第22天 圆(数学)-【30天速通】2025-2026学年初中数理化一本通

0 天速通初中数 速通秘籍 中点四边形的重要 结论： （1)对角线相等的 四边形的中点四边形 是菱形， (2)对角线互相垂 直的四边形的中点四 数 边形是矩形. (3)对角线相等且 学 互相垂直的四边形 的中点四边形是正 方形. 速通秘籍 ,圆心 半径 90 化 2.平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质对比 类别 边 角 对角线 对称性 平行四 对边平行 对角相等 两条对角线 中心对 边形 且相等 互相平分 称图形 轴对称 两条对角线 对边平行 四个角都 互相平分且 图形， 矩形 且相等 是直角 相等 中心对 称图形 两条对角线 对边平行， 互相垂直平 轴对称 菱形 四条边都 对角相等 分，且每一 图形， 相等 中心对 条对角线平 称图形 分一组对角 两条对角线 互相垂直平 轴对称 对边平行， 四个角都 分且相等， 正方形 四条边都 图形， 相等 是直角 每条对角线 中心对 平分一 组 称图形 对角 |第22天 圆 知识点 圆的有关性质 重点5年349考 1.圆的定义及表示方法 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个 描述性 端点O旋转一周，另一个端，点A所形成 定义 的图形叫作圆.其固定的端点O叫作圆 义 心，线段OA叫作半径 集合性 圆可以看成是所有到定点（圆心O)的 定义 距离等于定长(（半径r)的点的集合 表示方法 以，点0为圆心的圆，记作⊙0，读作“圆0” 专是 2.圆的有关概念 名称 定义 注意事项 弦 连接圆上任意两点的线段 圆中有无数 叫作弦 条弦，其中 直径是最长 直径 经过圆心的弦叫作直径 的弦 圆上任意两点间的部分叫 作圆弧，简称孤.圆的任意 孤包括优 一条直径的两个端点把圆 孤、劣孤和 孤、半圆、 分成两条孤，每一条孤都 优孤、劣孤 半圆；半圆 叫作半圆.大于半圆的孤叫 不是劣孤， 作优孤，小于半圆的孤叫 也不是优孤 作劣孤 能够重合的两个圆叫作等 等圆只和半 等圆 圆.容易看出：半径相等的 径大小有关， 两个圆是等圆；反过来， 和圆心的位 同圆或等圆的半径相等 置无关 长度相等的 等孤 在同圆或等圆中，能够互 孤不一定是 相重合的孤叫作等孤 等孤 3.圆的对称性 （1)圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都 是圆的对称轴.圆有无数条对称轴 (2)圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心. (3)圆具有旋转不变性，把圆绕圆心旋转任意一 个角度，所得的图形与原图形重合，这也是圆与一 般中心对称图形的区别之处. 4.垂径定理 (1)垂径定理：垂直于弦的直径平 分弦，并且平分弦所对的两条弧. 如图，CD是直径，AB是弦， 0 B CD⊥AB于点E,则AE=BE,AD= E D 四 图形及其性质 速通秘籍 优孤ABC, ,记作ABC B →直径AB +弦AC C 劣孤AC, 记作AC 数 学 速通秘籍 利用垂径定理解决问 题时，常连接圆心和 弦的一端构造直角三 角形 91 南品天速通初中数 速通秘籍 在垂径定理及其推论 中，过圆心、垂直于 弦、平分弦、平分弦 所对的优孤、平分弦 所对的劣孤，在这五 个条件中，知道任意 数 两个，就能推出其他 三个，（注意：“过 圆心、平分弦”作为 学 题设时，平分的弦不 能是直径) 速通秘籍 在同圆或等圆中，两 条孤、两条弦、两个 圆心角中，如果有一 组量相等，那么它们 所对应的其余各组量 也分别相等， 92 化 BD,AC=BC (2)垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直 径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 如(1)图，若AE=EB,CD是直径，则CD⊥AB, AD=BD,AC=BC. 5.弧、弦、圆心角 圆心角 顶点在圆心的角叫作圆心角 弧、弦、圆心角 在同圆或等圆中，相等的圆心角所 的关系 对的孤相等，所对的弦也相等 在同圆或等圆中，如果两条孤相等， 那么它们所对的圆心角相等，所对 弧、弦、圆心角 的弦相等 的关系的推论 在同圆或等圆中，如果两条弦相等， 那么它们所对的圆心角相等，所对 的优孤和劣孤分别相等 知识点2 圆周角定理及其推论 重点5年447考 1.圆周角 圆周角 顶，点在圆上，并且两边都与圆相交的 角叫作圆周角 一条孤所对的圆周角等于它所对的圆 圆周角定理 心角的一半 同孤或等孤所对的圆周角相等 圆周角定理的 推论 半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径 母题剖析重庆中考如图，AB是⊙O 的弦，OC⊥AB交⊙O于点C,点D是 ⊙0上一点，连接BD,CD.若∠D=28°， 则∠OAB的度数为(B) 专 A.28° B.34° C.56° D.62° 【审题】圆周角定理；垂径定理；弧、弦、圆心角 的关系的推论. 【解题】.∠D=28°，·.∠B0C=2∠D=56°. 0C⊥AB,.AC=BC,.∠A0C=∠B0C=56°， 即∠A0B=2×56°=112°. OA=OB, ∴∠01B=∠0BM=2×(180°-112)=340. 2.圆内接四边形 (1)定义 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个 多边形叫作圆内接多边形，这个圆叫作这个多边形 的外接圆 (2)性质 圆内接四边形的对角互补. 知识点3 点和圆的位置关系 重点5年473考 1.点和圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种，设⊙0的半径为r,点 P到圆心的距离OP=d. 点和圆的 位置关系 图示 特点 d与r的 关系 点P在 点到圆心的距 圆外 离大于半径 d>r 点P在 点到圆心的距 d=r 圆上 离等于半径 题四 图形及其性质 数 学 速通秘籍 （1)判断点和圆的 位置关系的实质是判 断点到圆心的距离和 半径的大小关系. (2)过在同一条直 线上的三个点不能作 圆，过任意四点不一 定能作圆： 93 家天速通初中数 数 学 94 理化 续表 点和圆的 图示 特点 d与r的 位置关系 关系 点P在 ,点到圆心的距 d<r 圆内 离小于半径 母题剖析广州中考)如图，在⊙0中， 弦AB的长为4√3，点C在⊙0上， OC⊥AB,∠ABC=30°.⊙0所在的平 A 面内有一点P,若OP=5,则点P与 ⊙0的位置关系是(C) A.点P在⊙O上 B.点P在⊙O内 C.点P在⊙0外 D.无法确定 【审题】圆周角定理；点与圆的位置关系， 【解题】如图，连接AO.:∠ABC= 30°，.∠A0C=60°.设0C与AB交 D 于点D.OC⊥AB,∴.AD=BD=AB= B 2V5,0M=sn10=40n-54, ∴.点P在⊙0外. 2.过已知点作圆 条件 圆的 个数 圆心 图例 过一点作圆 平面内异于该点 01 .02 无数 的任意点 以这两点为端点 过两点作圆 无数 的线段的垂直平 分线上的任意点 专题四 图形及其性质 续表 条件 圆 个数 圆心 图例 过不在同一 这三，点中任意两 条直线上的 点为端点的线段 1 的垂直平分线的 三点作圆 交点 数 3.三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点可以作一个 学 三角形的 外接圆 定义 圆，这个圆叫作三角形的外接圆， 这个三角形叫作圆的内接三角形 外接圆的圆心是三角形三条边的垂 定义 直平分线的交，点，叫作这个三角形 的外心 三角形的 三角形的外心到三角形三个顶点的 外心 性质 距离相等，等于其外接圆的半径 锐角三角形的外心在三角形的内部， 位置 直角三角形的外心是斜边的中，点， 钝角三角形的外心在三角形的外部 4.反证法 速通秘籍 (1)定义：假设命题的结论不成立，由此经过推 命题从正面不易证明 理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得 时，可采用反证法. 到原命题成立.这种方法叫作反证法.反证法是一 种间接证明命题的方法. (2)用反证法证明命题的一般步骤 假设 假设命题的结论不成立 从假设出发，经过推理论证，得出与公理、 推理 定理或已知条件相矛盾的结论 否定假设 由矛盾断定所作假设不正确，从而肯定原命 题的结论正确 95 天速通初中数 数 学 速记▣诀 切线的性质： 见切点，连半径，得 垂直 切线的判定： 连半径，证垂直，得 切线 96 星化 知识点4 直线和圆的位置关系 重点5年428考 1.直线和圆的位置关系 直线和圆的 位置关系 相交 相切 相离 直线和圆有 直线和圆只 直线和圆没 两个公共点， 有一个公共 有公共点， 定义 这时我们说 点，这时我 这时我们说 这条直线和 们说这条直 这条直线和 圆相交 线和圆相切 圆相离 图示 d d 2 公共点个数 2 0 d与半径r 的关系 d<r d=r d>r 公共点名称 交点 切点 直线名称 割线 切线 2.切线和切线长 判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半 径的直线是圆的切线 性质定理 圆的切线垂直于过切，点的半径 切 (1)定义法：与圆有唯一公共点的 直线是圆的切线， (2)数量关系法：到圆心的距离等 判定 于半径的直线是圆的切线， (3)判定定理法：经过半径的外端 并且垂直于这条半径的直线是圆的 切线 专 续表 经过圆外一点的切线上，这点和切 定义 点之间线段的长，叫作这，点到圆的 切线长 线长 从圆外一点可以引圆的两条切线， 切线长定理 它们的切线长相等，这一点和圆心 的连线平分两条切线的夹角 3.三角形的内切圆 （1）三角形的内切圆 与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，这 个三角形叫作这个圆的外切三角形. (2)三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交 点，叫作三角形的内心 (3)三角形内心的性质 三角形的内心到三角形三条边的距离相等，且等于 其内切圆的半径. (4)三角形外心、内心的区别 外心（三角形的外 内心（三角形的内切 名称 接圆圆心) 圆圆心) 图形 三角形的外心到三 性质 三角形的内心到三角 角形三个顶点的距 离相等 形三边的距离相等 位置 外心不一定在三角 内心一定在三角形内部 形内部 角度关系 ∠BOC=2∠A LB0C=90°+5A 返四 图形及其性质 速通秘籍 切线长定理是证明线 段相等、角相等、孤 相等以及垂直关系的 重要依据。 数 学 速通秘籍 (1)一个圆可以有 无数个外切三角形， 但是一个三角形只有 一个内切圆. (2)三角形的内心 都在三角形内部. 97 膏天速通初中数理化 知识点55 正多边形和圆 重点5年246考 速通秘籍 1.圆内接正多边形的相关概念 正多边形的外接圆和 名称 定义 内切圆是同心圆 一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多 中心 边形的中心 数 速通秘籍 正多边形的外接圆的半径叫作正多边形的 半径 半径 学 正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形 中心角 中心角 半径R 的中心角 0 边心矩 正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫 边心距 作正多边形的边心距 2.正多边形的有关计算 中心角 正n边形的每个中心角都等于360 内角 正n边形的每个内角都等于血-2180 速通秘籍 外角 正n边形的每个外角都等于360° 正多边形的中心角和 n 内角互补 周长 周长l=na 面积 面积S=ar·n=r 半径、 边长、 边心距 R--2 的关系 98 专题四 图形及其性质 续表 O为中心角，R为半径，r为边心距，a为正n 边形的边长 图示 数 知识点6 孤长和扇形面积 重点5年379考 学 1.孤长公式 在半径为R的圆中，°的圆心角所对的弧长为 k 180 母题剖析成都中考)如图，在扇 形A0B中，OA=6,∠A0B=120°， A 则AB的长为4T 【审题】扇形；孤长公式. 【解题】B的长为120π×6 180 4T· 2.扇形及扇形的面积 (1)定义 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的 图形叫作扇形. (2)扇形的面积 在半径为R的圆中，圆心角为n°的扇形面积公式 如下： nTR2 ①S扇形 360 包S步三R(为扇形的弧长，R为半径）、 99 30天速通初中数 速通秘籍 圆锥的侧面展开图为 扇形，这个扇形的孤 长是圆锥底面圆的周 长，扇形的半径是圆 锥的母线长. 数 学 速思广延 圆锥侧面积的3个计 算公式： (1)S=Trl(r为底面 圆的半径，1为母线长)】 (2)=0a(C为底 面圆的周长，1为母 线长) (3)s-”m(n为圈 360 锥侧面展开后的扇形 的圆心角的度数， 为母线长) 100 化 3.圆锥、圆柱的侧面积和全面积 圆锥 圆柱 侧面展 开图 扇形 矩形 2Tr 图示 0- 为圆柱底面圆的半 r为底面圆的半径，1 径，h为圆柱的高 为圆锥的母线长 面积公式 5=:2m=m S侧=2Th;S全=S侧+ S全=S侧+S底=Trl+Tr= 2S底=2Trh+2Tr2= Tr（l+r) 2Tr（h+r) 母题剖析云南中考) 某校九年级学生参加社会实 践，学习编织圆锥形工艺品.若这种圆锥的母线长 为40cm,底面圆的半径为30cm,则该圆锥的侧 面积为（C) A.700Tr cm2 B.900πcm2 C.1200πcm2 D.1600πcm2 【审题】圆锥的侧面积. 【解题】底面圆的半径为30cm,圆锥的母 线长为40cm,∴.圆锥的侧面积为T×30×40= 1200r(cm2）.