精品解析：上海市松江区第四中学2025-2026学年高一下学期期中质量调研数学试题

2025学年第二学期期中质量调研测试 高一数学试卷 （完卷时间：120分钟卷面分值：150分命题人：丁洁审题人：唐杰） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，其终边经过点.则角的余弦值为______. 2. 已知一个扇形的圆心角为，半径为3，则该扇形的弧长为________. 3. 函数的最小正周期是________． 4. 已知，，则_____. 5. 函数，的值域为______________． 6. 已知，则______ 7. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，，，则边________． 8. 已知函数的部分图象如下图所示，则______. 9. 函数的最小值为________. 10. 如图，某公园划出一块平整的三角形草地ABC，在边BC上设置一个观景点D，点D到顶点C的距离为2百米，AD平分，边AB和AD的长度都为3百米.现需要沿着三角形草地ABC的边安装一圈灯带，则该灯带的长度为__________百米. 11. 若函数在上有且仅有3个零点，则的取值范围为______. 12. 游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图1，该摩天轮最高点距离地面高度为90米，转盘直径为88米，设置有56个座舱，摩天轮上的座舱运动可以近似的看作是质点在圆周上做匀速圆周运动，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要18分钟.如图2，设座舱距离地面最近的位置为点P.坐上摩天轮转动一圈，当距离地面68米及以上高度时游客就能俯瞰全景，大有“一览众山小”之感，游客能感受这个过程的时长为_____（分钟）. 二、选择题（本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项） 13. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 14. 点在第二象限，则角的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 15. 函数是（ ） A. 最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数 C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数 16. 设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，面积为，周长为，则下列说法不正确的是（ ） A. 若，确定，则，唯一确定 B. 若，确定，则，唯一确定 C. 若，确定，则，唯一确定 D. 若，确定，则，唯一确定 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.） 17. 已知，且． （1）求的值； （2）若，求的值． 18. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. （1）求角； （2）若，，求边和的面积. 19. 已知函数． （1）求的严格增区间； （2）求在闭区间上的最大值和最小值及此时x的值． 20. 已知函数，且图象的相邻两个最高点间的距离为. （1）求函数的所有零点； （2）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，，求边的长； （3）设，将函数的图象向左平移单位，再将横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若对任意，都有，求的取值范围. 21. 如图，在平面直角坐标系中，角α的终边与单位圆交于点A，轴于点P． （1）若，求的值； （2）若，直线与直线交于点M，求面积的最大值； （3）若，，角β、的终边分别与单位圆交于点B、C，轴于点Q，轴于点R，证明：以线段，，的长为三条边长能构成三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期期中质量调研测试 高一数学试卷 （完卷时间：120分钟卷面分值：150分命题人：丁洁审题人：唐杰） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，其终边经过点.则角的余弦值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求解. 【详解】, 故答案为：. 2. 已知一个扇形的圆心角为，半径为3，则该扇形的弧长为________. 【答案】. 【解析】 【详解】已知扇形的圆心角为，半径为3， 则该扇形的弧长为. 故答案为：. 3. 函数的最小正周期是________． 【答案】2 【解析】 【分析】直接利用余弦型函数的最小正周期的公式计算即可. 【详解】函数，，所以最小正周期. 故答案为：2. 4. 已知，，则_____. 【答案】 【解析】 【详解】因为，， 所以， 所以. 5. 函数，的值域为______________． 【答案】. 【解析】 【详解】因为函数在上单调递增， ，， 所以函数，的值域为. 6. 已知，则______ 【答案】2 【解析】 【分析】将已知条件转化为只含的式子，由此求得. 【详解】依题意， 所以，解得. 故答案为： 7. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，，，则边________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的内角和为，可得角C，根据正弦定理，即可得答案. 【详解】因为，，所以， 由正弦定理得，则，解得 8. 已知函数的部分图象如下图所示，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据图象先求出，进而代值求解即可. 【详解】由图可知，，， 则，即， 因为点附近函数单调递减， 则将点代入函数解析式，得， 即，又，则， 所以，则. 9. 函数的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】通过换元法，转换成二次函数求最值即可. 【详解】令，则， 原函数转化为二次函数： ， 该二次函数开口向上，对称轴为， 因此函数在上单调递增， 当时，取得最小值，代入得： ， 即当时，取得最小值. 10. 如图，某公园划出一块平整的三角形草地ABC，在边BC上设置一个观景点D，点D到顶点C的距离为2百米，AD平分，边AB和AD的长度都为3百米.现需要沿着三角形草地ABC的边安装一圈灯带，则该灯带的长度为__________百米. 【答案】 【解析】 【分析】设，由角平分线定理以及列方程组求解即可. 【详解】设， 由角平分线定理得，，即，得， 因为， 所以 ， 得，则，则， 得，， 则该灯带的长度为. 11. 若函数在上有且仅有3个零点，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】将函数零点问题转化为方程在上有且仅有3个解的问题，换元结合正弦函数图象求解. 【详解】令，得，即. 因为，，令，则， 所以方程在上有且仅有3个解. 的所有非负解从小到大依次为： 要恰好有3个解，需满足第三个解落在区间内，第四个解落在区间外， 即：，解得：， 故的取值范围为. 12. 游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图1，该摩天轮最高点距离地面高度为90米，转盘直径为88米，设置有56个座舱，摩天轮上的座舱运动可以近似的看作是质点在圆周上做匀速圆周运动，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要18分钟.如图2，设座舱距离地面最近的位置为点P.坐上摩天轮转动一圈，当距离地面68米及以上高度时游客就能俯瞰全景，大有“一览众山小”之感，游客能感受这个过程的时长为_____（分钟）. 【答案】6 【解析】 【分析】设开始转动分钟后距离地面的高度为米，且，根据题设求出解析式，再令，解不等式即可求解. 【详解】设开始转动分钟后距离地面的高度为米， 且， 由题意知，解得， 又，解得， 所以， 因为，所以，则，可取， 所以，， 令，则，即， 因为，则，所以，解得， 所以游客坐上摩天轮能有（分钟）感受这个过程. 二、选择题（本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项） 13. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数值及充分条件、必要条件的定义即可得出结论. 【详解】在中，若，则； 反之，若，且， 所以或， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 14. 点在第二象限，则角的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据点所在象限得出且，再根据三角函数定义得出终边所在位置. 【详解】由题意， 则终边在轴下方，则终边在轴右侧， 所以终边在第四象限， 故选：D. 15. 函数是（ ） A. 最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数 C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦二倍角公式化简即可求解. 【详解】 所以最小正周期为，且为偶函数. 故选：B 16. 设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，面积为，周长为，则下列说法不正确的是（ ） A. 若，确定，则，唯一确定 B. 若，确定，则，唯一确定 C. 若，确定，则，唯一确定 D. 若，确定，则，唯一确定 【答案】C 【解析】 【分析】利用，再结合各个选项，逐一分析判断，即可求出结果. 【详解】因为， 对于选项A，若，确定，则唯一确定，所以选项A正确， 对于选项B，若，确定，由知，确定，则，唯一确定，所以选项B正确， 对于选项C，若确定，由，消得到， 又，当时，有两个值，当时，有1个值，当时，无解，所以选项C错误， 对于选项D，若确定，由知，确定，又，所以确定，故选项D正确， 故选：C. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.） 17. 已知，且． （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用平方关系可求得，再由二倍角公式计算可得结果； （2）由（1）求得，再利用两角和的正切公式即可计算出. 【小问1详解】 因为，且，所以，所以，. 【小问2详解】 ，所以. 18. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. （1）求角； （2）若，，求边和的面积. 【答案】（1）（或）； （2），的面积为. 【解析】 【分析】（1）结合题干，利用余弦定理求解即可； （2）根据三角形内角和为，求出角，进而利用正弦定理求出边，再利用三角形面积公式求解面积. 【小问1详解】 由，得， 由余弦定理可得：， 因为，所以. 【小问2详解】 由三角形内角和，得. 根据正弦定理：，代入： . ， 由面积公式，代入得：. 19. 已知函数． （1）求的严格增区间； （2）求在闭区间上的最大值和最小值及此时x的值． 【答案】（1） （2） 当，函数取得最大值，最大值为； 当或，函数取得最小值，最小值为2. 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换整理可得，以为整体，结合三角函数的单调性运算求解即可； （2）以为整体，结合三角函数的有界性运算求解即可. 【小问1详解】 由题意可得：， 令，解得， 所以函数的严格增区间为. 【小问2详解】 由（1）知 因为，可得， 当时，即，函数取得最大值，最大值为； 当或时，即或，函数取得最小值，最小值为2. 20. 已知函数，且图象的相邻两个最高点间的距离为. （1）求函数的所有零点； （2）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，，求边的长； （3）设，将函数的图象向左平移单位，再将横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若对任意，都有，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，根据正弦型函数性质列式计算求解； （2）由可得，再根据三角形面积公式及余弦定理计算求解即可； （3）根据图象变换可得，若对任意，都有成立，则，结合正弦函数性质计算求解. 【小问1详解】 因为图象的相邻两个最高点间的距离为， 所以，解得， 所以， 令，解得， 所以函数的所有零点可以表示为； 【小问2详解】 因为，所以， 因为，所以，解得， 因为，所以， 由余弦定理可得， 所以； 【小问3详解】 将函数的图象向左平移单位可得， 再将横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，即， 当时，，故， 所以当时，函数有最大值为， 当时，函数有最小值为， 若对任意，都有， 则，即， 所以的取值范围为. 21. 如图，在平面直角坐标系中，角α的终边与单位圆交于点A，轴于点P． （1）若，求的值； （2）若，直线与直线交于点M，求面积的最大值； （3）若，，角β、的终边分别与单位圆交于点B、C，轴于点Q，轴于点R，证明：以线段，，的长为三条边长能构成三角形． 【答案】（1） （2） （3） 如图所示， 由题意得，，，不妨设，则， 所以， ， 则只需证即可，即证， 即证， 即证， 即证， 即证， 即证， 因为，，则，则上式显然成立， 综上，以线段，，的长为三条边长能构成三角形． 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义及倍角公式即可求解； （2）列出的面积公式，再化简该三角函数求最值即可； （3）通过证明任意两边之和大于第三边，也即三个不等式即可，三个不等式均为三角函数不等式，通过三角函数的值域以及对应三角恒等变换公式证明即可． 【小问1详解】 ，则， ． 【小问2详解】 由题意得，， ， 当时，． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $