数学（吉林长春卷）学易金卷：2026年中考考前最后一卷

**基本信息** 以机器人表演、视频机器人等真实情境为载体，融合实数、几何、函数等知识，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查抽象能力、推理意识与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|实数意义、视图、几何性质|结合春晚机器人、奶茶杯俯视图等情境，考查空间观念| |填空题|6/18|同类项、旋转、一次函数|以三角形旋转、直线交点设题，体现几何直观| |解答题|10/78|二次函数综合、动点问题、统计分析|24题二次函数与等腰直角三角形结合，23题动点探究，考查运算能力与创新意识|

2026年中考考前最后一卷 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．2026马年央视春晚中，机器人表演的节目《武BOT》中展示了单腿连续后空翻、扫堂腿等高难度动作．若机器人做前空翻8个记作个，则做后空翻12个记作（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【详解】解：因为做前空翻个记作个， 所以做后空翻个记作个． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同底数幂乘法，幂的乘方，同底数幂除法，合并同类项法则，逐项进行判断即可． 【详解】解：选项A：，该选项运算正确，符合题意； 选项B：，该选项运算错误，不符合题意； 选项C：，该选项运算错误，不符合题意； 选项D：，该选项运算错误，不符合题意． 3．如图摆放的奶茶杯子，它的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】三视图定义：主视图：从正面观察物体得到的视图；左视图：从左面观察物体得到的视图；俯视图：从上面观察物体得到的视图． 圆台（奶茶杯形状）的三视图：主视图 / 左视图为等腰梯形，俯视图为两个同心圆． 【详解】奶茶杯的杯口为圆形，杯底也为圆形，从正上方看，会呈现两个同心圆（外圆为杯口，内圆为杯底）． 选项 B、D 为矩形 / 正方形，对应柱体的俯视图，不符合圆台形奶茶杯的特征； 选项 C 为梯形，是奶茶杯的主视图 / 左视图，而非俯视图； 选项 A 为两个同心圆，符合从正上方观察奶茶杯的视觉效果． 故选：A． 4．如图是某木质屋顶结构的外框示意图，其中，为横梁，为竖梁，且点在上．在安装竖梁时，只需测量，即可确定垂直于．这一操作的数学依据是（    ） A．垂线段最短 B．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等 C．等腰三角形“三线合一” D．三角形具有稳定性 【答案】C 【详解】解：， 为等腰三角形， ， 为底边上的中线， 根据等腰三角形“三线合一”的性质，底边上的中线也是底边上的高， 故这一操作的数学依据是等腰三角形“三线合一”． 5．如图，某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是（）mm，则下列乒乓球的尺寸中，不合格的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意算出直径上限和下限，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得： 该品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径上限是：， 直径下限是：， ∴只要乒乓球直径在和之间都是合格的， ∴选项中，直径为的乒乓球不合格． 6．图1为实时通讯的视频机器人，图2为其侧面示意图．机器人上半身与底座垂直，为屏幕支撑架，且．已知，当时，则支撑架到的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长交于点H，，利用锐角三角函数求出的长，再根据可知D到的距离为，从而得出答案． 【详解】解：如图，延长交于点H， 由已知， ， 在中，、， ， 、， 支撑架到的距离为． 7．如图，六边形和五边形都是正多边形，连接交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出正六边形、正五边形的内角，由对称性得到，再由四边形内角和为即可求解． 【详解】解：正六边形的内角为， 正五边形的内角为， 在正六边形中，由对称性可知, ， 在四边形中，， 即， 解得． 8．日常生活中的“盐水”，是指含有氯化钠的水溶液．如图，用三个点分别表示甲、乙、丙三瓶盐水的浓度与盐水的质量的对应关系（盐水处于不饱和盐水的浓度和状态），其中甲、丙两点恰好在反比例函数（，为常数）的图象上．若甲、乙、丙三瓶盐水中含氯化钠的质量分别为，则其大小关系为（提示盐水的浓度）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据甲、丙两点恰好在反比例函数的图象上可得，设乙对应的点为，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，设与反比例函数图象相交于点，过点作轴于点，可得 ，进而即可判断求解． 【详解】解：根据题意可知，氯化钠的质量为， ∵甲、丙两点恰好在反比例函数的图象上， ∴甲、丙两瓶盐水中氯化钠的质量相同，即 ， 如图，设乙对应的点为，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，设与反比例函数图象相交于点，过点作轴于点，则 ， ∴大小关系为． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 9．如果单项式与单项式是同类项，那么可以是___________．（只需写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据同类项的定义求解，只需写出满足所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式即可． 【详解】解：根据同类项的定义可知，单项式需满足：所含字母为和，的次数为，的次数为，系数不为， 取系数为，可得符合条件的单项式． 10．比较大小：4____（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】两个正数比较大小，平方大的数更大，将两数平方后即可比较大小． 【详解】解：， ， ， ． 11．若是一元二次方程的两个根，则______． 【答案】 【分析】确定方程的二次项系数与一次项系数后，代入公式即可求解. 【详解】解：对于一元二次方程 ， 若方程的两个根为 ，则 , ∵一元二次方程为 ， ∴ ，， ∴ ． 12．如图，把绕点C顺时针旋转，得到，交于点D，若，则的度数为_________． 【答案】/55度 【分析】先得出，，再利用三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：由旋转的性质得：，， ∵， ∴， ∴． 13．直线与直线的图象如图所示，则方程组的解为______． 【答案】 【分析】根据两函数图象的交点坐标即为两函数解析式组成的二元一次方程组的解可得答案． 【详解】解：将变形为， 直线与直线的图象交于点， 方程组的解为． 14．如图，在中，，于点E，于点F，，交于点N，，的延长线交于M，给出下列结论：①；②点C是的中点；③；④．则上述结论中，所有正确结论的序号是______． 【答案】 ①③ 【分析】①利用同角的余角相等证明，结合平行四边形对角相等即可判断；③利用证明，得到，结合平行四边形对边相等即可判断；②转化为证明，题目无条件支持；④当时，成立，题目无条件支持； 【详解】解：，， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，故①正确； ，， 是等腰直角三角形， ， ，， ， 即， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，故③正确； ， ，， 若点是中点，则， ， ， ， ，即垂直平分， ， 题目未给出，故②不一定正确； 当时， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 题目未给出，故④不一定正确； 综上所述，正确的结论是①③． 三、解答题（本大题共10个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（6分）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【详解】解：原式； 当时，原式． 16．（6分）广东拥有丰富多样的旅游资源，涵盖自然景观、人文历史、主题乐园、温泉度假和特色乡村等多个方面，包括韶关丹霞山、广州陈家祠、深圳欢乐谷等知名景点元旦假期即将来临，小芸和小婉两位同学准备在元旦假期内去以上三个景区中的一个游玩，用画树状图或列表的方法求小芸与小婉两位同学去同一个景区游玩的概率． 【答案】 【分析】画树状图，得到所有等可能的结果有种，得出其中两人去同一景区游玩的结果有种，用概率公式计算即可． 【详解】解：设韶关丹霞山、广州陈家祠、深圳欢乐谷分别为A，B，C， 画树状图如图： 由图可知，共9种等可能情况，其中两人去同一景区游玩的结果有3种， ． 17．（6分）小张计划购进A，B两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知A种文创产品比B种文创产品每件进价多3元，购进2件A种文创产品和3件B种文创产品共需花费26元．求A，B种文创产品每件的进价． 【答案】A种文创产品每件的进价为7元，B种文创产品每件的进价为4元． 【分析】设A种文创产品每件的进价为x元，B种文创产品每件的进价为y元，根据A种文创产品比B种文创产品每件进价多3元，购进2件A种文创产品和3件B种文创产品共需花费26元建立方程组求解即可． 【详解】解：设A种文创产品每件的进价为x元，B种文创产品每件的进价为y元， 由题意得，， 解得， 答：A种文创产品每件的进价为7元，B种文创产品每件的进价为4元． 18．（7分）如图，在中，，点D是的中点，过点A作平行于，且，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)当 时，四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)45 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，正方形的判定定理，三线合一定理，等腰直角三角形的性质与判定，熟知矩形和正方形的判定定理是解题的关键． （1）可证明，则可证明四边形是平行四边形，由三线合一定理得到，据此可证明结论； （2）当时，可证明是等腰直角三角形，得到，则可证明矩形是正方形． 【详解】（1）证明：∵点D是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，D是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：当时，四边形是正方形，证明如下： 由（1）可得，且四边形是矩形， 又∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴矩形是正方形． 19．（7分）图①、图②、图③均是的正方形网格，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫作格点，以格点为顶点分别按下列要求画图形． (1)在图①中画一个直角三角形，使它的三边长均为有理数； (2)在图②中画一个正方形，使其面积为10； (3)在图③中画一个平行四边形，使其一条对角线长为，另一条对角线长为有理数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计，勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）画出边长分别为3，4，5的直角三角形即可． （2）画出边长为的正方形即可． （3）先确定四边形为平行四边形，再结合勾股定理求出对角线为，另一条对角线为有理数即可． 【详解】（1）解：如图①，即为所求． 由图可知，，，， ， ， 它的三边长均为有理数； （2）如图②，正方形即为所求． 由图可知，， 正方形的面积为5； （3）如图③，平行四边形即为所求． 根据图可知，，， 四边形为平行四边形， 连接，，根据勾股定理可知，，． 20．（7分）为了解文峰初中学生对等智能软件的使用情况，学校举办了智能软件使用技能竞赛．现从八、九年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于分（成绩得分用x表示，共分成四组：．；．；．；．），下面给出了部分信息： 八年级抽取名学生的竞赛成绩为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 九年级抽取名学生的竞赛成绩在组的数据是：，，，，，． 八、九年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 八年级 九年级 平均数 中位数 众数 方差 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：_______，_______，_______； (2)请根据以上数据进行分析，你认为学校八、九年级中哪个年级学生的技能竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)学校八年级有名学生，九年级有名学生，请估计八年级和九年级两个年级竞赛成绩为优秀的学生共有多少名？ 【答案】(1)，，； (2)八年级学生的技能竞赛成绩较好，理由见解析； (3)． 【分析】（）利用中位数和众数的定义以及扇形统计图的信息求解即可； （）根据平均分、中位数、众数及方差分析即可得出结果； （）样本估计总体可进行求解． 【详解】（1）解：根据八年级学生的技能竞赛成绩可知，出现次数最多，则众数为， ∴， ∵九年级学生的技能竞赛成绩中组：（人）， 组：人，所占百分比为， 组：所占百分比为， 组：人，所占百分比为 ，则， 根据九年级的中位数为从大到小排列的第个同学的技能竞赛成绩的平均数，， 则中位数为组第个同学的技能竞赛成绩的平均数，即 ， 故答案为：，，； （2）解：八年级学生的技能竞赛成绩较好，理由： ∵八、九年级的平均分均为分，八年级的中位数高于九年级的中位数，八年级的方差小于九年级的方差， ∴整体上看八年级学生竞赛成绩较好； （3）解： （人）， 答：估计八年级和九年级两个年级竞赛成绩为优秀的学生共有名． 21．（8分）2025两会期间，国家卫健委启动“体重管理年”行动．为了响应国家号召，小明和小丽骑行去山庄游玩，小明比小丽晚出发小时，追上小丽后休息了一段时间，继续以相同的速度骑行，他们离出发点的路程关于时间的变化情况如图所示． (1)分别求出小丽和小明骑行的速度． (2)求线段所在直线的函数表达式． (3)求小明第二次追上小丽时，他们距离山庄的路程． 【答案】(1)小丽，小明 (2) (3)8 【分析】本题考查了一次函数在行程问题中的应用，函数的图象，待定系数法求函数解析式．理解横轴和纵轴表示的实际意义是解题的关键． （1）结合函数图象，根据速度=路程÷时间，求解即可； （2）先求出B点坐标，再用待定系数法求解即可； （3）用待定系数法求出小丽的函数解析式，再联立两函数解析式，求出交点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：小丽的速度： 小丽到达点A的时间为， 小明到达点A的时间为：， 小明的速度：； （2）解：点B到点C所用时间为， 则点B的时间为， 点 设线段的函数表达式为 把和代入， 得 解得，， 则线段的函数表达式为； （3）解：设小丽的函数解析式为， 把点代入，得， ， ， 解得，代入， ∴， 离山庄的路程为． 22．（9分）【问题呈现】如图，是的内接正三角形，点是劣弧上一点，连接．求证：． 【问题解决】小明利用旋转，将绕点按顺时针的方向旋转至，如图②，可知，． ∵四点共圆，∴， ∴． ∴三点共线． 证明过程缺失 (1)请补全余下的证明过程． (2)【拓展应用】已知是的内接正三角形，点是劣弧上一点． 若的半径为，则四边形周长的最大值为______． (3)将绕点按顺时针的方向旋转至，使的面积最大，用圆规和无刻度的直尺在图③中依据题意补全图形，并说明理由（不写作法，保留作图痕迹，作图需确定后必须用黑色笔迹的签字笔描黑） 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（）由四点共圆可得，得到三点共线，由是等边三角形得，进而即可求证； （）过点作于，则，由等边三角形的性质和圆周角定理得，即得，得到，，，再根据解答即可求解； （）作射线交于点，以为一边，在外作，在上取，连接，则此时三点共线，即为所求，再根据等边三角形的性质和勾股定理表示出的面积即可说明． 【详解】（1）证明：由题意可知，， ∵四点共圆， ∴， ∴， ∴三点共线， ∵绕点顺时针旋转至， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵三点共线， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，过点作于，则， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由问题解决可知， ∴， ∵为的弦， ∴当为直径时，最大，最大值为， ∴； （3）解：作射线交于点，以为一边，在外作，在上取，连接，则此时三点共线，即为所求； 证明：如图，过点作于点， ∵，是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴当取最大值时，取最大值， ∵是的弦， ∴当为直径时，取得最大值． 23．（10分）如图，在中，，，在上取一点，使，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动，同时动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度在射线上运动，当点到达点时，点、同时停止运动．设点的运动时间为秒（）． (1)线段的长为______． (2)当时，求的值． (3)求到的距离，并直接写出线段的长为______． (4)当点到的距离是点到的距离的2倍时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）根据勾股定理即可求解； （2）根据题意，求出，和的长，由，得出，代入并求解； （3）过点作，则为到的距离，设，由，得出，由得出，再根据，得出； （4）过点作于，过点作于，则，根据题意求出，过点作于，于，得出和，及四边形为矩形，求出，，，再分类讨论当在内部时及外部时，的值，进而求出，由，求出． 【详解】（1）解：,， ； （2）解：点的速度为2，点的速度为3，点的运动时间为， ，， ， 当时，， ， 又， ， ， ， 即， 解得． （3）解：如图，过点作，则为到的距离，且， 设， ，， ， ， ， ， ， ， 设，，则， ，即， 解得，即， ， ，解得． （4）解：过点作于，过点作于，则， 在等腰直角三角形中中，，， 在中，， 过点作于，于， 由，，且，得， ， ，，， 四边形为矩形， ，， ， ， ， 如图 当在内部时，即，，即， ， 如图 当在外部时，即， ， 又， 即， 由得，，， 当，即时， ，解得； 当，即时， ，解得， 两个解均在内，符合题意， 当点到的距离是点到的距离的2倍时，的值为或． 24．（12分）如图，已知抛物线（a，b为常数，）经过，，与y轴交于点C． (1)求抛物线所对应的函数表达式． (2)在抛物线的对称轴上存在一点D，连接，．当最小时，求点D的坐标． (3)点E是抛物线上的动点，设点E的横坐标为m． ①当点E在抛物线对称轴右侧时，过点E作轴，与抛物线交于点F，G为x轴上一点，当为以为斜边的等腰直角三角形时，求m的值； ②以点E为中心构造正方形，，且轴，当抛物线在正方形内部（包含边界）的图象的最大值与最小值的差为时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①或；②或或 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）连接，交抛物线的对称轴于点D，连接，求出抛物线的对称轴为直线，点C的坐标为，根据线段垂直平分线的性质得出，根据两点之间线段最短，得出此时最小，即最小，然后求出直线的解析式，再求出点D的坐标即可； （3）①分两种情况讨论：当点E在轴上方时，当点E在轴上方时，分别画出图形，列出方程，解方程即可； ②分四种情况讨论：当时，当时，当时，当时，分别画出图形，列出不等式组，求出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：∵抛物线（a，b为常数，）经过，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：连接，交抛物线的对称轴于点D，连接，如图所示： ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 把代入得：， ∴点C的坐标为， ∵点A、B关于抛物线的对称轴对称， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得：， ∴点D的坐标为． （3）解：①∵点E在抛物线对称轴右侧时，轴，与抛物线交于点F， ∴点E与点F关于直线对称，且， ∵点E在抛物线上， ∴， 当点E在轴上方时，设交直线于点H，如图所示： 则， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∵点G在x轴上， ∴， ∵， ∴， 解得：，（舍去）； 当点E在轴下方时，设交直线于点H，如图所示： 同理可得：，，， ∴， 解得：，（舍去）， 综上，或； ②当时，如图所示： ∵轴，四边形为正方形， ∴轴，， ∵， ∴， ∵以点E为中心构造正方形，， ∴所在直线的横坐标为，所在直线的横坐标为，所在直线的纵坐标为，所在直线的纵坐标为， ∵抛物线在正方形内部（包含边界）的图象的最大值与最小值的差为， ∴抛物线与、有交点， ∴， 整理得：， 解不等式组得：或， ∵此时， ∴此时； 当时，如图所示： 同理可得：， 整理得：， 解得：， ∵此时， ∴此时， 当时，P、Q、M、N重合，不存在正方形； 当时，如图所示： 同理可得：， 整理得：， 解得：或， ∵此时， ∴此时； 综上：或或． 13 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年中考考前最后一卷 数学·参考答案 第I卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 2 6 8 D A 第IⅡ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） x=2 9.ab(答案不唯一) 10.<11.-512.55°/55度 3 y=1 14.①③ 三、解答题（本大题共10个小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(6分) 【详解】解：原式--4_x-2儿x+2=+2,4分) x-2x-2 当x=-3时，原式=-3+2=-1.(6分) 16.(6分) 【详解】解：设韶关丹霞山、广州陈家祠、深圳欢乐谷分别为A,B,C, 画树状图如图： 开始 小芸 A B (3分) 小婉ABC A BC A BC 由图可知，共9种等可能情况，其中两人去同一景区游玩的结果有3种， 31 P=g ,(6分) 17.(6分) 【详解】解：设A种文创产品每件的进价为x元，B种文创产品每件的进价为y元， x-y=3 由题意得， (2x+3y=26'(3分) 1/14 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 x=7 解得=45分) 答：A种文创产品每件的进价为7元，B种文创产品每件的进价为4元.(6分) 18.(7分) 【详解】(I)证明：：点D是BC的中点， :BD CD, 又：AE=CD, :AE BD, :AE∥BC,AE=BD, :.四边形AEBD是平行四边形， :AB=AC,D是BC的中点， .AD⊥BC, ∠ADB=90°， :四边形AEBD是矩形.(3分) (2)解：当∠ABC=45°时，四边形AEBD是正方形，证明如下： 由(1)可得AD⊥BC,且四边形AEBD是矩形， 又：AD1BC,∠ABC=45°， :.△ABD是等腰直角三角形， .AD BD .矩形AEBD是正方形.(7分) 19.(7分) 【详解】(1) (2分) 图① D (2 (4分) 图② 2/14 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 D (3) (7分) 图③ 20.(7分) 【详解】(1)解：根据八年级学生的技能竞赛成绩可知，82出现次数最多，则众数为82， a=82, :九年级学生的技能竞赛成绩中A组：20×25%=5（人)， B组：6人，所古百分比为28x10%=30%, D组：所占百分比为15%， C组：6人，所占百分比为m%=1-25%-30%-15%=30%,则m=30, 根据九年级的中位数为从大到小排列的第10、11个同学的技能竞赛成绩的平均数，5+6=11， 则中位数为B组第56个同学的技能竞赛成绩的平均数，即6-81+82=815， 2 故答案为：82,81.5,30；(3分) (2)解：八年级学生的技能竞赛成绩较好，理由： :八、九年级的平均分均为84.5分，八年级的中位数高于九年级的中位数，八年级的方差小于九年级的方差， :整体上看八年级学生竞赛成绩较好；(5分) (3解：15x100+25%+30%×1000=1375(人， 20 答：估计八年级和九年级两个年级竞赛成绩为优秀(80<x≤100)的学生共有1375名.(7分) 21.(8分) 【详解】(1)解：小丽的速度：30÷3=10(km/h) 小丽到达点A的时间为12÷10=1.2(h), 小明到达点A的时间为：1.2-0.6=0.6(h), 小明的速度：12÷0.6=20(km/h)；(2分) (2)解：点B到点C所用时间为30-12)÷20=0.9(h), 3/14 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 则点B的时间为2.6-0.9=1.7h, 点B(1.7,12 设BC线段的函数表达式为s=t+b(k≠0 把B(1.7,12)和C2.6,30)代入， ,12=1.7k+b 得{30=2.6k+b 解得k=20,b=-22, 则BC线段的函数表达式为s=20t-22;(5分) (3)解：设小丽的函数解析式为s=at(a≠0)， 把点D(3,30)代入，得a=10, .s=10t, [s=20t-22 s=10t 解得t=2.2,代入s=10t, 9=22, :离山庄的路程为30-22=8(km.(8分) 22.(9分) 【详解】(1)证明：由题意可知∠EAC=∠PBC,PB=AE, :P,B,C,A四点共圆， ∴.∠PBC+∠PAC=180°， .∠EAC+∠PAC=180°， P、A、E三点共线， :ABC绕点C顺时针旋转60°至△EAC, CP=CE,∠PCE=60°， .△PCE是等边三角形， .PE=PC, :P、A、E三点共线， .PE PA+AE, 4/14 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 PB AE PC=PA+PB;(2分) (2)解：如图，过点O作OH⊥AB于H,则AB=2AH, :ABC是等边三角形， .AB=BC=AC,∠ACB=60°， .∠A0B=2∠ACB=120°， 0A=0B, ·∠0AB=∠0BA=180°-1200 =30°， 2 1 ×2=1， :0H⊥AB, AH=OA-OH2=22-1=3, :AC BC=AB=2AH=23, 由问题解决可知PC=PA+PB, ∴C四边形APBC=AC+PA+PB+BC=2AB+PC, :PC为⊙O的弦， 当PC为直径时，PC最大，最大值为4， .C四边形Pac最大=2W5×2+4=4V3+4;(5分) (3)解：作射线CO交⊙O于点P,以CA为一边，在∠PCA外作LACE=LBCP,在CE上取CE=PC,连 接PA、AE,则此时P、A、E三点共线，△PCE即为所求； 5/14 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 E 图③ 证明：如图，过点E作ED⊥PC于点D, :LACE=∠BCP,ABC是等边三角形， .∠PCE=∠BCA=60°， .CE=PC, .△PCE是等边三角形， :ED⊥PC, :CD=PC, 在RtCED中，ED=VCE2-CD2, CE=PC,CD=-PC, so-yr-rerrc. 12 :SAPCE= xPCxED= 2 2 4 “当PC取最大值时，S取最大值， :PC是⊙O的弦， :当PC为直径时，PC取得最大值.(9分) 23.(10分) 【详解】(1)解：：∠ACB=90°，AC=BC=4, AB=√2AC=4√2；(1分) (2)解：：P点的速度为2，Q点的速度为3，点P的运动时间为t, ·AP=2t,C0=3t, :PC=AC-AP=4-21, 当PQ⊥CD时，∠CQP=90°， 6/14 应学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴.∠PCQ+∠CPQ=90°， 又：∠PCQ+∠BCD=90°， ∴.∠CPQ=∠BCD, :sin∠BcD=3， :sin∠CPO-Pe5' co 3 即、33 4-215’ 解得1=7(3分) (3)解：如图，过D点作DE⊥BC,则DE为D到BC的距离，且LBED=90°， D h B E 设DE=h, :AC=BC,∠ACB=90°， ∠B=45°， ∠BDE=45°， :BE DE=h, .EC=BC-BE=4-h, n∠ac0g DE 3 “cD5' 设DE=3x,CD=5x,则CE=VCD2-DE2=4x, 8- 4-h41 解得为-号，即0E-号。 71 DE 3 7/14 窗学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 12 .(6分 7=3,解得CD=20 CD 5 (4)解：过点P作PM⊥AB于M,过点0作QN⊥AB于N,则PM=2QN, 在等腰直角三角形中ABC中，LA=45°，AP=2t, 在△APM中，PM=AP.sin45°=2t: -, 2 过点Q作QK⊥BC于K,QL⊥AC于L, 由sin∠BCD=3, o∠scD-且C0=3,得OK=C0-m∠BcD=x3-, =t, 55 412 CK=CQ·cos∠BCD=3t× t, 55 QK⊥BC,QL⊥AC,∠ACB=90°， :四边形OKCL为矩形， OL=CK=1 21,cL=0K=g4, 5 5 1 1 .S40c=5×AC×QL=号×4 1224 -1= , 2 255 1 918 S.moe-xBCxK -x4x- t, 2 55 1 Sc=2×4x4=8, 如图 A M P D B K 当Q在ABC内部时，即CQ<CD,3<29,即1<2 1 S.m=Sc-5Sc-5.c=8-241-18 5 842. 5 如图 8/14 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 M 当0在ABC外部时，即1>20， 21 SABQ=SAQC+SBQC-SABC 24+184-8=421-8, 5 5 yS..cxABxON-x4xQN-2QN, 8、2 1421 20 S.A82 2Wi,1 21 ∴QN 2W2 21 t-4 5 20 2√2 21 21, 4- 即ON= 5, √2 当42 t≥0，即t 20时， 21 1421 10 t,解得t= 13 当421 t<0,即t> 5 0时 21 1=2马1-4，解得1=子 5 5 两个解均在0≤1≤2内，符合题意， 。当点P到4的距离是点0到B的距离的2信时，作值为8或号10分) 24.(12分) 【详解】(1)解：抛物线y=ax2+bx+3(a,b为常数，a≠0)经过A-1,0),B(3,0), a-b+3=0 9a+3b+3=0’ 9/14 窗学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 a=-1 解得： b=2’ ∴.抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3;(2分) (2)解：连接BC,交抛物线的对称轴于点D,连接AD,如图所示： D B :y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, :抛物线的对称轴为直线x=1, 把x=0代入y=-x2+2x+3得：y=3, 点C的坐标为0,3)， :点A、B关于抛物线的对称轴对称， .AD=BD, .AD +CD=BD +CD, :两点之间线段最短， 此时BD+CD最小，即AD+CD最小， 设直线BC的解析式为：y=x+b,把B(3,0),C(0,3)代入得： [3k+b=0 1b=3 k=-1 解得： b=3 .直线BC的解析式为：y=-x+3, 把x=1代入y=-x+3得：y=-1+3=2, 点D的坐标为1,2).(4分) (3)解：①：点E在抛物线对称轴右侧时，EF∥x轴，与抛物线交于点F, 点E与点F关于直线x=1对称，且m>1, 10/14 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :点E在抛物线上， E(m,-m2+2m+3, 当点E在x轴上方时，设EF交直线x=1于点H,如图所示： 则EH=FH, :△GEF为等腰直角三角形， GH⊥EF,GH=EH, :点G在x轴上， .GH=-m2+2m+3, .EH=m-1, .-m2+2m+3=m-1, 解得：m1= 1+171-17 -，2= 2 2 (舍去)： 当点E在x轴下方时，设EF交直线x=1于点H,如图所示： C B A O F 同理可得：GH=--m2+2m+3=m2-2m-3,EH=m-1,GH=EH, ∴.m2-2m-3=m-1, 解得：m=3+7 3-17 2m 2 (舍去)， 除上m亚成m3,6分 2 11/14 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ②当m≥1时，如图所示： B A O x :PQ1x轴，四边形PQMN为正方形， QM∥PN∥x轴，PQ=QM=MW=PN, :P2=m=m, .PO=OM=MN=PN=m=m, :以点E为中心构造正方形PQMN,E(m,-m2+2m+3, :心所在直线的横坐标为m空号MN所在直线的横坐标为m+?-,QM所在直线的纵坐标为 2-2 -m+2m+3+受，PW所在直线的级坐标为m2+2m+3-受。 :抛物线在正方形内部（包含边界）的图象的最大值与最小值的差为m, .抛物线与QM、PN有交点， m +2×2 m m +3≥-m2+2m+3+ 2 2 3m +2× 3m+3≤-m2+2m+3-四 2 m2-2m≥0 整理得： 5m2-6m≥01 解不等式组得：m≥2或m≤0， :此时m之1， 此时m≥2： 当0<m<1时，如图所示： 12/14 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2 +2×"+3≤-m2+2m+3-m 同理可得： 3m 02 2 +2x3m+3≥-m2+2m+3+ 2 2 3m2-2m≤0 整理得： 5m2-2m≤0' 2 解得：0≤m≤ 此时0<m<1, 2 .此时0<m 当m=0时，P、Q、M、N重合，不存在正方形POMN; 当m<0时，如图所示： M 2 2 +2×m+3≥-m2+2m+3-m 同理可得： m +2× 3m 2 2+3≤-m2+2m+3+m 3m2-2m≥0 整理得： 5m2-2m≥0 13/14 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 解得：m≤0或m≥ :此时m<0, 此时m<0; ≥2或0<m≤或m<0.12分，一种 14/142026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==▣===-====。。=-。====-。一=▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂×1【1【/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1.A][B][CI[D] 2.A][B][C[D1 3.[A][B][C][D] 4.A][B1[C1[D] 5.IA][B1[C][D] 6.[A1[B][CJ[D] 7[AJ[B][C][D] 8.A][B][CJ[D1 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共18分) 9 10. 11 12. 13. 14. 三、（本大题共10个小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(6分) 17.(6分) 18.(7分) (1) (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19. (7分) 图① 图② 图③ 20.(7分) (1)】 (2) (3) 21.(8分) (1) s(km)小丽一小明 3 D 12 o0.6 2.637h) (2) (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22. (9分) (1) 0 0 O 图① 图② 图③ (2) (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) A ◇ D D 史 (备用图) (备用图) (1) (2) (3) (4 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) (1) y C B (2) (3)① ② 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ 卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．2026马年央视春晚中，机器人表演的节目《武BOT》中展示了单腿连续后空翻、扫堂腿等高难度动作．若机器人做前空翻8个记作个，则做后空翻12个记作（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图摆放的奶茶杯子，它的俯视图是（　　） A． B． C． D． 4．如图是某木质屋顶结构的外框示意图，其中，为横梁，为竖梁，且点在上．在安装竖梁时，只需测量，即可确定垂直于．这一操作的数学依据是（    ） A．垂线段最短 B．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等 C．等腰三角形“三线合一” D．三角形具有稳定性 5．如图，某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是（）mm，则下列乒乓球的尺寸中，不合格的是（   ） A． B． C． D． 6．图1为实时通讯的视频机器人，图2为其侧面示意图．机器人上半身与底座垂直，为屏幕支撑架，且．已知，当时，则支撑架到的距离为（   ） A． B． C． D． 7．如图，六边形和五边形都是正多边形，连接交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．日常生活中的“盐水”，是指含有氯化钠的水溶液．如图，用三个点分别表示甲、乙、丙三瓶盐水的浓度与盐水的质量的对应关系（盐水处于不饱和盐水的浓度和状态），其中甲、丙两点恰好在反比例函数（，为常数）的图象上．若甲、乙、丙三瓶盐水中含氯化钠的质量分别为，则其大小关系为（提示盐水的浓度）（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ 卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 9．如果单项式与单项式是同类项，那么可以是___________．（只需写出一个即可） 10．比较大小：4____（填“”“”或“”）． 11．若是一元二次方程的两个根，则______． 12．如图，把绕点C顺时针旋转，得到，交于点D，若，则的度数为_________． 13．直线与直线的图象如图所示，则方程组的解为______． 14．如图，在中，，于点E，于点F，，交于点N，，的延长线交于M，给出下列结论：①；②点C是的中点；③；④．则上述结论中，所有正确结论的序号是______． 三、解答题（本大题共10个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（6分）先化简，再求值：，其中． 16．（6分）广东拥有丰富多样的旅游资源，涵盖自然景观、人文历史、主题乐园、温泉度假和特色乡村等多个方面，包括韶关丹霞山、广州陈家祠、深圳欢乐谷等知名景点元旦假期即将来临，小芸和小婉两位同学准备在元旦假期内去以上三个景区中的一个游玩，用画树状图或列表的方法求小芸与小婉两位同学去同一个景区游玩的概率． 17．（6分）小张计划购进A，B两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知A种文创产品比B种文创产品每件进价多3元，购进2件A种文创产品和3件B种文创产品共需花费26元．求A，B种文创产品每件的进价． 18．（7分）如图，在中，，点D是的中点，过点A作平行于，且，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)当 时，四边形是正方形． 19．（7分）图①、图②、图③均是的正方形网格，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫作格点，以格点为顶点分别按下列要求画图形． (1)在图①中画一个直角三角形，使它的三边长均为有理数； (2)在图②中画一个正方形，使其面积为10； (3)在图③中画一个平行四边形，使其一条对角线长为，另一条对角线长为有理数． 20．（7分）为了解文峰初中学生对等智能软件的使用情况，学校举办了智能软件使用技能竞赛．现从八、九年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于分（成绩得分用x表示，共分成四组：．；．；．；．），下面给出了部分信息： 八年级抽取名学生的竞赛成绩为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 九年级抽取名学生的竞赛成绩在组的数据是：，，，，，． 八、九年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 八年级 九年级 平均数 中位数 众数 方差 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：_______，_______，_______； (2)请根据以上数据进行分析，你认为学校八、九年级中哪个年级学生的技能竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)学校八年级有名学生，九年级有名学生，请估计八年级和九年级两个年级竞赛成绩为优秀的学生共有多少名？ 21．（8分）2025两会期间，国家卫健委启动“体重管理年”行动．为了响应国家号召，小明和小丽骑行去山庄游玩，小明比小丽晚出发小时，追上小丽后休息了一段时间，继续以相同的速度骑行，他们离出发点的路程关于时间的变化情况如图所示． (1)分别求出小丽和小明骑行的速度． (2)求线段所在直线的函数表达式． (3)求小明第二次追上小丽时，他们距离山庄的路程． 22．（9分）【问题呈现】如图，是的内接正三角形，点是劣弧上一点，连接．求证：． 【问题解决】小明利用旋转，将绕点按顺时针的方向旋转至，如图②，可知，． ∵四点共圆，∴， ∴． ∴三点共线． 证明过程缺失 (1)请补全余下的证明过程． (2)【拓展应用】已知是的内接正三角形，点是劣弧上一点． 若的半径为，则四边形周长的最大值为______． (3)将绕点按顺时针的方向旋转至，使的面积最大，用圆规和无刻度的直尺在图③中依据题意补全图形，并说明理由（不写作法，保留作图痕迹，作图需确定后必须用黑色笔迹的签字笔描黑） 23．（10分）如图，在中，，，在上取一点，使，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动，同时动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度在射线上运动，当点到达点时，点、同时停止运动．设点的运动时间为秒（）． (1)线段的长为______． (2)当时，求的值． (3)求到的距离，并直接写出线段的长为______． (4)当点到的距离是点到的距离的2倍时，直接写出的值． 24．（12分）如图，已知抛物线（a，b为常数，）经过，，与y轴交于点C． (1)求抛物线所对应的函数表达式． (2)在抛物线的对称轴上存在一点D，连接，．当最小时，求点D的坐标． (3)点E是抛物线上的动点，设点E的横坐标为m． ①当点E在抛物线对称轴右侧时，过点E作轴，与抛物线交于点F，G为x轴上一点，当为以为斜边的等腰直角三角形时，求m的值； ②以点E为中心构造正方形，，且轴，当抛物线在正方形内部（包含边界）的图象的最大值与最小值的差为时，直接写出m的取值范围． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 口 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1[AJ[BJ[CI[D] 2[AJ[BJ[C][D] 3[A][B][CJ[D] 4A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] Z[AJIB][CI[D] 8[A][B]IC]ID] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 10. 11. 12 13 14. 三、（本大题共10个小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(6分) 17.(6分) 18.(7分) (1) R (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(7分) 图① 图② 图③ 20.(7分) (1) (2) (3) 21.(8分) (1) s(km)小丽一小明 30------ C 12 o0.6 2.637h) (2) (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22. (9分) (1) 0 0 图① 图② 图③ (2)】 (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) A ◇ D D D B B B (备用图) (备用图) (1) (2) (3) (4 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) (1) y A 0 B (2) (3)① ② 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．2026马年央视春晚中，机器人表演的节目《武BOT》中展示了单腿连续后空翻、扫堂腿等高难度动作．若机器人做前空翻8个记作个，则做后空翻12个记作（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图摆放的奶茶杯子，它的俯视图是（　　） A． B． C． D． 4．如图是某木质屋顶结构的外框示意图，其中，为横梁，为竖梁，且点在上．在安装竖梁时，只需测量，即可确定垂直于．这一操作的数学依据是（    ） A．垂线段最短 B．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等 C．等腰三角形“三线合一” D．三角形具有稳定性 5．如图，某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是（）mm，则下列乒乓球的尺寸中，不合格的是（   ） A． B． C． D． 6．图1为实时通讯的视频机器人，图2为其侧面示意图．机器人上半身与底座垂直，为屏幕支撑架，且．已知，当时，则支撑架到的距离为（   ） A． B． C． D． 7．如图，六边形和五边形都是正多边形，连接交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．日常生活中的“盐水”，是指含有氯化钠的水溶液．如图，用三个点分别表示甲、乙、丙三瓶盐水的浓度与盐水的质量的对应关系（盐水处于不饱和盐水的浓度和状态），其中甲、丙两点恰好在反比例函数（，为常数）的图象上．若甲、乙、丙三瓶盐水中含氯化钠的质量分别为，则其大小关系为（提示盐水的浓度）（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 9．如果单项式与单项式是同类项，那么可以是___________．（只需写出一个即可） 10．比较大小：4____（填“”“”或“”）． 11．若是一元二次方程的两个根，则______． 12．如图，把绕点C顺时针旋转，得到，交于点D，若，则的度数为_________． 13．直线与直线的图象如图所示，则方程组的解为______． 14．如图，在中，，于点E，于点F，，交于点N，，的延长线交于M，给出下列结论：①；②点C是的中点；③；④．则上述结论中，所有正确结论的序号是______． 三、解答题（本大题共10个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（6分）先化简，再求值：，其中． 16．（6分）广东拥有丰富多样的旅游资源，涵盖自然景观、人文历史、主题乐园、温泉度假和特色乡村等多个方面，包括韶关丹霞山、广州陈家祠、深圳欢乐谷等知名景点元旦假期即将来临，小芸和小婉两位同学准备在元旦假期内去以上三个景区中的一个游玩，用画树状图或列表的方法求小芸与小婉两位同学去同一个景区游玩的概率． 17．（6分）小张计划购进A，B两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知A种文创产品比B种文创产品每件进价多3元，购进2件A种文创产品和3件B种文创产品共需花费26元．求A，B种文创产品每件的进价． 18．（7分）如图，在中，，点D是的中点，过点A作平行于，且，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)当 时，四边形是正方形． 19．（7分）图①、图②、图③均是的正方形网格，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫作格点，以格点为顶点分别按下列要求画图形． (1)在图①中画一个直角三角形，使它的三边长均为有理数； (2)在图②中画一个正方形，使其面积为10； (3)在图③中画一个平行四边形，使其一条对角线长为，另一条对角线长为有理数． 20．（7分）为了解文峰初中学生对等智能软件的使用情况，学校举办了智能软件使用技能竞赛．现从八、九年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于分（成绩得分用x表示，共分成四组：．；．；．；．），下面给出了部分信息： 八年级抽取名学生的竞赛成绩为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 九年级抽取名学生的竞赛成绩在组的数据是：，，，，，． 八、九年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 八年级 九年级 平均数 中位数 众数 方差 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：_______，_______，_______； (2)请根据以上数据进行分析，你认为学校八、九年级中哪个年级学生的技能竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)学校八年级有名学生，九年级有名学生，请估计八年级和九年级两个年级竞赛成绩为优秀的学生共有多少名？ 21．（8分）2025两会期间，国家卫健委启动“体重管理年”行动．为了响应国家号召，小明和小丽骑行去山庄游玩，小明比小丽晚出发小时，追上小丽后休息了一段时间，继续以相同的速度骑行，他们离出发点的路程关于时间的变化情况如图所示． (1)分别求出小丽和小明骑行的速度． (2)求线段所在直线的函数表达式． (3)求小明第二次追上小丽时，他们距离山庄的路程． 22．（9分）【问题呈现】如图，是的内接正三角形，点是劣弧上一点，连接．求证：． 【问题解决】小明利用旋转，将绕点按顺时针的方向旋转至，如图②，可知，． ∵四点共圆，∴， ∴． ∴三点共线． 证明过程缺失 (1)请补全余下的证明过程． (2)【拓展应用】已知是的内接正三角形，点是劣弧上一点． 若的半径为，则四边形周长的最大值为______． (3)将绕点按顺时针的方向旋转至，使的面积最大，用圆规和无刻度的直尺在图③中依据题意补全图形，并说明理由（不写作法，保留作图痕迹，作图需确定后必须用黑色笔迹的签字笔描黑） 23．（10分）如图，在中，，，在上取一点，使，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动，同时动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度在射线上运动，当点到达点时，点、同时停止运动．设点的运动时间为秒（）． (1)线段的长为______． (2)当时，求的值． (3)求到的距离，并直接写出线段的长为______． (4)当点到的距离是点到的距离的2倍时，直接写出的值． 24．（12分）如图，已知抛物线（a，b为常数，）经过，，与y轴交于点C． (1)求抛物线所对应的函数表达式． (2)在抛物线的对称轴上存在一点D，连接，．当最小时，求点D的坐标． (3)点E是抛物线上的动点，设点E的横坐标为m． ①当点E在抛物线对称轴右侧时，过点E作轴，与抛物线交于点F，G为x轴上一点，当为以为斜边的等腰直角三角形时，求m的值； ②以点E为中心构造正方形，，且轴，当抛物线在正方形内部（包含边界）的图象的最大值与最小值的差为时，直接写出m的取值范围． 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $