精品解析：江西赣州市五县2025-2026学年高一下学期期中阶段检测数学试题

2025—2026学年第二学期高一阶段检测 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：北师大版必修第一册，第二册1.1—2.5. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若是第四象限角，则是（ ） A. 第四象限角 B. 第三象限角 C. 第二象限角 D. 第一象限角 2. 集合的子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 3. 在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的两倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则图象的一个对称中心为（ ） A. B. C. D. 6. 已知正数a，b满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知D是的重心，，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 函数的所有零点的和为（ ） A. B. C. 3 D. 5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，满足，，则可能为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递增 B. 的值域为 C. 的图象关于直线对称 D. 恰有1个零点 11. 已知函数，下列命题正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图像关于原点对称 C. 当时， D. 在上单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某志愿者团队共有名男性志愿者和名女性志愿者，现按比例用分层随机抽样的方法选取名志愿者，则男性志愿者被选中的人数为______． 13. ______． 14. 已知向量满足，且，则的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，． （1）若A，B，D三点共线，求x的值； （2）若，求x的值． 16. 不透明的袋子中装有红球、绿球各1个，黄球m个，这些球除颜色外完全相同，每次从袋子中有放回地随机取出1个球，且每次黄球被取出的概率为． （1）求m的值． （2）现进行两次取球． （ⅰ）求恰好有一次取出黄球的概率； （ⅱ）求这两次取出的球的颜色相同的概率． 17. 已知函数的部分图象如图所示，点，点． （1）求的解析式； （2）求的单调递增区间； （3）求在上的值域． 18. 定义：若函数的图象上存在关于原点对称的点，则称为定义域上的“临奇函数”． （1）判断定义域为的函数是否为“临奇函数”，并说明理由； （2）若函数是定义在区间上的“临奇函数”，求m的取值范围． 19. 如图，在长方形中，是的中点，是线段上的点（含端点）. （1）若，用表示； （2）求的取值范围； （3）延长到点，使得，若，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期高一阶段检测 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：北师大版必修第一册，第二册1.1—2.5. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若是第四象限角，则是（ ） A. 第四象限角 B. 第三象限角 C. 第二象限角 D. 第一象限角 【答案】B 【解析】 【详解】解：因为是第四象限角，且与的终边关于x轴对称， 所以是第一象限角，将的终边按逆时针方向旋转，角的终边落在第三象限． 2. 集合的子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【详解】解：由题意得，其元素个数为3，子集个数为． 3. 在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用三角函数定义，结合诱导公式计算得到答案． 【详解】解：． 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】单调递增， ，即， 单调递增， ，即， ， ， ． 5. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的两倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则图象的一个对称中心为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题可知，， 令，，解得，， 当时，得，故C正确，经检验，其他选项不符． 6. 已知正数a，b满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，，， ， 当且仅当，时，等号成立， 的最小值为． 7. 已知D是的重心，，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由重心的性质可得，求出，再根据在上的投影向量为计算即可． 【详解】解：因为D是的重心，所以， 又，，，所以， 则在上的投影向量为． 8. 函数的所有零点的和为（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，的零点转化为与的交点，结合图像及对称性求解即可． 【详解】由，得， 则所有零点的和等价于函数与的图象所有交点的横坐标之和． 易得与的图象均关于点对称． ，，，结合与的图象， 可知与的图象在内共有2个交点， 则与的图象共有5个交点，且关于点对称， 则这5个交点的横坐标之和为，即所有零点的和为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，满足，，则可能为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据向量不等式进行求解． 【详解】解：由题可得，从而， 所以选项BCD符合题意． 10. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递增 B. 的值域为 C. 的图象关于直线对称 D. 恰有1个零点 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数的对称性结合条件判断C，应用复合函数单调性结合对数函数单调性判断A，应用值域计算判断B，结合零点定义及对数方程计算判断D. 【详解】由题可知的定义域为，因为， 所以的图象关于直线对称，C正确． 因为， 且函数在上单调递增，在其定义域内单调递增，所以在上单调递增，A正确． 当时，， 所以的值域为，B错误． 令， 又因开口向下，且，所以在内有两解，D错误． 11. 已知函数，下列命题正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图像关于原点对称 C. 当时， D. 在上单调递减 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项，因为正余弦函数的最小正周期均为，因此的最小正周期为；选项，由奇函数图像关于原点对称，而在其定义域内不是奇函数；选项，求出各部分在区间的函数取值范围，即可判断的符号；选项，利用正余弦函数单调性即可作出判断. 【详解】解：由题意知函数的定义域为. 选项，因为，所以为的周期. 假设存在比小的周期，设，根据周期函数定义可知， 由恒等式可推出唯一可能的值为， 但， 所以假设不成立，因此，的最小正周期为，正确； 选项，因为， 所以不是奇函数，因此图像不关于原点对称，错误. 选项，当时，，，， 所以，正确； 选项，当时，且单调递增，则在上单调递减； 又函数在上单调递减，所以在上单调递减，则正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某志愿者团队共有名男性志愿者和名女性志愿者，现按比例用分层随机抽样的方法选取名志愿者，则男性志愿者被选中的人数为______． 【答案】 【解析】 【详解】由题可知，男性志愿者占比为：， 男性志愿者被选中的人数为． 13. ______． 【答案】## 【解析】 【详解】． 14. 已知向量满足，且，则的最大值为__________. 【答案】5 【解析】 【分析】求出向量的夹角及，设，取的中点，利用数量积运算可得点是以为圆心，2为半径的圆上的动点，结合圆的几何性质可求得的最大值. 【详解】如图，记， 则，， 可得 则. 取的中点，则 ， 则， 则， 故是以为圆心，2为半径的圆上的动点， . 易得，所以. 所以的最大值为5. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，． （1）若A，B，D三点共线，求x的值； （2）若，求x的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出坐标，利用向量平行关系构造方程求解； （2）求出坐标，利用向量垂直关系构造方程求解． 【小问1详解】 ，， ， 又A，B，D三点共线， ，则，解得． 【小问2详解】 由，得， ，， ， ，解得． 16. 不透明的袋子中装有红球、绿球各1个，黄球m个，这些球除颜色外完全相同，每次从袋子中有放回地随机取出1个球，且每次黄球被取出的概率为． （1）求m的值． （2）现进行两次取球． （ⅰ）求恰好有一次取出黄球的概率； （ⅱ）求这两次取出的球的颜色相同的概率． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【小问1详解】 由题可知每次黄球被取出的概率为，解得． 【小问2详解】 （ⅰ）因为每次黄球被取出的概率为，且两次取出的球的颜色相互独立. 所以恰有一次取出黄球的概率为． （ⅱ）由题可知，每次红球和绿球被取出的概率均为，且两次取出的球的颜色相互独立. 所以这两次取出的球的颜色相同的概率为． 17. 已知函数的部分图象如图所示，点，点． （1）求的解析式； （2）求的单调递增区间； （3）求在上的值域． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由图象确定周期求得，通过点坐标代入解析式即可求解； （2）由（1），通过整体代入即可求解； （3）由，得的范围，再结合正弦函数的性质即可求解. 【小问1详解】 由图可得，所以，即， 解得． 将的坐标代入中，得，即 所以，因为，所以． 故． 【小问2详解】 令， 得， 所以的单调递增区间为． 【小问3详解】 设，由，得， 所以， 所以， 故在上的值域为． 18. 定义：若函数的图象上存在关于原点对称的点，则称为定义域上的“临奇函数”． （1）判断定义域为的函数是否为“临奇函数”，并说明理由； （2）若函数是定义在区间上的“临奇函数”，求m的取值范围． 【答案】（1）函数不是上的“临奇函数”，理由见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）根据“临奇函数”的定义和性质，利用反证法得出结论； （2）根据“临奇函数”的定义和性质，结合已知条件构造不等式，解不等式求m的取值范围． 【小问1详解】 假设是上的“临奇函数”，则存在， 使得，整理得，这与相矛盾， 函数不是上的“临奇函数”． 【小问2详解】 是区间上的“临奇函数”， 存在，使得， 化简得， ，即， ， ， ，即， 恒成立， ，即， ，即m的取值范围为． 19. 如图，在长方形中，是的中点，是线段上的点（含端点）. （1）若，用表示； （2）求的取值范围； （3）延长到点，使得，若，求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量基本定理可得答案； （2）方法一：为基底，表达出，得到关于的关系式，求出最值；方法二：利用向量的投影进行求解，得到最值； （3）以为基底，表达出，两边平方后可得，求出答案 【小问1详解】 因为，所以. 又是的中点，所以， 从而. 【小问2详解】 （方法一）因为是线段上的点， 所以. 又，所以 . 由，得，故的取值范围为. （方法二），分别记在上的射影为. 由向量的投影可知，当运动到点处时，取得最小值， 当运动到点处时，取得最大值. 记的交点为，易得， 则， 则， 则，故的取值范围为. 【小问3详解】 由题可知， 因为，所以. 又，所以， 则，从而， ， 则， 则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $