重庆市南开中学校2025-2026学年高二下学期数学练习（十二）06.21

《重庆南开中学高2027级高二（下）数学练习（十二）06.21》参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 0 10 11 B ACD ACD ABD 1.c 【详解】集合A={(x,y)川x=2y},B={(x,y)川y=x2} 1 [x=2y x=0 方程组 3解得 或 x22 v=x y=0 y=4 所以4n=Q》 元素个数为2 2.C 【详解】若命题p:“x∈[-1,2]，m≤x2+1”为真命题， 由x2+1≥1，当且仅当x=0时取等号，则≤1， 所以命题P为假命题时，m>1. 3.A 【详解】由题可得：X~N(175,o2),则P(X≥175)=0.5， P(160<X≤175)=P(175≤X<190)=0.45, 则P(X≥190)=P(X≥175)-P(175≤X<190)=0.05 4.A 【详解】由(x2-a(x+1)=x2(x+1)°-a(x+1) 其中x2(x+1)展开式中x8的系数为C, -a(x+1)'展开式中x8项的系数为-aCg 则原式展开式中x8的系数为C日-Ca=84-9a=-6, a=10 5.B 【详解】令x=-√，则2f(V2)+f(1)=1①， 令x=1,则2f(1)+f(0)=1②， 答案第1页，共11页 令x=0,则2f(0)+f(-1)=1③， 令x=-1,则2f(-1)+f(0)=1④， 联立@④，解得10)}，f()},将1o)-代入②，解得J0} 再将0)=代入①，解得回)-专 6.C 【详解】因为函数f(x)=mim{x2-1,x+1,-x+1}, 当x2-1≤x+1且x2-1≤-x+1时，f(x)=x2-1. -1s-1得，1sx≤1， x2-1≤x+1 解不等式组 当x+1<x2-1且x+1<-x+1时，f(x)=x+1. 解不等式组+1<x2-1 r+1<-x+1得，x<1: 当-x+1<x2-1且-x+1<x+1时，f(x)=-x+1. 解不等式组 -x+1<x2-1 得，x>1: -x+1<x+1 x+1,x<-1 所以f(x)={x2-1,-1≤x≤1， -x+1,x>1 ①当a<-1时，f(a=a+1, 若a+2<-1,即a<-3,则f(a+2)=a+3,不等式a+3>a+1恒成立，故a<-3符合题意： 若-1≤a+2<1,即-3≤a<-1,则f(a+2)=(a+2)2-1, 不等式化为2+3a+2>0,解得a<-2或a>-1,所以-3≤a<-2符合题意， 所以a<-2符合题意： ②当-1≤a≤1时f(a)=a-1,此时a+2≥1，故f(a+2)=-a-1, 不等式为-a-1>ad-1,即2+a<0,解得-1<a<0,综合可得-1<a<0符合题意： ③当a>1时，f(a)=-a+1,f(a+2)=-a-1,不等式为-a-1>-a+1,即-1>1，无解. 答案第2页，共11页 综上所述，实数a的取值范围为（-w,-2)U(←1,0). 7.B 【详解】由f(x)+f(x+3)=f(2031),得f(x+3)+f(x+6)=f(2031), 两式相减：f(x+6)=f(x),周期T=6, 2031=338×6+3, 原式：f(x)+f(x+3)=f(3), 令x=0:f0)+f(3)=f(3)→f(0)=0, f(x)关于x=对称，得f(x)=f(3-x), 所以f(3)=f(0)=0,因为f(x)+f(x+3)=f(3),得：f(x+3)=-(x), f(7)=f(6+1)=f(1)=1,即f(1)=1 f(4)=f(1+3)=-f1)=-1, f(2)=f(3-1)=f(1)=1, f(5)=f(2+3)=-f(2)=-1, f(3)=0,f(6)=f(0)=0, 一个周期：f(1)=1,f(2)=1,f(3)=0,f(4)=-1,f(5)=-1,f(6)=0, 一个周期和：1+1+0-1-1+0=0， 2026=6×337+4 2f@=37x0+f0+f2)+f3+f4p 8.C 【详解】对x≥0，f(x)=f 2026a 记t= 2026a x+1 x+1 由x≥0则x+1≥1，故0<t≤2026a, 则定义域[0，+o)上任意x的函数值，都等价于区间(0,2026a]关于t的函数值， 已知x∈[0，d就能满足全部值域A, 对任意1e(a2026a],需满足2026 ≤ t+1 答案第3页，共11页 已知a>0,解得t≥2025， 该条件对所有t∈(a,2026a]成立，则必有a≥2025， 当a=2025,任意t>2025,a=2025=2026×20252026×2025 2025+1 t+1 落在[0，a内，满足条件： 若a<2025,可取a<t<2025,此 20260>4,1与20260超出[0，al,不满足值域： t+1 t+1 故实数a最小值为2025. 9.ACD 【详解】对A:由关于x的不等式x+bx+c>0的解集为(-1,2)，可得a<0,故A正确： 对B:由题意可得2+bx+c=a(x+1)(x-2)=ax2-ar-2a>0, 故b=-a,c=-2a,则a+b+c=a-a-2a=-2a>0,故B错误； 对C:ax+b=ar-a=a(x-1)<0,由a<0,故x-1>0,即x>1,故C正确： 对D:2+(c-1)x+2=x2+(-2a-1x+2=(ar-1)(x-2)>0, 由a<0,则该不等式解集为 2 故D正确. a 10.ACD 【详解】对于A,已知a>0,b>0,由基本不等式有1=a+222a名品 4 4 两边平方得c61,当月仪当a名、即Q-分，么=2时等号成立，放A正确： 1 对于B,因为a>0,所以a+3>3, 由基本不等式有a+4 a+3+4 -3≥2 --3=4-3=1, a+3 a+3 a+3).4 a+3 当且仅当a+3:,即a=1时等号成立 因为a>0,所以a+4 >1,故B错误： a+3 对于C,已知a>0,b>0,由+公≥a+b可得 2 a2+b2+8 ≥(a+b2 8 (a+b) 8 2 22 =4, (a+b) (a+b)2 2 (a+b)2 当且仅当a=b=1时等号成立，故C正确： 对于D,已知a>0,b>0,a>2b,则a+2b>0,a-2b>0, 答案第4页，共11页 a42 1=（a+2b)+(a-2b）+2+1=a+2b+2+a-2b+1 a+2b a-2b a+2b a-2b 2 a+2b 2 a-2b 由基本不等式有a+2b+2 a+2b2 -≥2 =2, a+2b 2 a+2b 当且仅当a+2b、2 2a+2b即a+2b=2时等号成立， a-2b+1 2a-2b'即a-2b=V5时等号成 2+a2%22边，202，当且议当2201 立， 所以a+2 1=a+2b)+(a-2b+2+1-a+2b+2+8-2地+122+5， a+2b a-2b 2 a+2ba-2b-2a+2b2a-2b1 当且仅当a+2b=2,4-2h=2,即a=2+,5,b=2-5时等号成立，故D正确 2 4 11.ABD 【详解】由过直线-y+4=0上任一点P可作椭圆C的两条切线， 可知点P在椭圆C的外部， 所以P+P>2a,A项正确： 示+=1（a>1)对应的蒙日圆方程为2+=：+1， 椭圆c: 由已知可得圆x2+y2=㎡+1与直线x-y+4=0有2个交点， 设圆心(0,0)到直线x-y+4=0的距离为d, 则d=- 4<√m+1,则d>3: +1 怒意可知直线-v40与圆子P=1没有交点， 将一y+4=0与+y2=1联立， 得1+)x2+8x+15㎡=0没有实根， 所以△=4-60d<0,则有ad2<15, 综上3<d<5,B项正确： e'=c2=a2- a 2-1- 由B知3<a2<V15, C项错误； 答案第5页，共11页 线段P为蒙日圆的一条弦， 则盟2层1--21 ax-y+4=0 -a2 令t=2+1e(4,5+10, 则R=40-9。 易知v=4-9)单调造指。 所以RBe 415-15 0 D项正确， 7 1 【详解】因为直线：2x-y+5=0的斜率为：k=2, 又曲线y=血+口在点(L四处的切线与直线1：2x-v+5=0垂直， 所以借线在点心四处的切线的斜率为：名=司 由y=血x+a,则y-血x+ax-血+a-r_1-nx-a, 1 x 所以，1上a1-a=弓解得：a- 3 【详解】函数f)}+2x-smx的定义域为R, eR,f(到(2-2x-m(刘=-2x+smx=f), 因为f(x)=x2+2-cosx≥x2+2-1=x2+1>0, 故函数∫(x)在R上为增函数， 由f(2x2-1)+f(x)≤0得f(2x2-1)≤-(x)=f(-x),故2x2-1≤-x, 即2x1s0,解得-1<x分 故不等式f(2x2-1)+f(x)≤0的解集为 答案第6页，共11页 故答案为： 14.√5-2 【详解】因为a2+2ab=4,且a≠0， yb4在、所以+阳16+32 2a 4a2 4a1 所以+号的最小值为5-2. 15.解：(1)证明：连接BD,交AC于点O,连接O9. 因底面ABCD是正方形，则点O是BD中点，又因点Q是棱PB中点， 所以OQ1/DP 又因为DPa平面OAC,OQC平面OAC, 所以PD1I平面OAC. (2)因为侧面PAB⊥底面ABCD,平面PABO底面ABCD=AB, 因BC⊥AB,BCC平面ABCD,则BC⊥平面PAB, 又因PBC平面PAB,则BC⊥PB. 因为PB=AB=2,PA=2√2，满足PA2=PB2+AB2,则得PB⊥BA. 故可以点B为坐标原点，分别以BC,BA,BP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系B-x. 则B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),D(2,2,0),P(0,0,2). 设P2=t,则0≤t≤2，且Q(0,0,2-t), 则C0=(-2,0,2-t),CA=(-2,2,0),PD=(2,2,-2), 设平面OAC的法向量为n=(x,y,z). Cgn=-2x+(2-t)z=0 B 由 ,故可取i=(2-t,2-t,2) CA.ii=-2x+2y=0 因为直线PD与平面QAC所成角8的正弦值为 9 PD. 所以sin6=cos PD, 4-4t 6 PD-网2W5√2(2-t)2+4 9 答案第7页，共11页 整理得-14+3=0，解得t=}或t=3,经检验均符合恩意 1 2 1 故线段PQ的长为4或 707 16.解：(1)()由题可知，样本中选择新能源汽车者中年龄在40岁以下的频率为 1011 7 由样本估计总体可得选择新能源汽车者中年龄在40岁以下的概率P= 11 (i)零假设为H：选择新能源汽车与年龄无关， 由列联表中数据代入计算得：X-200x(70×60-30×40_20 ≈18.182>10.828， 100×100×110×90 11 所以依据小概率值a=0.001的独立性检验，推断H,不成立， 即可以认为选择新能源汽车与年龄有关系，此推断犯错误的概率不超过0.001. Σ(：-x)(y-) (2)因为 6.2a 2-时2x- -明 所以r=6 2-可 -6,547x5-094>09, 2-可 5,V50 故y与x线性相关性很强 17.解：(1)函数f(x)=号+x2-3x+1求导得f(x)=x2+2x-3, 3 则f(0)=1,'(0)=-3, ∴曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为： y-1=-3x,即y=-3x+1. (2)令"(x)=x2+2x-3=0,解得x=1或x=-3, 当x∈[-4，-3)时，'(x)>0,f(x)单调递增： 当x∈(3,1)时，f'(x)<0,f(x)单调递减： 当x∈(1,6]时，f'(x)>0,f(x)单调递增： ·f(-3)为极大值点，f(1)为极小值点， 答案第8页，共11页 f(4到4+(4-3〔-4到+1-号 f-3)=3-3+(-3-3(-3)+1=10, f0=0+-31+1=- f(6)=3(6+6-3×6+1=91, 综上可得，函数f(在区间4可上的最大值为1，最小值为名 (3)函数g(x)=f(x)+b在x∈R有三个不同的零点， 等价于直线y=-b与y=f(x)有3个不同交点， 由(2)知，f)的极大值为(-3)=10，极小值f0=- 3 作出f(x)大致图象如下： 珠 10 y=f(x) 由图象可知，要使直线y=-b与y=∫(x)有3个不同交点， 则满是：子-6<10，解得-10<b子 2 y=-b 18.解：(1)当n=4,m=2时，随机从编号1~4的4个小球中 X2的可能取值为2,3,4， -3 Px=2)。P-)名}P(x=利-& 621 分布列如表所示： 2 (2)Xm-1的可能取值为n-1或n, P化=-Px==1- 因能-a1a平月 答案第9页，共11页 (3)选取m个不同的元素，有Cm种方法， 要满足Xm=k,则需取出元素k,其余(-)个元素是从小于k的(k-1)个元素中选出的， 所以PX--其=mm+1, -2安2c k=m k(k-1)！ k! 因为k-C= =ml:- -1)k-m! m!(k-n)! mCH, 所以E(X)= 2c-2是c+++ 0+c-+c-0-t+c)-总c m+1 19.解：①)由栖圆C号茶-1a>b>0的长箱长为4，可行2a=4,解利a=2, 3+ a 又电点PL)在C上，可得1 -1’解得b=1,即b=1, 4 所以c=√a2-b=√4-1=5， 所以椭圆C的离心率为e=S-5 a 2 (2)由(1)知：a=2且b=,所以椭圆C的方程为+=1， 4 叉由o0,0,P4), 所以直线OP的斜率为ke-5 2 所以直线OP的方程为y=5x,即x-2y=0, 设与直线OP平行且与椭圆相切的直线方程为√3x-2y+m=0, 「N5x-2y+m=0 联立方程组x2 整理得4x2+2√3x+m2-4=0, +y2=1 因为直线与椭圆相切，可得△=(2√3m2-4×4×(m2-4)=0, 可得2=16，解得=±4， 所以直线√3x-2y=0与直线√3x-2y+4=0之间的距离为： 答案第10页，共11页 d=- 04-4-47 V3+(-2 万7， 直线√3x-2y=0与直线V3x-2y-4=0之间的距离为： 10+4 d -4-4万 V5+(2 7, 5x-2y+4=0 所以两平行线间的最大距离为d=4 PV3x-2y-4=0 所以△PoQ的面积的最大值为s-orxd-:x5+y 227 (3)因为动点M在直线x=4上，可设M(4,t),其中t≠0， 再设E(x,片)，F(x2,y2),且A(-2,0),B(2,0), 可得直线AE的方程为y=二(x+2), 6 t y=二(x+2) 6 联立方程组 x2 ,整理得t2+9)x2+4t2x+4t2-36=0, +y2=1 4 42 可得2+号+2北3，可得18-2的 t2+9, 所以y=8-22 P49即8-2Ya 6P+9+2)= t2+9’t2+9 同理到利：直碳约方程为习，且州六》 所以直线EF的斜率的倒数为 18-2222-2 2+9f+L-18-2)0+1)-(2r-2)d+9)_-4+36_3-t2 6t 2t 6t(t2+1)+2t(t2+9) 8x+24t2f t2+9t2+1 所拟线以的方程为-兰0高，空理用 2+12x0w- 2ty+1, 设直线EF与x轴的交点为T, 令y=0,可得x=1,所以直线EF与x轴的交点为TQ,0). 答案第11页，共11页重庆南开中学高2027级高二（下)数学练习（十二)06.21 一、单选题 1.已知集合A={(x,y川x=2y},B={(x,川y=x},则AnB的元素个数为() A.0 B.1 C.2 D.3 2.若命题p:“x∈[-1,2]，m≤x2+1”为假命题，实数m的取值范围( ) A.[1,+o) B.(-n,2] C.(1,+o) D.(-n,5] 3.已知某地青年男性的身高x(单位：cm)服从正态分布N(175,o2),且 P(160<X≤175)=0.45，在该地区随机抽取1名青年男性，则该男性身高不低于190cm的 概率为() A.0.05 B.0.15 C.0.25 D.0.35 4.若(x2-a(x+1)的展开式中x8的系数为-6，则a=( A.10 B.15 C.-6 D.-12 5.f(x)是定义在R上的函数，满足2f(x)+f(x2-1)=1对次R都成立，则f(-V②)= () A.0 B. c. 2 D.1 6.设函数f(x)=mim{x2-1,x+1,-x+1},其中min{x,y,z}表示x,y=中的最小者.若 f(a+2)>f(a,则实数a的取值范围为( A.(-0,0) B.(-2-1) C.(-m,-2)U(-1,0)D.(-2,+0) 7.已知定义在R上的函数f(x)的图象关于x=对称，且f(x)+f(x+3)=f(2031),若 2026 f(7)=1,则∑f()=() -1 A.0 B.1 C.-1 D.-2 2026a 8.设函数f(x)定义域为D=[0,+o),值域为A.对x∈D,都满足f(x)=f x+1 若 集合{yy=f(x),x∈[O,可取得A中所有值，则实数a最小值为( ) A.2023 B.2024 C.2025 D.2026 二、多选题 试卷第1页，共4页 9.己知关于r的不等式x2+bx+c>0的解集为(-1,2)，则下列说法正确的是() A.a<0 B.a+b+c<0 C.不等式x+b<0的解集为(1，+0) D.不等式ax2+(c-1)x+2>0的解集为 2 a 10.己知a>0,b>0,则下列说法正确的有() b A.若a+二=1，则ab的最大值为1 4 4 B.a+4的最小值为1 a+3 C.a2+b2+8 (a+b的最小值为4 D.若a2办，则aa6的最小值为2+万 山.豪日是法国者名的数学家，他首先发现椭网于+芳-1口>6>0)的两条相互基直的切 线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为x2+y2=a+b.点耳，耳为椭圆 a>1)的两焦点，过直线公=y+4=0上任一点P可作椭圆c的 分别记为A,B,且其中存在两点，乃，使得A⊥B,乃A⊥PB,则下列说法正确的是( ) A.PF +PE 2a B.3<<V15 。防圆的离心率为，则。的范园为后到】 415-V15 D.IRBP e 0, 7 三、填空题 12.若曲线y=血x+0在点(，a)处的切线与直线1：2x-y+5=0垂直，则实数a= 1B.已知函数了()-+2x-sm,则不等武了2x-1+f)≤0的解集为 14.已知a,b为实数，且d+2b=4,则+二的最小值为 三、解答题 15.在四棱锥P-ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD,底面ABCD是正方形，PB=AB=2, PA=2√2，点Q是棱PB上一点. 试卷第2页，共4页 (1)当点Q是棱PB中点时，求证：PD/平面OAC: (2)若直线PD与平面AC所成角的正弦值为 求线段PO的 9 长. B 16.随着全国新能源汽车推广力度的加大，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇 (1)为了更好了解大众对新能源汽车的接受程度，某城市汽车行业协会依据年龄采用分层 随机抽样的方式，从40岁以下和40岁及以上两个年龄层中各抽取100名市民进行调查，并 对他们选择新能源汽车，还是选择传统汽车进行意向调查，得到了如下列联表： 选择新能源汽车 选择传统汽车 总计 40岁以下 70 30 100 40岁及以上 40 60 100 总计 110 90 200 ()记选择新能源汽车者中年龄在40岁以下的概率为P,求P的估计值： (i)依据小概率值=0.001的独立性检验，分析选择新能源汽车是否与年龄有关. (2)为了了解该地区新能源汽车的销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到该 地区新能源汽车销售量y(单位：万台)关于年份x的线性回归方程y=4.7x-9495.2,且销 售量y的方差为5=50，年份x的方差为s=2.求y与x间的样本相关系数r,并据此判断该 地区新能源汽车销售量y与年份x的线性相关性强弱 附：(i)在线性回归方程)=x+a中，6= 2s--可 a=v-诚： 立（飞-g-可 (ii)样本相关系数r= 若r川>0.9，则可判断y与x线性相关性很 强； (i) n(ad-be (a+b)(c+d)(a+c)b+'其中n=a+b+c+d. 试卷第3页，共4页 0.1 0.05 0.01 0.001 Xa 2.706 3.841 6.635 10.828 17.设离数f)号+-3x1. (1)求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程： (2)求函数f(x)在区间[-4,6]上的最大值与最小值： (3)若函数8(x)=f(x)+b在x∈R有三个不同的零点，求b的取值范围. 18.袋子里有编号1~n(n≥2)的n个小球，除编号外完全一样，现随机从中取出m个，记取 出m个小球的最大编号为Xm (1)当n=4,m=2时，求X2的分布列： (2)当m=n-1时，求D(X-i): (3)求E(Xm) 19已知随圆c号茶-a办>0的长箱长为4，点心，马在c上 2 (1)求C的离心率； (2)若点Q在C上，O为坐标原点，求△POQ面积的最大值： (3)设A,B分别为C的左、右顶点，动点M在直线x=4上，直线M4与C的另一个交点为 E(异于点B),直线MB与C的另一个交点为F(异于点A),求直线EF与x轴的交点坐标. 试卷第4页，共4页