精品解析：山东省德州市平原县龙门中学等三校联考2025-2026学年八年级下学期4月期中数学试题

2025－2026学年人教版数学八年级下学期期中测试卷 一、单选题 1. 下列根式中，是最简根式的是（ ）． A. B. C. D. 2. 估计的值应在（ ） A. 6和7之间 B. 7和8之间 C. 8和9之间 D. 9和10之间 3. 已知在平行四边形中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. ，1， B. 40，50，60 C. ，2， D. 13，14，15 5. 计算的正确结果为（ ） A. 1 B. C. D. 6. 如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图、在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，，．若．则图中阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. C. 5 D. 8. 如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程为（杯壁厚度不计）（ ） A. B. 25 C. D. 13 9. 如图，在矩形中，、交于点，于点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形，若，，线段的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是_____________________． 12. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 13. 如图，在四边形中，，，，则度数为______． 14. 如图，平行四边形的顶点M坐标的是，顶点N坐标是，则顶点P坐标是______． 15. 如图，在中，，，，点是中点，点在边上，以为对角线作菱形，使，连接，当与的一条边平行时，菱形的边长为__________． 16. 如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为________． 三、解答题 17. 计算： （1）； （2）． 18. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2） 19. 甲、乙两车从A城出发前往B城．在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时间t的对应关系如图所示． （1）A，B两城相距多远？ （2）哪辆车先出发？哪辆车先到B城？乙车出发多久后两车相遇？ （3）甲、乙两车的平均速度分别是多少？ 20. 一辆汽车油箱现有汽油，已知该车平均耗油量为，油箱中的存油量为（单位：），行驶里程为（单位：），随着的变化而变化． （1）写出表示与的函数关系的式子； （2）汽车行驶时，油箱中还有多少汽油？ （3）当油箱中汽油还剩时，汽车仪表盘会出现黄灯，提示车主尽快加油．求黄灯亮后多少范围内汽车必须加油． 21. 钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，我国对钓鱼岛的巡航已经常态化．如图，甲、乙两艘海警船同时从位于南北方向的海岸线上某港口出发，各自沿一固定方向对钓鱼岛巡航，若甲船每小时航行海里，乙船每小时航行海里． （1）若甲乙两船离开港口一个半小时后分别位于、处（图1），且相距海里，如果知道甲船沿北偏东方向航行，你知道乙船沿哪个方向航行吗？请说明理由． （2）若甲船沿北偏东方向航行（图2），从港口离开经过两个小时后位于点处，此时船上有名乘客需要以最快的速度回到海岸线上，若他从处出发，乘坐的快艇的速度是每小时海里，他能在分钟内回到海岸线吗？请说明理由．（提示：） 22. 如图1，点，分别是正方形的边、的中点，连接、 （1）求证： ①； ②； （2）将沿翻折得到，延长交的延长线于点，如图2，求证：是等腰三角形； 23. 阅读材料，解决问题：探究平面内两点间的距离：设， 如图1，当，纵坐标相同时，，当，横坐标相同时， 如图2，求长度，可构造直角三角形，由图1可知，，由勾股定理可得两点间距离公式为 请直接利用两点间距离公式，解决下列问题： （1）平面直角坐标系中有两点，，则线段长为__________． （2）已知一个三角形各顶点坐标为，，，请通过计算说明的形状； （3）若平面内有两点，，在轴上找一点，使为直角三角形，我们可以这样解答： 设．则利用两点间距离公式可得：，， 若，则有，即 若，则有__________，即__________ 若，则有__________，即__________ （4）在（3）的条件下，若在轴上存在一点，使为等腰三角形，请直接写出所有点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年人教版数学八年级下学期期中测试卷 一、单选题 1. 下列根式中，是最简根式的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的条件判断即可得到答案． 【详解】A、，∴不是最简根式，不符合题意，故选项错误； B、，∴不是最简根式，不符合题意，故选项错误； C、，∴是最简根式，符合题意，故选项正确； D、，∴不是最简根式，不符合题意，故选项错误； 故选：C 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数（式）不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 2. 估计的值应在（ ） A. 6和7之间 B. 7和8之间 C. 8和9之间 D. 9和10之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，先根据二次根式的运算法则求出，再根据无理数的估算方法得到，进而得到，据此可得答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3. 已知在平行四边形中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等是解题关键． 根据平行四边形对角相等的性质即可得到答案． 【详解】∵在平行四边形中，， ∴． 故选：C． 4. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. ，1， B. 40，50，60 C. ，2， D. 13，14，15 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c（较长边）满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为，1，的三条线段可以组成直角三角形，故此选项符合题意； B、∵， ∴长为40，50，60的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵， ∴长为，2，的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵， ∴长为13，14，15的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：A． 5. 计算的正确结果为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，利用积的乘方的逆运算和平方差公式求解即可． 【详解】解： ．   故选： B． 6. 如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据数轴上两点间的距离公式求出的长，再在中利用勾股定理求出的长，根据圆的半径相等可得，最后根据点在点的右侧，用点表示的数加上的长即可得出点表示的数． 【详解】解：点表示的数是，点表示的数是，  ，  ，  ， 在中，由勾股定理得： ，  以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，  ，  点表示的数是，且点在点的右侧，  点表示的数为． 7. 如图、在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，，．若．则图中阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由勾股定理得出，再根据可得出的值，即可求解． 【详解】解：由勾股定理得：， 即， ， ， 由图形可知，阴影部分的面积为， 阴影部分的面积为． 8. 如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程为（杯壁厚度不计）（ ） A. B. 25 C. D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】延长至，使，作于，连接交于，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：如图，将玻璃杯侧面展开，延长至，使，作于，连接交于， ∴，，， ∵底面周长为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴最短距离为． 9. 如图，在矩形中，、交于点，于点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得，在中利用两锐角互余求出的度数，进而得到的度数，最后利用三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 10. 如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形，若，，线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作于R，于S，根据题意先证出四边形是平行四边形，再由得平行四边形是菱形，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：作于R，于S，连接、交于点O． 由题意知：，， ∴四边形是平行四边形， ∵两个矩形等宽， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴，，， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查菱形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形． 二、填空题 11. 命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是_____________________． 【答案】如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形. 【解析】 【详解】解：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件， 那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题. 因此，“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是“如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形”. 故答案为：如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形. 12. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 13. 如图，在四边形中，，，，则度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理逆定理，证明四边形是平行四边形，得出，再由勾股定理逆定理得出，即可得解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，，， ∴， ∴，即， 故答案为：． 14. 如图，平行四边形的顶点M坐标的是，顶点N坐标是，则顶点P坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，平行四边形的性质，平行四边形的对边相等，以及考查坐标与图形的性质等知识点． 根据平行四边形的性质和各顶点的位置求解即可． 【详解】∵平行四边形的顶点M坐标的是，顶点N坐标是， ∴P点的纵坐标是3，横坐标坐标为， ∴顶点P坐标是． 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，点是中点，点在边上，以为对角线作菱形，使，连接，当与的一条边平行时，菱形的边长为__________． 【答案】4或 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质可得出，，，根据菱形的性质得出，，分为与的边平行和与的边平行，两种情况进行分析，结合平行线的性质、直角三角形的性质以及勾股定理即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 又∵，点是中点， ∴，， 在以为对角线的菱形中，，， 即，，， ∴，， 当与的边平行时，如图： ∵，， ∵， 在中，， ∴， 故， 在中，， ∴， ∴当与的边平行时，菱形的边长为； 当与的边平行时，如图： ∵，， ∵， 在中，， ∴， 又∵， 即， ∴， 故， 在中，， ∴， ∴当与的边平行时，菱形的边长为； 当与的边平行时，此时点不在边上，故该情况不存在； 综上，当与的一条边平行时，菱形的边长为或． 16. 如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理可以证明，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，则，要求的最小值，即求的最小值；根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形是矩形，根据矩形的对角线相等，得，则的最小值即为的最小值，根据垂线段最短，知的最小值即等于直角三角形斜边上的高． 【详解】解：连接，如图： ∵在中，，，， ∴，即， 又∵于点，于点， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是的中点， ∴， 当时，的最小值即为直角三角形斜边上的高， ∴， ∴， ∴的最小值是． 【点睛】把要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段． 三、解答题 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）9 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． （1）直接利用平方差公式进行计算即可； （2）先化简，再计算乘除法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据整式运算，乘法公式的变形，再代入计算，即可求解； （2）根据整式的运算，先通分，再进行加减，最后代入计算，即可求解． 【小问1详解】 解： 当，， ∴原始． 【小问2详解】 解： 当，， ∴原始． 【点睛】本题主要考查整式的混合运算，掌握完全平方公式，平方差公式的变形是解题的关键． 19. 甲、乙两车从A城出发前往B城．在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时间t的对应关系如图所示． （1）A，B两城相距多远？ （2）哪辆车先出发？哪辆车先到B城？乙车出发多久后两车相遇？ （3）甲、乙两车的平均速度分别是多少？ 【答案】（1）； （2）甲车先出发，乙先到B城，乙出发1.5小时后相遇； （3）甲速为，乙速为：． 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，理解横、纵坐标的实际意义是解题的关键 （1）根据图示知，纵坐标表示汽车离开A城的距离，所以A，B两城相距300米； （2）根据图象解答即可； （3）速度 ，依此列式计算即可求解． 【小问1详解】 由图示知：A，B两城相距； 【小问2详解】 由图示知，甲车从出发，乙车从出发； 甲车到达B城，乙车到达B城； 由图象可知乙出发1.5小时后相遇； 答：甲车先出发，乙车先到达B城，乙车出发多久后两车相遇，乙出发1.5小时后相遇； 【小问3详解】 如图所示：甲车的平均速度为，乙车的平均速度为： ， 答：甲、乙两车的平均速度分别是、． 20. 一辆汽车油箱现有汽油，已知该车平均耗油量为，油箱中的存油量为（单位：），行驶里程为（单位：），随着的变化而变化． （1）写出表示与的函数关系的式子； （2）汽车行驶时，油箱中还有多少汽油？ （3）当油箱中汽油还剩时，汽车仪表盘会出现黄灯，提示车主尽快加油．求黄灯亮后多少范围内汽车必须加油． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（）根据题意即可求解； （）把代入（）中的函数解析式计算即可求解； （）用除以即可求解； 本题考查了一次函数的应用，根据题意，正确求出函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意可得，； 【小问2详解】 解：把代入得， ， ∴油箱中还有汽油； 【小问3详解】 解：， 答：黄灯亮后范围内汽车必须加油． 21. 钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，我国对钓鱼岛的巡航已经常态化．如图，甲、乙两艘海警船同时从位于南北方向的海岸线上某港口出发，各自沿一固定方向对钓鱼岛巡航，若甲船每小时航行海里，乙船每小时航行海里． （1）若甲乙两船离开港口一个半小时后分别位于、处（图1），且相距海里，如果知道甲船沿北偏东方向航行，你知道乙船沿哪个方向航行吗？请说明理由． （2）若甲船沿北偏东方向航行（图2），从港口离开经过两个小时后位于点处，此时船上有名乘客需要以最快的速度回到海岸线上，若他从处出发，乘坐的快艇的速度是每小时海里，他能在分钟内回到海岸线吗？请说明理由．（提示：） 【答案】（1） 乙船沿南偏东方向航行； 理由如下： 由题意可得： ，（海里），（海里）， 在中， ，， ， 是直角三角形，且， ， 乙船沿南偏东方向航行； （2） 他能在分钟内到海岸线．理由如下： 如图，过点作于， 由题意可得： ，（海里）， ， （海里）， （海里）， （海里）， ， 他能在分钟内到海岸线． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而解答即可； （2）过点作于，根据含度角的直角三角形的性质和勾股定理求得的长，进一步计算得出答案． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：略． 22. 如图1，点，分别是正方形的边、的中点，连接、 （1）求证： ①； ②； （2）将沿翻折得到，延长交的延长线于点，如图2，求证：是等腰三角形； 【答案】（1） ①证明：四边形是正方形， ，， 点、分别是、的中点， ，， ， ， 在和中， ， ， ． ②证明：由①得， ， 在中，， ， 在中，， ． （2） 证明：四边形是正方形， ， ， 由翻折的性质可知，， 点在的延长线上， ， ， ， 是等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）①利用证明即可； ②根据性质，结合互余的性质证明即可． （2）根据折叠的性质，得到；根据正方形性质，，继而得到，根据等角对等边证明即可． 【小问1详解】 ① ② 【小问2详解】 略． 23. 阅读材料，解决问题：探究平面内两点间的距离：设， 如图1，当，纵坐标相同时，，当，横坐标相同时， 如图2，求长度，可构造直角三角形，由图1可知，，由勾股定理可得两点间距离公式为 请直接利用两点间距离公式，解决下列问题： （1）平面直角坐标系中有两点，，则线段长为__________． （2）已知一个三角形各顶点坐标为，，，请通过计算说明的形状； （3）若平面内有两点，，在轴上找一点，使为直角三角形，我们可以这样解答： 设．则利用两点间距离公式可得：，， 若，则有，即 若，则有__________，即__________ 若，则有__________，即__________ （4）在（3）的条件下，若在轴上存在一点，使为等腰三角形，请直接写出所有点的坐标． 【答案】（1）5 （2）为等腰三角形 （3），，， （4）点的坐标为或，， 【解析】 【分析】（1）根据题中所给出的两点的直线距离公式进行计算即可解答； （2）根据两点间的距离公式分别求得三边的长度；最后根据三角形的三条边长关系来判断该三角形的形状； （3）由题意利用两点间距离公式结合勾股定理进行分析即可； （4）由题意设点坐标，根据两点间的距离公式表示出，，的长，根据等腰三角形的两边长相等分类讨论求解即可． 【小问1详解】 解：，， ． 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ， ， ∵， ∴为等腰三角形． 【小问3详解】 解：设，利用两点间距离公式可得： ，，， 若，则有，即， 若，则有，即． 【小问4详解】 解∶∵点Q在轴上， ∴设点， ∵，， ∴， ， ∵为等腰三角形，则分以下三种情况讨论∶ ①当时，， ∴， 解得 ∴； ②当时，， ∴， 解得或， 当时，，与点N重合，舍去， 当时，； ③当时，， ∴， 解得或 此时或； 综上所述，点的坐标为或，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $