四川省成都市第四十三中学2025-2026学年八年级下学期期中考试数学试题

**基本信息** 成都四十三中八年级数学半期卷（150分），以神舟十七号、杜甫诗句等真实情境融合几何与代数，A卷夯实基础（如因式分解、不等式），B卷梯度提升（如旋转最值、几何变换探究），适配期中检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/32|中心对称（神舟情境）、等腰三角形|结合科技前沿考查图形性质| |填空题|10/40|因式分解、不等式组、中垂线性质|设置动态几何（平移、旋转）问题| |解答题|8/78|配方法综合（分解因式/最值）、几何证明（旋转性质）|26题以旋转构造全等，培养逻辑推理与创新意识|

成都市第四十三中学校2025—2026学年度（下）半期考试试卷 八年级数学 　　　　　　　　　　班级：　　　　　姓名： （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2024八年级数学下册第1-4章。 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）. 1．神舟十七号发射成功并对接中国空间站，标志着中国载人航天走过空间站关键技术验证阶段和建造阶段，下列航天图标是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．若，则下列各式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．若等腰三角形的一边长为，周长为，则此等腰三角形的底边长是（   ） A．或 B． C． D．或 4．下列多项式中，能分解出因式m+1的是（　　） A．m2﹣2m+1 B．m2+1 C．m2+m D．（m+1）2+2（m+1）+1 5．杜甫曾经哀叹“茅屋为秋风所破”，苦于杜甫不曾学过今日几何，不然也不会如此绝望．现在我们来看一茅屋的屋顶剖面，它呈等腰三角形，如果屋檐米，横梁米，那么从梁上的任意一点要支一根木头顶往屋顶处，这根木头需要长度可能是（ ）米． A． B． C． D． 6．如图，已知∠ABC，以点B为圆心，以任意长为半径作弧分别交射线BA，BC于 点M，N，分别以点M，N为圆心，大于MN长为半径作弧，两弧相交于点P；在射线BC上取点H，以点H为圆心，以线段BH长为半径作弧交射线BP于点D；点E，F分别在射线BA，HD上，∠AEF＝68°，射线EF，BD交于点G，∠FDG＝39°，则∠EGB＝（　　） A．29° B．30° C．38° D．39° 7．如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移2cm得到△DEF，DF交BC于点H，CH＝3cm，EF＝7cm，则阴影部分的面积为（　　） A．16cm2 B．12cm2 C．11cm2 D．8cm2 8．如图，在中，，把绕点A逆时针旋转得到，连接，当时，的长为（    ） A． B．10 C． D． 第Ⅱ卷（共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上） 9．分解因式：4ax2﹣16ay2＝　 　． 10．某校开展了“科技节”课外知识竞赛．一共有20道题，每答对一题加5分，不答不扣分，每答错一题倒扣2分．已知小明答错与不答的题数相同，最后比赛得分超过64分．设小明答错了道题，根据题意，可列出关于的不等式为 ． 11．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于x的不等式组的解集为 ． 12．如图，在的斜边上截取，过点作交于点．若，，则的长为 ． 13.如图，在中，边的中垂线，分别与、边交于点、两点，边的中垂线，分别与、边交于点、两点，连接、若的周长为，则的长为                  ． 三、解答题 （本大题共5小题，其中14题12分，15-16题，每题8分，17-18题，每题10分，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 14．（12分）解不等式（组）： (1)； (2)，并把它的解集表示在数轴上． 15．（8分）学习了等腰三角形后，小明发现等腰三角形顶角顶点处的外角正好是其底角的两倍，于是他对“作一个角等于已知角的两倍”有了新的思路，请根据他的思路完成以下作图与推理证明填空，并注明其中蕴含的数学依据：用直尺和圆规，作线段的垂直平分线分别交于点，交于点，连接（只保留作图痕迹）． 求证：． 证明：是的垂直平分线， ①__________（依据：②____________________________）， ③__________（依据：等边对等角）． 是的外角， ④__________（依据：⑤____________________________）， ． 16．（8分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上． (1)将△ABC向右平移4个单位长度得到，请画出； (2)画出△ABC关于点的中心对称图形； (3)若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心的坐标． 17．（10分）要把二次三项式x2+4x＝5分解因式，我们可以在+4x＝5中先加上一项4，使它与x2+4x成为一个完全平方式，然后再减去4，整个式子的值不变，于是有：x2+4x＝5＝+4x+4﹣4﹣5＝（x+2）2﹣9＝（x+2+3）（x+2﹣3）＝（x+5）（x﹣1）．像这种先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，这种方法不只是用于分解因式，还用于其他如求值、方程转化等；请利用“配方法“解决下列问题： （1）分解因式：x2﹣20x+91． （2）当a，b为何值时，a2﹣2ab+2b2+4b+2025有最小值？最小值是多少？ （3）若a、b、c分别是△ABC的三边，且a2+b2+c2﹣12a﹣16b﹣20c+200＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由． 18．（10分）如图，在中，，将△ABC绕点C顺时针旋转得到，与交于点O，点B的对应点为E，点A的对应点D落在线段上，连接． (1)求证：平分； (2)试判断与的位置关系，并说明理由； (3)若，，求的面积． B卷（共50分） 一、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上） 19．若x2+mx﹣15＝（x+3）（x+n），则m﹣n的值为　 　． 20.已知，，则代数式 ______． 21.关于的不等式组恰有两个整数解，的取值范围为                  ． 22．如图第一象限内有两点P（m﹣4，n），Q（m，n﹣3），将线段PQ平移，使点P、Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是 　． 23．如图，等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，D是AB上一点，AD＝2，BD＝4，E是边BC上的动点，若点E绕点D逆时针旋转30°的对应点是F，连CF，则CF的最小值是　 　． 二、解答题 （本大题共3小题，其中24题8分，25题10分，26题12分，共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 24．（8分）灵蛇献瑞，已蛇呈祥.新年之际，探亲访友，都会提上新春礼盒，缤纷美食，满载幸福与甜蜜.重庆某百货超市计划主推两款礼盒：坚果礼盒“锦然秋鸿”和糖果礼盒“甘饴冬藏”．已知4件坚果礼盒和5件糖果礼盒进价1200元，7件坚果礼盒和2件糖果礼盒进价1290元． (1)求每件坚果礼盒和糖果礼盒进价分别是多少元？ (2)超市决定用不超过66600元资金购进坚果礼盒和糖果礼盒共500盒，其中坚果礼盒的数量不少于糖果礼盒数量的，且两种礼盒的进价保持不变，在运输过程中，有5件坚果礼盒外包装破损，3件糖果礼盒外包装破损，销售时每件坚果礼盒售价为175元，每件糖果礼盒售价为150元，外包装破损的产品均按售价的六折出售，若本次购进的两种礼盒全部售出，请问坚果礼盒购进多少件时，可使本次销售获得最大利润，最大利润是多少元？ 25．（10分）如图，与都是等边三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，，． (1)求证：； (2)求证：是等边三角形； (3)如图，与都是等腰直角三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，．若点恰好也是的中点，且，求的面积． 26．（12分）【问题初探】 在数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题： （1）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点P在其内部，∠APC＝135°，PA＝1，，求PB的长； 经过同学们的观察、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将△ABP绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△ACQ，连接PQ，探究PC，PQ，CQ三边之间的数量关系，…根据以上分析过程，PB＝　 　． 【类比分析】 （2）如图2，在等边△ABC中，点P在其内部，且PA＝2，，，求∠APB的度数． 【拓展应用】 （3）①如图3，在△ABC中，BC＝4，点P在其内部，△PAC是等腰三角形，且∠APC＝120°，若，∠PBC＝60°，求AB的长． ②如图4，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点P为平面内一点，若∠APB＝90°，∠BPC＝150°，请直接写出的值． 八年级数学下学期期中数学卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）. 1 2 3 4 5 6 7 8 D B C C B A C C 第Ⅱ卷（共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上） 9．4a（x+2y）（x﹣2y） 10． 11． 12．3 13. 14 三、解答题 （本大题共5小题，其中14题12分，15-16题，每题8分，17-18题，每题10分，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 14．【详解】（1）解：去括号，得，……………………………………1分 移项得：，……………………………………2分 合并同类项，得，……………………………………3分 系数化为1，得．……………………………………4分 （2）解不等式，得，……………………………………5分 解不等式，得，……………………………………6分 则不等式组的解集为．……………………………………7分 将不等式组的解集表示在数轴上如下：……………………………………8分 15．【详解】解：作答如图； ……………………………………3分 证明：∵是的垂直平分线 ∴，（依据：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）； ∴，（依据：等边对等角）． ∵是的外角 ∴（依据：三角形的一个外角等于其不相邻的两个内角之和）； ∴． 故答案为：①；②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；③；④；⑤三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和.…………………8分（每空1分） 16．【详解】（1）解：解：如图，即为所求作的三角形：………………………2分 ； （2）解：如图，即为所求作的三角形： ……………………………………4分 （3）解：如图，连接，，交于点，即可得到旋转中心为．…………………………6分 ……………………………………8分 17．【详解】解：（1）x2﹣20x+91 ＝x2﹣20x+100﹣100+91 ＝（x﹣10）2﹣9 ＝（x﹣10+3）（x﹣10﹣3） ＝（x﹣7）（x﹣13）；……………………………………3分 （2）a2﹣2ab+2b2+4b+2025 ＝a2﹣2ab+b2+b2+4b+4﹣4+2025 ＝（a﹣b）2+（b+2）2+2021， ∴当a＝b＝﹣2时，有最小值，最小值为2021；……………………………………6分 （3）a2+b2+c2﹣12a﹣16b﹣20c+200＝0， （a2﹣12a+36）+（b2﹣16b+64）+（c2﹣20c+100）＝0， （a﹣6）2+（b﹣8）2+（c﹣10）2＝0， 解得：a＝6，b＝8，c＝10， ∵a2+b2＝62+82＝100＝102＝c2， ∴△ABC时直角三角形．……………………………………10分 18．【详解】（1）证明：绕点顺时针旋转得到， ，，……………………………………2分 ， ， 平分；……………………………………3分 （2）解：，理由如下： ， ，……………………………………4分 ，， ，……………………………………6分 ， ， ；……………………………………7分 （3）解：作于， ，， ， ， 是等腰直角三角形，……………………………………8分 是等腰直角三角形， ， ， ，……………………………………9分 的面积．……………………………………10分 B卷（共50分） 一、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上） 19．3 20.  解： ， 把，代入原式， 则原式 ． 21.【答案】，  解：不等式组的解集为：， 关于的不等式组恰有两个整数解， ． ， 22．（0，3）或（﹣4，0） 23．32 二、解答题 （本大题共3小题，其中24题8分，25题10分，26题12分，共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 24．【详解】（1）解：设每件坚果礼盒和糖果礼盒进价分别是x元，y元， 根据题意得：，……………………………………1分 解得，……………………………………2分 答：每件坚果礼盒和糖果礼盒进价分别是150元，120元；………………………3分 （2）解：设坚果礼盒购进a件，则糖果礼盒购进件， 根据题意得：，……………………………………4分 解得：，……………………………………5分 又， 解得：， ，……………………………………6分 设利润为w元，根据题意得： ，……………………………………7分 ， 随a的增大而增大， 当时，w最大，最大值为， 答：坚果礼盒购进220件时．可使本次销售获得最大利润，最大利润是15740元．……………………8分 25．【详解】（1）证明：∵与都是等边三角形， ∴，，， ∴，……………………………………1分 在和中， ， ∴，……………………………………2分 ∴；……………………………………3分 （2）证明：∵点，分别是，的中点， ∴，，……………………………………4分 ∵， ∴， ∵， ∴，……………………………………5分 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形．……………………………………6分 （3）解：∵与都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴，……………………………………7分 ∴，， ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，……………………………………8分 ∴， ∵，且点也是的中点， ∴， ∴，……………………………………9分 ∵，， ∴， ∴， ∴的面积为．……………………………………10分 26．【详解】解：（1）已知将△ABP绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△ACQ， ∴△ABP≌△ACQ， ∴AP＝AQ＝1，BP＝CQ，∠PAQ＝90°， ∴△APQ是等腰直角三角形，则∠APQ＝∠AQP＝45°， ∴在Rt△APQ中，， ∵∠APC＝135°， ∴∠CPQ＝∠APC﹣∠APQ＝135°﹣45°＝90°， ∵，∴△CPQ是等腰直角三角形， ∴，即PB＝AC＝2， 故答案为：2；……………………………………1分 （2）如图所示，将△ABP绕点A逆时针旋转60°，得△ACE， ∴△ABP≌△ACE， ∴AP＝AE，∠PAE＝60°，，∠APB＝∠AEC， ∴△APE是等边三角形，……………………………………2分 ∴AP＝PE＝AE＝2，∠APE＝∠AEP＝∠PAE＝60°， 在△CEP中，，PE2＝22＝4，， ∴PC2＝PE2+CE2， ∴△CEP是直角三角形，∠CEP＝90°，……………………………………3分 ∴∠AEC＝∠AEP+∠PEC＝60°+90°＝150°， ∴∠APB＝150°；……………………………………4分 （3）①已知△APC是等腰三角形，∠APC＝120°， ∴∠PAC＝∠PCA＝30°，如图所示，将PB绕点P顺时针旋转120°，得PQ，连接BQ，AQ，CQ， ∴∠APC+∠APQ＝∠APQ+∠BPQ， ∴∠CPQ＝∠APB，PQ＝PB，CP＝AP， ∴△CPQ≌△APB（SAS）， ∴AB＝CQ，∠BPQ＝120°，BP＝CP， ∴∠PBQ＝∠PQB＝30°，且∠BPC＝60°， ∴∠QBC＝90°，……………………………………………………………………5分 过点P作PR⊥BQ于点R，在Rt△BPR中，，∠PBR＝30°， ∴，， ∴，在Rt△BCQ中，，BC＝4， ∴， ∴AB；……………………………………………………………………6分 ②已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠ABC＝∠ACB＝30°， 第一种情况，如图所示，点P在△ABC外面，∠APB＝90°，∠BPC＝150°， 则∠APC＝60°，将△APC绕点A顺时针旋转120°，得△ABG， ∴∠PAG＝120°，AP＝AG，CP＝GP， ∴∠AGP＝∠APG＝30°，……………………………………7分 则∠BPG＝∠APB﹣∠APG＝90°﹣30°＝60°， ∴∠AGB＝∠APC＝∠BPG＝60°， 则∠BGP＝∠AGB﹣∠AGP＝60°﹣30°＝30°， ∴∠BGP+∠BPG＝60°+30°＝90°， ∴△BGP 是直角三角形， 即∠GBP＝90°，……………………………………8分 ∴， ∴；……………………………………9分 第二种情况，如图所示，点P在△ABC内部，∠APB＝90°，∠BPC＝150°，∠BAC＝120°，AB＝AC，则∠ABC＝∠ACB＝30°，将△APC绕点A顺时针旋转120°，得△AHB，连接PH， ∴△APC≌△AHB， ∴AP＝AH，∠PAH＝120°，∠ACP＝∠ABH，CP＝BH， ∴∠AHP＝∠APH＝30°， 则∠BPH＝∠APB﹣∠APH＝90°﹣30°＝60°，……………………………………10分 ∵∠BPC＝150°， ∴△BPC 中，∠PBC+∠PCB＝30°， ∴∠ABC+∠ACB﹣（∠PBC+∠PCB）＝60°﹣30°＝30°， ∴∠ABP+∠ACP＝30° 30°， ∴∠ABP+∠ABH＝∠PBH＝30°， ∴∠PBH+∠BPH＝30°+60°＝90°， ∴∠BHP＝90°， 即△BPH直角三角形，……………………………………11分 ∴， ∴； 综上所述，的值为或．……………………………………12分 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $