《4.3探索三角形全等的条件》 同步练习题 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

**基本信息** 以“基础巩固-能力进阶-思维拓展”分层，覆盖三角形全等判定、性质及应用，通过实际情境与综合探究，培养推理能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|三角形稳定性、全等判定（SAS/ASA）、尺规作图|单选1直接考查稳定性，填空9基础全等证明，解答17规范作图步骤| |进阶层|全等应用（测距离）、中线构造全等、实际模型（跷跷板）|单选2测量距离情境，填空10中线延长构造全等，解答21测量方案设计| |拔高层|动点最值、综合探究、创新应用|填空16动点最小值问题，解答24阅读材料探究线段关系，培养创新意识|

2025-2026学年北师大版七年级数学下册《4.3探索三角形全等的条件》 自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．下列图形中具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，要测量池塘两端点，间的距离，在平地上取一点，连接，，并延长到，两点，使，；连接，测量的长即可得知，间的距离．这种方法的依据是（    ） A． B． C． D． 3．按如下步骤作图：（1）画；（2）以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，：（3）分别以点和点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接，，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知，，，点，分别是，边上的动点，满足，连接，，则取得最小值时，线段的长为（    ）． A． B． C． D． 5．在和中，点A，C，D在同一条直线上，．若，则DE的长为（   ） A．8 B．7 C．3 D．4 6．如图，在等腰直角中，已知，于点，，则的面积是（   ） A．16 B．4 C．8 D．6 7．一天课间，小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间（如图所示），这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度为，则的长为（    ） A． B． C． D． 8．如图，，给出下列结论∶①；②；③；④．其中正确的结论有(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 9．如图，已知，，，则_______，理由是 ______ ． 10．把的中线延长到点E，使，连接．如果，的周长比的周长大2，那么___． 11．小明制作了一个跷跷板模型，如图是其几何示意图，支点是跷跷板的中点（，，三点位于同一水平线上），已知点到水平地面的距离是，当点到达点的位置时，跷跷板在竖直方向下降了，此时点到达点，则点到地面的距离为______． 12．已知：如图，于，于，于A，．若，则_______ ． 13．如图，为内一点，平分，，．若，，则的长为____________． 14．同学们在物理实验中用蜡烛探究小孔成像的原理，发现小孔在某一位置时，．已知蜡烛火焰成的像的高度为，则蜡烛实际的火焰的高度为______． 15．如图所示的网格是正方形网格，是网格交点，则的度数为___________． 16．如图，在四边形中，，，连接，在射线、上存在两动点、，满足，若，当的值最小时，则_____．（用，表示） 三、解答题 17．如图，已知，和线段，求作，使，，．（保留作图痕迹，无需说明作图步骤） 18．如图，已知点B、E、C、F在同一直线上．给出以下三组条件： ①，，； ②，，； ③，，． 请你选用其中一组可以证明的条件进行证明． 你选的一组条件的序号是______． 证明： 19．如图，，，． (1)证明． (2)若，，求． 20．如图，和都是等腰直角三角形，，，，连接、； (1)求证：． (2)若点、分别为线段、的中点，连接、，则______． 21．学习完《利用三角形全等测距离》后，七年级数学兴趣小组同学就“测量河两岸、两点间距离”这一问题，设计了如下方案． 课题 测量河两岸、两点间距离 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在点所在河岸同侧的平地上取点和点，使得点、、在一条直线上，且； ②测得； ③在的延长线上取点，使得； ④测得的长度为39米． (1)猜想、两点间的距离为___________米． (2)请你利用数学方法说明此方案正确的理由 22．如图，在中，，，，三点在同一直线上，， (1)求证：； (2)猜想线段，，之间的数量关系并证明． 23．在中，，，点为直线上方一点，且．    (1)如图1，过点作， ①求证：； ②若，，求的长． (2)如图2，延长交于点，若恰好平分，且，请求出的面积． 24．【阅读材料】面对一般性的问题时，可以先考虑特殊情形，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性的问题，这就是特殊化策略． 【活动主题】根据以上材料，同学们在数学活动课上以对角互补的四边形为活动主题，开展了如下探究． 【问题背景】如图，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且请探究线段，，之间的数量关系． (1)【特殊情形】任务：如图，当时，其他条件不变，请探究线段，，之间的数量关系． 下面是学习委员琳琳的解题过程，请将剩余内容补充完整． 解：如图，延长到点，使得，连接． 在和中， 所以，所以，． 所以． 因为，所以． …… (2)【一般性问题】任务：小梦同学发现在如图所示的四边形中，任务中的结论仍然是成立的，请你写出结论并说明理由． 参考答案 1．A 【分析】根据三角形具有稳定性这一特性，判断所给图形是否由三角形构成或可分割成三角形，从而确定哪些图形具有稳定性即可． 【详解】解：A．四边形被分割成了2个三角形，具有稳定性； B．四边形内加一条线段，形成了两个四边形，四边形不具有稳定性，所以整个图形不具有稳定性； C．五边形被分割成了一个三角形和一个四边形，四边形不具有稳定性，所以整个图形不具有稳定性； D．六边形被分割成了2个四边形，四边形不具有稳定性，所以整个图形不具有稳定性． 2．A 【分析】根据证明，得出，即可得出答案． 【详解】解：在与中， ， ∴， ∴， 即测量的长即可得知，间的距离． 3．B 【分析】本题考查了尺规作图作线段，全等三角形的判定与性质，根据作图步骤得到线段相等是解题的关键．由作图知，进而可证明，根据全等三角形的性质即可得解． 【详解】解：由作图可知， ，，， ， ． 故选：B． 4．B 【分析】如图：过点A作且，连接交于，证明可得，从而将转化为，根据两点之间线段最短，当F、D、C三点共线时，取得最小值．易证，再利用全等三角形的性质以及线段的运算即可解答． 【详解】解：如图：过点A作且（点F在下方），连接交于， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，当F、D、C三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 在和中， ， ∴， ∴， ∴取得最小值时，线段的长为． 5．D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明即可解答，熟知一线三等角模型是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：D． 6．C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． 作交于E，根据等角的余角相等得到，证明，得到，即可求出的面积． 【详解】解：如图，作交于E， ∵在等腰直角中，， ∴， ∵，， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴的面积． 故选：C． 7．B 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．根据题意易得，，根据余角的性质得到，进而证得，根据全等三角形的性质得到和，从而得到的长． 【详解】解：每块砖的厚度， ，， 由题意可知，，， ， ， 在和中， ， ，， ， 故选：B． 8．C 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．证明，得到，，即可判断①②；由推出，根据即可证出，即可判断③；已知条件不能证出进而判断④． 【详解】解： ，，， ， ，， ，即，故①②正确； ， ， 在和中， ， ，故③正确； 根据已知不能推出，故④错误； 正确的结论有①②③，共个， 故选：C． 9． 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键． 根据证明与全等即可． 【详解】解：在与中， ， ∴， 故答案为：，． 10．5 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，根据中线性质得，根据周长差可得，结合求出，再通过证明得出，进而可求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长大2， ∴， 即， ∵， ∴， 在和中， ∵，，（对顶角相等）， ∴， ∴． 故答案为：5． 11． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质．解题的关键是根据判定三角形全等，根据全等三角形的性质得到对应高相等． 连接、，通过证明，得到对应高相等，继而得到点到地面的距离． 【详解】解：如图，连接、， 由题意得：，， 在和中， ， ∴， ∵当点到达点的位置时，跷跷板在竖直方向下降了， ∴中，边上的高为， ∴中，边上的高为， 即：当点到达点的位置时，跷跷板在竖直方向上升了， ∵， ∴当点到达点，则点到地面的距离为：． 故答案为：． 12．10 【分析】此题考查了三角形全等的判定与性质、直角三角形的性质与同角的余角相等等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解答此题的关键． 先根据直角三角形的性质、同角的余角相等得，再证明即可得解． 【详解】解： ，， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， 故答案为：10． 13．10 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定，掌握角平分线+垂线模型，延长垂线构造全等三角形的辅助线技巧是解题的关键． 延长交于点 E，构造全等三角形，利用角平分线和垂直的条件证明，得到；再结合推出，最后通过线段和差求出． 【详解】解：延长交于点，如图． 平分，， ，． 在和中： ， ，． ， ， ． 故答案为：10． 14． 【分析】本题考查了全等三角形的应用，掌握全等三角形的 判定和性质是解题的关键．利用可证，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵由图可知，和为对顶角， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查用判定三角形全等，从而将与转移到同一个三角形中求得． 【详解】解：如图，在和中： ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，两点之间线段最短，在上截取，连接，，证明，则，当三点共线时，的值最小，然后利用角度和差即可求解． 【详解】解：如图，在上截取，连接，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴ ∴当三点共线时，的值最小， 如图，当点在上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点在的延长线上时， 同理可得：， 综上可知：， 故答案为：． 17．见解析． 【分析】先画射线，在上截取，依次作角， ， ，交于点，则，所以即为所求． 【详解】解：如图，即为所求． 18．见解析 【分析】若选①利用证得，进而可证；若选②利用证得，进而可证；若选③，无法证明，进而不能证明． 【详解】解：若选①，证明如下： ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； 若选②，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 若选③，则无法证明，进而无法证明． 19．(1)证明见详解 (2)2 【分析】（1）根据已知条件利用线段和差关系得出，进而利用“”证明； （2）由（1）的结论得到，结合已知条件即可求得结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 20．(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，利用“边角边”即可证明； （2）证明，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ∵，，， ∴； （2）解：如图， ∵， ∴，， ∵点、分别为线段、的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 21．(1)39 (2)见解析 【分析】证明，推出，即可得到结论． 【详解】（1）解：猜想、两点间的距离为39米； （2）解：理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， ∴测得的长就是A、B两点间的距离，即39米． 22．(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用可证； （2）根据全等三角形的性质可证，，根据可知． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中，， ； （2）解：， ，， ， ． 23．(1)①见解析；②11 (2)32 【分析】（1）①利用即可证明； ②由全等三角形的性质求得，，再利用线段的和与差计算即可求解； （2）作交的延长线于点，证明，求得，同理证明，求得，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）①证明：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②解：∵， ∴，， ∴； （2）解：作交的延长线于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积． 24．(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）证明得到，进而即可得出结论． （2）延长至点，使，连接，先证明得到，，再证明，得到，进而即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，延长到点，使得，连接． 在和中， 所以， 所以，． 所以． 因为， 所以． 在和中，， 所以． 所以． 因为， 所以． （2）解：，理由如下： 如图，延长至点，使，连接． 因为，， 所以． 在和中，， 所以． 所以，． 因为， 所以． 所以． 在和中，， 所以，所以． 因为， 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $