩形，垂直于y轴． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出m的取值范围； (3)当矩形内部的抛物线（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为2时，求m的值； (4)当矩形为正方形时，直接写出m的值． 【答案】(1)， (2)且 (3)或或或 (4)或 【分析】（1）将原点O，点B代入解析式中求解，即可得到抛物线的解析式，再将其化为顶点式，即可求出抛物线的顶点坐标； （2）根据抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升，结合点M是抛物线上一点（不与点B重合），其横坐标为m，以及垂直于y轴，画出草图，推出满足题干条件的临界点，利用数形结合进行分析，即可解题； （3）根据二次函数解析式得到，再分两种情况，当点在点的上方时，当点在点的下方时，结合矩形内部的抛物线（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为2，建立方程求解，即可解题； （4）由（3）可知，根据矩形为正方形，得到，据此建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：抛物线经过原点O，点B在抛物线上， ， 解得， 抛物线的解析式为， ， 抛物线的顶点坐标为； （2）解：点M是抛物线上一点（不与点B重合），其横坐标为m， 又以为对角线作矩形，垂直于y轴，且抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升，如图： 则当M在C上方时满足条件， 当点重合时，为满足题干条件的临界点， 当时，有， 解得， 此时，， 当且时，抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升； （3）解：点M横坐标为m， ， 当点在点的上方时， 矩形内部的抛物线（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为2， ， 解得或； 当点在点的下方时， 矩形内部的抛物线（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为2， ， 解得或； 综上，当矩形内部的抛物线（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为2时，m的值为或或或； （4）解：由（3）可知， 矩形为正方形， ， ，即 或， 解得或（不合题意，舍去）或或（不合题意，舍去）， 综上，当矩形为正方形时， m的值为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，矩形的性质，坐标与图形的性质，正方形的性质，数形结合是解答本题的关键． 17．（2026·吉林白山·模拟）在平面直角坐标系中，点为坐标原点．抛物线的函数表达式为，点、均在抛物线上，横坐标分别为、． (1)在下面的平面直角坐标系中，画出抛物线的函数图象； (2)当时，点与点纵坐标的差为__________； (3)当时，连接，过线段的中点作轴的垂线，当直线与抛物线的函数图象有三个交点时，求的取值范围； (4)作点关于点的对称点，记为点，当连接点、、能构成三角形时，若抛物线的图象在内部（不包括边界）随着的增大而增大或随着的增大而减小，则请直接写出的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4)或或 【分析】（1）利用描点法绘制函数图象，注意顶点及与坐标轴的交点； （2）把代入函数解析式求得函数值，最后作差即可： （3）根据的正负分情况讨论中点纵坐标的取值范围即可； （4）结合图象找到不同情况下对应的个点的位置，逐一分析是否符合题目要求，即可找到取值范围． 【详解】（1）解：对于， 列表： …… 对于， 列表： …… …… 描点，连线，如图， （2）解：把代入，得，， 把代入，得， ∴. 故答案为：； （3）解：当时； ∴， ∵过线段的中点作轴的垂线， ∴， 由图可知，当时；图象最高点为， 当时：图象最低点为， ∴当直线与抛物线的函数图象有三个交点时，， 解得， ∴； 当时， ∵， ∴ 由图可知，当直线与抛物线的函数图象有三个交点时，， ∴解得：， ∴ 综上所述：当直线与抛物线的函数图象有三个交点时，； （4）解：当时； ∵， ∴， ∴直线必过点； 当时， ∵， ∴ ∴直线必过点； 当或时，在同一直线上，无法构成三角形， 结合下图分析： ∵抛物线的图象在内部（不包括边界）随着的增大而增大或随着的增大而减小， ∴或或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象的画法、二次函数的最值，及二次函数与其他问题的结合；关键是灵活熟练应用知识点解题． 34/35 1/35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 函数综合与实际应用 3大考点概览 考点01反比例函数实际应用 考点02一次函数实际应用 考点03二次函数综合 反比例函数实际应用 考点01 1．（2026·吉林·一模）如图，为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，建立如图的坐标系后，其中，矩形为向上攀爬的梯子，米，进口，且米，出口C点距水面的距离为． (1)求段滑梯所在双曲线的解析式； (2)若为米，求B，C之间的水平距离的长度． 2．（2026·吉林·一模）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡．后来人们把它归纳为“杠杆原理”．通俗地说，杠杆原理为：阻力×阻力臂=动力×动力臂．大伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为和． (1)求动力F关于动力臂l的函数解析式． (2)当动力臂为时，撬动石头至少需要多大的力？ 3．（2026·吉林松原·一模）某工厂生产一批零件，零件总数一定，每天生产的零件数y（个）与生产天数x（天）成反比例关系．已知时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若工厂想要在6天内完成这批零件的生产，那么每天至少需要生产多少个零件？ 4．（2026·吉林名校调研·一模）问题情境： 区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪搜集了某路段测速区间内若干小型汽车行驶的平均速度与行驶时间的数据如下表．建立模型： （1）根据调查数据可知，该路段测速区间内小型汽车平均速度是行驶时间的函数．求与之间的函数关系式； 小型车辆 行驶时间 平均速度 问题解决： （2）若某辆小汽车通过该测速区间的行驶时间为，求它的平均速度； （3）已知该测速区间限速要求不超过，小汽车通过该测速区间时，行驶时间应控制在怎样的范围内？ 一次函数实际应用 考点02 5．（2026·吉林四平·模拟）一条公路上依次有A、B、C三地，一辆轿车从A地出发途经B地接人，停留一段时间后原速驶往C地；一辆货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地（卸货时间忽略不计）．两车同时出发，轿车比货车晚到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货车距各自出发地的距离y（单位：）与轿车的行驶时间x（单位：h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)图中a的值是_______，b的值是_______； (2)在货车从B地返回C地的过程中，求货车距出发地的距离y（单位：）与行驶时间x（单位：h）之间的函数解析式； (3)直接写出轿车出发多长时间与货车相距40． 6．（2026·吉林吉林市·模拟）项目式学习 项目主题：节约用水从你我做起． 项目背景：我国人均水资源量只有2100立方米，仅为世界人均水平的．全国约有三分之二的城市缺水，约有四分之一的城市严重缺水．生活中，有时会见到水龙头滴水的现象，因此某校综合与实践小组的同学以“节约用水从你我做起”为主题开展项目式学习． 驱动任务：探究水龙头滴水量与时间的关系． 项目实施：①准备一个容量为50毫升的量筒． ②选择一处滴水的水龙头，用该量筒接水． ③每隔10秒，观察并记录量筒中水的体积 数据记录： 时间t/秒 10 20 30 40 50 60 70 滴水量V/毫升 3 6 9 12 15 18 21 问题解决：请完成下列任务． (1)请在如图所示的平面直角坐标系中描出上表中的数据对应的点． (2)滴水量V（毫升）是时间t（秒）的________（填“一次”“二次”或“反比例”）函数，并求出V与t的函数表达式． (3)按照此滴水速度，1小时会滴水多少千克（结果保留两位小数，1毫升水的质量约为1克）？一个人的月平均饮水量为50千克，则滴水多少小时能达到一个人的月平均饮水量（结果保留一位小数）？ 7．（2026·吉林白山·模拟）学科实践 新能源汽车的发展正从电动化迈向智能化与能源低碳化的融合新阶段．某校数学兴趣小组为了解新能源汽车的充电情况，对甲品牌汽车进行了调查研究，绘制了如图所示的汽车电池电量y（单位：）与充电时间x（单位：h）之间的函数图象，其中折线表示该品牌汽车用快速充电桩充电时与x的函数关系；线段表示其用普通充电桩充电时与x的函数关系．根据相关信息，回答下列问题： (1)求关于x的函数表达式． (2)该品牌汽车电池电量从充到，快速充电桩比普通充电桩少用多少h． (3)某天李明与王强下班后决定给电动汽车充电，充电情况如下表． 品牌 充电方式 充电前电量 李明 甲 快速充电 王强 乙 普通充电 已知乙品牌电动汽车使用普通充电桩充电1小时，能充，且充电速度始终保持不变，两人同时充电，在两辆车充电过程中，电池电量相差时，充电时间为多久？（直接写出答案）（说明：充至即充满，停止充电） 8．（2026·吉林长春名校调研·一模）一辆货车和一辆小轿车同时从甲地出发，货车匀速行驶至乙地，小轿车中途停车休息2小时后提速行驶至乙地．设行驶时间为，货车的路程为，小轿车的路程为，图中的线段与折线分别表示、与x之间的函数关系． (1)甲、乙两地相距________km，________； (2)求线段所在直线的函数表达式； (3)小轿车停车休息后提速再行驶多长时间，与货车之间相距10km？ 9．（2026·吉林长春·一模）一个有进水管与出水管的容器，前只进水不出水，在随后的既进水又出水，每分的进水量与出水量是两个常数．容器内的水量（单位：L）与时间（单位：）之间的函数关系如图所示． (1)进水管每分进水______L，出水管每分出水______L； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)当容器内的水量是时，求的值． 10．（2026·吉林·一模）【知识背景】某学校的学习小组计划用同种型号的玻璃瓶制作一组水瓶乐器．根据物理学中的振动频率和音调的关系可知，在敲击玻璃瓶时，声音的振动频率随瓶中水位高度的变化而变化．水位越高，振动越慢，音调越低；水位越低，振动越快，音调越高． 【信息收集】学习小组通过查阅资料，列出以下音名与频率的对照表（表1）： 音名 频率 【数据记录】学习小组进行了多次实验，记录水瓶不同水位高度h与对应的振动频率f的部分数据如下表（表2）： 水位高度 4 8 12 16 20 频率 【建立模型】学习小组以水位高度h为横坐标，频率f为纵坐标，根据表2中的数据绘制散点图．观察各点的分布特征，发现其大致分布在一条直线附近，表明f与h之间存在近似线性关系．基于此，学习小组将表2中的频率数据保留整数位后，采用线性函数对其变化规律进行近似刻画，进而求出水瓶乐器的频率f与水位高度h的函数关系式． 【解决问题】根据以上信息，解答下列问题： (1)请依照学习小组的方法，求水瓶乐器的频率f与水位高度h的函数关系式（不要求写出h的取值范围）． (2)若要制作能敲击出音名的水瓶乐器，求该水瓶中需要注入的水位高度． (3)已知水瓶乐器中的水量随水位高度均匀变化，当水位高度为时，所使用的水量为；当水位高度为时，所使用的水量为．若要制作能敲击出音名的水瓶乐器，直接写出该水瓶中需要注入的水量． 二次函数综合 考点03 11．（2026九年级·吉林·专题练习）如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，交轴于点． (1)求此二次函数的解析式； (2)如图①，设二次函数图象的顶点为，对称轴与轴交于点，求四边形的面积（请在图①中探索）； (3)二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由（请在图②中探索）； (4)点为抛物线上的一个动点，且横坐标为，点的横坐标为，且线段轴，当线段与抛物线有两个公共点时，请直接写出的取值范围． 12．（2026·吉林长春·一模）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点．已知抛物线的对称轴为直线，点与点关于直线对称．点在直线上，连接、分别交抛物线于点、，设点的横坐标为． (1)求点的坐标； (2)当时，的值为______； (3)当时，求的取值范围； (4)作点关于点的对称点，点关于点的对称点，连结．当线段与线段有公共点时，直接写出的取值范围． 13．（2026·吉林四平·模拟预测）抛物线与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C，T是抛物线的顶点，P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为t． (1)求c的值； (2)如图1，若点P在对称轴左侧，过点P作对称轴的垂线，垂足为H，求的值； (3)定义：抛物线上两点M，N之间的部分叫做抛物线弧（含端点M和N）．过M，N分别作x轴的垂线，过抛物线弧的最高点和最低点分别作y轴的垂线，直线与围成的矩形叫做抛物线弧的特征矩形，若点P在第四象限，记抛物线弧的特征矩形的周长为f．求f关于t的函数解析式． 14．（2026·吉林·一模）如图1，二次函数的图象经过点．如图2，将二次函数的图象记为，将图象绕点A旋转得到的图象记为，将图象和组合成的图象记为H． (1)求n的值． (2)求图象对应的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (3)点P，Q是图象H上两个不同的点，其横坐标分别为m，． ①当点P与点Q的纵坐标相等时，直接写出m的值． ②当图象H在点P与点Q之间部分（包括点P和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差大于6时，直接写出m的取值范围． 15．（2026·吉林松原·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴交于点和．点P、Q、M均在该抛物线上，横坐标分别为m、、． (1)求该抛物线对应的函数关系式； (2)在该抛物线上P、Q两点之间的部分任取一点A，在Q、M两点之间的部分任取一点B（点A、B均不与端点重合），若点A的纵坐标总大于点B的纵坐标，则m的取值范围是_____； (3)过点P作垂直于直线于点C，过点M作垂直于直线于点D． ①当的面积是的面积的2倍时，求m的值； ②连接，当此抛物线在四边形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 16．（2026·吉林吉林·模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点O，与x轴正半轴交于另一点A，点B在抛物线上，点M是抛物线上一点（不与点B重合），其横坐标为m，以为对角线作矩形，垂直于y轴． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出m的取值范围； (3)当矩形内部的抛物线（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为2时，求m的值； (4)当矩形为正方形时，直接写出m的值． 17．（2026·吉林白山·模拟）在平面直角坐标系中，点为坐标原点．抛物线的函数表达式为，点、均在抛物线上，横坐标分别为、． (1)在下面的平面直角坐标系中，画出抛物线的函数图象； (2)当时，点与点纵坐标的差为__________； (3)当时，连接，过线段的中点作轴的垂线，当直线与抛物线的函数图象有三个交点时，求的取值范围； (4)作点关于点的对称点，记为点，当连接点、、能构成三角形时，若抛物线的图象在内部（不包括边界）随着的增大而增大或随着的增大而减小，则请直接写出的取值范围． …… …… …… 2/10 1/10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $