精品解析：福建福州立志中学2025-2026学年第二学期期中八年级数学试卷

福州立志中学2025～2026学年第二学期期中 八年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必在答题卡规定的位置填写考生的班级、姓名、座位号等信息． 2．第Ⅰ卷选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试卷上答题无效． 3．考试结束后，考生只交答题卡． 第Ⅰ卷 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 在函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围，分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为0进行求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， 故选：B． 2. 在平行四边形中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】平行四边形的对角相等，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴ ． 3. 一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数的性质可知其图象y随x的增大而增大，且与y轴交于点，即可得到答案． 【详解】解：一次函数的图象y随x的增大而增大，且与y轴交于点， 故答案为：A． 【点睛】本题考查一次函数的图象，掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 4. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形和菱形的性质，特殊四边形的性质要从边、角、对角线三方面入手，并加以考虑它们之间的联系和区别． 根据矩形和菱形的性质判断即可． 【详解】解：A、矩形的对角线相等，而菱形的对角线不一定相等，故本选项符合题意； B、矩形和菱形对角线都互相平分，故本选项不符合题意； C、菱形的对角线垂直，矩形的对角线不一定垂直，故本选项不符合题意； D、矩形和菱形都是对角相等，故本选项不符合题意； 故选：A． 5. 某种药品经过两次降价，单价由100元降为81元．若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 利用该种药品经过两次降价后的价格=原价每次降价的百分率，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：， 故选：B． 6. 已知函数，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据解析式确定抛物线的开口方向和对称轴，再结合二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵函数 中，二次项系数 ∴抛物线开口向下，对称轴为直线 对于开口向下的二次函数，在对称轴右侧，函数值随的增大而减小 ∴当函数值随的增大而减小时，的取值范围是． 7. 用配方法解方程，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先移项，再配方，即方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 【详解】移项得，， 配方得，， 即， 故选：B． 【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是解题的关键． 8. 向如图所示的空容器内匀速注水，注满为止，则水面高度关于注水量的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了函数图象，解决本题的关键是根据容器各部分的大小与高度不同，每部分的粗细不同得到用时的不同．可得水面高度随注水量变化而分三个阶段，再进一步分析即可. 【详解】解：最下段的容器最粗，第二段容器较粗，第三段最细， ∴最下段的函数图象水面高度随注水量的增大而增长缓慢，用时最长，且图象为线段， 第二段的函数图象水面高度随注水量的增大而增长较第一段快，且图象为曲线， 第三段的函数图象水面高度随注水量的增大而增长较第二段快，用时最小，图象为线段， ∴A符合题意． 故选：A． 9. 设，是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2029 B. 2028 C. 2026 D. 2025 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义得到的值，再将所求代数式变形，结合一元二次方程两根之和的关系计算即可解答． 【详解】解：是方程的根， ，即， ，是方程的两个实数根， ， ． 10. 如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象确定的解集，再利用整体思想求解即可． 【详解】解：由图象可知，一次函数的图象与轴交于点，且随的增大而增大，   当时，，即不等式的解集为．  要求不等式的解集，   将看作整体，可得， 解得． 第Ⅱ卷 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知函数是正比例函数，则k的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据正比例函数的定义，列出关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴， ∴． 12. 已知直线与直线平行，且经过点，则b的值为______． 【答案】 2 【解析】 【分析】根据两直线平行可得一次项系数相等，得到后，将已知点坐标代入解析式即可求出的值． 【详解】解：直线与直线平行， ，即直线解析式为， 把代入得： ， 解得：． 13. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据有两个相等的实数根，可得，代入各项系数即可得解得的值． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 故答案为3． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟知当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式是解题的关键． 14. 如图，在中，点，分别是边，的中点，点在线段的延长线上，且，若，，则的长是______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键．先根据三角形的中位线定理可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据求解即可得． 【详解】解：∵在中，点，分别是边，的中点，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：6． 15. 将抛物线向下平移3个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为______． 【答案】 2 【解析】 【分析】根据二次函数图象的平移规律得到平移后的抛物线解析式，令求出抛物线与轴的交点坐标，再计算两个交点之间的距离即可． 【详解】解：将抛物线向下平移个单位长度后，根据平移规律“上加下减”，可得平移后的解析式为， 当抛物线与轴相交时，函数值为，令， 解得，， 因此平移后抛物线与轴的交点为，， ∴两个交点之间的距离为． 16. 如图，以矩形的顶点A建立平面直角坐标系，点B，D分别在x轴，y轴上，点C的坐标为，M，N分别是，上的动点，且，当取最小值时，点M的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作交于点，延长使得，连接，先证明，得到为等腰直角三角形，，再证明，得到，，那么，可推出三点共线时，取得最小值，最小值为，接着证明，从而得出答案． 【详解】解：如图，过点作交于点，延长使得，连接， ∵四边形是矩形，点C的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 又， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴当且仅当三点共线时，取得最小值，最小值为， ∴的最小值为， 如下图所示，三点共线，此时在轴上： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（共9题，共86分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）（2）把方程左边分解因式，再解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得， ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得， ． 18. 已知y与成正比例，且它的图象经过点． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）若点在此函数图象上，求点A的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先设正比例解析式，代入已知点求出系数，得到函数式即可； （2）把点的坐标代入函数式，解出，得到点的坐标 【小问1详解】 解：设（）， 将，代入中， 可得：，即，解得， 则与之间的函数解析式为； 【小问2详解】 解：因为点在此函数图象上， 所以，解得， 所以点A的坐标为． 19. 如图，在□ABCD中，M，N是AD，BC上的两点且DM＝BN，连接CM，AN．求证：CM＝AN． 【答案】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD=AB，∠D=∠B． 在△CDM和△ABN中， ∴△CDM≌△ABN(SAS) ∴CM=AN． 【解析】 【分析】求证△CDM和△ABN全等即可得到CM=AN． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定和性质，熟练掌握证全等的方法是解题的关键． 20. 已知关于x的方程． （1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一根为4，求m的值． 【答案】（1） 证明：由题意得， ， ∴不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）或 【解析】 【分析】（1）证明即可； （2）把代入原方程得到关于m的方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程有一根为4， ∴把代入得， 解得或． 21. 如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与y轴的交点为D，与x轴的交点为C． （1）求一次函数表达式； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）可求，把和代入一次函数，即可求解； （2）可求，由即可求解． 【小问1详解】 解：正比例函数的图象与一次函数的图象交于点， ，， ， 把和代入一次函数，得 ， 解得， 一次函数解析式是； 【小问2详解】 解：由（1）知一次函数表达式是， 当时，， 当时，， 解得：， ，， ， ． 【点睛】本题主要考查了两直线交点及面积问题，待定系数法求一次函数解析式，掌握解法是解题的关键． 22. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈； （2） 解：不能，理由如下： 由题意，得． 化简，得． ∵， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到． 【解析】 【分析】（1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解． 【小问1详解】 解：设矩形的边，则边． 根据题意，得． 化简，得． 解得，． 当时，； 当时，． 答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键． 23. 某市从2026年1月1日开始，禁止燃油助力车上路，于是电动自行车的市场需求量日渐增多．某商店计划最多投入8万元购进A，B两种型号的电动自行车共30辆，其中每辆A型电动自行车的进货单价为2500元，每辆B型电动自行车的进货单价为3000元．若A型电动自行车每辆售价为2800元，B型电动自行车每辆售价为3500元．设该商店计划购进A型电动自行车m辆，两种型号的电动自行车全部销售后可获利润y元． （1）求y与m之间的函数关系式； （2）求商店能获得最大利润及此时的进货方案． 【答案】（1） 且为非负整数) （2） 购进A型电动自行车20辆，B型电动自行车10辆时可获得最大利润，最大利润为11000元. 【解析】 【分析】（1）先根据总投入不超过8万元列一元一次不等式，求出自变量的取值范围，再根据总利润等于两种型号电动自行车的利润和，整理得到与的函数关系式； （2）利用一次函数的增减性，结合的取值范围，求出最大利润和对应的进货方案． 【小问1详解】 解：设购进A型电动自行车辆，则购进B型电动自行车辆， 由题意，总投入不超过元， 可得， 化简得， 解得， 又，且为正整数， 因此，且为整数， 每辆A型电动自行车利润为(元)， 每辆B型电动自行车利润为(元)． 总利润. 因此与的函数关系式为（，且m为非负整数）． 【小问2详解】 解：由，得，因此随的增大而减小. 因为， 所以当时，取得最大值. 将代入得(元)， 此时(辆)， 答：商店获得最大利润为11000元，此时进货方案为购进A型电动自行车20辆，B型电动自行车10辆． 24. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论，设其中一根为t，则另一个根为2t，因此，所以有；我们记“”即时，方程为倍根方程．下面我们根据此结论来解决问题： （1）方程；方程这两个方程中，是倍根方程的是_______（填序号即可） （2）若是倍根方程，求的值； （3）关于的一元二次方程是倍根方程，且点在一次函数的图象上，求此倍根方程的表达式． 【答案】（1）； （2）； （3）此方程的表达式为． 【解析】 【分析】（）根据“倍根方程”的定义，找出方程①、②中K的值，由此即可得出结论； （）将方程整理成一般式，再根据“倍根方程”的定义，找出，整理后即可得出的值； （）根据方程是“倍根方程”即可得出之间的关系，再由一次函数图象上点的坐标特征即可得出之间的关系，进而求出的值即可； 本题考查了解二元一次方程组，根与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握“倍根方程”的定义是解题的关键． 【小问1详解】 解：在方程中，， 在方程中，， ∴是倍根方程的是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：整理得：， ∵是倍根方程， ∴， ∴； 【小问3详解】 ∵是倍根方程， ∴， 整理得：， ∵在一次函数的图象上， ∴， 联立， 解得：， ∴此方程的表达式为． 25. 已知点，中a，b满足，C为x轴正半轴上一点，且． （1）点A的坐标为______，点B的坐标为______； （2）求直线的函数解析式； （3）直线：交于点D，P为线段上一动点，过点P作轴，交直线于点Q，若，求点P的坐标； （4）点G为y轴负半轴上一点，于点H，若，求点G的坐标． 【答案】（1）， （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据平方和算术平方根的非负性求解即可； （2）过点作于点，过点作轴于点，过点作交的延长线于点，构造，以及矩形，然后求出点坐标，再由待定系数法求解函数解析式即可； （3）设交轴于点，根据等腰三角形三线合一可得纵坐标互为相反数，继而设参数坐标建立方程求解； （4）过点作轴于点，通过证明即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：过点作于点，过点作轴于点，过点作交的延长线于点，则 ∴ ∵，， ∴为等腰直角三角形，， ∴ ∴ ∵ ∴四边形为矩形， ∴， 设， 则 ∴， 解得 ∴， 设直线 代入，，则， 解得， ∴直线； 【小问3详解】 解：如图，设交轴于点， ∵，轴， ∴ 设，则 ∴，解得 ∴； 【小问4详解】 解：对于直线，当时，， 解得， ∴， 过点作轴于点，则， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴将代入，则， ∴ ∴ ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州立志中学2025～2026学年第二学期期中 八年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必在答题卡规定的位置填写考生的班级、姓名、座位号等信息． 2．第Ⅰ卷选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试卷上答题无效． 3．考试结束后，考生只交答题卡． 第Ⅰ卷 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 在函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 在平行四边形中，，则（ ） A. B. C. D. 3. 一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角相等 5. 某种药品经过两次降价，单价由100元降为81元．若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 用配方法解方程，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 8. 向如图所示的空容器内匀速注水，注满为止，则水面高度关于注水量的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 9. 设，是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2029 B. 2028 C. 2026 D. 2025 10. 如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知函数是正比例函数，则k的值为______． 12. 已知直线与直线平行，且经过点，则b的值为______． 13. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______． 14. 如图，在中，点，分别是边，的中点，点在线段的延长线上，且，若，，则的长是______． 15. 将抛物线向下平移3个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为______． 16. 如图，以矩形的顶点A建立平面直角坐标系，点B，D分别在x轴，y轴上，点C的坐标为，M，N分别是，上的动点，且，当取最小值时，点M的坐标为______． 三、解答题（共9题，共86分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知y与成正比例，且它的图象经过点． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）若点在此函数图象上，求点A的坐标． 19. 如图，在□ABCD中，M，N是AD，BC上的两点且DM＝BN，连接CM，AN．求证：CM＝AN． 20. 已知关于x的方程． （1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一根为4，求m的值． 21. 如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与y轴的交点为D，与x轴的交点为C． （1）求一次函数表达式； （2）求的面积． 22. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 23. 某市从2026年1月1日开始，禁止燃油助力车上路，于是电动自行车的市场需求量日渐增多．某商店计划最多投入8万元购进A，B两种型号的电动自行车共30辆，其中每辆A型电动自行车的进货单价为2500元，每辆B型电动自行车的进货单价为3000元．若A型电动自行车每辆售价为2800元，B型电动自行车每辆售价为3500元．设该商店计划购进A型电动自行车m辆，两种型号的电动自行车全部销售后可获利润y元． （1）求y与m之间的函数关系式； （2）求商店能获得最大利润及此时的进货方案． 24. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论，设其中一根为t，则另一个根为2t，因此，所以有；我们记“”即时，方程为倍根方程．下面我们根据此结论来解决问题： （1）方程；方程这两个方程中，是倍根方程的是_______（填序号即可） （2）若是倍根方程，求的值； （3）关于的一元二次方程是倍根方程，且点在一次函数的图象上，求此倍根方程的表达式． 25. 已知点，中a，b满足，C为x轴正半轴上一点，且． （1）点A的坐标为______，点B的坐标为______； （2）求直线的函数解析式； （3）直线：交于点D，P为线段上一动点，过点P作轴，交直线于点Q，若，求点P的坐标； （4）点G为y轴负半轴上一点，于点H，若，求点G的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $