第26天 相似(数学)-【30天速通】2025-2026学年初中数理化一本通

专题五 点Px,y)关于原点的对称点为P(-x,-y), 2.关于原点对称与关于坐标轴对称的对比 对称类型 坐标特征 P（x,y)的 对称点 横坐标相同，纵坐标 x轴 关于坐标 互为相反数 P1(x,-y） 轴对称 横坐标互为相反数， y轴 纵坐标相同 P(-x,y） 横、纵坐标分别互为 关于原点对称 相反数 P(←-x,-y) |第26天 相似 知识点1 图形的相似 重点5年312考 1.相似图形 形状相同的图形叫作相似图形， 母题剖析连云港中考)下列网格中各个小正方形 的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、 丁，其中是相似图形的为(D) A.甲和乙B.乙和丁 C.甲和丙D.甲和丁 【审题】相似图形. 【解题】观察可得，甲和丁对应角相等，对应边成 比例，且形状相同，大小不同. 2.相似多边形 (1)定义 两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等， 图形的坐标与变化 速通秘籍 (1)点Px,y)关于 直线y=x（一、三象 限角平分线)的对称 点为Py,x) (2)点Px,y)关于 直线y=-x(二、四象 数 限角平分线)的对称 点为P(-y,- 学 速通秘籍 （1)两个图形是否 相似与图形的大小、 位置无关 (2)判断两个图形 是否相似，就是看这 两个图形的形状是否 相同，这是相似图形 的本质. 115 家天速通初中数 数 学 速记口诀 长对长，短对短 大对大，小对小 116 理化 边成比例，那么这两个多边形叫作相似多边形. （2)相似比 相似多边形对应边的比叫作相似比. (3)性质 ①相似多边形的对应角相等，对应边成比例. ②相似多边形对应角平分线的比等于相似比. ③相似多边形对应周长的比等于相似比. ④相似多边形面积的比等于相似比的平方. 知识点2 相似三角形 重点5年415考 1.相似三角形与平行线分线段成比例 定义 三个角分别相等，三条边成比例的两 个三角形叫作相似三角形 相似三角形的对应角相等，对应边成 比例 相似三角形对应高的比，对应中线的 性质 比与对应角平分线的比都等于相似比 相似三 相似三角形的周长的比等于相似比， 角形 面积的比等于相似比的平方 平行于三角形一边的直线和其他两边相 交，所构成的三角形与原三角形相似 判定 三边成比例的两个三角形相似 定理 两边成比例且夹角相等的两个三角形 相似 两角分别相等的两个三角形相似 基本 两条直线被一组平行线所截，所得的 平行线 事实 对应线段成比例 分线段 平行于三角形一边的直线截其他两边 成比例 推论 (或两边的延长线)，所得的对应线 段成比例 专题五图形的坐标与变化 母题剖析重庆中考)若两个相似三角形的相似比 是1：3，则这两个相似三角形的面积比是(D) A.1:3 B.1:4 C.1:6 D.1:9 【审题】相似比；相似三角形的性质. 【解题】，两个相似三角形的相似比是1：3， .这两个相似三角形的面积比是1：32=1：9 2.判定三角形相似的思路 数 Γ有平行截线一 用判定定理 有一对等®语的对艺应友北 学 夹角相等 判定三角 有两边对应 我 第三边也成比例 成比例 形相似的 有一对直角 思路 ·对锐角相等 直角三 我 两组直角边对应成比例 角形 斜边、直角边对应成比例 顶角相等 L等腰三角形我 一对底角相等 底和腰对应成比例 母题剖析山西中考)如图，在 口ABCD中，AC为对角线， B AE⊥BC于点E,点F是AE延 长线上一点，且∠ACF=∠CAF, 线段AB,CF的延长线交于点G若AB=V5,AD=4, 20V5 tan∠ABC=2,则BG的长为19 【审题】锐角三角函数；相似三角形（平行线型）； 相似三角形的判定；相似三角形的性质. 【解题】如图，在Rt△ABE中， mLAB=品-2，AB=5, AE H为 可得BE=1,AE=2.四边形 117 30天速通初中数玛 速通秘籍 一题多解： 如图，过点B作 BK⊥BC交CG于，点K, 易得tanL FCE-y 5 12' BK=BC·tan∠BCK= 数 多易得 △GBKM △GAF, GB BK 学 GA AF 5 即 GB 3 GB+5 13 4 ∴.GB= 20vV5 19 速通秘籍 求解测量问题时，关键 是找出或构造相似三 角形，并测量出易于测 量的数据，根据相似比 列出关系式求解 118 化 ABCD是平行四边形，∴.BC=AD=4,∴.CE=BC-BE= 3..·∠ACF=∠CAF,.AF=CF.设EF=x,则FC= AF=x+2.在Rt△EFC中，由勾股定理，得FC2=CE+ EF,即+2=3+，解得=各即Ef=吾.过 ,点G作GH⊥CB,垂足为H,则GH∥AF,.△CEF △Cc,器-器LBc=∠，mLC tan∠EBA=2.设BH=m,则GH=2m,BG=V5m, 5 43 ∴CV5m 20 20V5 2m4+m’ .'.m= 19 3.相似三角形的应用 （1)利用相似测量物体的高度 常见类型 原理 示意图 同一时刻物 利用影子测量 物体的高度 高与影长成 比例 E FA 用标杆与被 借助标杆测量 测物体平行 物体的高度 构造相似三 角形 D 利用平面镜的 根据入射角 反射测量物体 等于反射角 构造相似三 的高度 角形 DE B (2)利用相似测量宽度 测量 构造“X”字形或“A”字形的相似三角形，利 原 用相似三角形的性质求解 专题五 续表 A 示意图 B 知识点3 位似 重点5年297考 1.位似图形 如果一个图形上的点和另一个图形上的点分别对 应，并且它们的连线都经过同一点，那么这两个图 形叫作位似图形，这个点是位似中心. 2.位似图形的性质 （1)位似图形的对应角相等，对应边成比例. (2)位似图形的对应边互相平行或在同一条直 线上 (3)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距 离之比等于相似比. (4)位似图形的对应点的连线所在的直线相交于 一点. 3.位似图形的画法 找 确定位似中心，并找出原图形的关键点 违 分别连接位似中心和原图形的关键点 南 根据相似比，在位似中心与各关键，点所确定 的直线上取，点，确定所画位似图形的关键点 得 顺次连接所作各，点，得到放大或缩小的图形 4.平面直角坐标系中的位似变换 (1)位似变换时对应点的坐标变化规律 一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似 图形的坐标与变化 数 速通秘籍 (1)位似图形必须 学 同时满足两个条件： ①两个图形是相似图 形；②两个相似图形 的对应顶点的连线相 交于同一点. (2)两个位似图形 的位似中心有且只有 一个. 速通秘籍 以一点为位似中心画 位似图形时，符合要 求的图形往往不唯 一，一般情况下，同 一个位似中心的两侧 各有一个符合要求的 图形. 119 家天速通初中数 数 学 速通秘 (1)平行投影 心心H (2)中心投影 (3)正投影 120 理化 中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图 形的相似比为k,那么与原图形上的点(x,y)对应 的位似图形上的点的坐标为(kx,y)或(-x,-y) (2)位似与平移、轴对称、旋转变化的坐标变化 规律的对比 类型 坐标变化规律 若一个图形沿水平或竖直方向平移，则对应点 平移 的横坐标或纵坐标加上（或减去)平移的单位 长度数 旋转 若一个图形绕原点旋转180°，则旋转前后的两 个图形对应，点的横坐标与纵坐标都互为相反数 若以x轴为对称轴，则对应点的横坐标相等， 轴对称 纵坐标互为相反数；若以y轴为对称轴，则对 应，点的纵坐标相等，横坐标互为相反数 若以原点为位似中心，则变换前后两个图形对 位似 应，点的横坐标或纵坐标之比的绝对值等于相 似比 第27天 投影与视图 知识点 投影的相关概念 重点5年294考 1.投影 般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙 壁等)上得到的影子叫作物体的投影，照射光线叫 作投影线，投影所在的平面叫作投影面. 2.平行投影、中心投影和正投影 类型 定义 平行投影 由平行光线形成的投影叫作平行投影