2026年吉林省长春市榆树市教育联盟4月份质量检测九年级数学试题

**基本信息** 榆树市教育联盟九年级数学模拟卷，以机器人测试、《孙子算经》、果园产量等真实情境为载体，覆盖数与式、几何、统计、函数等核心知识，突出数学眼光（空间观念）、思维（推理能力）与语言（数据意识）的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|负数判断、几何体视图、统计量|基础概念辨析，如第5题结合跳远测量考“点到直线距离”| |填空题|6/18|三角形三边关系、一次函数性质|中档知识应用，如第14题等边三角形中用60°角构造相似| |解答题|10/78|方程（《孙子算经》）、统计（果园产量）、函数几何综合|分层设计，22题正方形综合考推理能力，24题动态抛物线问题体现模型意识，贴合中考趋势|

榆树市教育联盟4月份质量检测九年级数学试题 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）在﹣9，0，﹣2，，+100，﹣0.5中，负数的个数有几个（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（3分）下列几何体中，主视图可能是三角形的是（　　） A．球体 B．圆柱 C．圆锥 D．长方体 3．（3分）下列说法不正确的是（　　） A．三角形的外角可能小于它的内角 B．三角形中最多有一个钝角 C．大于劣弧的弧叫作优弧 D．多边形的内角和不可能等于1000° 4．（3分）以下是小李记录的自己一周内每天校外锻炼的时间（单位：分钟），62，68，70，62，70，70，88，则下列关于小李该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（　　） A．众数为62分钟 B．中位数为62分钟 C．平均数为70分钟 D．方差为0 5．（3分）测量跳远成绩时，要把卷尺的端点固定在落地点（脚跟处），再把卷尺拉向踏板，使卷尺与踏板前沿边线垂直，最后量出长度．其中的数学道理是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．点到直线的距离 D．过一点有且只有一条直线 6．（3分）如图，某校数学兴趣小组在A处用仪器测得一宣传气球顶部E处的仰角为21.8°，仪器与气球的水平距离BC为20米，且距地面高度AB为1.5米，则气球顶部离地面的高度EC是（　　） A．（1.5+20sin21.8°）米 B．（1.5+20cos21.8°）米 C．（1.5+20tan21.8°）米 D．米 7．（3分）如图，已知钝角∠BAC，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，作射线AD，过点D作DC⊥AC，垂足为点C，过点D作DB∥AC，交AB于点B．若AC＝2，AD＝5，则BD的长为（　　） A． B． C． D．5 8．（3分）如图，▱ABCD的顶点A，B的坐标分别是（﹣1，0），（0，﹣2），顶点C，D均在函数 的图象上，AD交y轴于点E，若S四边形ABCD＝6S△ABE＝12，则k的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 9．（3分）计算：2﹣1÷20＝　 　 ． 10．（3分）已知三角形的三边长分别是3，8，x，则x的取值范围是　 　 （用“＜”表示）． 11．（3分）若点A（2，y1），B（﹣1，y2）都在直线y＝﹣3x+4上，则y1与y2的大小关系是 　 　 ． 12．（3分）已知∠A与∠B的两边分别平行，其中∠A为x°，∠B的为（240﹣2x）°，则∠A＝　 　 度． 13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A恰好落在CD边上的点G处．则图中阴影部分的面积等于　 　 ． 14．（3分）如图，点D在等边三角形ABC的边BC上，∠ADE＝60°，若AB＝12，CD＝4，则CE的长为　 　 ． 三．解答题（共10小题，满分78分） 15．（5分）先化简，再求值：（x﹣3y）2﹣（x+3y+5）（x+3y﹣5），其中x＝﹣1，y＝2． 16．（5分）为了探索船厂历史发扬水师精神，在2011年，船营区人民政府出资建设了吉林水师营博物馆．该博物馆坐落在吉林省吉林市船营区德胜路206号，向社会免费开放．小吉与小林两名同学约定本周日从学校出发，骑行去吉林水师营博物馆参观．已知从学校到吉林水师营博物馆的骑行路线有A，B，C三条，小吉和小林各自随机选择一条骑行路线，请用画树状图法或列表法求两人恰好选择同一条路线的概率． 17．（6分）图①，图②、图③都是6×6的网格，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC顶点A、B、C均在格点上，在图①、图②、图③给定网格中，仅用无刻度的直尺按要求作图，并保留作图痕迹． （1）在图①中画出△ABC的BC边上的中线AD； （2）在图②中△ABC的AC边上确定一点E，使； （3）在图③中△ABC的AB边上确定一点F，使2AF＝3BF． 18．（5分）我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题，原文如下“今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？”大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家．请你解决此问题． 19．（6分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点F，且BD平分∠ABC，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E． （1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由； （2）若CF＝5，CD＝13，求△BDE的面积及sinE的值． 20．（9分）某果园共收获5万箱鸭梨，为估算该果园鸭梨总产量，从中随机抽取n箱进行称重，单箱净重（单位：kg，精确到0.1）分别有：9.8，9.9，10.0，10.1，10.2，根据数据，绘制了如图1和图2所示尚不完整的统计图． 根据以上信息解答问题； （1）求n的值及α的度数，并补全条形统计图； （2）直接写出这n箱鸭梨的单箱净重的中位数与众数； （3）计算这n箱鸭梨的单箱净重的平均数，并估算该果园鸭梨总产量． 21．（9分）随着科技的进步，机器人的种类日益繁多，应用场景更加广泛．某机器人实验基地的科研人员对新型智能机器人进行测试．甲，乙，丙三个测试点依次分布在一条直线上，测试点乙距离甲处120m，测试点丙距离甲处320m．一款新型智能机器人某段时间内一直在甲，乙，丙三个测试点之间活动，从甲处匀速走到乙处，停留一段时间后，继续匀速走到丙处，停留8min后，从丙处匀速返回甲处．该款新型智能机器人在这段时间内离测试点甲的距离y（m）随离开测试点甲的时间x（min）变化关系图象如下．请根据相关信息，解答下列问题： （1）该智能机器人从甲处出发到回到甲处一共用了多长时间？ （2）该款新型智能机器人在乙处停留了多长时间？ （3）图中点A表示的意义是什么？ 22．（9分）数学课本上有一题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．求证AE＝EF． （1）课本中给出证法提示：取AB的中点G，连接EG．请你在图1中补全图形并证明结论； （2）若点E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEF是等腰直角三角形，∠AEF＝90°． ①如图2，连接CF，请你求出∠DCF的大小； ②填空：如图3，连接DF，当，时，则△ADF的面积为 　 　 ． 23．（12分）△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC＝BC，△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF＝FP． （1）如图1，直接写出AB与AP的数量关系：　 　 ，AB与AP的位置关系：　 　 ； （2）将△EPF沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AB于点O，交AC于点Q，连接AP，BQ，求证：∠ABQ＝∠APQ； （3）将△EPF沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP，BQ，试探究∠ABQ与∠APQ满足的数量关系，并说明理由； （4）若AC＝BC＝1cm，AB＝cm，点P在CB的延长线上继续向左平移，当∠CBQ：∠CBA＝3：2时，请直接写出△CBQ与△CBA的面积之比． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴相交于点A（0，﹣3），与x轴相交于点B（3，0），D（d，0）． （1）求抛物线C1的函数表达式及d的值． （2）M是抛物线上的一点，且在第四象限内． ①如图1，当点M到x轴的距离为3时，△BDM的面积为 　 　 ． ②如图2，过点M作MN⊥AB于点N，当线段MN最大时，求此时点M的坐标． （3）将抛物线沿x轴翻折，得到抛物线C2，点P（横坐标为x）在抛物线C2上，其最大值为m，最小值为n．若对于任意t﹣1≤x≤t+1，m﹣n≤6恒成立，请直接写出实数t的所有整数值的和． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B． C C C C C A D 9． ． 10． 5＜x＜11． 11． y1＜y2． 12． 80或60． 13． 9． 14． ． 15． 解：原式＝x2﹣6xy+9y2﹣[（x+3y）+5][（x+3y）﹣5] ＝x2﹣6xy+9y2﹣[（x+3y）2﹣25] ＝x2﹣6xy+9y2﹣（x2+6xy+9y2﹣25） ＝x2﹣6xy+9y2﹣x2﹣6xy﹣9y2+25 ＝25﹣12xy； 当x＝﹣1，y＝2时， 原式＝25﹣12×（﹣1）×2 ＝25+24 ＝49． 16． 解：列表如下： 小吉 小林 A B C A （A，A） （A，B） （A，C） B （B，A） （B，B） （B，C） C （C，A） （C，B） （C，C） 共有9种等可能的情况，其中两人恰好选择同一条路线（记作事件M）的情况有3种， ∴． 17． 解：（1）如图①，AD即为所求． （2）如图②，取格点H，使CH＝3，且∠BCH＝90°，连接BH交AC于点E， 则点E即为所求． （3）如图③，取格点M，N，使AM：BN＝3：2，且AM∥BN，连接MN交AB于点F， 则△AFM∽△BFN， 则AF：BF＝AM：BN＝3：2， 即2AF＝3BF， 则点F即为所求． 18． 解：设城中有x户人家， 根据题意得：x+＝100， 解得：x＝75， 答：城中有75户人家． 19． （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠ADB＝∠ABD， ∴AB＝AD， ∴四边形ABCD是菱形． （2）解：∵AD∥BC，点E在BC的延长线上， ∴AD∥CE， ∵DE∥AC， ∴四边形ACED是平行四边形， ∴CE＝AD＝BC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠BDE＝∠BFC＝90°， ∵CF＝5，CD＝13， ∴DE＝AC＝10，CD＝BC＝CE＝BE＝13， ∴BE＝2CD＝26， ∴BD＝＝24， ∴S△BDE＝BD•DE＝×24×10＝120， ∴△BDE的面积为120， ∴sinE＝＝＝． 20． 解：（1）由题意得：10.1kg所占百分比为：， 故抽取的总箱数为：5÷25%＝20（箱）， 即n＝20， 10.0kg所对的箱数为：20﹣1﹣3﹣5﹣3＝8（箱）， 10.0kg所对圆心角＝， 即α＝144°． 补全条形统计图如图： （2）根据条形统计图可得：这20箱鸭梨的单箱净重的中位数是10.0kg， 众数是10.0kg． （3）∵＝10.03（kg）， ∴这20箱鸭梨的单箱净重的平均数为10.03kg， ∴该果园鸭梨总产量为：10.03×50000＝501500（kg）． 21． 解：（1）由函数图象可得：该智能机器人从甲处出发到回到甲处一共用了52min； （2）由函数图象可得：该款新型智能机器人在乙处停留的时间为：14﹣8＝6（min）； （3）由题意可知，点A的横坐标为24+8＝32，故点A的坐标为（32，320）， 所以图中点A表示的意义是该款新型智能机器人离开测试点甲32分钟时，离测试点甲的距离为320米． 22． （1）证明：如图，取AB的中点G，连接EG， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠B＝∠BCD＝90， ∵点E是BC的中点，点G是AB的中点， ∴，， ∴BE＝CE＝BG＝AG， ∴， ∴∠AGE＝135°， ∵CF是正方形外角平分线， ∴∠DCF＝45°， ∴∠ECF＝∠BCD+∠DCF＝135°＝∠AGE， ∵∠AEF＝90°， ∴∠AEB+∠FEC＝90°，∠AEB+∠BAE＝90°， ∴∠BAE＝∠FEC， 在△AEG和△EFC中， ， ∴△AEG≌△EFC（ASA）， ∴AE＝EF； （2）解：①如图，在AB上截取AH＝CE，连接EH， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠B＝∠BCD＝90， ∴AB﹣AH＝BC﹣CE， 即BH＝BE， ∴∠BHE＝∠BEH＝45°， ∴∠AHE＝135°， ∵△AEF是等腰直角三角形， ∴AE＝AF，∠AEF＝90°， ∴∠AEB+∠FEC＝90°，∠AEB+∠BAE＝90°， ∴∠BAE＝∠FEC， 在△AEH和△EFC中， ∴△AEH≌△EFC（SAS）， ∴∠ECF＝∠AHE＝135°， ∴∠DCF＝45°； ②如图，过点F作MN∥CD，分别交AD延长线于点M，BC延长线于点N， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝∠ADC＝90°，AM∥BN，， ∴四边形CNMD是矩形， ∴DM＝CN，，∠M＝∠N＝90°， 由①可知∠DCF＝45°， ∴△CNF是等腰直角三角形， ∴CN＝FN，， 设FN＝CN＝DM＝x，则，， ∵， ∴DF＝2x， 在Rt△DMF中，， ∴x＝1， ∴， ∴， 故答案为：． 23． （1）解：∵AC⊥BC，AC＝BC， ∴∠CAB＝∠CBA＝45°， 同理可得，∠FEP＝∠FPE＝45°， ∴∠CBA＝∠FPE，∠CAB+∠FEP＝90°， ∴AB＝AP，AB⊥AP； 故答案为：AB＝AP，AB⊥AP； （2）证明：∵∠FPE＝45°，∠ACP＝90°， ∴∠CQP＝∠CPQ＝45°， ∴CQ＝CP， 在△BCQ和△ACP中， ， ∴△BCQ≌△ACP（ SAS）， ∴∠CBQ＝∠CAP， ∵∠ABC＝45°＝∠ABQ+∠CBQ， 而∠CAP+∠APQ＝90°﹣∠CPQ＝45°， ∴∠APQ＝∠ABQ． （3）解：∠APQ+∠ABQ＝180°， 理由如下： ∵∠CPQ＝∠FPE＝45°，∠PCQ＝90°， ∴∠CPQ＝∠CQP＝45°， ∴CQ＝CP， 在△BCQ和△ACP中， ， ∴△BCQ≌△ACP（ SAS）， ∴∠BQC＝∠APC， ∴∠APQ＝∠APC+∠QPC＝∠APC+45°＝∠BQC+45°， 而∠ABQ＝∠ABC+∠QBC＝45°+∠QBC， ∴∠APQ+∠ABQ＝∠BQC+45°+45°+∠QBC＝180°． （4）∵∠CBQ：∠CBA＝3：2，∠CBA＝45°， ∴∠CBQ＝67.5°， 如图， 在CQ上截取CG＝CB＝1，而AC⊥BC， ∴∠CBG＝∠CGB＝45°，， ∴∠GBQ＝67.5°﹣45°＝22.5°， 而∠BQC＝90°﹣∠CBQ＝22.5°， ∴，， ∴． 24． 解：（1）把A（0，﹣3），B（3，0）代入y＝x2+bx+c，得： ， 解得：， ∴抛物线C1的函数表达式y＝x2﹣2x﹣3， 把D（d，0）代入y＝x2﹣2x﹣3，得： y＝x2﹣2x﹣3， 解得：d1＝﹣1，d2＝3（不合题意，舍去）， ∴D（﹣1，0）， ∴d＝﹣1； （2）①∵B（3，0），D（﹣1，0）， ∴BD＝3﹣（﹣1）＝4， ∵当点M到x轴的距离为3时， ∴， 故答案为：6； ②过点M作MP⊥x于P，连接MA，MB，如图2， ∵A（0，﹣3），B（3，0）， ∴， 设点M（x，x2﹣2x﹣3）， ∵点M在第四象限内， ∴MP＝﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+2x+3，OP＝x，BP＝3﹣x， ∴AB•MN＝S△ABM＝S梯形OAMP+S△MPB﹣S△AOB， ∴×MN＝+﹣， ∴MN＝＝， ∵， ∴当时，MN有最大值， ∴当时，x2﹣2x﹣3＝＝， ∴当线段MN最大时，此时点M的坐标为； （3）实数t的所有整数值的和为3；理由如下： ∵抛物线C1：y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4沿x轴翻折，得到抛物线C2， ∴抛物线C2：y＝﹣（x﹣1）2+4， ∵﹣1＜0， ∴抛物线C2：y＝﹣（x﹣1）2+4开口向下，当x＜1时，y随x增大而增大，当x＞1时，y随x增大而减小，当x＝1时，y 有最大值4； 当t+1≤1，即t≤0时， 在t﹣1≤x≤t+1时，最大值m＝﹣（t+1﹣1）2+4＝﹣t2+4， 最小值n＝﹣（t﹣1﹣1）2+4＝﹣t2+4t， ∵m﹣n≤6， ∴（﹣t2+4）﹣（﹣t2+4t）≤6， 解得：， ∴， ∴t的整数值为0； ②当t﹣1＜1 且t+1＞1，即0＜t＜2时， 在t﹣1≤x≤t+1时， i）当0＜t≤1时，最大值m＝﹣（t+1﹣1）2+4＝﹣t2+4， 最小值n＝﹣（t﹣1﹣1）2+4＝﹣t2+4t， ∵m﹣n≤6， ∴（﹣t2+4）﹣（﹣t2+4t）≤6， 解得：， ∴， ∴t的整数解为1； ii）当1＜t＜2时， ∴t无整数解； ③当t﹣1≥1，即t≥2时，最大值m＝﹣（t﹣1﹣1）2+4＝﹣t2+4t， 最小值n＝﹣（t﹣1﹣1）2+4＝﹣t2+4， ∵m﹣n≤6， ∴（﹣t2+4t）﹣（﹣t2+4）≤6， 解得：， ∴， ∴t的整数解为2； 综上，若对于任意t﹣1≤x≤t+1，m﹣n≤6恒成立，实数t的所有整数值的和为0+1+2＝3． 1 学科网（北京）股份有限公司 $