第四章 三角形3 探索三角形全等的条件 分层练习2025-2026学年北师大版数学七年级下册

北师大版（2024）七年级下册 第四章 三角形3 探索三角形全等的条件 分层练习 三角形的稳定性 1、给出下列图形：其中具有稳定性的是（　　） A.① B.③ C.②③ D.②③④ 2、小强利用所学知识，制作了如图所示的三角支架用来固定相框的位置，这样做的数学原理是（   ） A.三角形的内角和为 B.两点之间，线段最短 C.三角形具有稳定性 D.垂线段最短 3、下列图形中，所有不具有稳定性的图形序号是            ． ​ 4、要使下列木架稳定，可以在任意两个点之间钉上木棍，各至少需要钉上多少根木棍？并画出图形. 5、列举生活中运用三角形稳定性的案例. 边边边（SSS）公理 1、如图，AB=CD，BC=AD，则下列结论不一定正确的是（　　）. A.AB∥DC B.∠B＝∠D C.∠A＝∠C D.AB=BC 2、已知，如图，AC=BC，AD=BD，下列结论中不正确的是（　　） A.∠ACD=∠BDC B.∠ACO=∠BCO C.CD平分∠ACD和∠ADB D.AB平分∠CAD和∠CBD 3、如图，在和中，，，，若，，，则的度数是            ． 4、如图，已知，以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交，于点E，F，再以点E为圆心，以长为半径画弧，交弧①于点D，画射线．若，则的度数为            ．    5、已知：如图，点，在线段上，，，． (1) (2)若，求的度数． 6、如图，AC与BD交于点O，AD=CB，E、F是BD上两点，且AE=CF，DE=BF．请推导下列结论： （1）∠D=∠B； （2）AE∥CF． 角边角（ASA）公理 1、如图，已知，E为的中点，若，，长为（    ）cm． A.6 B.7 C.12 D.13 2、如图，O是AB的中点，要用角边角（ASA）来判定△OAC≌△OBD需要添加一个条件，下列条件正确的是（　　） A.∠A=∠B B.AC=BD C.∠C=∠D D.CO=DO 3、如图，OA=OB，用ASA判定△OAC≌△OBD，则需要添加的一个条件是_________． 4、如图，在四边形中，点E在边上，且，． 求证． 5、如图，点B，F，E，C在一条直线上，，，．求证：． 角角边（AAS）定理 1、如图，直线过正方形的顶点，点，到直线的距离分别为和，则的长为（    ） A.5 B.4 C.6 D.3 2、如图，将长方形纸片沿对角线折叠后点落在点处，判断的依据是（　　）    A. B. C. D. 3、如图，在与中，，若，则的长为         ． 4、如图，中，，，于，于，，，则           ． 5、图中的两个三角形全等吗？请说明理由. 边角边（SAS）公理 1、如图，在中，，，点是的中点，连接，那么线段的长度有可能是（   ） A. B. C. D. 2、如图所示的网格是由16个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，，则的度数为（   ） A. B. C. D. 3、如图1，两个大小不同的三角板叠放在一起，图2是由它得到的抽象几何图形，已知，，，且点，，在同一条直线上，，，连接．现有一只壁虎以的速度沿的路线爬行，则壁虎爬到点所用的时间为（    ） A. B. C. D. 4、在如图所示的正方形网格中，等于        ．    5、如图，在和中，，，，则      ． 6、为参加学校举办的风筝设计比赛，小明用四根竹棒扎成如图所示的风筝框架，其中∠EDH=∠FDH，ED=FD．将上述条件标注在图中，小明不用测量就能知道EH=FH吗？为什么？ 7、如图所示，A，F，C，D四点同在一直线上，AF＝CD，AB∥DE，且AB＝DE.请说明 (1)△ABC≌△DEF； (2)∠CBF＝∠FEC. 添加适当条件判定三角形全等 1、如图，已知，，只添加一个条件，能判定的是（    ） A. B. C. D. 2、如图，在和中，点在同一直线上，，，只添加一个条件，不能判定的是（    ） A. B. C. D. 3、如图，点是中点，，添加一个条件            ，使．    4、如图，，，若添加一个条件可得，则添加的条件可以是        ．（写出一个满足条件的答案） 5、如图，已知，，请你从以下条件中选择一个，使得． ①；②；③；④． (1)你添加的条件是________．（填序号，只填一个） (2)请利用你所添加的条件证明：． 6、如图，，，，在同一直线上，，，下列四个条件： ① ② ③ ④； 选择其中一个并证明与全等 全等三角形的判定与性质的综合 1、如图，已知△ABC的三条边和三个角，则下面甲、乙、丙三个三角形中不能证明和 全等的是（     ） A.甲和乙 B.只有甲 C.只有乙 D.只有丙 2、在中，是边上的中线，点E在的延长线上且，则的理由是（    ）    A. B. C. D. 3、如图所示，把一长一短两根细木棍的一端用绳子绑在一起，使长木棍的另一端与射线的端点重合，固定住长木棍，把短木棍摆动，端点落在射线上的、两点位置时，形成的和中有，，，则与      （选填“全等”或“不全等”），这说明                4、如图，，，垂足分别为D，E，，相交于点F，连接，．图中的全等三角形一共有        对； 5、如图，C是线段AB的中点，∠D=∠E，∠A=∠B.请在图中找出两对全等三角形，并说明理由. 尺规作图——作三角形 1、已知线段a，b，c，求作，使，，．下面的作图顺序正确的是（   ） ①以点A为圆心，以b的长为半径画弧，以点B为圆心，以a的长为半径在的同侧画弧，两弧交于点C； ②作线段等于c； ③连接，则就是所求作图形． A.①②③ B.③②① C.②①③ D.②③① 2、如图，用尺规作图“过点C作”的实质就是作，其作图依据是（    ） A.SAS B.SSS C.ASA D.AAS 3、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，AC＝2.按以下步骤作图： ①以点A为圆心，以小于AC长为半径画弧，分别交AC，AB于点E，D； ②分别以点D，E为圆心，以大于DE长为半径画弧，两弧相交于点P； ③连接AP交BC于点F. 则∠CAF＝________°. 4、如图，已知，线段，求作，使得． 作法： （1）作线段           ； （2）在的同旁，作           ，作           ，与交于点           ，故就是所求作的三角形． 5、如图是某数学兴趣小组探究问题的片段，请仔细阅读，并完成任务．题目背景：在中，，，点D在上． (1)作图探讨：在外侧，以为边作； 小明：如图①，分别以B，C为圆心，以为半径画弧交于点E，连接，．则即为所求作的三角形． 小军：如图②，分别过B，C作的垂线，两条垂线相交于点E，则即为所求作的三角形． 选择填空：小明得出的依据是______，小军得出的依据是______；（填序号） ①       ②       ③       ④ (2)测量发现：如图③，在（1）中的条件下，连接兴趣小组用几何画板测量发现和的面积相等．为了证明这个发现，尝试延长线段至F点，使，连接．请你完成证明过程． 6、先画一个△ABC，然后选择△ABC中适当的边和角，用尺规作出与△ABC全等的三角形（不写作法，但要在所作的三角形中标出用到的条件）． 北师大版（2024）七年级下册 第四章 三角形3 探索三角形全等的条件 分层练习（参考答案） 1三角形的稳定性 1、给出下列图形：其中具有稳定性的是（　　） A.① B.③ C.②③ D.②③④ 【答案】C 【解析】解：②③均是由三角形构成的图形，具有稳定性． 故选：C． 2、小强利用所学知识，制作了如图所示的三角支架用来固定相框的位置，这样做的数学原理是（   ） A.三角形的内角和为 B.两点之间，线段最短 C.三角形具有稳定性 D.垂线段最短 【答案】C 【解析】解：三角支架采用了三角形结构，这样设计依据的数学道理是三角形具有稳定性， 故选：C． 3、下列图形中，所有不具有稳定性的图形序号是            ． ​ 【答案】③． 【解析】解：具有稳定性的是①和②，而③不具有. 故答案为：③． 4、要使下列木架稳定，可以在任意两个点之间钉上木棍，各至少需要钉上多少根木棍？并画出图形. 【答案】解：如图所示： 图①四边形木架至少需要钉上1根木棍； 图②五边形木架至少需要钉上2根木棍； 图③六边形木架至少需要钉上3根木棍． 5、列举生活中运用三角形稳定性的案例. 【答案】解： 在生活中，三角形的稳定性有着广泛的应用，如： 2边边边（SSS）公理 1、如图，AB=CD，BC=AD，则下列结论不一定正确的是（　　）. A.AB∥DC B.∠B＝∠D C.∠A＝∠C D.AB=BC 【答案】D 【解析】解：可构造辅助线连接AC或BD，这样利用SSS可以得到全等三角形，从而判定前三个选项是正确的，不一定正确的是D. 2、已知，如图，AC=BC，AD=BD，下列结论中不正确的是（　　） A.∠ACD=∠BDC B.∠ACO=∠BCO C.CD平分∠ACD和∠ADB D.AB平分∠CAD和∠CBD 【答案】A 【解析】解：在△ACD和△BCD中AC=BC,AD=BD,CD=CD ， ∴△ACD≌△BCD ∴∠ACD=∠BCD，∠ADC=∠BDC， ∴故选项B、C、D不符合要求； 根据已知不能推出∠ACD=∠BDC，故本选项正确； 故选A． 3、如图，在和中，，，，若，，，则的度数是            ． 【答案】. 【解析】解：在和中， ， ， ，， ，， ， ． 故答案为：． 4、如图，已知，以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交，于点E，F，再以点E为圆心，以长为半径画弧，交弧①于点D，画射线．若，则的度数为            ．    【答案】/56度 【解析】解：根据作图过程可知： ，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 5、已知：如图，点，在线段上，，，． (1) (2)若，求的度数． 【答案】解：（1）. 理由如下：∵， ． 在和中 ． （2）， ， ． 6、如图，AC与BD交于点O，AD=CB，E、F是BD上两点，且AE=CF，DE=BF．请推导下列结论： （1）∠D=∠B； （2）AE∥CF． 【答案】解： （1）因为在△ADE和△CBF中AE=CF,AD=BC,DE=BF， 所以△ADE≌△CBF（SSS）， 所以∠D=∠B． （2）因为△ADE≌△CBF， 所以∠AED=∠CFB， 因为∠AED+∠AEO=180°，∠CFB+∠CFO=180°， 所以∠AEO=∠CFO， 所以AE∥CF． 3角边角（ASA）公理 1、如图，已知，E为的中点，若，，长为（    ）cm． A.6 B.7 C.12 D.13 【答案】B 【解析】解：， ， 为的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故选：B． 2、如图，O是AB的中点，要用角边角（ASA）来判定△OAC≌△OBD需要添加一个条件，下列条件正确的是（　　） A.∠A=∠B B.AC=BD C.∠C=∠D D.CO=DO 【答案】A 【解析】解：添加∠A=∠B，∵O是AB的中点，∴AO=BO，在△ACO和△BDO中， ∠A=∠B,OA=OB,∠AOC=∠BOD ，∴△OAC≌△OBD（ASA），故选A． 3、如图，OA=OB，用ASA判定△OAC≌△OBD，则需要添加的一个条件是_________． 【答案】∠A=∠B 【解析】解：要使△OAC≌△OBD，已知OA=OB，图中有公共角∠O=∠O，具备了一组边和一组角对应相等，要用ASA判定全等，只要使∠A=∠B. 4、如图，在四边形中，点E在边上，且，． 求证． 【答案】证明： ，， ， 在与中， ， ， ． 5、如图，点B，F，E，C在一条直线上，，，．求证：． 【答案】证明：， ． ， ，即． 又， ． 4角角边（AAS）定理 1、如图，直线过正方形的顶点，点，到直线的距离分别为和，则的长为（    ） A.5 B.4 C.6 D.3 【答案】A 【解析】解：由题意，得：，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴； 故选A． 2、如图，将长方形纸片沿对角线折叠后点落在点处，判断的依据是（　　）    A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：在长方形中，，， 由折叠得，， ∴，， 在和中， ， ∴（）， 故选：． 3、如图，在与中，，若，则的长为         ． 【答案】4 【解析】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， 故答案为：4． 4、如图，中，，，于，于，，，则           ． 【答案】 【解析】解：， ， ，， ， ， ， 在和中 ， ，， ． 故答案为：． 5、图中的两个三角形全等吗？请说明理由. 【答案】解：全等.理由如下：如图. 在和中， ， . 5边角边（SAS）公理 1、如图，在中，，，点是的中点，连接，那么线段的长度有可能是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：延长至点，使，连接， ∴， ∵点是的中点，，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴线段的长度有可能是． 故选：C． 2、如图所示的网格是由16个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：如图所示， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵是正方形网格对角线， ∴， ∴， 故选：． 3、如图1，两个大小不同的三角板叠放在一起，图2是由它得到的抽象几何图形，已知，，，且点，，在同一条直线上，，，连接．现有一只壁虎以的速度沿的路线爬行，则壁虎爬到点所用的时间为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：， ， ， 在与中， ， ， ， 则 壁虎以的速度B处往处爬， ． 故选：C． 4、在如图所示的正方形网格中，等于        ．    【答案】. 【解析】解：观察图形可知与所在的三角形全等，两角互余，与所在的三角形全等，两角互余，， ∴，，， ∴． 故答案为：． 5、如图，在和中，，，，则      ． 【答案】 【解析】解：在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 6、为参加学校举办的风筝设计比赛，小明用四根竹棒扎成如图所示的风筝框架，其中∠EDH=∠FDH，ED=FD．将上述条件标注在图中，小明不用测量就能知道EH=FH吗？为什么？ 【答案】解：小明不用测量就能知道EH=FH． 理由：在△HED和△HFD中 ∵DE＝DF，∠EDH＝∠FDH，DH＝DH， ∴△HED≌△HFD（SAS）， ∴EH=FH． 7、如图所示，A，F，C，D四点同在一直线上，AF＝CD，AB∥DE，且AB＝DE.请说明 (1)△ABC≌△DEF； (2)∠CBF＝∠FEC. 【答案】理由：(1)∵AB∥DE，∴∠A＝∠D. 又∵AF＝CD， ∴AF＋FC＝CD＋FC，即AC＝DF. 在△ABC和△DEF中，AC=DF，∠A＝∠D，AB=DE, ∴△ABC≌△DEF(SAS)． (2)∵△ABC≌△DEF， ∴BC＝EF，∠ACB＝∠DFE. 在△FBC和△CEF中，BC=EF，∠ACB＝∠DFE，FC=CF, ∴△FBC≌△CEF(SAS)． ∴∠CBF＝∠FEC. 6添加适当条件判定三角形全等 1、如图，已知，，只添加一个条件，能判定的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：， ， ， A、， 和不一定全等，故A不符合题意； B、， ，故B符合题意； C、， 和不一定全等，故C不符合题意； D、， ， ， 和不一定全等，故D不符合题意； 故选：B． 2、如图，在和中，点在同一直线上，，，只添加一个条件，不能判定的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：A．当时，不能证明，故该选项符合题意； B．当时，可利用“”证明，故该选项不符合题意； C．当时，可利用“”证明，故该选项不符合题意； D．当时，可利用“”证明，故该选项不符合题意． 故选A． 3、如图，点是中点，，添加一个条件            ，使．    【答案】或（答案不唯一） 【解析】解：点是中点， ， ， 当时， ， 当时， ， 故答案为：或（答案不唯一）． 4、如图，，，若添加一个条件可得，则添加的条件可以是        ．（写出一个满足条件的答案） 【答案】（或） 【解析】解：由题意可得：，， 添加：，根据可得； 添加，根据可得； 故答案为：（或）． 5、如图，已知，，请你从以下条件中选择一个，使得． ①；②；③；④． (1)你添加的条件是________．（填序号，只填一个） (2)请利用你所添加的条件证明：． 【答案】（1）解：可以添加的条件是①或③或④； 故答案为：①（或③或④）． （2）解：∵， ∴， 即， ∵， ∴添加的条件①时， ∵在和中， ∴； 添加的条件③时， ∵在和中， ∴； 添加的条件④时， ∵在和中， ∴． 6、如图，，，，在同一直线上，，，下列四个条件： ① ② ③ ④； 选择其中一个并证明与全等 【答案】解：选②， 证明： ， ， ， ，即， 在和中， ， ； 选③， 证明： ， ， ， ，即， ， ， 在和中， ， ． 7全等三角形的判定与性质的综合 1、如图，已知△ABC的三条边和三个角，则下面甲、乙、丙三个三角形中不能证明和 全等的是（     ） A.甲和乙 B.只有甲 C.只有乙 D.只有丙 【答案】B 【解析】解：甲三角形只知道一条边长、一个内角度数无法判断是否与全等； 乙三角形夹内角的两边分别与已知三角形对应相等，故乙与全等； 丙三角形内角及所对边与对应相等且均有内角，可根据判定乙与全等； 则不能证明和 全等的是甲， 故选：B 2、在中，是边上的中线，点E在的延长线上且，则的理由是（    ）    A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 由判定， 故选：A. 3、如图所示，把一长一短两根细木棍的一端用绳子绑在一起，使长木棍的另一端与射线的端点重合，固定住长木棍，把短木棍摆动，端点落在射线上的、两点位置时，形成的和中有，，，则与      （选填“全等”或“不全等”），这说明                【答案】不全等；两边及一边对角对应相等的两个三角形不一定全等 【解析】解：在和中有，，，则和不全等， 这说明：两边及一边对角对应相等的两个三角形不一定全等 故答案为：不全等，两边及一边对角对应相等的两个三角形不一定全等 4、如图，，，垂足分别为D，E，，相交于点F，连接，．图中的全等三角形一共有        对； 【答案】4 【解析】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即：， ∵， ∴， ∵， ∴， 综上，共有4对全等三角形； 故答案为：4． 5、如图，C是线段AB的中点，∠D=∠E，∠A=∠B.请在图中找出两对全等三角形，并说明理由. 【答案】解：根据题意，可得 ，. 理由如下： ∵C是线段AB的中点 ∴AC=BC(线段中点的定义) 在和中， ， . ∴∠ACE=∠BCD ∴∠ACE-∠DCE=∠BCD-∠DCE ∴∠ACG=∠BCF 在和中， ， . 8尺规作图——作三角形 1、已知线段a，b，c，求作，使，，．下面的作图顺序正确的是（   ） ①以点A为圆心，以b的长为半径画弧，以点B为圆心，以a的长为半径在的同侧画弧，两弧交于点C； ②作线段等于c； ③连接，则就是所求作图形． A.①②③ B.③②① C.②①③ D.②③① 【答案】C 【解析】解：②先作线段等于c，①再以点A为圆心，以b为半径画弧，以点B为圆心，以a为半径画弧，两弧交于C点，③然后连接，则就是所求作图形． 故选：C． 2、如图，用尺规作图“过点C作”的实质就是作，其作图依据是（    ） A.SAS B.SSS C.ASA D.AAS 【答案】B 【解析】解：由作法可知，，， ， ， ， 故选：B． 3、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，AC＝2.按以下步骤作图： ①以点A为圆心，以小于AC长为半径画弧，分别交AC，AB于点E，D； ②分别以点D，E为圆心，以大于DE长为半径画弧，两弧相交于点P； ③连接AP交BC于点F. 则∠CAF＝________°. 【答案】30 【解析】连接EP，DP，根据作图步骤，得在△AEP和△ADP中，AD=AE,PD=PE,AP=AP ∴△AEP≌△ADP(SSS)， ∴∠CAF＝∠DAP ∵∠BAC＝60° ∴∠CAF＝∠DAP=30° 4、如图，已知，线段，求作，使得． 作法： （1）作线段           ； （2）在的同旁，作           ，作           ，与交于点           ，故就是所求作的三角形． 【答案】c，． 【解析】解：先在射线上截取，在的同旁，作，作，与交于点C，故就是所求作的三角形． 故答案为：c，． 5、如图是某数学兴趣小组探究问题的片段，请仔细阅读，并完成任务．题目背景：在中，，，点D在上． (1)作图探讨：在外侧，以为边作； 小明：如图①，分别以B，C为圆心，以为半径画弧交于点E，连接，．则即为所求作的三角形． 小军：如图②，分别过B，C作的垂线，两条垂线相交于点E，则即为所求作的三角形． 选择填空：小明得出的依据是______，小军得出的依据是______；（填序号） ①       ②       ③       ④ (2)测量发现：如图③，在（1）中的条件下，连接兴趣小组用几何画板测量发现和的面积相等．为了证明这个发现，尝试延长线段至F点，使，连接．请你完成证明过程． 【答案】解：（1）由小明的作法可知，，， 在和中， ， ， 即小明得出的依据是①， 由小军的作法可知，， 即，， 又， ， 即小军得出的依据是③， 故答案为：①；③； （2）如图③，延长线段至F点，使，连接， 则是的中线， ， ， ， ， ，， ， 即， 在和中， ， ， 6、先画一个△ABC，然后选择△ABC中适当的边和角，用尺规作出与△ABC全等的三角形（不写作法，但要在所作的三角形中标出用到的条件）． 【答案】解：如图所示： △EDF≌△ABC（SAS）． 学科网（北京）股份有限公司 $