22.2 函数的表示 第3课时 函数的表示方法课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十二章 一次函数 22.2 函数的表示 第3课时 函数的表示方法 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 解析式法 7. 课堂小结 2. 知识回顾 8. 当堂小练 CONTENTS 10. 拓展与延伸 9. 对接中考 3. 新课导入 5. 知识点2 列表法 6. 知识点3 图象法 1. 明确函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法）. 2. 能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系. 学习目标 知识回顾 函数的图象： 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 用描点法画函数图象的一般步骤如下： 第一步，列表——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值； 第二步，描点——在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点； 第三步，连线——按照横坐标从小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来. 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数（function）. 函数的定义： 新课导入 动手操作 在计算器上按照下面的程序进行操作： 输入x（任意一个数） 按键 × 2 = 显示y（计算结果） x 1 3 －4 0 101 y 7 11 －3 5 207 显示的数y是输入的数x的函数吗？为什么? 填表： + 5 如果是，写出它的解析式. y = 2x+5 新课讲解 知识点1 解析式法 解析式法： 用数学式子表示函数关系的方法叫做解析式法，其中的等式叫做函数解析式. 我们之前是怎么求函数解析式的？ 新课讲解 例 1. 已知矩形 ABCD 的周长为 20，AB 的长为 y，BC 的长为x．写出 y 关于 x 的函数解析式(x为自变量). 解：由题意，得 2x+2y=20， 即 y=10-x， ∵ x，y 为矩形的边长， ∴ x>0，y>0， ∴ 0<x<10， ∴ y 关于 x 的函数解析式为 y=10-x(0<x<10). 新课讲解 优点 能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的对应关系. 很难直观地看出函数的变化规律，而且有些函数不能用解析式法表示出来，如气温与时间的函数关系. 缺点 解析式法有什么优缺点呢？ 新课讲解 知识点2 列表法 列表法： 通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法. 新课讲解 例 2. 式子y=2x+3，对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一的对应值，即 y 是 x 的函数.从 x 的取值范围中选取一些数值，算出 y 的对应值，列表. x …… -2 -1 0 1 2 …… y …… -1 1 3 5 7 …… 解：从式子 y=2x+3 可以看出，x 取任意实数时这个式子都有意义，所以 x 的取值范围是全体实数. 从 x 的取值范围中选取一些数值，算出 y 的对应值，列表： 新课讲解 列表法有什么优/缺点呢？ 优点：一目了然，对表格中已有自变量的每一个值，可直接找到与它对应的函数值. 缺点：列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律. 新课讲解 知识点3 图象法 图象法： 用图象表示两个变量间的函数关系的方法叫做图象法. 新课讲解 例 3. 根据以上例题列出的表格，画出相应的函数图象. y=2x+3 O 1 2 3 4 1 4 -3 -2 -1 x …… -2 -1 0 1 2 …… y …… -1 1 3 5 7 …… 7 x y 从函数图象可以看出，直线从左向右上升，即当x由小变大时，y=2x+3随之增大. 新课讲解 优点：直观、形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质. 图象法有什么优缺点呢？ 缺点：从自变量的值常常难以找到对应函数的准确值. 新课讲解 1. 根据实际问题列函数解析式的方法类似于列方程解应用题，只要找出自变量与函数之间存在的等量关系，列出等式即可.但要整理成用含自变量的代数式表示函数的形式. 2. 函数的三种表示方法有时可以相互转化，应用时要结合具体情况灵活选用. 3. 并不是所有的函数都能同时用函数的三种表示方法表示. 归纳 新课讲解 例 4. 一水箱中有水500 L，现在往外放水，每分钟放水50 L，请用三种不同的方法表示水箱中剩余水量y(单位：L)与放水时间t(单位：min)之间的函数关系. 解：(1)解析法：解析式为y＝500－50t(0 ≤ t ≤ 10). (2)列表法：表格如下. t/min 0 1 2 3 4 ⋯ 7 8 9 10 y/L 500 450 400 350 300 ⋯ 150 100 50  0 (3)图象法：图象如图所示. 在实际问题中要注意自变量的取值范围，本题中y不能为负，所以图象是一条线段 新课讲解 例 5. 一个水库的水位在最近5 h内持续上涨.表中记录了这5 h内6个时间点的水位高度，其中t表示时间，y表示水位高度. t/h 0 1 2 3 4 5 y/m 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5 (1) 在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，这些点是否在一条直线上？由此你能发现水位变化有什么规律吗？ 解：(1)如图，描出表中数据对应的点，可以看出，这6个点在一条直线上. 再结合表中的数据，可以发现每小时水位上升0.3 m. 由此猜想，如果画出这5 h内其他时刻（如t=2.5 h等）及其水位高度所对应的点，它们可能也在这条直线上，即在这个时间段中水位可能是始终以同一速度均匀上升的. t 新课讲解 例 5. 一个水库的水位在最近5 h内持续上涨.表中记录了这5 h内6个时间点的水位高度，其中t表示时间，y表示水位高度. t/h 0 1 2 3 4 5 y/m 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5 (2) 水位高度y是不是时间t的函数？如果是， 写出一个符合表中数据的函数解析式，并画出这个函数的图象．这个函数能表示水位的变化规律吗？ 解：(2)由于水位在最近5 h内持续上涨，对于时间t的每一个确定的值，水位高度y都有唯一的值与其对应，所以y是t的函数.开始时水位高度为3m，以后每小时水位上升0.3 m. 函数y=0.3t+3(0≤t≤5)是符合表中数据的一个函数，它表示经过t h水位高度y为(0.3t+3)m.其图象是图中点A(0，3)和点B(5，4.5)之间的线段AB. 如果在这5 h内，水位一直匀速上升，即升速为0.3 m/h，那么函数y=0.3t+3(0≤t≤5)就精确地表示了这种变化规律.即使在这5 h内，水位的升速有些变化，而由于每小时水位上升0.3 m是确定的，所以这个函数也可以近似地表示水位的变化规律. A B t 新课讲解 例 5. 一个水库的水位在最近5 h内持续上涨.表中记录了这5 h内6个时间点的水位高度，其中t表示时间，y表示水位高度. t/h 0 1 2 3 4 5 y/m 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5 (3) 如果这种上涨规律还会持续 2h，那么 2h 后水位高度将为多少米？ A B t 解：(3)如果水位的变化规律不变，则可利用上述函数预测，再过2 h，即t=5+2=7(h)时，水位高度y=0.3×7+3=5.1(m). 把图中的函数图象(线段AB)向右延伸到t=7所对应的位置，如图，从它也能看出这时的水位高度约为5.1 m. 5.1 新课讲解 练一练 1. 一辆汽车以60 km/h的速度匀速行驶，试用不同的方法表示汽车行驶距离s(km)与行驶时间t(h)之间的函数关系. 解：(1)解析法：s=60t (t≥0). (2)列表法： (3)图象法：如图所示. 新课讲解 练一练 6. 一辆汽车以60 km/h的速度匀速行驶，试用不同的方法表示汽车行驶距离s(单位：km)与行驶时间t(单位：h)之间的函数关系. 解：(1)解析法：解析式为s＝60t(t≥0)． t/h 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 … s/km 0 30 60 90 120 150 180 … (3)图象法：如图所示． (2)列表法：表格 如下． 课堂小结 函数的 三种表示方法 解析法 用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系的方法. 用图象表示两个变量间的函数关系的方法. 通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法. 图象法 列表法 当堂小练 1. 小亮因感冒发烧住院治疗，护士为了较直观地了解小亮这天24小时的体温和时间的关系，应该选择的比较好的表示方法是( ) A. 列表法 B. 图象法 C. 解析式法 D. 以上三种方法均可 B 当堂小练 2. 用列表法与解析法表示n边形的内角和m（单位：度）关于边数n的函数. 解：列表法： 解析法：m=(n-2)×180 (n≥3，且n为正整数). 当堂小练 3. 用解析法与图象法表示等边三角形的周长C关于边长a的函数. 解：解析法：C=3a (a>0). 图象法：如图所示. 当堂小练 4. 一条小船沿直线向码头匀速前进. 在0 min，2 min，4 min，6 min时，测得小船与码头的距离分别为200 m，150 m，100 m，50 m. 小船与码头的距离s（单位：m）是时间t（单位：min）的函数吗？如果是，写出函数解析式，画出函数图象，并计算小船到达码头用了多长时间. 解：小船与码头的距离s是时间t的函数， 由题意知，小船的速度是25 m/min， 则s=200-25t (0≤t≤8). 图象如图所示. 当s=0时，200-25t=0， 解这个方程，得t=8. 故小船到达码头用了8 min. 当堂小练 5. 一名老师带领x名学生到博物馆参观，已知成人票每张30元，学生票每张10元．设门票的总费用为y元，则y关于x的函数解析式为( ) A．y＝10x＋30 B．y＝40x C．y＝10＋30x D．y＝20x A 当堂小练 6. 某水库的水位在5 h内持续上涨，初始的水位高度为6 m，水位以每小时0.3 m的速度匀速上升，则水库的水位高度y(m)关于时间x(h)的函数解析式为 (0≤x≤5). y＝6＋0.3x 当堂小练 7. 在烧水时，水温达到100℃ 就会沸腾(在标准大气压下)，下表是某同学做“观察水的沸腾”试验时记录的数据： 时间t/min 0 2 4 6 8 10 12 14 ⋯ 温度T/℃ 30 44 58 72 86 100 100 100 ⋯ (1)水的温度是如何随着时间的变化而变化的？ 解：水的温度每2 min增加14 ℃，当水的温度到100 ℃时不再变化． (2)用解析式和图象表示水温T与时间t的对应关系. (3)为了节约能源，你认为应在什么时间停止烧水？ 解：为了节约能源，应在10 min后停止烧水． 解：解析式为T＝ 函数图象如图所示． 对接中考 1. 如图，一个透明圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水.下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是(　　) 解：下层圆柱底面半径大，水面上升快，上层圆柱底面半径稍小，水面上升稍慢，再往上则水面上升更慢，所以对应图象是第一段比较陡，第二段比第一段缓，第三段比第二段缓． D 对接中考 2．某书定价8元/本，如果一次购买10本以上，超过10本的部分打八折，那么付款金额y(元)与购书数量x(本)之间的函数关系如何，同学们对此展开了讨论： ①小明说：y与x之间的函数关系为y＝6.4x＋16； ②小刚说：y与x之间的函数关系为y＝8x； ③小聪说：y与x之间的函数关系在0≤x≤10时，y＝8x；在x>10时，y＝6.4x＋16； ④小斌说：我认为用下面的列表法也能表示它们之间的关系； 购书数量x/本 1 2 3 4 … 9 10 11 12 … 付款金额y/元 8 16 24 32 … 72 80 86.4 92.8 … 其中，表示函数关系正确的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ⑤小志补充说：如图所示的图象也能表示它们之间的关系. C 拓展与延伸 1. 已知动点P以2 cm/s的速度沿如图①所示的边框以B－C－D－E－F－A的路径运动，记△ABP的面积为S(cm2)，S(cm2)与运动时间t(s)的关系如图②所示，若AB＝6 cm，请回答下列问题： (1)图①中BC＝____cm，CD＝____cm，DE＝____cm； 8 4 6 (2)求图②中m，n的值； (3)分别求出当点P在线段BC和DE上运动时S与t的关系式． 解：m＝×AB×BC＝×6×8＝24， n＝(BC＋CD＋DE＋EF＋FA)÷2＝(BC＋DE＋AB＋AF)÷2 ＝(8＋6＋6＋8＋6)÷2＝17. 解：由题图②知，点P在BC上运动时，0<t≤4，BP＝2t cm， ∴S＝×6×2t＝6t，即S＝6t(0<t≤4)； 由题图②知，点P在DE上运动时，6≤t≤9，易知△ABP中AB边上的高为(2t－4)cm， ∴S＝×6×(2t－4)＝6t－12，即S＝6t－12(6≤t≤9)． 拓展与延伸 2．如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝2，点P为直角边BC，CA上一动点，现从点B出发，沿着B→C→A的方向运动至点A处停止．设点P运动的路程为x，△APB的面积为y．(点P不与点B，A重合) (1)求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； 解：当0＜x≤4时，点P在BC上运动，∴BP＝x. ∵∠ACB＝90°，∴y＝AC·BP＝x(0＜x≤4)； 当4＜x＜6时，点P在AC上运动，∴AP＝4＋2－x＝6－x. ∵∠ACB＝90°，∴y＝AP·BC＝－2x＋12(4＜x＜6)． 综上所述，y＝ 拓展与延伸 2．如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝2，点P为直角边BC，CA上一动点，现从点B出发，沿着B→C→A的方向运动至点A处停止．设点P运动的路程为x，△APB的面积为y．(点P不与点B，A重合) (1)求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (2)在图②的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质．结合函数图象，当S△APB＝3时，直接写出x的值． y＝ 解：(2)函数图象如图所示．由函数图象可知， 当x＝4时，y有最大值4. 当S△APB＝3时，x＝3或x＝. $