22.2 函数的表示 第2课时 函数图象的分析 课件--2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十二章 一次函数 22.2 函数的表示 第2课时 函数图象的分析 目 录 1. 学习目标 4. 知识点 函数图像的分析 5. 课堂小结 2. 知识回顾 6. 当堂小练 CONTENTS 8. 拓展与延伸 7. 对接中考 3. 新课导入 1. 能根据函数图象分析出实际问题中变量的信息，发现变量间的变化规律. 2. 掌握分析实际问题中函数图象的方法，能结合图象解决对应情境下的具体问题. 学习目标 知识回顾 函数的图象： 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 用描点法画函数图象的一般步骤如下： 第一步，列表——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值； 第二步，描点——在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点； 第三步，连线——按照横坐标从小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来. 新课导入 下图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温 T 如何随时间 t 的变化而变化.你从图象中得到了哪些信息？ 思考 新课讲解 知识点 函数图像的分析 问题1 由图可以看出，气温T随时间t的变化而变化，对于时间t的每一个确定的值，气温T都有唯一确定的值与其对应.因此，气温T是时间 t 的函数，下图是这个函数的图象. 气温 T 与时间 t 是函数关系吗？ 新课讲解 问题2 问题3 这一天中凌晨4时气温最低（-3℃），14时气温最高(8℃). 这一天，何时气温最低，何时最高？ 你可以大致描述这一天的气温变化情况吗？ 从0时至4时气温呈下降状态（即温度随时间的增长而下降）， 从4时到14时气温呈上升状态，从14时至24时气温又呈下降状态. 新课讲解 问题4 我们可以从图象看出这一天中任一时刻的气温大约是多少. 例如：24时气温大约是2℃. 你还能得到哪些信息？ 观察图象的小技巧 观察图象时，与横轴平行的图象的实际意义取决于纵轴表示的量，若纵轴表示路程，则与横轴平行的图象表示停止运动；若纵轴表示速度，则与横轴平行的图象表示匀速运动. 新课讲解 分析函数图象，读取相关信息应抓住以下关键点： 1. 两轴：弄清楚横、纵坐标轴表示的变量的实际意义，一般地，横轴是自变量，纵轴是自变量的函数. 2. 特殊点： ①最高点和最低点：函数值的最大值、最小值; ②起点和终点：自变量取最小值和最大值时对应的点; ③拐点：函数图象上的拐点既是前一段函数的终点，又是后一段函数的起点，反映了函数图象在这一时刻开始发生变化. 新课讲解 4. 线段（曲线）的陡缓： 线段（曲线）相对较陡表示函数值随自变量的变化而变化得快； 线段（曲线）相对较缓表示函数值随自变量的变化而变化得慢. 3. 水平线：表示函数值不随自变量的变化而变化. 新课讲解 例 1. 如图1，李明家、食堂、图书馆在同一条直线上.李明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆查资料，然后回家. 图2反映了这个过程中，李明离家的距离y与时间x之间的对应关系. 李明家 食堂 图书馆 图1 图2 根据图象回答下列问题： (1)食堂离李明家多远？李明从家到食堂用了多长时间？ 解：(1)由纵坐标看出，食堂离李明家0.6 km；由横坐标看出，李明从家到食堂用了8 min. 新课讲解 例 1. 如图1，李明家、食堂、图书馆在同一条直线上.李明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆查资料，然后回家. 图2反映了这个过程中，李明离家的距离y与时间x之间的对应关系. 根据图象回答下列问题： (2)李明吃早餐用了多长时间？ (3)食堂离图书馆多远？李明从食堂到图书馆用了多长时间？ 解：(2)由横坐标看出，25 － 8=17，李明吃早餐用了17 mim. (3)由纵坐标看出，0.8 － 0.6=0.2，食堂离图书馆0.2 km； 由横坐标看出，28 － 25=3，李明从食堂到图书馆用了3 min. 新课讲解 例 1. 如图1，李明家、食堂、图书馆在同一条直线上.李明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆查资料，然后回家. 图2反映了这个过程中，李明离家的距离y与时间x之间的对应关系. 根据图象回答下列问题： (4)李明查资料用了多长时间？ (5)图书馆离李明家多远？李明从图书馆回家的平均速度是多少？ 解：(4)由横坐标看出，58－28=30，李明查资料用了30 min. (5)由纵坐标看出，图书馆离李明家0.8 km； 由横坐标看出，68－58=10， 李明从图书馆回家用了10 min， 由此算出李明从图书馆回家的平均速度是0.08 km/min. 新课讲解 练一练 1. 已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上．下面的图象反映的过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆．图中用x表示时间，y表示 该同学离家的距离． 结合图象给出下列结论： ①体育场离该同学家2.5 km； ②该同学在体育场锻炼了15 min； ③该同学跑步的平均速度是步行平均速度的2 倍； ④若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5 倍，则a 的值是3.75. 其中正确结论的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 C 新课讲解 练一练 2. 小明同学骑自行车去郊外春游，骑行1h后，自行车出现故障，维修好后继续骑行，他离家的距离y(km)与所用的时间x(h)之间关系的图象如图所示.根据图象回答下列问题： (1)小明到达离家最远的地方用了多长时间？此时离家多远？ (2) 小明出发 2.5 h 后离家多远？ 解：(1) 由图象可知，小明到达离家最远的地方用了 3 h，此时离家 30 km. (2) 由图可知，当 x=2 时，y=15， 当 2<x≤3 时，小明的骑行速度为 = 15 (km/h)， 所以当x=2.5时，y=15+15×0.5=22.5，即小明出发 2.5 h 后离家 22.5 km. 新课讲解 练一练 3. 小明同学骑自行车去郊外春游，骑行1h后，自行车出现故障，维修好后继续骑行，他离家的距离y(km)与所用的时间x(h)之间关系的图象如图所示.根据图象回答下列问题： (3) 小明出发多长时间后离家 12 km？ 解： (3) 小明离家12 km时，对应两个时间，第1次为出发时， 第2次为返回时，需分两种情况： ①小明出发时离家 12 km，AB 段表示的速度为=15 (km/h)， = 0.8 (h)，即小明出发 0.8 h 后离家 12 km. ②小明返回时离家 12 km， EF 段表示的速度为 = 15 (km/h)， 4 + = 5.2 (h)，即小明出发 5.2 h 后离家 12 km. 综上所述，小明出发 0.8 h 或 5.2 h 后离家 12 km. 新课讲解 探究 构建合适的问题情境，使其中的变量之间的函数关系可以分别用图 1和图 2中的图象来表示. s/m 900 O 10 20 30 40 t/min 图 1 s/m 900 O 10 20 30 40 45 t/min 图 2 小明从家出发走路20 min到达离家900 m的体育馆后，直接原路返回，又用了20 min返回到家，则离家的距离s和时间t的函数关系可用图 1来表示. 小明从家出发走路20 min到达离家900 m的体育馆后，在体育馆休息了10 min，原路又用了15 min返回到家，则离家的距离s和时间t的函数关系可用图 2来表示. 课堂小结 函数图象 的分析 (1)两轴：弄清楚横、纵坐标轴表示的变量的实际意义，一般地，横轴是自变量，纵轴是自变量的函数. (2)特殊点： ①最高点和最低点：函数值的最大值、最小值； ②起点和终点：自变量取最小值和最大值时对应的点. ③拐点：函数图象上的拐点既是前一段函数的终点，又是后一段函数的起点，反映了函数图象在这一时刻开始发生变化. (3)水平线：表示函数值不随自变量的变化而变化. (4)线段（曲线）的陡缓：线段（曲线）相对较陡表示函数值随自变量的变化而变化得快，线段（曲线）相对较缓表示函数值随自变量的变化而变化得慢. 当堂小练 1. 小明向某种空水壶内匀速注水，壶内水的深度h(cm)与注水时间t(s)的函数关系如图所示，选项中是各种水壶的平面图，则小明使用的水壶是( ) 解：根据题中函数图象可知，随着注水时间的增加，水的深度增加速度越来越快，故水壶应该是下宽上窄型，只有A选项符合. A 当堂小练 2. 过山车是一种深受年轻游客喜爱的娱乐项目，如图是佳佳某次乘坐过山车在一分钟之内距离地面的高度h(米)与时间t(秒)之间的函数图象，由图象可知，在这一分钟内过山车的最大高度与最小高度的差为( ) A.98米 B.93米 C.83米 D.5米 解：由题中函数图象可知，最大高度为98米，最低高度为5米，则在这一分钟内过山车的最大高度与最小高度的差为98－5=93（米）. B 当堂小练 3．均匀地向一个容器注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示(图中OABC为一折线)，这个容器的形状可以是(　　) D 当堂小练 4. 园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间.已知绿化面积S与工作时间 t 的函数关系如图所示. (1)休息前，园林队工作了多长时间？绿化面积为多少？ (2)园林队中间休息了多长时间？ (3)休息后，园林队每小时完成的绿化面积为多少？ 解：(1)休息前，园林队工作了1 h，绿化面积为60 m2. (2)园林队中间休息了1 h. O 1 2 4 160 60 S/m2 t/h (3)(160-60)÷(4-2)=50 (m2/h). 所以休息后，园林队每小时完成的绿化面积为50 m2. 当堂小练 5. 如图，这是某一天北京与上海的气温随时间变化的图象. (1)这一天内，北京与上海何时气温相同？ (2)这一天内，上海在哪段时间比北京气温高？在哪段时间比北京气温低？ (3)你还能从函数图象中得到哪些信息？ 解：(1)这一天内，北京与上海在7：00和12：00气温相同. (2)这一天内，上海的气温在0：00~ 7：00和12：00~24:00比北京的气温高，在7：00~12：00比北京的气温低. (3)北京和上海的气温在14：00后都逐渐降低.（答案不唯一） 当堂小练 6．荡秋千时，秋千离地面的高度h(m)与摆动时间t(s)之间的关系如图所示，下列说法正确的是(　　) A．变量h不是关于t的函数 B．当t＝0.7 s时，h＝0.5 m，表示此时秋千 离地面的高度是0.5 m C．秋千摆动第一个来回需要1.4 s D．秋千静止时离地面的高度是1 m 解：A.对于每一个摆动时间t，h都有唯一确定的值与其对应，故变量h是关于t的函数，故此选项不合题意； B.当t＝0.7 s时，h＝0.5 m，表示此时秋千离地面的高度是0.5 m，故此选项符合题意； C.秋千摆动第一个来回需要2.8 s，故此选项不符合题意； D.秋千静止时离地面的高度是0.5 m，故此选项不符合题意． B 当堂小练 7. 小王前往距家2 000 m的公司参会，先以v0 (m/min)的速度步行一段时间后，再改骑共享单车直达会议地点，到达时距会议开始还有14 min，小王距家的路程s(单位：m)与距家的时间t(单位：min)之间的函数图象如图所示.若小王全程以v0(m/min)的速度步行，则他到达时距会议开始还有______min. 5 当堂小练 8. 节约用水是我们的美德，水龙头关闭不严会造成滴水．用可以显示水量的容器做如图①的试验，并根据试验数据绘制出如图②的容器内的水量W(L)与滴水时间t(h)的函数图象．结合图象解答下列各题． (1)容器内原有水多少升？ (2)上午有4小时水龙头关闭不严，请你计算容器内的水量. 解：(1) 根据题图可知，当t＝0时，W＝0.3，即容器内原有水0.3 L. (2) (0.9－0.3)÷1.5＝0.4(L/h)， 0.4×4＝1.6(L)， 1.6＋0.3＝1.9(L)． 故容器内的水量为1.9 L. 对接中考 1. 甲、乙两人在一次100 米赛跑中，路程 s (单位：米)与时间 t (单位：秒)的函数关系如图所示，_____ (填“甲”或“乙”)先到终点. 甲 对接中考 2. 在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量y(W·h)与骑行里程x( km)之间的关系如图所示. 当电池剩余能量小于100 W·h时，摩托车将自动报警. 根据图象，下列结论正确的是( ) A. 电池能量最多可充400 W·h B. 摩托车每行驶10 km 消耗能量300 W·h C. 一次性充满电后，摩托车最多行驶25 km D. 摩托车充满电后，行驶18 km将自动报警 解：由图象可得，当x＝0 时，y＝500，所以电池能量最多可充500 W·h，故A错误； 500÷25＝20( W·h)， 20×10＝200(W·h)所以摩托车每行驶10 km 消耗能量200 W·h，故B 错误； 由图象可得，当x＝25 时，y＝0，所以一次性充满电后，摩托车最多行驶25 km，故C 正确； (500－100) ÷20＝20(km)，所以摩托车充满电后，行驶20 km 将自动报警，故D 错误. C 对接中考 3. 已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家0.6 km，文化广场离家1.5 km．张华从家出发，先匀速骑行了4 min到画社，在画社停留了15 min，之后匀速骑行了6 min到文化广场，在文化广场停留6 min后，再匀速步行了20 min返回家．如图，x表示时间，y表示离家的距离，图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系.请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 张华离开家的时间/min 1 4 13 30 张华离家的距离/km 0.6 ②张华从文化广场返回家的速度为_______km/min； 0.15 0.6 1.5 0.075 对接中考 3. 已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家0.6 km，文化广场离家1.5 km．张华从家出发，先匀速骑行了4 min到画社，在画社停留了15 min，之后匀速骑行了6 min到文化广场，在文化广场停留6 min后，再匀速步行了20 min返回家．如图，x表示时间，y表示离家的距离，图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系.请根据相关信息，回答下列问题： ③当0≤ x ≤25时，求张华离家的距离y 关于时间x的函数解析式； 解：张华从家到画社的速度为＝0.15(km/min)， 张华从画社到文化广场的速度为＝0.15(km/min)， 当0 ≤ x ≤ 4 时，y＝0.15x；当4<x ≤ 19 时，y＝0.6； 当19<x ≤ 25 时，y＝0.15(x－19)＋0.6＝0.15x－2.25. 所以当0 ≤ x ≤ 25 时，y＝ 对接中考 3. 已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家0.6 km，文化广场离家1.5 km．张华从家出发，先匀速骑行了4 min到画社，在画社停留了15 min，之后匀速骑行了6 min到文化广场，在文化广场停留6 min后，再匀速步行了20 min返回家．如图，x表示时间，y表示离家的距离，图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系.请根据相关信息，回答下列问题： (2)当张华离开家8 min时，他的爸爸也从家出发匀速步行了20 min直接到达文化广场，那么从画社到文化广场的途中，两人相遇时离家的距离是多少？ 解：爸爸的速为＝0.075(km/min). 设张华出发x min 时和爸爸相遇. 根据题意， 得0.15x－2.25＝0.075(x－8)，解得 x＝22. 0.15×22－2.25＝1.05. 因此，从画社到文化广场的途中，两人相遇时离家的距离是1.05 km. 拓展与延伸 1. 某地举行龙舟比赛，赛程为900 m．甲、乙两队比赛时，路程y(m)与时间x(min)的函数关系如图所示． (1)最先到达终点的是____队，比另一队领先____min到达； (2)求图中点C的坐标，并解释它的实际意义； 乙 1 解：甲的速度为900÷6＝150(m/min)， 乙队出发4 min后的速度为(900－500)÷(5－4)＝400(m/min)， 设出发a min后乙追上甲， 根据题意，得150a＝500＋400(a－4)，解得a＝4.4， ∵150×4.4＝660(m)， ∴点C的坐标为(4.4，660)，它的实际意义为当时间为4.4 min时乙追上甲，此时路程为660 m. 1. 某地举行龙舟比赛，赛程为900 m．甲、乙两队比赛时，路程y(m)与时间x(min)的函数关系如图所示． (3)假设乙队在第一次加速后，始终保持这个速度继续前进，则甲、乙两队谁早到达终点？早几分钟？ 拓展与延伸 解：乙队在第一次加速后的速度为(500－200)÷(4－2)＝150(m/min)，若始终保持这个速度继续前进，则余下的路程需要的时间为(900－200)÷150＝(min)， ∴乙队到达终点总共需要的时间为2＋ ＝ (min)， ∵ min>6 min，且－6＝ (min)，∴甲队先到达终点，且甲早 min到达． 拓展与延伸 2．如图①，在长方形ABCD中，AB＝8，动点P从点A出发，以每秒m个单位长度的速度沿A→D→C→B的路线匀速运动，直至运动到点B停止. 图②是点P出发t s后，△ABP的面积S随时间t(s)变化的图象.根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)a＝________，b＝________； 5 48 解：易得m＝4，AD＝12，AP＝4t，DQ＝nt. ①当△ABP≌△DPQ时，AP＝DQ，∴4t＝nt，∴n＝4； ②当△ABP≌△DQP时，AP＝DP＝6，AB＝DQ＝8， ∴4t＝6，nt＝8，∴t＝，n＝. 综上，n的值为4或. 拓展与延伸 2．如图①，在长方形ABCD中，AB＝8，动点P从点A出发，以每秒m个单位长度的速度沿A→D→C→B的路线匀速运动，直至运动到点B停止. 图②是点P出发t s后，△ABP的面积S随时间t(s)变化的图象.根据图中提供的信息，回答下列问题： (3)当动点P从点A出发时，另一动点H同时从点D出发以每秒 5 个单位长度的速度沿边DA匀速运动，直至运动到点A停止，则在动点P的整个运动过程中，当t为何值时，△CPH的面积为20？ 解：当点H到点A之前：∵S△CPH＝×8PH＝20，∴PH＝5. ①点P，H相遇前，12－4t－5t＝5，解得t＝； ②点P，H相遇后，4t＋5t－12＝5，解得t＝. 当点H到点A之后： ①点P在CD上，×12×(12＋8－4t)＝20，解得t＝ ； ②点P在CB上， ×8×(4t－12－8)＝20，解得t＝ . 综上，t＝ 或或或. $