精品解析：山东省德州市平原县五中、三中、二中2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2024-2025学年度第二学期期中考试初中数学试卷（八年级） 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（共40分） 1. 如图，要使成为矩形，则可添加的一个条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定．根据矩形的判定方法“对角线相等的平行四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形”，由此得到答案． 【详解】解：A、添加，根据邻边相等的平行四边形是菱形，不能得到为矩形，本选项不符合题意； B、添加，根据对角线相互垂直的平行四边形是菱形，不能得到为矩形，本选项不符合题意； C、添加，不能得到为矩形，本选项不符合题意； D、添加，根据对角线相等的平行四边形是矩形，能得到为矩形，本选项符合题意； 故选：D． 2. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，则点B到线段的距离为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，割补法求三角形面积及二次根式的应用，由勾股定理求出的长，割补法求出的面积，设点到线段的距离是为，再由三角形面积公式计算即可得出答案． 【详解】解：根据题意：，， 设点到直线的距离是为， 则， ， ， ∴点到线段的距离是为， ,故选：B． 3. 如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，以点为圆心，以长为半径画弧，交轴正半轴于点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和坐标与图形性质的应用，解此题的关键是求出的长，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．求出、，根据勾股定理求出，即可得出，求出长即可． 【详解】解：点，的坐标分别为，， ，， 在中，由勾股定理得：， ， ， 点C的坐标为， 故选C． 4. 小明从家里出发骑单车去上学，出发了一段时间后，想起今天考试需要带铅笔，于是赶紧折回到刚经过的文具店，买到铅笔后继续赶往学校，以下是他离家的距离y（米）与所用的时间t（分钟）之间的关系的图，根据图中的信息，则下列说法错误的是（ ） A. 小明家到学校的距离是1800米 B. 小明在文具店停留了4分钟 C. 本次上学途中，小明一共行了3400米 D. 若骑单车的速度大于320米/分就有安全隐患，在整个上学的途中，小明骑车有4分钟的超速骑行，存在安全隐患 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象起点和终点的纵坐标差，确定两地之间的距离，可以判断A的正误；根据平行x轴的线段的两个端点的自变量值的差，就是停留的时间，可以判断B的正误；根据题意，行走的总路程为米，可以判断C的正误；分别计算前6分钟的平均速度为：，不超速； 6分钟到8分钟之间的平均速度为：，超速，且时间为2分钟；12分钟到16分钟之间的平均速度为：，不超速，可判定D的正误． 本题主要考查了从函数图象获取信息，正确计算平均速度是解题的关键． 【详解】解：A、根据函数图象，学校的纵坐标为1800，小明家的纵坐标为0，故小明家到学校的路程是1800米； 故本选项不合题意； B、根据题意，小明在书店停留的时间为从8分到12分，故小明在书店停留了4分钟； 故本选项不合题意； C、本次上学途中，小明一共行了米， 故本选项不符合题意； D、由图象可知：前6分钟的平均速度为：，不超速； 6分钟到8分钟之间的平均速度为：，超速，且时间为2分钟； 12分钟到16分钟之间的平均速度为：，不超速，故本选项符合题意； 故选：D. 5. 下列式子中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的判断，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键：最简二次根式应满足两个条件：被开方数的因数是整数，字母因式是整式；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 按照最简二次根式的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故选项不符合题意； B、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故选项不符合题意； C、，被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故选项不符合题意； D、，是最简二次根式，故选项符合题意； 故选：． 6. 平行四边形中，，则的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形得出两直线平行，同旁内角互补，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， 故选：C． 7. 如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形在水池的正中央有根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（　　） A. 10尺 B. 11尺 C. 12尺 D. 13尺 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正确运用勾股定理．找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：设水深为x尺，则芦苇长为尺， 根据勾股定理得：， 解得：， 芦苇的长度（尺）， 答：芦苇长尺． 故选：D． 8. 如图，在正方形中，，O、E、F、M分别为的中点，则的长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，则；在中，由勾股定理求得，由直角三角形斜边上中线的性质，求得，从而求得． 【详解】解：如图，连接， ∵分别是的中点， ∴； ∵四边形为正方形，， ∴，； ∵点E为的中点， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵点F为直角三角形斜边上中点， ∴， ∴； 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键． 9. 根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定、平行线的判定等知识．根据平行四边形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、根据对角线互相平分能判断该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、根据两组对边分别相等能判断该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； C、根据图可判断出，一组对边相等，另一组对边平行，不能判断该四边形是平行四边形，本选项符合题意； D、由两组内错角相等，可得两组对边分别平行，根据两组对边分别平行能判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意． 故选：C． 10. 如图，在正方形中，边长为2的等边的顶点E、F分别在和上，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、二次根式的计算，熟练掌握正方形和等边三角形的性质是解题的关键．利用正方形和等边三角形的性质证明，得到，得到可判断①；利用得到，利用平角的定义可判断②；连接交于点，则，由，得到垂直平分，利用勾股定理求出和的长，得到正方形的边长为，求出的长可判断③；最后利用三角形的面积公式可判断④和⑤，即可得出结论． 【详解】解：正方形， ，， 等边， ，， ， ， ， ，故①正确； ，， 是等腰直角三角形， ，， ，故②正确； 连接交于点，则， ，， 垂直平分， ，， ， ， ， ， 正方形， 是等腰直角三角形， ， ， ，故③错误； ， ，故④正确； ，， ，故⑤正确； 其中正确的有①②④⑤，正确的个数为4． 故选：B． 第II卷（非选择题） 二、填空题（共24分） 11. 如图，中，，点D，E分别在边上，且，，分别连接，点M，N分别是的中点，连接，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意取的中点F，连接，根据三角形的中位线的性质，可得，，，，根据勾股定理，则，求出即可． 本题考查三角形中位线，勾股定理等知识，解题的关键是掌握三角形中位线的性质，勾股定理的应用． 【详解】解：取的中点F，连接， ， 点M是的中点， 是的中位线， ，， ， 是的中位线， ，， ， ， ， ， ， 故答案为： 12. 如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高厘米，底面周长厘米，在杯口内壁离杯口厘米的处有一滴蜜糖，在玻璃杯的内壁，的相对方向有一小虫，小虫离杯底的垂直距离为厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是______ 厘米． 【答案】 【解析】 【分析】将杯子侧面展开，作关于杯口的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，再结合勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示：将杯子侧面展开，作关于杯口的对称点，连接， 最短距离为的长度， 厘米， 最短路程为厘米． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 13. 计算的结果为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用平方差公式计算即可． 【详解】解：． 故答案为：3． 14. 最简二次根式能与合并，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查看同类二次根式，先化简，再根据最简二次根式能与合并可得，据此即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：， ∵最简二次根式能与合并， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 已知函数，则的取值范围是_________ ． 【答案】x≥-3且x≠2 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列不等式组求解. 【详解】解:由题意可得: , 解得: 且 , 故答案为: 且 . 【点睛】本题主要考查函数自变量取值范围,解决本题的关键是要熟练掌握二次根式和分式有意义的条件. 16. 已知：如图，中，，，，点为边的中点，点为边上一点，连接、，则周长的最小值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查轴对称-最短问题，等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形的外角性质、勾股定理等知识，熟练掌握轴对称性质是关键．作点D关于的对称点，连接，，，，利用轴对称性质得到，则的周长，当A、E、共线时取等号，此时的周长最小，最小值为，证明是等边三角形得到，，利用三角形的外角性质推导出，然后利用勾股定理求得即可求解． 【详解】解：作点D关于的对称点，连接，，，， ∴，，， ∵点为边的中点，， ∴， ∴的周长， 当A、E、共线时取等号，此时的周长最小，最小值为， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，则， 在中，， ∴周长的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（共计86分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）0 （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）根据，结算即可； （2）根据计算即可； （3）根据，计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ． 【点睛】本题考查了有理数乘方，立方根， 算术平方根，零指数幂，二次根式的乘除加减混合运算，绝对值的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键． 18. 如图，是菱形对角线的交点，过点作，过点作与相交于点． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：， 四边形是平行四边形． 又四边形是菱形， ，即， 四边形是矩形． （2）1 【解析】 【分析】本题主要考查矩形、菱形的判定和性质，掌握矩形的判定方法及菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键． （1）由条件可证得四边形为平行四边形，再由菱形的性质可求得，则可证得四边形为矩形． （2）首先推知是等边三角形，所以，再用菱形的对角线互相平分即可求得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ． 又， 是等边三角形， ， ． 19. 如图，在平行四边形中，，E，F是对角线上的点，且，连接，，，．求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：如图，设交于点O，    ∵，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 连接，交于点O，证明平行四边形是菱形，得，再证明，则四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论． 【详解】略 20. 在中，，点D，E分别是的中点，点F在的延长线上，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：∵，点E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点D为的中点， ∴为的中位线， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，直角三角形的性质，三角形中位线定理，等边对等角，先根据直角三角形的性质和等边对等角证明，则，由此可得，再由三角形中位线定理证明，据此可证明结论． 【详解】略 21. 某公园计划美化一块四边形区域，用来打造特色花卉展览区，每平方米的布置费用为120元．已知，相关长度如图所示（，，，）．请计算美化这块区域所需的费用． 【答案】美化这块区域所需的费用为17280元 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理以及勾股逆定理的应用．连接，利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，且，再根据四边形的面积求出面积，最后再算美化这块区域所需的费用即可． 【详解】解：如图，连接． ， ． ， ， 是直角三角形，且， ∴四边形的面积 ， （元）． ∴美化这块区域所需的费用为17280元． 22. 如图，已知点是等边内一点，连结，，，D为外一点，且，连接，，． （1）求证：． （2）若，，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在与中， ∴（SAS）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理． （1）根据等边三角形的性质得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到，，推出是等边三角形，得到，，根据勾股定理的逆定理得到，于是得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∵， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 23. 综合探究 【课本再现】如图①，四边形是正方形，是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：． 证明：取边的中点，连接． 四边形是正方形，，． 是边的中点，是边的中点， ，，． ______°，______°． 是正方形外角的平分线，． ______°． ，． 又，． 又，， （______）（填判定方法）． ． （1）请将上述证明过程中缺少的内容填在对应的横线上． 【问题解决】（2）如图②，四边形是正方形，是边上任意一点（不与点，重合），，且交正方形外角的平分线于点，则与是否仍然相等？请说明理由． 【拓展探究】（3）如图③，四边形是正方形，是射线上任意一点（不与点，重合），，且交正方形外角的平分线于点．若，，求的长． 【答案】（1）45 ，135，135，； （2）与仍然相等，理由如下： 如图2，在边上截取，连接， 四边形是正方形， ，， ， ，，即， ， 是正方形外角的平分线， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ； （3）的长为5或 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判断及性质、勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）取边的中点，连接．根据正方形的性质结合证明，再根据全等三角形的性质即可得证； （2）在边上截取，连接，根据正方形的性质结合证明，再根据全等三角形的性质即可得证； （3）分当点E在边上时，当点E在的延长线上时，两种情况，利用正方形的性质及勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：取边的中点，连接． 四边形是正方形， ，． 是边的中点，是边的中点， ，， ． ，． 是正方形外角的平分线， ． ． ， ． 又， ． 又，， ． ． 故答案为：45，135，135，； （2）略 （3）分两种情况讨论： ①如图3-1，当点E在边上时， 四边形是正方形， ，， ， 由勾股定理得， 由（2）可知，， ； ②如图3-2，当点E在的延长线上时，连接，过点F作，交的延长线于点G，在上截取，连接， 同理（2）可得， ， 四边形是正方形， ，， ， 由勾股定理，得， ， 综上所述，的长为或者． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期期中考试初中数学试卷（八年级） 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（共40分） 1. 如图，要使成为矩形，则可添加的一个条件是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，则点B到线段的距离为（ ） A. B. C. D. 3 3. 如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，以点为圆心，以长为半径画弧，交轴正半轴于点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 小明从家里出发骑单车去上学，出发了一段时间后，想起今天考试需要带铅笔，于是赶紧折回到刚经过的文具店，买到铅笔后继续赶往学校，以下是他离家的距离y（米）与所用的时间t（分钟）之间的关系的图，根据图中的信息，则下列说法错误的是（ ） A. 小明家到学校的距离是1800米 B. 小明在文具店停留了4分钟 C. 本次上学途中，小明一共行了3400米 D. 若骑单车的速度大于320米/分就有安全隐患，在整个上学的途中，小明骑车有4分钟的超速骑行，存在安全隐患 5. 下列式子中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 6. 平行四边形中，，则的度数为( ) A. B. C. D. 7. 如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形在水池的正中央有根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（　　） A. 10尺 B. 11尺 C. 12尺 D. 13尺 8. 如图，在正方形中，，O、E、F、M分别为的中点，则的长等于（ ） A. B. C. D. 9. 根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，边长为2的等边的顶点E、F分别在和上，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 第II卷（非选择题） 二、填空题（共24分） 11. 如图，中，，点D，E分别在边上，且，，分别连接，点M，N分别是的中点，连接，则线段的长为______． 12. 如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高厘米，底面周长厘米，在杯口内壁离杯口厘米的处有一滴蜜糖，在玻璃杯的内壁，的相对方向有一小虫，小虫离杯底的垂直距离为厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是______ 厘米． 13. 计算的结果为_______． 14. 最简二次根式能与合并，则_____． 15. 已知函数，则的取值范围是_________ ． 16. 已知：如图，中，，，，点为边的中点，点为边上一点，连接、，则周长的最小值是______． 三、解答题（共计86分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）． 18. 如图，是菱形对角线的交点，过点作，过点作与相交于点． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，求的长． 19. 如图，在平行四边形中，，E，F是对角线上的点，且，连接，，，．求证：四边形是菱形． 20. 在中，，点D，E分别是的中点，点F在的延长线上，且．求证：四边形是平行四边形． 21. 某公园计划美化一块四边形区域，用来打造特色花卉展览区，每平方米的布置费用为120元．已知，相关长度如图所示（，，，）．请计算美化这块区域所需的费用． 22. 如图，已知点是等边内一点，连结，，，D为外一点，且，连接，，． （1）求证：． （2）若，，，求的度数． 23. 综合探究 【课本再现】如图①，四边形是正方形，是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：． 证明：取边的中点，连接． 四边形是正方形，，． 是边的中点，是边的中点， ，，． ______°，______°． 是正方形外角的平分线，． ______°． ，． 又，． 又，， （______）（填判定方法）． ． （1）请将上述证明过程中缺少的内容填在对应的横线上． 【问题解决】（2）如图②，四边形是正方形，是边上任意一点（不与点，重合），，且交正方形外角的平分线于点，则与是否仍然相等？请说明理由． 【拓展探究】（3）如图③，四边形是正方形，是射线上任意一点（不与点，重合），，且交正方形外角的平分线于点．若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $