22.2 函数的表示 第1课时 函数的图象及画法课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十二章 一次函数 22.2 函数的表示 第1课时 函数的图象及画法 目 录 1. 学习目标 4. 知识点 函数的图像及画法 5. 课堂小结 2. 知识回顾 6. 当堂小练 CONTENTS 8. 拓展与延伸 7. 对接中考 3. 新课导入 1. 掌握描点法画函数图象的步骤（列表、描点、连线），能运用该方法画出简单函数的图象. 2. 能通过函数图象，直观观察函数随自变量变化的趋势. 学习目标 知识回顾 函数的定义 判断一个关系是不是函数关系的方法 ①看是否在一个变化过程中； ②看是否存在两个变量； ③看每当自变量确定一个值时，另一个变量是否都有唯一确定的值与其对应. 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数（function）. 像 y=500.1x 这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系是表示函数的常用方法，这种式子叫作函数的解析式 函数的解析式 新课导入 生活中有很多关系难以通过列解析式或列表格的方法表示，通常用图来直观地反映，帮助人们快速获取想要的信息，如心电图测试结果、股票走势、天气的变化等. 新课讲解 知识点 函数的图像及画法 问题1 请写出正方形的面积S与边长x的函数解析式. S=x2. 自变量 x 的取值范围是多少？ 根据问题的实际意义，该自变量 x 的取值范围是 x>0. 如果也能画图表示，那么会使函数关系更直观，怎样确定图象的点？ 选取合适的值，确定点的坐标. 问题2 问题3 新课讲解 列表——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值. S=x2. x ... 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 ... S ... 0.25 1 ... 2.25 4 6.25 9 12.25 16 描点——在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点. (0.5,0.25) (1,1) (1.5,2.25) (2,4) (2.5,6.25) (3,9) (3.5,12.25) (4,16) 第一步 第二步 新课讲解 连线——按照横坐标从小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来. (0.5,0.25) (1,1) (1.5,2.25) (2,4) (2.5,6.25) (3,9) (3.5,12.25) (4,16) 用空心圆圈表示不在曲线的点 用实心圆点表示在曲线的点 第三步 所得曲线上每一个点都代表x的值与S的值的一种对应. 用平滑曲线连接画出的点 图中的曲线即函数 S=x²（x>0）的图象. 新课讲解 函数 S = x2 表示的所有的点都要在曲线上描出来吗？ 表示x与S的对应关系的点有无数个.但是实际上我们只能描出其中有限个点，同时想象出其他点的位置. 思考 新课讲解 1. 函数图象上的任意一点的坐标 (x, y) 中的 x，y 均满足函数解析式；满足函数解析式的任意一对 x，y 的值，所对应的点一定在这个函数的图象上. 2. 函数的图象可以是直线、射线、线段，也可以是散点、曲线等. 注意 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 函数的图象： 新课讲解 例 1. 在下列式子中，y是x的函数. 画出这些函数的图象，通过图象观察函数与自变量的关系. (1) y=x+0.5； (2) y= (x>0). 解：(1)从式子 y=x+0.5 可以看出，x 取任意实数时这个式子都有意义，所以 x 的取值范围是全体实数. 从 x 的取值范围中选取一些数值，算出 y 的对应值，列表. x … -2 -1 0 1 2 … y … -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 … 根据表中数值描点(x，y)，并用平滑曲线连接这些点. 从函数y=x+0.5的图象可以看出，直线从左向右上升，即当x由小变大时，y随之增大. y=x+0.5 新课讲解 例 1. 在下列式子中，y是x的函数. 画出这些函数的图象，通过图象观察函数与自变量的关系. (1) y=x+0.5； (2) y= (x>0). 解：(2) y = (x > 0) 中x的取值范围是全体正实数，从x的取值范围中选取一些数值，算出y的对应值，列表. x … 0.5 1 2 3 4 5 6 … y … 6 3 1.5 1 0.75 0.6 0.5 … 根据表中的数值在平面直角坐标系中描点(x，y)，并用平滑曲线连接这些点. 从函数y= (x>0) 的图象可以看出，曲线从左向右下降，即当x由小变大时，y随之减小. 新课讲解 用描点法画函数图象的一般步骤如下： 第一步，列表——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值； 第二步，描点——在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点； 第三步，连线——按照横坐标从小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来. 归纳 1. 画函数图象时注意自变量的取值范围，能取到时画实心圆点，不能取到时画空心圆圈. 2. 列表时，注意自变量的取值不应使函数值太大或太小. 注意 新课讲解 练一练 1. 下列关系式是不是函数关系式，如果是请画出函数图象. (1) ； (2) (x > 0). 分析：(1)，(2)关系式中，对于x 的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，说明上述两个关系式都是函数关系式. 解：(1) 列表、描点、连线： x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …… y … -2 -1 0 1 2 3 4 …… O 1 2 3 4 1 4 8 -4 -3 -2 -1 x y 新课讲解 练一练 1. 下列关系式是不是函数关系式，如果是请画出函数图象. (1) ； (2) (x > 0). 分析：(1)，(2)关系式中，对于x 的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，说明上述两个关系式都是函数关系式. 解：(2) 列表、描点、连线： x …… 1 2 3 4 5 6 …… y …… 12 6 4 3 2.4 2 …… O 1 2 3 4 2 8 16 x y 新课讲解 练一练 2. 判断点 A(-2.5, -4)，B(1, 3)，C(2.5, 4) 是否在函数 y = 2x-1 的图象上. 解：将 x = -2.5 代入 y = 2x -1，得 y =-6 ≠ -4， ∴ 点 A 不在该函数图象上. 将 x = 1 代入 y = 2x -1，得 y = 1 ≠ 3， ∴ 点 B 不在该函数图象上. 将 x = 2.5 代入 y = 2x -1，得 y = 4， ∴ 点 C 在该函数图象上. 判断点是否在函数图象上的方法 要判断点P (x，y)是否在某一函数的图象上，只需把 x 的值代入该函数的解析式，如果所求得的函数值与y的值相等，那么这个点就在该函数的图象上，否则就不在该函数的图象上. 课堂小结 函数图象 定义 画法 如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. ①列表；②描点；③连线. 当堂小练 1. 苹果熟了，从树上落下来．下面可以大致刻画出苹果下落过程中（即落地前）的速度变化情况的图象是(　　) C 当堂小练 2. 下列图象中，表示y是x的函数的有(　　) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 解：在前两幅图中，每取一个x, 都有固定的一个y 值与之对应，故y 是x 的函数；在后两幅图中，存在x 取一个值的时候，有两个y 值与之对应，故y 不是x 的函数． B 根据图象判断是不是函数时，先过x轴上任意一点作x轴的垂线，再将该垂线进行左右平移，然后观察该垂线与图象是不只有一个交点，只有当该垂线与图象只有一个交点时，该图象才表示函数. 方法点拨 当堂小练 3. 已知点 P(a，5) 在函数y=3x-4的图象上，则a的值为_______. 解：因为点P(a，5)在函数y=3x-4的图象上， 所以 5=3a-4，解得a=3. 3 当堂小练 4. (1) 画出函数 y = x² + 1 的图象. (2) 观察函数 y = x² + 1 的图象，当 x < 0 时，y 随 x 的增大而增大还是 y 随 x 的增大而减小？当 x > 0 时呢？ 解：(1)列表： 描点、连线，所画图象如图所示. (2)从图象中观察可知： 当x<0时，y随x的增大而减小； 当x>0时，y随x的增大而增大. 当堂小练 二 5. 函数y＝x2＋的图象上的点P(x，y)一定在第______象限． 当堂小练 6. 下列各点在函数y=3x-1的图象上的是（ ） A.(0,1) B.(2,5) C.(-3,7) D.(1,1) 解：判断点是否在函数图象上，只需将横坐标代入函数解析式，计算出函数值，如果函数值与纵坐标相等，则点在函数图象上，否则不在函数图象上. 当x=0时，y=3×0-1=-1≠1，故A选项错误： 当x=2时，y=3×2-1=5，故B选项正确； 当x=-3时，y=3×(-3)-1=-10≠7，故C选项错误； 当x=1时，y=3×1-1=2≠1，故D选项错误. B 当堂小练 7. 如果规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[2．3]＝2，那么函数y＝x－[x]的部分图象为(　　) A 当堂小练 解：(1) 填表如下： x … －6 －4 －2 0 2 4 … y …             … 6 5 4 3 2 1 (2) 所画图象如图． (2)描点、连线、画图： (3)判断点(－2，2)，(－1，4)，(3，)是否在所画的图象上． 8. 画函数y＝－x＋3的图象并解答问题： (1)列表： (3) 由图象可知点(－2，2)，(－1，4)不在图象上，将x＝3代入y＝－x＋3，得y＝，故点(3，)在图象上． 对接中考 函数y＝kx＋3的图象经过点(2，5)，则k＝________. 1 拓展与延伸 x … －3 －2 －1 0 1 … y … m 1 n 1 p … 0 2 0 1. 探究函数y＝－|x+1|+2的图象和性质，回答下列问题． (1)列表：填空：m＝______，n＝______，p＝______． 解：如图所示． (2)描点、连线：在如图的平面直角坐标系中描出以表中各对对应值为坐标的点，依次连接各点，画出函数y＝－|x+1|+2的图象． 全体实数 (3)观察图象，回答下列问题： ①自变量的取值范围是________； ②图象最高点的坐标是________； ③函数y的取值范围是________； ④当x＞－1时，y随x的增大而________． (－1，2)　 y≤2　 减小 拓展与延伸 2. 如图①，在长方形ABCD中，AB＝10，AD＝6．点Q在AD上，且DQ＝2，连接QB，点P在CD上，连接PB，PQ．若点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿CD方向运动(不超过点D)，设点P的运动时间为t s． (1)△BPQ的面积S与t之间的函数关系式为_________； (2)t的取值范围为________； (3)当t＝3时，△BPQ的面积为________； S＝30－4t 0≤t≤5 18 解：(1)由题意得AB＝CD＝10，AD＝BC＝6，∠D＝∠C＝90°. ∵CP＝2t，∴DP＝DC－CP＝10－2t. ∵DQ＝2，∴S＝(DQ＋BC)·CD－DQ·DP－PC·BC ＝×(2＋6)×10－×2×(10－2t)－×2t×6＝30－4t. (3) ∵S＝30－4t，∴当t＝3时，S＝30－4t＝18，即△BPQ的面积为18. 拓展与延伸 (4)请在图②所示的平面直角坐标系中画出此函数的图象，结合图象可得△BPQ面积的最大值为________． 解：所画图象如图． 30 $