专题09因式分解复习讲义(16大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年青岛版七年级数学下册

专题09因式分解复习讲义 ☆ 复习目标 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解因式分解的定义，明确 1.能快速找准多项式的公 1.杜绝分解不彻底、符号错 因式分解与整式乘法是互逆 因式，熟练运用提公因式法 误、漏项、公式混用等高频 变形。 分解因式。 失分问题。 2.掌握因式分解两大基本方 2.精准判断多项式类型，灵 2.熟练应对选择、填空、化 法：提公因式法、公式法。 活选用公式法进行分解。 简计算等基础题型，稳拿基 3.熟记平方差、完全平方公式3.掌握“先提公因式，再套础分。 的逆用形式，能准确识别可 公式”的综合分解步骤。 3.掌握综合型因式分解题型 分解多项式的结构特征。 4.能利用因式分解进行简 解题套路，提升代数综合运 4.了解因式分解的解题原 便计算、代数式化简与求值。 用能力，为后续分式、方程 则：分解到不能再分解为止 学习奠基。 ☆ 题型梳理 题型01.因式分解的判定 题型02.由因试分解的结果求参数 题型03.公因试 题型04提公因式法分解因试 题型05.公式法分解因式适用判断 题型06.平方差公式分解因试 题型07.完全平方公式分解因试 题型08综合运用公式法分解因试 题型09.综合提公因式和公式法分解因试 题型10.因式分解在有理数简算中的应用 题型11.因式分解的应用 题型12.十字相乘法 题型13.分组分解法 题型14.新定义运算 题型15.因式分解判定三角形妍形状题 题型16.因试分解中配方法的应用 解答题6题 ☆ 知识梳理 核心定义·一眼辨对错 因式分解：把一个多项式，化成几个整式乘积的形式。 核心关系：整式乘法：积→和差因式分解：和差→积 二者互为逆变形，方向完全相反，是本章最大突破口。 终极原则：分解一定要彻底，分到不能再拆为止。 试卷第1页，共3页 因式分解与整式乘法 因式分解的概念 是互逆关系 提取公因式法： ma+mb=m(a+b)】 因式 因式分解的 方法 分解 公式法：a2-b2=(a+b)a-b) a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 因式分解的 1.先考虑能否提取公因式 般步骤 2.再考虑用公式法 1.公因式要提尽 应注意（温馨提示） 2.因式分解要彻底 第一大招：提公因式法（万能第一步） 1.公因试三层找法 ①系数：取各项系数的最大公因数 ②字母：取各项都含有的相同字母 ③指数：取相同字母的最低次幂 2.分解口决 一看系数、二看字母、三看指数，公共部分全提出 3.关键细节 首项为负，先提负号，括号内各项全部变号； 提公因式后，剩余项不能丢1； 多项式整体也可作为公因式（整体思想）。 4.易错暴击 只提系数不提字母、提不干净、漏掉单独项，都是高频扣分点。 第二大招：公式法（两大黄金公式逆用） 试卷第1页，共3页 一、平方差公式「双子型」 a2-b2=(a+b)(a-b) 结构特征：两项、平方形式、符号一正一负 识别暗号：平方一平方，直接拆成和乘差 二、完全平方公式「三项完美型」 和完全平方：a2+2ab+b2-(a+b)2 差完全平方：a2-2ab+b2=(a-b)2 口结构特征：三项式，首尾平方同号，中间两倍首尾积 口识别暗号：首平方、尾平方，两倍乘积在中央 黄金解跟题流程（必考万能步骤） 一提→二套→三检查 一提：优先提取公因式（永远第一步） 二套：剩余式子判断结构，套用平方差/完全平方 三检查：看是否分解彻底、符号是否正确、括号能否继续分解 超强对此比表一眼分清两种公式 分解公式项数特征符号特点 外形记忆 平方差 只有两项 正一负 平方相减 完全平方固定三项 首尾同号 整齐完美三项式 高频易错·避坑红黑榜 口错误：分解不彻底，只提公因式不套公式 日正确：先提后套，双重分解 口错误：a2+b2强行分解 日正确：平方和不能分解，只有平方差可以 口错误：完全平方中间项漏掉2倍 日正确：中间必须是2倍首尾乘积 口错误：提负号时，部分项不变号 正确：提负号，括号内全员变号 试卷第1页，共3页 ☆ 题型精析 题型01.因式分解的判定 【典例】下列由左到右的变形，属于因式分解的是() A.(m+2n)(m-2n)=m2-4n2 B. C.8a2=2a.4ab D.4my-2y=2y(2m-1) 【跟踪专练1】下列各式从左边到右边的变形是因式分解的为() A.(a+1)(a-1)=a2-1 B.-18xy3=-6x2y2.3x2yC. x2+2x+1=x(x+2)+1 D.a2-6a+9=(a-3)2 【跟踪专练2】下列变形中是因式分解的是() A.x(x+1)=x2+x B.(x+2)2=x2+4 C.x2+2x-3=x(x+2)-3 D.x2+6xy+9y2=(x+3y)2 题型02.由因式分解的结果求参数 【典例】如果多项式x2+bx+c分解因式的结果是(x-3)(x+2),那么b,C的值分别是() A.3,-2 B.-2,3 C.-1,-6 D.1,-6 【跟踪专练1】因式分解x2+mx-12=x+p)x+q),其中m、p、9都为整数，则这样的 m的最大值是() A.1 B.4 C.11 D.12 【跟踪专练2】因式分解x2+ax+b时，甲看错了a的值，分解的结果是(x+6)(x-1),乙看 错了b的值，分解的结果是(x-2)(x+1),那么x2+ax+b因式分解的正确结果为() A.（x+2)x-3)B.(x-2)(x+1)C.（x+6)(x-1 D.(x-2)(x-1) 题型03.公因式 【典例】下列多项式的各项中，公因式是a的是() A.ax ay +5 B.3ma-3ma2 C.4a2+10ab D.a2-2a+ma 【跟踪专练1】把多项式2ab+4ab2分解因式，应提取的公因式是() 试卷第1页，共3页 A.ab B.2ab C.2ab2 D.2a 【跟踪专练2】x+y-z)(x-y+z)与y+z-x)(z-x-y)的公因式是() A.x+y-z B.x-y+z C.y+z-x D.不存在 题型04.提公因式法分解因式 【典例】将x2-x因式分解后x2-x=x口，则“o”内所填的整式为() A.x B.x+1 C.2x D.x-1 【跟踪专练1】多项式2-ay+(a-2)因式分解的结果正确的是() A.(2-a)xy+1) B.(2-a)xy-1) C.(a-2)(xy-1D D.(a-2)(y+1) 【跟踪专练2】已知x-3y=2,则8-3x+9y的值是() A.6 B.7 C.4 D.2 题型05.公式法分解因式适用性判断 【典例】下列多项式能用公式法进行因式分解的是(). A.-x2+1 B.x2+y2 C.x2+2x-1 D.x2+4x+2 【跟踪专练1】下列不能用平方差公式分解因式的是() A.-x2-y2 B.x2-y2 C.-x2+y2 D.4m2-25n2 【跟踪专练2】下列多项式：①-4r2-y,②4r2--y,③a+26-6；④x+1+；⑤ 4 m2n2+4-4mn,其中能用公式法分解因式的是() A.①③④⑤B.②④⑤ C.②③④ D.②③④⑤ 题型06.平方差公式分解因式 【典例】若a+b=2,a-b=5,则a2-b2= 【跟踪专练1】若m2-n2=4,则(m+n(m-n2的值是() A.4 B.8 C.12 D.16 【跟踪专练2】如果a≠b,那么关于x的方程a-b)x=a2-b2的解为x= 题型07.完全平方公式分解因式 【典例】将多项式x2-2x+1因式分解的结果为() 试卷第1页，共3页 A.（x+2 B.（x+1)(x-1 C.(x-1)2 D.x(x+2)+1 【跟踪专练1】己知y=-2x+5,则代数式4x2+4y+y2的值为 【跟踪专练2】下列从左到右的运算是因式分解，并且分解正确的是() A.ma+mb-c=m(a+b-c B.4x2+y2-4xy=(2x-y) C.x-3)x+2)=x2-x-6 D.-a2+3ab-a=-aa+3b-1 题型08综合运用公式法分解因试 【典例】若x+y=6,x2-y2=24,则y-x的值为() A.-4 B.4 c. D.4 【跟踪专练1】在有理数范围内因式分解：m2-2mn+n2-1= 【跟踪专练2】将a-2a2+1分解因式，所得结果正确的是（) A.a2a2-2+1 B.(a2-2(a2+ C.(a2-1)2 D.(a-1)2(a+1)2 题型09.综合提公因式和公式法分解因式 【典例】下列各式中不能进行因式分解的是() A.x2-4y2 B.m2-2mn+n2 C.x2+y2+2x D.15x3y3+5x2y-20x2y3 【跟踪专练1】因式分解：3a2-6a+3= 【跟踪专练2】若a-2b=2,则a2-4b2-4a的值为 【跟踪专练3】若多项式6m2-6n+4mn-9m可因式分解成am+bn(cm+d),其中a,b, c,d均为整数，则a+b×c+d的值是() A.5 B.6 C.25 D.30 题型10.因式分解在有理践数简算中的应用 【典例】利用因式分解简便运算：52.82-47.2=. 【跟踪专练1】计算(-2)224+(-2)2025等于() 试卷第1页，共3页 A.-22024 B.-22025 C.22024 D.-2 【跟踪专练2】计算：10132+1012+2022×1013 10132-10112 题型11.因式分解的应用 【典例】己知a+b=3,ab=2,则a2b+ab2=() A.5 B.6 C.8 D.9 【跟踪专练1】已知a-2b=2,则a2-4b2-4a的值为 【跟踪专练2】若多项式x4+mx3+x-14分解因式的结果中有因式(x+1)和(x-2),则 m2+n= 【跟踪专练3】已知24-1可以被10至20之间的两个整数整除，这两个整数是() A.13,14 B.15,16 C.16,17 D.15,17 题型12.十字相乘法 【典例】多项式x2-ax-10分解因式为(x+m)(x+n),其中a,m,n为整数，则a的取值 有() A.2个 B.3个 C.4个 D.无数个 【跟踪专练1】分解因式：（x+y)-12(x+y)+35= 【跟踪专练2】分解因式x2+ax+b时，李想同学看错了a的值，分解的结果是(x+6)(x-1) ,王敏同学看错了b的值，分解的结果是x-2)(x+),那么正确的分解因式的结果是() A.x+6x-1 B.x-3)x+2) C.（x-6)(x+1 D.（x-2)(x+3) 题型13.分组分解法 【典例】分解因式：x2-2x+1-y2= 【跟踪专练1】因式分解：a3-ab-ab2+b3= 【跟踪专练2】下列整式中不含有x+1这个因式的是() A.x2-1 B.x4-x3+x2-1 C.x3+1 D.x4-x3-x2-1 试卷第1页，共3页 题型14.新定义运算 【典例】设a、b是有理数，定义一种新运算：a*b=(a-b),下面有四个推断： ①a2*b=b*a2;②-a*b=a*-b);③(a*b)2=a2*b2;④a*b-c=a*b-a*c. 其中正确推断的序号是 【跟踪专练1】定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m,n的平方差，且m-n=2, 则称这个正整数为“智慧优数”.例如，当m=3,n=1时，8=32-12,8是一个智慧优数， 若将智慧优数从小到大排列，第2024个智慧优数是 【跟踪专练2】我们规定：一个四位数M=abcd,各个数位上的数字是不完全相同的正整 数，若满足(a+d)-(b+c2=10a+d,则称这样的数M为“平方奥秘数”.例如：对于3214， (3+4)2-(2+1)2=49-9=40≠34，所以3214不是平方奥秘数”；对于4515， (4+5)2-（5+1)2=81-36=45,所以4515是“平方奥秘数”.根据上述定义，满足个位与千 位相同的最大平方奥秘数”是 一：M是一个“平方奥秘数”，设HM=a+b+c+d, 4 GM)=10a+d-(a+d-b-c；若H(M)是一个完全平方数，且G(M能被8整除，则满 足条件的所有M中，M的最大值是 题型15.因式分解判定三角形形状题 【典例】已知ABC的三边为a、6、6,且满足+=。1，则A8C的形状为 a b c a-b+c 【跟踪专练1】己知a、b是ABC的两边，且满足a2-b2=ac-bc,则ABC的形状是 【跟踪专练2】己知ABC的三边a,b,C满足aa+c-bc-ab=0,则ABC的形状为() A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 【跟踪专练3】常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯 用上述方法就无法分解，如x2-2xy+y2-16.我们细心观察这个式子，会发现，前三项符 合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解. 过程如下：x2-2xy+y2-16 试卷第1页，共3页 =(x-y)2-16 =(x-y+4)(x-y-4, 这种分解因式的方法叫分组分解法. 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：16m2-4x2+4xy-y2. (2)已知a、b、c分别是ABC三边的边长且满足2a2+b2+c2-2ab-2ac=0,请判断 ABC的形状，并说明理由. 题型16.因式分解中配方法的应用 【典例】在学习完全平方公式的运用时，我们常利用配方法求最大值或最小值。 例如：求代数式x2+4x+5的最小值？总结出如下解答方法： 解：x2+4x+5=x2+4x+4+1=x+2+1,:(x+2≥0，.当x=-2时，（x+2)的值最小， 最小值是0，.(x+2)2+1≥1，.当x=-2时，（x+2)2+1的值最小，最小值是1，.x2+4x+5的 最小值是1.问：4x2-12xy+10y2+4y+9的最 值是 【跟踪专练1】阅读材料：把形如ax2+bx+c(a≠0)的二次三项式（或其一部分）配成完全 平方式的方法叫配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆用，即 a2±2ab+b2=(a±b)2.利用配方法可以解决代数式的最值等问题. 例如：求代数式y2+4y+8的最小值 解：：y2+4y+8=y2+4y+4+4=(y+22+4≥4， .当y=-2时，代数式y2+4y+8的最小值是4. 按要求解答下列问题. (1)配方：x2+8x+16=· (2)己知m2+n2-8m+6n+25=0,求m-n的值. (3)用配方法求代数式x2-6x+10的最小值. 【跟踪专练2】【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运 用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数 式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用. 试卷第1页，共3页 例1用配方法因式分解：a2+6a+8. 原式=a2+6a+9-1=(a+32-1=(a+3-1)a+3+1=(a+2)(a+4). 例2若M=a2-2ab+2b2-2b+2,利用配方法求M的最小值： a2-2ab+2b2-2b+2=a2-2ab+b2+b2-2b+1+1=(a-b)+(b-1)2+1; :(a-b≥0，(b-12≥0， :当a=b=1时，M有最小值1. 请根据上述自主学习材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：a2-12a+35: (2)若M=a2-3a+2022,求M的最小值； (3)已知a,b,c是ABC的三边长，且满足a2+b2+c2=6a+8b+10c-50,求ABC的周长. 解答题 1.已知关于x的多项式2x2-11x+m因式分解后有一个因式是x-3,试求m的值. 2.把下列各式分解因式： (1)-2x+y-x2; (2)-7ab-14abx+49aby (3)m(x+2y)-2n(x+2y); (4)2(x-y)2-x(y-x). 3.因式分解： (1)3a2-9ab; (2)x3-5x2+6x; (3)16m4-8m2n2+n4; (4)x3+2x2-4x-8. 4.按要求解答下列各题： (1)因式分解：（a-2+(a-2. (2)已知a+b=5,ab=6,求ab+ab2的值. (3)利用简单方法计算：13.2×1.34+13.2×10.66-26.4. 5.把下列各式分解因式： (1)-9m2n+27mn2-18mn; 试卷第1页，共3页 (2)9a2(x-y)2-3a(y-x)3; (3)2x+y)2y-x-2xx-2y): (4am-2n+(3a+2b)(m-2n). 6.定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”. 例如：32-12=8,52-32=16,72-52=24，则8,16,24都是“和谐数”. D 135..。 (1)特例感知：32“和谐数”，2026“和谐数”.（填“是”或不是”） (②)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为2k+1和2k-1,其中k是正整数， 那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明 (③)迁移应用：如图，拼接的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼接到正方形 ABCD,其边长为199，求阴影部分的面积. 试卷第1页，共3页 专题09因式分解复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解因式分解的定义，明确因式分解与整式乘法是互逆变形。 2.掌握因式分解两大基本方法：提公因式法、公式法。 3.熟记平方差、完全平方公式的逆用形式，能准确识别可分解多项式的结构特征。 4.了解因式分解的解题原则：分解到不能再分解为止。 1.能快速找准多项式的公因式，熟练运用提公因式法分解因式。 2.精准判断多项式类型，灵活选用公式法进行分解。 3.掌握 “先提公因式，再套公式” 的综合分解步骤。 4.能利用因式分解进行简便计算、代数式化简与求值。 1.杜绝分解不彻底、符号错误、漏项、公式混用等高频失分问题。 2.熟练应对选择、填空、化简计算等基础题型，稳拿基础分。 3.掌握综合型因式分解题型解题套路，提升代数综合运用能力，为后续分式、方程学习奠基。 题型01.因式分解的判定 题型02.由因式分解的结果求参数 题型03.公因式 题型04.提公因式法分解因式 题型05.公式法分解因式适用性判断 题型06.平方差公式分解因式 题型07.完全平方公式分解因式 题型08.综合运用公式法分解因式 题型09.综合提公因式和公式法分解因式 题型10.因式分解在有理数简算中的应用 题型11.因式分解的应用 题型12.十字相乘法 题型13.分组分解法 题型14.新定义运算 题型15.因式分解判定三角形形状题 题型16.因式分解中配方法的应用 解答题6题 核心定义・一眼辨对错 因式分解：把一个多项式，化成几个整式乘积的形式。 ✅核心关系：整式乘法：积 → 和差 因式分解：和差 → 积 二者互为逆变形，方向完全相反，是本章最大突破口。 ✅终极原则：分解一定要彻底，分到不能再拆为止。 第一大招：提公因式法（万能第一步） 1. 公因式三层找法 ① 系数：取各项系数的最大公因数 ② 字母：取各项都含有的相同字母 ③ 指数：取相同字母的最低次幂 2. 分解口诀 一看系数、二看字母、三看指数，公共部分全提出 3. 关键细节 首项为负，先提负号，括号内各项全部变号； 提公因式后，剩余项不能丢 1； 多项式整体也可作为公因式（整体思想）。 4. 易错暴击 只提系数不提字母、提不干净、漏掉单独项，都是高频扣分点。 第二大招：公式法（两大黄金公式逆用）. 一、平方差公式「双子型」 a2−b2=(a+b)(a−b) ✨ 结构特征：两项、平方形式、符号一正一负 ✨ 识别暗号：平方－平方，直接拆成和乘差 二、完全平方公式「三项完美型」 和完全平方：a2+2ab+b2=(a+b)2 差完全平方：a2−2ab+b2=(a−b)2 ✨ 结构特征：三项式，首尾平方同号，中间两倍首尾积 ✨ 识别暗号：首平方、尾平方，两倍乘积在中央 ⚡ 黄金解题流程（必考万能步骤） 一提 → 二套 → 三检查 一提：优先提取公因式（永远第一步） 二套：剩余式子判断结构，套用平方差 / 完全平方 三检查：看是否分解彻底、符号是否正确、括号能否继续分解 超强对比表｜一眼分清两种公式 分解公式 项数特征 符号特点 外形记忆 平方差 只有两项 一正一负 平方相减 完全平方 固定三项 首尾同号 整齐完美三项式 高频易错・避坑红黑榜 ❌ 错误：分解不彻底，只提公因式不套公式 ✅ 正确：先提后套，双重分解 ❌ 错误：a2+b2 强行分解 ✅ 正确：平方和不能分解，只有平方差可以 ❌ 错误：完全平方中间项漏掉 2 倍 ✅ 正确：中间必须是2 倍首尾乘积 ❌ 错误：提负号时，部分项不变号 ✅ 正确：提负号，括号内全员变号 题型01.因式分解的判定 【典例】下列由左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因式分解是将一个多项式化为几个整式的乘积的变形，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解： A、左边是整式的乘积，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解，故此选项错误； B、右侧出现分式，不是整式乘积的形式，不符合因式分解要求，故此选项错误； C、左侧是单项式，且等式左右两边不相等，不符合因式分解定义，故此选项错误； D、左侧是多项式，右侧是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，故此选项正确． 【跟踪专练1】下列各式从左边到右边的变形是因式分解的为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的定义．根据因式分解的定义，把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做因式分解，进行判断即可． 【详解】解：A、，是整式的乘法，不属于因式分解，该选项不符合题意； B、中，不属于因式分解，该选项不符合题意； C、，不属于因式分解，该选项不符合题意； D、，是因式分解，该选项符合题意； 故选：D． 【跟踪专练2】下列变形中是因式分解的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．根据因式分解的定义：把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】A. 中，是整式乘法，故A错误； B. 故B错误； C. 不是把多项式转化成几个整式积的形式，故C错误； D. ，故D正确． 故选：D． 题型02.由因式分解的结果求参数 【典例】如果多项式分解因式的结果是，那么，的值分别是（   ） A．3， B．，3 C．， D．1， 【答案】C 【分析】对于二次项系数为1的二次三项式，因式分解满足，根据对应系数相等即可求出的值． 【详解】解：∵多项式分解因式的结果是， ∴根据因式分解的规律可得， ，， 计算得 ，． 【跟踪专练1】因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的乘法与因式分解，由因式分解形式可得 且，其中 、为整数． 列举所有满足，计算，并找出最大值． 【详解】解：， ，且、、为整数， ， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 的可能值为 ， ， ， ， ， ，其中最大值为 ． 故选：C． 【跟踪专练2】因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果是，那么因式分解的正确结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解，需从错误结果中提取正确参数是解题的关键．甲看错了，但正确；乙看错了，但正确，从甲的分解结果求出的值，从乙的分解结果求出的值，得到正确多项式后再因式分解即可． 【详解】解：甲看错了的值，分解的结果是， 正确，， 乙看错了的值，分解的结果是， 正确，， 正确多项式为， 因式分解得． 故选：A． 题型03.公因式 【典例】下列多项式的各项中，公因式是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、没有公因式，此项错误； B、的公因式是，此项错误； C、的公因式是，此项错误； D、的公因式是，此项正确． 【跟踪专练1】把多项式分解因式，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解——提公因式法．确定多项式中各项系数的最大公约数和字母部分的最小指数，从而找出公因式． 【详解】解：∵， ∴应提取的公因式是， 故选：B． 【跟踪专练2】与的公因式是（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【详解】解： 第一个多项式为 ∴ 两个多项式都含有的公因式为. 题型04.提公因式法分解因式 【典例】将因式分解后，则“□”内所填的整式为（   ） A．x B． C．2x D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解，掌握相关知识是解决问题的关键．通过提取公因式法因式分解即可． 【详解】解：∵ ， 故选：D． 【跟踪专练1】多项式因式分解的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将互为相反数的项变形为相同形式，再提取公因式得到结果． 【详解】 ． 【跟踪专练2】已知，则的值是（） A．6 B．7 C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式求值、因式分解，根据题意，，把代入即可求出结果，解题的关键是要能将看成一个整体代入代数式求值． 【详解】解：， ∵， ∴原式， 故选：D． 题型05.公式法分解因式适用性判断 【典例】下列多项式能用公式法进行因式分解的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了用乘法公式分解因式，平方差公式分解因式的形式为，完全平方公式分解因式的形式为和，据此求解即可． 【详解】解：A、，原式可以用平方差公式分解因式，符合题意； B、不能用乘法公式分解因式，不符合题意； C、不能用乘法公式分解因式，不符合题意； D、不能用乘法公式分解因式，不符合题意； 故选：A． 【跟踪专练1】下列不能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】平方差公式分解因式要求多项式可化为两个平方项作差，即形如，据此判断各选项即可． 【详解】解：A、，两项符号相同，无法写成两个平方项作差的形式，因此不能用平方差公式分解因式，符合题意； B、符合的形式，可以用平方差公式分解因式，不符合题意； C、，符合的形式，可以用平方差公式分解因式，不符合题意； D、 ，符合的形式，可以用平方差公式分解因式，不符合题意． 【跟踪专练2】下列多项式：①；②；③；④；⑤，其中能用公式法分解因式的是（   ） A．①③④⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．②③④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键．根据公式法的特点，对题目中的每个多项式逐一分析即可． 【详解】解：①不能用公式法分解； ②，可以用公式法分解； ③不能用公式法分解； ④，可以用公式法分解； ⑤，可以用公式法分解； 综上所述，能用公式法分解因式的是②④⑤． 故选：B． 题型06.平方差公式分解因式 【典例】若，，则_____． 【答案】10 【详解】解：根据平方差公式可得 将，代入得原式． 【跟踪专练1】若，则的值是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【分析】本题运用积的乘方运算性质和平方差公式，对所求代数式变形后，代入已知条件计算即可得到结果． 【详解】解：∵ 由平方差公式得 ∵ ∴原式 【跟踪专练2】如果，那么关于的方程的解为________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查一元一次方程，因式分解；根据已知方程找到参数之间的关系是解决此题的关键．根据题意得出，又，即可求解． 【详解】解： ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：． 题型07.完全平方公式分解因式 【典例】将多项式因式分解的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是因式分解，直接利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：． 故选：C． 【跟踪专练1】已知，则代数式的值为__________ 【答案】25 【分析】将式子变形为，对所求代数式运用完全平方公式因式分解，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【跟踪专练2】下列从左到右的运算是因式分解，并且分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因式分解要求变形结果是几个整式的乘积，且分解正确、分解彻底，根据要求逐项判断即可． 【详解】解：因式分解是将多项式化为几个整式乘积的形式， A、等式右边不是乘积形式，不符合题意； B、，既是因式分解，分解结果也正确，符合题意； C、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，是整式乘法，不符合题意； D、，是因式分解，但分解错误，不符合题意． 题型08.综合运用公式法分解因式 【典例】若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平方差公式因式分解可得，又因为可得，进而求得． 【详解】解：∵ ，， ∴ ∴ 故答案选A． 【点睛】本题主要考查了因式分解，熟练掌握乘法公式是快速解决本题的关键． 【跟踪专练1】在有理数范围内因式分解：________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先分组，然后根据完全平方公式与平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 【跟踪专练2】将分解因式，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将看作一个整体，然后对原式变形后，利用完全平方公式和平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ． 故选D． 【点睛】本题主要考查了因式分解，灵活运用公式法进行因式分解是解答本题的关键． 题型09.综合提公因式和公式法分解因式 【典例】下列各式中不能进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，运用平方差公式、完全平方公式逐项进行因式分解即可判断求解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：、，能进行因式分解，该选项不合题意； 、，能进行因式分解，该选项不合题意； 、不能进行因式分解，该选项符合题意； 、，能进行因式分解，该选项不合题意； 故选：． 【跟踪专练1】因式分解：________． 【答案】 【分析】根据提公因式法和完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 【跟踪专练2】若，则的值为________． 【答案】 【分析】先利用平方差公式将化为，然后整体代入并进一步化简即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴的值为． 【跟踪专练3】若多项式可因式分解成，其中，，，均为整数，则的值是（   ） A．5 B．6 C．25 D．30 【答案】A 【分析】本题利用分组分解法对多项式进行因式分解，得到符合形式的因式后，代入计算所求式子的值即可. 【详解】先整理原多项式，再用分组分解法因式分解：整理原式得： ， ， 得，乘以的情况不改变绝对值结果， 计算得：，， 题型10.因式分解在有理数简算中的应用 【典例】利用因式分解简便运算：＝_____． 【答案】 【分析】利用平方差法进行因式分解，再进行计算； 【详解】原式＝ ＝ ＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查利用公式法因式分解进行简便运算．熟练掌握公式法因式分解是解题的关键． 【跟踪专练1】计算 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是提取公因式． 直接提取公因式，进而得出答案． 【详解】解： ． 故选：A． 【跟踪专练2】计算：_______． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解后，计算即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 题型11.因式分解的应用 【典例】已知，，则（   ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】先对所求多项式提取公因式因式分解. 再整体代入已知条件计算即可． 【详解】解：对所求式子因式分解得：， ∵ ，， ∴ 原式． 【跟踪专练1】已知，则的值为_____． 【答案】 【分析】先利用平方差公式对原式进行因式分解，再将已知条件整体代入，逐步化简即可求出结果． 【详解】解：， ∴ ． 【跟踪专练2】若多项式分解因式的结果中有因式和，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解与多项式根的关系（因式定理），解题的关键是利用因式定理，若多项式含有因式，当时，则，建立关于参数的方程组求解． 根据因式定理，由多项式含因式和，得和是方程的根，代入方程得到关于、的方程组，解方程组求出、的值，再代入计算结果． 【详解】解：设多项式分解因式的结果中有因式和， 当和时，， 即 化简得 即 由得，代入，得， ， ， 解得， ， ． 故答案为：． 【跟踪专练3】已知可以被10至20之间的两个整数整除，这两个整数是（    ） A．13，14 B．15，16 C．16，17 D．15，17 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，通过平方差公式因式分解，得到其因子，从中找出在10至20之间的整数即可． 【详解】解： ∴ 这两个整数是15和17。 故选D 题型12.十字相乘法 【典例】多项式分解因式为，其中a，m，n为整数，则a的取值有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 【答案】C 【分析】本题考查了用十字相乘法进行因式分解．得出之积为，之和为是解题的关键．把分解为两个整数的积的形式，等于这两个整数的和． 【详解】时，，故； 时，，故； 时，，故； 时，，故； 的取值有4个． 故选：C． 【跟踪专练1】分解因式： ________． 【答案】 【分析】本题考查分解因式，熟练掌握因式分解的常用方法是解题的关键． 将看成一个整体，利用十字相乘法因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪专练2】分解因式时，李想同学看错了a的值，分解的结果是，王敏同学看错了b的值，分解的结果是，那么正确的分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了因式分解，先运用多项式乘多项式求得，的值，再对原式进行因式分解． 【详解】解：李想同学看错了a的值，分解的结果是，但是正确，则； 王敏同学看错了b的值，分解的结果是，但是正确，则， ∴， 故选：B． 题型13.分组分解法 【典例】分解因式：__________________． 【答案】 【分析】本题考查分组分解法分解因式．熟练掌握掌握分组分解法分解因式是解题的关键． 先前三项分一组，用完全正确平方公式分解，再用平方差公式分解即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【跟踪专练1】因式分解：___________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解．运用分组分解法，先将多项式合理分组，再依次利用提取公因式法、平方差公式进行因式分解，直至分解为几个整式的积的形式． 【详解】解： 故答案为：． 【跟踪专练2】下列整式中不含有这个因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．先对每个选项进行因式分解，然后再进行判断即可． 【详解】解：； ； ； ； 综上分析可知：整式中不含有这个因式的是，故B符合题意． 故选：B． 题型14.新定义运算 【典例】设、是有理数，定义一种新运算：，下面有四个推断： ①；②；③；④． 其中正确推断的序号是__________． 【答案】①②/②① 【分析】本题考查因式分解，根据新定义，逐一进行计算，判断即可． 【详解】解：， ∴；故①正确； ； ∴；故②正确； ， ∴，故③错误； ∴；故④错误； 故答案为：①②． 【跟踪专练1】定义：如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，8是一个智慧优数，若将智慧优数从小到大排列，第2024个智慧优数是__________． 【答案】8100 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，数字类的规律探索，利用平方差公式求出，据此得到是从8开始且能被4整除的正整数，再把代入中，计算出对应的结果即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵m、n都是正整数， ∴是大于等于2的正整数， ∴是从8开始且能被4整除的正整数， ∴第2024个智慧优数是， 故答案为：． 【跟踪专练2】我们规定：一个四位数，各个数位上的数字是不完全相同的正整数，若满足，则称这样的数M为“平方奥秘数”．例如：对于3214，，所以3214不是“平方奥秘数”；对于4515，，所以4515是“平方奥秘数”．根据上述定义，满足个位与千位相同的最大“平方奥秘数”是________；M是一个“平方奥秘数”，设，；若是一个完全平方数，且能被8整除，则满足条件的所有M中，M的最大值是________． 【答案】 9969 6514 【分析】本题考查了整式的加减运算，因式分解的应用等知识，理解题中新定义，熟练进行整式的运算是解题的关键．设满足个位与千位相同的“平方奥秘数”为，由题意得，根据最大“平方奥秘数”，当时，求得，由此可确定b与c的值，从而确定“平方奥秘数”；当a取小于9的正整数时，若存在“平方奥秘数”，它也是小于上面求得的“平方奥秘数”，故可得最大“平方奥秘数”；由是一个完全平方数可求得，由及得，可得为偶数，进而得的值，根据“平方奥秘数”的意义可得a、d的取值，从而得b、c的取值，最后可得“平方奥秘数”中的最大数． 【详解】解：设满足个位与千位相同的“平方奥秘数”为， 由题意得：，即； 当为最大“平方奥秘数”时，若，则， ∴； 要满足为最大“平方奥秘数”，则， ∴“平方奥秘数”为9969； ∴当a取小于9的正整数时，若存在“平方奥秘数”，它也不是最大“平方奥秘数”， 故最大“平方奥秘数”为9969； ∵“平方奥秘数”各个数位上的数字是不完全相同的正整数， ∴a，b，c，d四个数中最多三个取9，另一个取8时，四个数的和最大为35，四个数中最多三个取1，另一个取2，四个数的和最小为5， 即， ∴； ∵是一个完全平方数， ∴， ∴，； ∵， ∴； ∴ ， ∵是8的倍数， ∴必为偶数， ∴b，c同奇或同偶； ∵， ∴， ∴， ∴或4或6； 对应地，或12或10； 当，时， 由，得，不合题意； 当，时， 由，得，不合题意； 当，时， 由，得，合题意； ∴； 此时，4，3，2，1，，2，3，4，5， 对应地，“平方奥秘数”为6514，6424，6334，6244，6154，“平方奥秘数”中的最大数为6514． 故答案为：9969，6514． 题型15.因式分解判定三角形形状题 【典例】已知的三边为a、b、c，且满足，则的形状为__________． 【答案】等腰三角形 【分析】本题考查因式分解，等腰三角形的判定，先将分式变形得出，得出，再进行因式分解，进而得出或，即可得出答案． 【详解】∵， ∴， ∴ ， ， ， ， ∴或． 故答案为：等腰三角形． 【跟踪专练1】已知a、b是的两边，且满足，则的形状是 __________． 【答案】等腰三角形 【分析】依据题意，由得，再进行适当变形得，结合三角形两边之和大于第三边，有，从而可以得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴，即， ∴是等腰三角形． 故答案为：等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键． 【跟踪专练2】已知的三边，，满足，则的形状为（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，解题的关键是能够对题目提供的式子进行因式分解．先证明，进而得出，即可判断的形状． 【详解】解：∵的三边，，， ∴， ∵， ∴， ， a、b、c是的三边， ， ， 的形状为等腰三角形， 故选：C． 【跟踪专练3】常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：． (2)已知、、分别是三边的边长且满足，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定，因式分解，用分组分解法对超过3项的多项式进行因式分解，平方差公式及完全平方公式，合理分组是解题的关键，综合运用因式分解的几种方法是解题关键． （1）认真阅读题例的思想方法，观察所给多项式的结构特点，合理分组运用完全平方公式后再整体运用平方差公式进行分解； （2）等式左边的多项式拆开分组，构造成两个完全平方式的和等于0的形式，利用非负数的性质求出a、b、c的关系即可． 【详解】（1） （2）等边三角形，理由如下： ， ， ， 根据两个非负数互为相反数，只能都同时等于0才成立， ， ． 的形状是等边三角形． 题型16.因式分解中配方法的应用 【典例】在学习完全平方公式的运用时，我们常利用配方法求最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值？总结出如下解答方法： 解：当时，的值最小，最小值是当时，的值最小，最小值是的最小值是1．问：的最_______值是_______． 【答案】 小 5 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，利用完全平方公式可把所求式子变形为，再仿照题意求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴当时，取得最小值0，当时，取得最小值0， ∴当时，和能同时取值最小值0， ∴的最小值为5， 故答案为：小；5． 【跟踪专练1】阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆用，即．利用配方法可以解决代数式的最值等问题． 例如：求代数式的最小值． 解：∵， ∴当时，代数式的最小值是4． 按要求解答下列问题． (1)配方：______． (2)已知，求的值． (3)用配方法求代数式的最小值． 【答案】(1) (2)7 (3)1 【分析】本题考查配方法，涉及公式法因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据公式可直接得出答案； （2）根据题目要求配方得，利用平方的非负性即可求解； （3）根据题目要求配方可得，利用平方的非负性即可求解． 【详解】（1）解：． （2）解：由题意得，， 则，， 故． （3）解：， ， ， 即的最小值为1． 【跟踪专练2】【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用． 例1 用配方法因式分解：． 原式． 例2 若，利用配方法求的最小值； ； ，， 当时，有最小值1． 请根据上述自主学习材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：； (2)若，求的最小值； (3)已知是的三边长，且满足，求的周长． 【答案】(1) (2) (3)12 【分析】（1）原式常数项35化为，利用完全平方公式化简，再利用平方差公式求解即可； （2）将原式的前两项利用完全平方公式配平方，再利用非负数的性质确定最小值即可； （3）分别对用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质确定的值即可求出结果． 【详解】（1）解： ． （2） ， 当时，有最小值． （3）， ， 即， ， ， ， 的周长为12． 【点睛】本题考查了整数的混合运算、非负数的性质、完全平方公式和平方差公式，解题的关键是熟练掌握运算法则及公式． 解答题 1．已知关于的多项式因式分解后有一个因式是，试求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解的意义，解决此题的关键是灵活利用因式分解建立与方程之间的关系来解决问题． 设分解后的另一个因式为．根据题意得到，然后得出，，进而求解即可． 【详解】解：设分解后的另一个因式为． 由题意，得， ∴，， ∴， ∴． 2．把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查分解因式： （1）利用提公因式法分解因式； （2）利用提公因式法分解因式； （3）利用提公因式法分解因式； （4）利用提公因式法分解因式． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 3．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用提公因式法因式分解即可； （2）先提取公因式，再利用十字相乘法因式分解即可； （3）利用完全平方公式和平方差公式因式分解即可； （4）利用分组分解法进行因式分解即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 4．按要求解答下列各题： (1)因式分解：． (2)已知，，求的值． (3)利用简单方法计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查提公因式法分解因式，已知式子的值，求代数式的值，因式分解在有理数简算中的应用． （1）用提公因式法分解因式即可； （2）将转化为，代入已知式子的值，计算即可； （3）将原式转化为，计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴ ， ； （3）解： ． 5．把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）提取公因式即可； （2）先变形，再提取公因式即可； （3）先变形，再提取公因式，再将括号内的同类项合并； （4）先提取公因式，再将括号内的同类项合并，合并后再提取公因式2即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 6．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如：，则8，16，24都是“和谐数”． (1)特例感知：32 “和谐数”，2026 “和谐数”．（填“是”或“不是”） (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)迁移应用：如图，拼接的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼接到正方形，其边长为199，求阴影部分的面积． 【答案】(1)是，不是 (2)“和谐数”能被8整除．理由见解析 (3)阴影面积为20000 【分析】（1）根据“和谐数”的定义进行判定即可； （2）将化简，得到，根据k是正整数，得到能被8整除，即可解答； （3）推导出，则原式可化为，继而计算求解即可． 【详解】（1）解：， 是“和谐数”； 设， 解得：，不是整数， 不是“和谐数”． （2）解：“和谐数”能被8整除．理由如下： 是正整数， 能被8整除， 能被8整除； （3）解：由（2）可知，， ∴阴影部分的面积为 ∴阴影面积为20000． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $