重庆市南开中学2025-2026学年度高二下学期数学练习（七）试题 5.3

**基本信息** 聚焦高二下学期核心知识，通过分层设问与情境化设计，强化数学抽象、逻辑推理与数据观念的培养，适配周测巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|6题70分|立体几何线面关系、导数应用|以工程建筑为背景设计空间几何题，考查几何直观；结合科技实验数据设问导数应用，体现数学思维解决实际问题| |填空题|4题20分|概率统计、数列综合|设置开放探究性填空，要求用数学语言描述数据规律，培养数据意识与创新意识|

重庆南开中学高2027级高二（下）数学练习（七）5.3 一、单选题，本题共8小题，每小题5分共40分在每小题给出的选项中，只有一项符合题目 要求 1.已知0,1,2,3,4,5这6个数字，从中取三个不同的数字，把其中最大的数字放在个 位上排成三位数，这样的三位数有（) A.20个 B.30个 C.40个 D.55个 2.已知函数f(x)=x-cosx,若f(名)+∫()=π，则f（名+x2)=() A.元-1 B.元+l C.π D.0 3.在(2x+y-1)的展开式中，x2y的系数为() A.-48 B.-24 C.24 D.48 4.若过点L,m)可以作y=(x+)e的三条切线，则实数m的取值范围是() A.(-4e2,0) B.(-6e3,0) C.(-6e3,2e) D.(e,2e) 5.设1<a<2,随机变量X的分布列是； 1 2 P 则当a在0,2)内增大时（) A.D(X)先减小后增大 B.D(X)先增大后减小 C.D(X)增大 D.D(X)减小 6已归抛物线c:广=2(D>0叭，直线！经过定点P侵小且与花物线C交于么8两 点，0为坐标原点，满足O0丽=}，则p=（) A.吉 B.1 C.2 D.4 7,四根绳子上共挂有10只气现，绳子上的球数依次为1,2,3,4， 每枪只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球， 则将这些气球都打破的不同打法数是() A.12600 B.6000 C.8200 D.12000 试卷第1页，共4项 8.已知函数f(x)=x2-asim2x+b,若曲线y=∫(x)在点(0，f(0)处的切线方程为 2x-y+3=0,则a+b=（) A.1 B.2 C.3 D.4 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在年小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 2) 9.已知二项式x+左的展开武则（） A,二项式系数最大的项为第3项 B.常数项为第5项 C.展开式中含x2的项为60x D.展开式中所有项的系数和为64 10.在甲、乙两个不透明的盒中分别装有除颜色以外完全相同的小球，甲盒中有5个红球、 2个白球、3个黑球：乙盒中有6个红球、2个白球、2个黑球，先从甲盒中随机取出一个球 放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个现.记事件A,4,4分别表示从甲盒中取出的球是 红球、白球、黑球，记事件B:“从乙盒中取出的球是红球”，则下列结论正确的是（) A.A,4,A是两两互斥的事件 B.2P(4)=1 c.Pk)-品 D.事件B与事件A相互独立 11.已知函数f(x)=e*-x,g(x)=x-lx,则下列说法正确的是() A.g(Inx)在(L,+∞)上是增函数 B.若关于x的方程g(x)=Q有两个不相等的实根x,x2,且x<为，则x+2x,>3 C。若a>0x>0,不等式色)-血+)恒成立，则e的取值范图为民构 D.若f)=g()=aa>e-,且>>0，则血名+小-的最大值为-e Ina 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.据统计，一年中一个家庭万元以上的财产被窃的概率为0.005，保险公司开办一年期万 元以上家庭财产保险，交保险费100元，若一年内万元以上财产被窃，保险公司赔偿α元 (a>1000),为确保保险公司有可能状益，则a的取值范围是 13,有一个邮件过滤系统，它可以根据邮件的内容和发件人等信息，判断邮件是不是垃圾邮 件，并将其标记为垃圾邮件或正常邮件对这个系统的测试具有以下结果：每封邮件被标记 为垃圾部件的概率为子，技标记为垃圾邮件的有亡的概率是正常邮件，技标记为正常郎件 的有。的极率是垃圾邮件，则垃圾郎件技该系统成功过滤（即垃圾邮件被标记为垃级邮件） 的极率为 14,抛掷一枚质地均匀的正四面体骰子（四个面上分别标有数字1,2,3,4)，底面的点数 为1记为事件A,抛掷n次后事件A发生奇数次的根事记为尸，则月=一，乃ms=一， 四、解答题：本题共5小恩，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步腺。 15.某工厂有两条生产线生产间一种产品，产品需要经过质量检测，检测结果分为优质、 合格和不合格三种， 从两条生产线上各随机抽取120件产品，检测结果如下表， 优质 合格 不合格 甲生产线 80件 40件 0件 乙生产线 60件 30件30件 假设各件产品的检测结果相互独立，用频串估计概串， ()从甲生产线抽取的样本中随机取2件，求这2件产品均合格的概串： (2)从甲、乙两条生产线的产品中各随机抽取1件，记这2件产品的利润总和为X元（利 涧标准：优质20元，合格5元，不合格15元).求X的分布列及数学期望： (③)工厂考虑对乙生产线进行技术改造，改造后，乙生产线生产的产品优质率可提高到0.7， 不合格率降为0.05，但改造需要一次性投入，会导致每件产品的生产成本增加4元.试 判断改造后乙生产线产品的平均利润是否比改造前有所提高.（直接写出结论） 16.己知数列{a,}满足a,= n=1 4 2n-1,n≥22 (1)求{a}的前n项和S: (2)记数列{色，}的前n项和为T,若T。=2b,-2”+2:证明数列{ 为等差数列，并求出{也} 的通项公式： 17.某公司组织A,B两部门的50名员工参加DeepSeek培训。 (I)此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门创导参加，恰有3人来自A部门，从这6名部 门领导中随机选取2人，记X表示选取的2人中来自A部门的人数，求X的分布列和数学 期望： (2)此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到"优秀"的概串分别为 211 了2了，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到优秀”的员工才能合格。 ()求每位员工经过培训合格的概率： (i)经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元， 不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的 员工支付3万元的其他成本和费用，试估计该公司A,B两部门培训后的年利润（公司年利淘 =员工创造的利润其他成本和费用)， 18.已知双盖线E:号茶=16>06>0)的有近线与周C:r++10r+16-0相物，圆心C 是E的一个焦点 (I)求E的方程： (2)过点R(6,0)的直线1与E的右支交于M,N两点，A,点分别为E的左，右项点，直线4M 与AN交于点P, ()证明：P在定直线上： (i)若直线AN与A,M交于点2，求PR,OR的值 19.已知函数f(x)=xe,g(x)=a(x+lnx),其中a>0. (1)求曲线y=∫(x)在点(Lf()处的切线方程： (2)是否存在a,使得函数h(x)=g(x)-ax+-在区间[，e]上的最小值为0？若存在，求出a的 值：若不存在，诮说明理由： (3)设x是函数F(x)=∫(xg(:)的极小值点，且F(x)20,证明：F(x)之2(x行-x号) 、n出T4.—