精品解析：江西全南中学2025-2026学年高一年级期中质量监测数学试题

全南中学高一年级数学期中质量监测 数学试题 试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知一组数据为，则该组数据的分位数为（ ） A. B. C. D. 3. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，已知在中，是线段上的靠近A的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象可以由（ ） A. 的图象向右平移个单位长度，再把曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到 B. 的图象向左平移个单位长度，再把曲线上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到 C. 的图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度得到 D. 的图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度得到 6. 已知向量满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是定义在R上的偶函数，且，若3，则（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 8. 已知是关于x的一元二次方程，其中，，是非零向量，且向量和不共线，则该方程（ ） A. 至少有一根 B. 至多有一根 C. 有两个不等的根 D. 有无数个互不相同的根 二､多选项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列函数中，最小正周期为的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的一个单调递增区间为 C. 为奇函数 D. 的图象关于直线对称 11. 在中，点在上，且，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，，，，则（ ） A. B. 的最小值为9 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. __________. 13. 设，满足，，，则____________. 14. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若函数在上单调递增，则的最大值是__________. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知角的终边过点，且 （1）求实数和的值； （2）求的值. 16. 已知平面内的三个向量. （1）若，求的值； （2）若向量与向量共线，求实数的值. 17. 已知函数的部分图象如图所示 （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若为偶函数，求a的最小值. 18. 一高校承办了某届世乒赛志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为，第一组和第五组的频率相同． （1）求的值； （2）（ⅰ）直接写出这100名候选者面试成绩的中位数所在的分组区间； （ⅱ）估计这100名候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）在第四、第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率． 19. 已知函数且为奇函数. （1）求实数的值及函数的值域； （2）解不等式； （3）求函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 全南中学高一年级数学期中质量监测 数学试题 试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据集合，解得， 又因为，所以. 2. 已知一组数据为，则该组数据的分位数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，这组数据共有个数， 因为 ， 所以该组数据的分位数是第4个数，即. 3. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用零点存在定理进行判断即可. 【详解】，因为均为增函数，所以为增函数， 又，，所以的零点所在区间为. 故选：C 4. 如图所示，已知在中，是线段上的靠近A的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因是线段上的靠近A的三等分点，则. 5. 函数的图象可以由（ ） A. 的图象向右平移个单位长度，再把曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到 B. 的图象向左平移个单位长度，再把曲线上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到 C. 的图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度得到 D. 的图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度得到 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的变换规则一一判断即可. 【详解】对于A：将的图象向右平移个单位长度得到， 再将各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到，故A错误； 对于B：将的图象向左平移个单位长度得到， 再将各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到，故B错误； 对于C：的图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到， 再将向右平移个单位长度得到，故C正确； 对于D：的图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到， 再将向左平移个单位长度得到，故D错误. 故选：C 6. 已知向量满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】已知，. 所以. 因为，所以. 由投影向量公式可得在上的投影向量 所以在上的投影向量为. 7. 已知是定义在R上的偶函数，且，若3，则（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知及奇偶性的定义可知当时有，根据已知及周期性的定义可得的周期是8，结合周期性及奇函数性质求函数值即可. 【详解】因为是定义在R上的偶函数， 所以，所以当时有， 由，得，所以， 所以，可得的周期是8． 所以. 8. 已知是关于x的一元二次方程，其中，，是非零向量，且向量和不共线，则该方程（ ） A. 至少有一根 B. 至多有一根 C. 有两个不等的根 D. 有无数个互不相同的根 【答案】B 【解析】 【分析】由向量基本定理进行求解 【详解】，其中向量和不共线， 若方程有解，则可以由不共线的向量与线性表示（即三向量共面）， 由向量基本定理，若在向量与张成的平面内，则可以由不共线的向量与唯一表示， 即，此时若有，则有一个解，否则无解， 当然，若，，不共面，此时无解，所以至多有一根. 二､多选项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列函数中，最小正周期为的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【详解】函数最小正周期为，所以A错误； 函数最小正周期为，所以B正确； 函数的最小正周期为，所以C错误； 函数最小正周期为，所以D正确. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的一个单调递增区间为 C. 为奇函数 D. 的图象关于直线对称 【答案】ABD 【解析】 【详解】 ，所以的最大值为，故A正确； ，即， 当时，，所以的一个单调递增区间为，故B正确； 令 ， 满足，故为偶函数,故C错误； 当时，，此时取得最小值， 故的图象关于直线对称.故D正确. 11. 在中，点在上，且，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，，，，则（ ） A. B. 的最小值为9 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，由得，， 又共线，则，所以，A正确； 对于B，由得，， 当且仅当时取等号，即的最小值为，B错误； 对于C，， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，C正确； 对于D，由得，， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为，D正确． 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. __________. 【答案】## 【解析】 【分析】先利用三角函数的周期性将角度化简到到（或到）之间，再利用诱导公式计算函数值即可. 【详解】 13. 设，满足，，，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用向量的数量积的运算律，得，再求出，即可求解. 【详解】因为，则，又，，所以， 则，所以. 14. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若函数在上单调递增，则的最大值是__________. 【答案】2 【解析】 【分析】先根据函数平移规则求出的表达式，再利用正弦函数的单调递增区间，结合给定区间的范围，列出关于的不等式，求解得出的最大值. 【详解】函数 的图象向右平移 个单位长度， 可得， 因为函数在单调递增， 所以当 时，， 由于该区间包含 ，因此 必须是 包含原点的单调递增区间 的子集， 即：， 由 ，解得 ；由 ，解得 ， 因为 ，所以 ，故 的最大值为 . 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知角的终边过点，且 （1）求实数和的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义求解； （2）利用诱导公式化简求值. 【小问1详解】 因为（）在第三象限， ，或（舍去）， . 【小问2详解】 由（1）可知，故， ， . 16. 已知平面内的三个向量. （1）若，求的值； （2）若向量与向量共线，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量线性运算的坐标表示，即可列方程求解， （2）根据共线的坐标关系即可求解. 【小问1详解】 ，又 解得. 【小问2详解】 . 与共线， ，解得. 17. 已知函数的部分图象如图所示 （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若为偶函数，求a的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据最值和周期可得，，代入点可得，即可得函数解析式； （2）根据图象变换可得，结合偶函数性质可得，进而分析最值. 【小问1详解】 由图可知：， 设函数的最小正周期为，则，即， 且，可得，即，则， 又因为函数的图象过点， 则，即， 且，则，可得，即， 所以函数的解析式为. 【小问2详解】 因为， 若为偶函数，则，解得， 且，解得，， 所以当，a取到最小值. 18. 一高校承办了某届世乒赛志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为，第一组和第五组的频率相同． （1）求的值； （2）（ⅰ）直接写出这100名候选者面试成绩的中位数所在的分组区间； （ⅱ）估计这100名候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）在第四、第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率． 【答案】（1）， （2）（ⅰ）；（ⅱ） （3） 【解析】 【分析】（1）根据第三、四、五组的频率之和为列方程可解，再根据第一、二组的频率之和为列方程可解； （2）（ⅰ）根据频率分布直方图，得位于区间的频率和位于区间的频率，即可判断中位数所在的分组区间；（ⅱ）根据频率分布直方图得频率，再利用加权平均数公式计算即可； （3）根据频率确定比例，可得第四组志愿者人数为4，第五组志愿者人数为1，利用古典概型计算概率即可. 【小问1详解】 因为第三、四、五组的频率之和为， 所以，解得， 又前两组的频率之和为，则，解得． 【小问2详解】 （ⅰ）因为位于区间的频率为， 位于区间的频率为， 所以中位数所在的分组区间为；（学生直接写答案即可） （ⅱ）平均数为． 【小问3详解】 第四、第五两组志愿者分别有20人，5人， 故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为a，b，c，d，第五组志愿者人数为1，设为e． 考虑从这5人中选出2人的试验，其样本空间可记为，则， 记事件为“选出的两人来自不同组”，则，从而， 因此，． 19. 已知函数且为奇函数. （1）求实数的值及函数的值域； （2）解不等式； （3）求函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用奇函数的性质，即可求出的值，再利用指数函数和反比例函数的单调性，即可求解； （2）根据条件得，利用指数不等式的解法，即可求解； （3）根据条件，将问题转化成在上有两个不等根，令，利用二次函数根的分布建立方程组，即可求解. 【小问1详解】 因为且，则的定义域为，又为奇函数， 则，解得，所以， 则，所以满足题意， 又，所以，则，所以函数的值域为. 【小问2详解】 由（1）知，由，得到， 整理得到，解得，所以不等式的解集为. 【小问3详解】 因为，令，即，整理得到， 又函数在区间上有两个不同的零点，所以时，方程有两个不等根， 令，得到，又在区间上单调递增，所以， 则在上有两个不等根， 令，则，解得， 所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $