精品解析：安徽宣州市雁翅乡初级中学等校2025 -2026学年度第二学期期中考试 八年级数学试题

2025～2026学年度第二学期期中考试八年级数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 若是整数，则正整数n的最小值是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵75=25×3， ∴是整数的正整数n的最小值是3． 故选：B． 2. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　） A. B. ax2+bx+c＝0 C. (x﹣1)(x﹣2)＝0 D. 3x2+2＝x2+2(x﹣1)2 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义解答：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】A、是分式方程．错误； B、当a＝0时不是一元二次方程，错误； C、是，一元二次方程，正确； D、3x2+2＝x2+2(x﹣1)2整理后为x=0，是一元一次方程，错误； 故选：C． 【点睛】考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 3. 有一个三角形两边长分别为4和5，要使三角形为直角三角形，则第三边长为（ ） A. 3 B. C. 3或 D. 3或 【答案】D 【解析】 【详解】解：当5为斜边时，则第三边长为：=3； 当4和5都是直角边时，则第三边长为：=， 综上所述，则这个三角形的第三边长为3或． 故选：D 4. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】按照配方法的步骤进行求解即可得答案． 【详解】解：， 移项得， 二次项系数化1的， 配方得， 即， 故选：A． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤为（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 5. 如图，在中，，，，为的中点，，，则四边形的对角线的长为（　　） A. B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，菱形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质，根据，，可得四边形为平行四边形，根据，为的中点，则，则平行四边形为菱形，由，，，可得，证明四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】解：，， 四边形为平行四边形， 又，为的中点， ， 平行四边形为菱形， ∴， ∴ 又 ∴四边形是平行四边形， ∴， ，，， ， ∴． 故选：B． 6. 若 ，则（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，二次根式混合运算，熟练掌握完全平方公式及化简求值是解题的关键．根据完全平方公式将变形为，再代入，的值求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∴ ， 故选：D． 7. 某市为改善市容，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加，这两年平均绿地面积的增长率为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解答此类题目中的关键是明确题意，列出相应的方程，注意增长的百分率是正值．设这两年平均每年的增长率为x，因为经过两年时间，让市区绿地面积增加，则有，解这个方程即可求出答案． 【详解】解：设这两年平均每年的绿地增长率为x，根据题意得， ， 解得：（舍去），． 所以，这两年平均每年绿地面积的增长率为． 故选：C． 8. 已知方程●，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成的形式，则印刷不清楚的数字是（　　） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法，利用完全平方公式进行计算，能求出是解此题的关键．设印刷不清的数字是a，根据完全平方公式展开得出，求出，再根据题意得出，，最后求出答案即可． 【详解】解：设印刷不清的数字是a， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵方程●，等号右侧的数字印刷不清楚，可以将其配方成的形式， ∴，， ∴，， 即印刷不清的数字是2， 故选：A． 9. 我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图如图所示，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝2，BC＝3，将四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到一个如图所示“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ） A. B. 8 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将CB延长至点D，使，利用勾股定理求出AD的长，即可求出结果． 【详解】解：如图，将CB延长至点D，使， ∵，， ∴， ， 一共有4个这样的长度， ∴这个风车的外围周长是：． 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是利用勾股定理求直角三角形边长． 10. 线段AB上有一动点C（不与A，B重合），分别以AC，BC为边向上作等边△ACM和等边△BCN，点D是MN的中点，连结AD，BD，在点C的运动过程中，有下列结论：①△ABD可能为直角三角形；②△ABD可能为等腰三角形；③△CMN可能为等边三角形；④若AB=6，则AD+BD的最小值为. 其中正确的是（　　） A. ②③ B. ①②③④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意并结合图形，我们可以得出当C为AB的中点时，可判断所给结论正确与否． 【详解】解： 当C为AB中点时，有图如下， ∵与为等边三角形， ∵C为AB中点， ∴AM=AC=MC=NC=BC=NB，MD=ND， ∵ ∴ ∴为等边三角形，③正确； ∵ ∴ ∴AD=BD，△ABD此时为等腰三角形，②正确； 当C为AB中点时，AD+BD值最小， ∵D为MN的中点， ∴CD为MN的垂直平分线， ∴，∵AB=6， ∴ ∴ ∵AD=BD ∴AD+BD=，④正确； 若△ABD可能为直角三角形，则， ∴CD为AB的垂直平分线 ∴ ∴AC=CD，与所求结论不符，①错误． 故选：D． 【点睛】本题考查的知识点是等边三角形的性质以及全等三角形的判定定理及性质，弄清题意，画出当C为AB中点时的图形是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 与最简二次根式是同类二次根式，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先将化为最简二次根式，根据同类二次根式的概念得到关于的一元一次方程，解方程即可得到结果． 【详解】解：，且与最简二次根式是同类二次根式， ， 移项得， 系数化为得． 12. 若，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质与绝对值的化简，根据的取值范围判断和的符号，再利用二次根式的性质和绝对值的定义化简即可． 【详解】解：根据二次根式的性质，对原式变形得， ， ，根据绝对值的定义去绝对值， ． 13. 关于的一元二次方程的常数项为0，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，知道一元二次方程的一般形式是解决本题的关键． 由常数项为0可得，再结合一元二次方程二次项系数不为0，确定m的值即可． 【详解】解： ， ∵常数项为且常数项为0， ∴ ， 解得， 又∵方程为一元二次方程， ∴二次项系数， 即． ∴． 故答案为：． 14. 勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；．．．这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：若此类勾股数的勾为（为正整数），则股是___________．（结果用含的式子表示） 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查勾股数，熟练掌握勾股数是解题的关键；设股为，则弦为，根据勾股定理列方程求解． 【详解】解：依题意，勾为，设股为，则弦为．由勾股定理，得， 即，整理得，即，解得． 故股为； 故答案为． 15. 若是方程的两个实数根，则的值为__． 【答案】 【解析】 【分析】先由一元二次方程解的定义得到 ，再由根与系数的关系得到，据此利用整体代入法求解即可． 【详解】解：是方程的两个实数根， ，， ， ． 16. 九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹稍触地处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？经过计算，折断处离地面的高度为_________尺； 【答案】4.2 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设折断处离地面的高度为尺，则尺，在中，由勾股定理得出方程，求解即可． 【详解】解：设折断处离地面的高度为尺，则尺， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 即折断处离地面的高度为4.2尺， 故答案为：4.2． 三、解答题：本大题共7小题，共52分． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）先把每项化成最简二次根式，再进行加减计算即可； （2）首先利用平方差公式计算，化简二次根式，好计算加减即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 18. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）用十字相乘法分解因式，用因式分解法求解即可； （2）设，用换元法求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得； 【小问2详解】 解：设，则原方程化为， ∴， ∴或， 解得，， 当时，则，即， ∵， ∴； 当时，则，即0， ∵， ∴； 综上所述，原方程的解为，． 19. 已知关于的方程． （1）试说明：无论取什么实数值，方程总有实数根； （2）若等腰的一边长为1，另两边，恰好是这个方程的两个实数根，求的周长 【答案】（1） 解： ∵，，， ∴ ∴无论取什么实数，方程总有实数根. （2）5 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式， 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵等腰的一边长为1，另两边，恰好是这个方程的两个实数根， 当时，把代入方程得：， 解得：， 此时方程为， 解得，，即，， ∵， ∴，，时，不能构成三角形，不符合题意，舍去， 当时，则方程有两个相等的实数根， ∴，解得， 原方程为，解得，即， 周长， ∴的周长为5． 20. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． （1）在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形； （2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为；求：此三角形最长边上的高． 【答案】（1） 解：如图1，正方形即为所求； （2） 如图所示：三角形即为所求： 三角形最长边上的高为2 【解析】 【分析】（1）画出一个边长为的正方形即可； （2）根据要求结合勾股定理画出三角形，等积法求出三角形最长边上的高即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设此三角形最长边上的高为， ，， 此三角形是直角三角形； 则由三角形面积可得：， 解得：， 故三角形最长边上的高为2． 21. 阅读材料： 像 ……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号． 数学课上，老师出了一道题“已知，求 的值”． 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为 ， 所以 ， 所以 ，所以 ， 所以 ，所以，所以． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： （1）的有理化因式是 ____________． ； （2）比较大小： ___________（填，，， 或中的一种）； （3）计算： ； （4）若，求 的值． 【答案】（1）， （2） （3）2021 （4）7 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，平方差公式． （1）根据有理化因式的定义即可解决问题； （2）根据题意得出所给两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们的倒数大小即可解决问题； （3）先将里的分母有理化，然后合并，再和相乘，最后算减法即可； （4）根据题干所给示例进行计算即可． 【小问1详解】 解：由题知，的有理化因式是， ∴． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵，， 显然，即 又∵和都是正数， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：原式 ； 【小问4详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 某水果专卖店销售樱桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销售可增加10千克． （1）若该专卖店销售这种樱桃要想平均每天获利2240元，请回答： ①每千克樱桃应降价多少元？ ②在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ （2）在降价情况下，该专卖店销售这种樱桃平均每天获利可以达到2400元吗？如果可以，请求出应降价多少元；如果不可以，请说明理由． 【答案】（1）①每千克樱桃应降价4元或6元；②该店应按原售价的9折出售 （2） 不可以达到， 设每千克樱桃应降价y元，根据题意，得： ， 即， ∵， ∴原方程没有实根． 答：该专卖店销售这种樱桃平均每天获利不可以达到2400元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． （1）①设每千克樱桃应降价x元，利用销售量×每件利润=2240元列出方程求解即可； ②为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时的销售单价即可确定几折． （2）设每千克樱桃应降价y元，利用销售量×每件利润=2400元列出方程，化简为一元二次方程一般式，利用根的判别式即可判断． 【小问1详解】 ①解：设每千克樱桃应降价x元，根据题意，得： ， 解得 ，， 答：每千克樱桃应降价4元或6元； ②由（1）可知每千克樱桃可降价4元或6元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克樱桃应降价6元． 此时，售价为（元）， ∴． 故答案是：9． 【小问2详解】 略 23. （1）如图1，在等边中，点D（不与点B，C重合）为边上的一点，以线段为边向右侧作等边，连接． ①观察猜测与有怎样的位置关系________； ②证明上面得出的结论； （2）如图2，在中，，，D（不与点B，C重合）为边上的一点，以线段为直角边向右侧作等腰直角三角形，连接．请探究线段之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，在四边形中，，，，，直接写出的值． 【答案】（1）①； ②∵，均为等边三角形， ∴，，， ，即， 在和中， ， ∴， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 在中，，， 由（1）同理可得，， ，， ， ， 在中，，又， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）①②证明，根据全等三角形的性质解答； （2）根据全等三角形的性质得到，，得到，根据勾股定理计算即可； （3）过点作交于点，连接，证明，求得，，利用勾股定理先后求得和的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：①； ②略 （2）略 （3）解：过点作交于点，连接， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质以及旋转变换的性质．作出合适的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第二学期期中考试八年级数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 若是整数，则正整数n的最小值是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　） A. B. ax2+bx+c＝0 C. (x﹣1)(x﹣2)＝0 D. 3x2+2＝x2+2(x﹣1)2 3. 有一个三角形两边长分别为4和5，要使三角形为直角三角形，则第三边长为（ ） A. 3 B. C. 3或 D. 3或 4. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，，为的中点，，，则四边形的对角线的长为（　　） A. B. 3 C. 4 D. 5 6. 若 ，则（ ） A. 2 B. C. D. 3 7. 某市为改善市容，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加，这两年平均绿地面积的增长率为（　　） A. B. C. D. 8. 已知方程●，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成的形式，则印刷不清楚的数字是（　　） A. 2 B. C. 4 D. 9. 我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图如图所示，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝2，BC＝3，将四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到一个如图所示“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ） A. B. 8 C. D. 10. 线段AB上有一动点C（不与A，B重合），分别以AC，BC为边向上作等边△ACM和等边△BCN，点D是MN的中点，连结AD，BD，在点C的运动过程中，有下列结论：①△ABD可能为直角三角形；②△ABD可能为等腰三角形；③△CMN可能为等边三角形；④若AB=6，则AD+BD的最小值为. 其中正确的是（　　） A. ②③ B. ①②③④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 与最简二次根式是同类二次根式，则______． 12. 若，则______． 13. 关于的一元二次方程的常数项为0，则的值是_____． 14. 勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；．．．这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：若此类勾股数的勾为（为正整数），则股是___________．（结果用含的式子表示） 15. 若是方程的两个实数根，则的值为__． 16. 九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹稍触地处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？经过计算，折断处离地面的高度为_________尺； 三、解答题：本大题共7小题，共52分． 17. 计算： （1） （2） 18. 解下列方程： （1）； （2）． 19. 已知关于的方程． （1）试说明：无论取什么实数值，方程总有实数根； （2）若等腰的一边长为1，另两边，恰好是这个方程的两个实数根，求的周长 20. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． （1）在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形； （2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为；求：此三角形最长边上的高． 21. 阅读材料： 像 ……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号． 数学课上，老师出了一道题“已知，求 的值”． 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为 ， 所以 ， 所以 ，所以 ， 所以 ，所以，所以． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： （1）的有理化因式是 ____________． ； （2）比较大小： ___________（填，，， 或中的一种）； （3）计算： ； （4）若，求 的值． 22. 某水果专卖店销售樱桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销售可增加10千克． （1）若该专卖店销售这种樱桃要想平均每天获利2240元，请回答： ①每千克樱桃应降价多少元？ ②在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ （2）在降价情况下，该专卖店销售这种樱桃平均每天获利可以达到2400元吗？如果可以，请求出应降价多少元；如果不可以，请说明理由． 23. （1）如图1，在等边中，点D（不与点B，C重合）为边上的一点，以线段为边向右侧作等边，连接． ①观察猜测与有怎样的位置关系________； ②证明上面得出的结论； （2）如图2，在中，，，D（不与点B，C重合）为边上的一点，以线段为直角边向右侧作等腰直角三角形，连接．请探究线段之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，在四边形中，，，，，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $