第13天 二次函数(数学)-【30天速通】2025-2026学年初中数理化一本通

母题剖析山西中考)生物学研究表明，某种蛇在 定生长阶段，其体长y(cm)是尾长x(cm)的 一次函数，部分数据如下表所示，则y与x之间的 关系式为(A) 尾长x/cm 6 8 10 体长y/cm 45.5 60.5 75.5 A.y=7.5x+0.5 B.y=7.5x-0.5 C.y=15x D.y=15x+45.5 【审题】利用一次函数解决实际问题. 【解题】设y与x之间的关系式为y=kx+b,将(6， 6k+b=45.5, 45.5),（10,75.5)分别代入，得 解 10k+b=75.5, 得75 故y与x之间的关系式为y=7.5x+0.5. b=0.5 1第13天 二次函数 知识点1 二次函数 重点5年189考 1.定义 一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0) 的函数，叫作二次函数.其中，x是自变量，a,b, c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和 常数项。 2.二次函数的一般形式 y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0)叫作二次函 数的一般形式. 专题三 函数 速思广延 本题可选用特殊值 法.例如将（10,75.5) 数 依次代入各选项中的 关系式中进行验证， 学 只有A选项符合题意. 速通秘籍 二次函数必须满足的 条件： (1)函数解析式是 整式 (2)化简后自变量的 最高次数是2. (3)二次项系数不 为0. 47 天速通初中数 速通秘籍 (1)二次函数的图象 以其对称轴为“界”， 顶点为“限”，在对 数 称轴的左侧和右侧， 它的增减性恰好相 学 反.抛物线是向两方 无限延伸的，左右两 侧应关于对称轴对称 （2)a决定二次函数 的开口方向，k决定 二次函数的位置及顶 点坐标. 48 化 知识点 二次函数的图象和性质 重点难点5年436考 1.二次函数y=ax2+hk(a≠0)的图象和性质 y=ax'tk a>0 a<0 (a≠0) 图象 k>0 k<0 k>0 k<0 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 顶点坐标 (0,k) 当x<0时，y随x 当x<0时，y随x 增减性 的增大而减小；当 的增大而增大；当 x>0时，y随x的增 >0时，y随x的增 大而增大 大而减小 最值 当x=0时，y有最小 当=0时，y有最大 值，y最小值=k 值，y最大值=b 2.二次函数y=ax-h)2+h(a≠0)的图象和性质 y=a(x-h)+k a>0 a<0 (a≠0) 0% x 图象 h>0,k>0h<0,k>0h>0,>0h<0,>0 h<0,k<0h>0,k<0 h<0,k<0h>0,k<0 开口方向 向上 向下 续表 y=a(x-h)2+k a>0 a<0 (a≠0) 对称轴 直线x=h 顶点坐标 (h,k) 当x<h时，y随x 当x<h时，y随x的 增减性 的增大而减小；当 增大而增大；当h x>h时，y随x的增 时，y随x的增大而 大而增大 减小 最值 当x=h时，y有最小 当x=h时，y有最大 值，y最小值=k 值，y最大值=k 3.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的 图象和性质 函数 y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0) a>0 a<0 b 2a 图象 20 对称轴 直线- 2a 顶点坐标 (、6 a' 4c-6)y Aa 在对称轴的左侧， 在对称轴的左侧， 即当<- 时政 即音会时，y政 增减性 x的增大而减小；在 x的增大而增大；在 对称轴的右侧，即当 对称轴的右侧，即当 元时，y随的 2a 时，y随x的 2a 增大而增大 增大而减小 专题三 函数 数 学 速记口诀 二次函数抛物线， 图象对称是关键. 开口、顶点和交点， 共同确定图象现. 开口方向由a断， c与y轴来相见. b的符号较特别， 符号与a相关联. 顶点坐标最重要， 一般式配方它就现. 49 家天速通初中数 数 学 50 理化 续表 函数 y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0) 抛物线有最低点，当 抛物线有最高点，当 最值 X=- 时，y有最小 2a 时，y有最大 2a 值，y最小值= 4ac-b2 4ac-b2 4a 值，y最大值= 4a 母题剖析陕西中考 已知一个二次函数y=ax2+bx+C 的自变量x与函数y的几组对应值如下表： -4 -2 0 3 5 -24 -8 0 -3 -15 则下列关于这个二次函数的结论正确的是(D) A.图象的开口向上 B.当x>0时，y的值随x值的增大而增大 C.图象经过第二、三、四象限 D.图象的对称轴是直线x=1 【审题】二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数， a≠0)的图象和性质. 【解题】将（0,0)代入y=ax2+bx+c,得c=0,再 将（-2，-8)，（3，-3)分别代入y=ax2+bx,得 如-26-8，解得l，二次函数的表达式为 9a+3b=-3, 月b=2, y=-x2+2x=-（x-1)2+1,.该二次函数的图象开口 向下，对称轴是直线=1，.当0<x<1时，y随x 的增大而增大，当>1时，y随x的增大而减小 函数图象开口向下且经过原点，顶点坐标为(1,1)， 图象经过第一、三、四象限 知识点3 二次函数图象的平移 重点5年317考 y=ax 向上(k>0)或向下（k<0) y=ax+k 平移附个单位长度 计 卡 向右(h>0)或向左(h<0) 计 平移个单位长度 0) ⊙ 蓄 再向上(>0)或向下(k<0)》 平移个单位长度 木 (h<0 (h<0 y=a(x-h)2 向上(k>0)或向下(k<0) y=a(x-h)2+k 平移个单位长度 母题制析山东中考节选)在平面直角坐标系xOy 中，点P(2,-3)在二次函数y=ax2+bx-3(a>0) 的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线x=m, (1)求m的值， (2)若点Q（m,-4)在y=ax2+bx-3的图象上，将 该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新 的二次函数的图象.当0≤x≤4时，求新的二次 函数的最大值与最小值的和. 【审题】二次函数的图象和性质；二次函数图象的 平移 【解题】解：(1)，点P(2,-3)在二次函数y=ax2+ bx-3（a>0）的图象上，∴.4a+2b-3=-3,∴.b=-2a, 测储线的对桥铂为直线一名一21，m1 (2)由（1)得，y=ax2-2ax-3,Q(1,-4), .-4=a-2a-3,解得a=1,∴.y=x2-2x-3, .平移后新的二次函数的解析式为y=x2-2x+2,其 -2 对称轴为直线=-2×1=1. 专题三 函数 速通秘籍 抛物线平移时，根据h 的值可以确定左右平 移的方向和距离，根 据k的值可以确定上 下平移的方向和距离. 速记▣诀 数 左加右减， 上加下减. 学 一题多解 （1)由题意得，二次 函数y=ax2+bx-3(a>0)】 的图象与y轴的交点 坐标为(0，-3). 又点P(2,-3)在 函数图象上， ∴.m= 0+2=1. 2 51 30天速通初中数 速通秘籍 数 （1)由a的符号可确 学 定抛物线的开口方向， 简记为“上正下负”， （2)由a,b的符号 可确定对称轴的位置， 简记为“左同右异” （3)由c的符号可确 定抛物线与y轴的交 点的位置，简记为“上 正下负”. 速通秘籍 二次函数与x轴只有 一个交点时，其坐标 为(-，0) 2a' 52 是化 .0≤x≤4， .当1时，函数取最小值，最小值为12-2×1+2=1， 当=4时，函数取最大值，最大值为42-2×4+2=10， .当0≤x≤4时，新的二次函数的最大值与最小 值的和为10+1=11. 知识点 二次函数图象与a,b,c的关系 重点5年329考 字母 字母的符号 图象的特征 a>0 开口向上 a a<0 开口向下 b=0 对称轴为y轴 b ab>0（a,b同号) 对称轴在y轴左侧 ab<0(a,b异号) 对称轴在y轴右侧 c=0 过原点 c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 知识点 二次函数与一元二次方程的关系 重点5年342考 判别式△=b2-4ac 4>0 4=0 △<0 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 a>0 x轴的位置 关系 有两个 有一个 没有 公共点 公共点 公共点 专题三函数 续表 判别式△=b2-4ac 4>0 △=0 4<0 二次函数 y y y=ax2+bx+c 的图象与 a<0 x轴的位置 有两个 有一个 没有 关系 公共点 公共点 公共点 一元二次方程ax+ 数 有两个不等 bx+c=0（a≠0)的 有两个相等 没有实 根的情况 的实数根 的实数根 数根 学 知识点 二次函数与一元二次不等式的 关系 重点5年379考 判别式△=b2-4ac 40 △=0 △<0 2 抛物线 y=ax2+bx+c 与x轴的 0x(x元 交点 有两个交点 有一个交点 无交点 a>0 不等式 ax2+bx+c>O x<1或>x2 x≠x1（或 全体实数 的解集 x≠2) 不等式 ax2+bx+c<O XXKX2 无解 无解 的解集 抛物线 Ayx (x2) y=ax2+bx+c a<0 与x轴的 交点 有两个交点 有一个交点 无交点 53 膏0天速通初中数： 数 学 速通秘籍 用二次函数求解实际 问题时，审题是关键， 检验容易被忽略，求得 的结果除了要满足题 中的数量关系，还要符 合实际问题的意义 速通秘籍 在求解实际问题中的 最值问题时，可以用 配方法把函数解析式 化为y=ae-h+h的形 式求解，或者针对函 数解析式用顶点坐 标公式计算函数的 最值. 54 里化 续表 判别式4=b2-4ac 4>0 △=0 △<0 不等式 ax2+bx+c>O X<x<X2 无解 无解 的解集 a<0 不等式 ax2+bx+c<O x<x1或x>x2 x≠x1（或 全体实数 的解集 x≠x2) 知识点7 实际问题与二次函数 重点5年428考 1.利用二次函数解决实际问题的一般步骤 审 找出问题中的常量与变量，并分析它们之间的关系 若有图形，则要注意结合图形进行分析 设 设适当的未知数 用二次函数表示出变量之间的关系，建立二次函数 模型，写出二次函数的解析式及自变量的取值范围 解 按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题 检验所得解是否符合实际 确定实际问题的答案 2.利用二次函数解决实际问题的注意事项 (1)利用二次函数解决图形面积的最值问题时， 可以把面积最值问题转化为二次函数的最值问 题.通常是根据图形中线段的关系，找到相应线段 与面积之间的函数关系，将其转化为二次函数问题. (2)利用二次函数解决最大利润问题时，要熟练 掌握利润问题中相关数量的意义以及常用的数量关 系.常见销售问题中的数量关系：利润=售价-进 价，总利润=单件商品的利润×总销售量，利润 利润 ×100%: 进价 1第14天 反比例函数 知识点1 反比例函数 重点5年332考 1.定义 一般地，形如)兰(：为常数。k≠0)的函数，叫 作反比例函数，其中x是自变量，y是函数.自变 量x的取值范围是不等于0的一切实数. 2.用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤 设 根据题意，设反比例函数的解析式为)=化≠0) 列 把x,y的一对对应值代入y= 中，得到一个关于 k的方程 解 解方程，求出k的值 将k的值代入所设解析式中，即可得到该反比例 写 函数的解析式 知识点 反比例函数的图象与性质 重点5年368考 k的符号 >0 k<0 图象 专题三 函数 数 学 速通秘籍 反比例函数的三种表 示形式： (1)(k为常教， k≠0). (2)y=kx(k为常数， k≠0). (3)y=k(k为常数， k≠0). 速记口诀 反比例函数有特点， 双曲线相背离得远. k为正时图一三， k为负时图二四. 图在一三函数减， 图在二四正相反. 曲线越长越近轴， 永远与轴不沾边 55