第12天 一次函数(数学)-【30天速通】2025-2026学年初中数理化一本通

天速通初中数 数 学 速通秘籍 （1)正比例函数的 图象是一条经过原点 (0,0)的直线. (2)正比例函数的自 变量x的取值范围是 全体实数 42 星化 续表 表示方法 定义 优点 缺点 用图象来表 直观、形象 所画的图象是 近似的、局部 图象法 示函数关系 地反映出函 的，从图象上 的方法叫作 数关系变化 观察的结果也 图象法 的趋势 是近似的 第12天 次函数 知识点1 正比例函数 重点5年374考 1.定义 一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0)的函数， 叫作正比例函数，其中k叫作比例系数.例如y= -2x,y=x等都是正比例函数. 2.图象与性质 y=hx k>0 k<0 图象 0 经过的象限 第一、三象限 第二、四象限 性质 y随x的增大而 y随x的增大而 增大 减小 知识点2 一次函数 重点5年426考 1.定义 一般地，形如y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的函数， 叫作一次函数.当b=0时，y=kx+b即y=kx,所以说 正比例函数是一种特殊的一次函数. 2.图象与性质 k>0 k<0 y=hx+b b>0 b<0 b>0 b<0 图象 经过的 第一、二、 第一、三、 第一、二、 第二、三 象限 三象限 四象限 四象限 四象限 性质 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 母题剖析长沙中考)对于一次函数y=2x-1,下列 结论正确的是(A) A.它的图象与y轴交于点（0，-1) B.y随x的增大而减小 C当心时，0 D.它的图象经过第一、二、三象限 【审题】一次函数的图象与性质. 【解题】当=0时，y=-1,则它的图象与y轴交于 点(0，-1)，故A选项符合题意；y随x的增大 而增大，故B选项不符合题意；当心)时，>0， 故C选项不符合题意；它的图象经过第一、三、四 象限，故D选项不符合题意 3.一次函数和正比例函数的区别与联系 正比例函数 一次函数 区 一般 y=kx(（k是常数， y=x+b(k,b是常数， 形式 且k≠0) 且k≠0) 专题三 函数 数 学 速思广延 一次函数y=kx+b(k≠ 0)中，阳越大，直 线y=hx+b越靠近y轴， 即直线与x轴的夹角 (0<夹角<90°)越 大；阳越小，直线y= x+b越靠近x轴， 即直线与x轴的夹角 越小. 43 天速通初中数 速记口诀 一次函数是直线， 图象经过仁象限。 正比例函数更简单， 经过原点一直线. 两个系数k与b, 作用之大莫小看。 数 k是斜率定夹角， b与y轴来相见. 学 44 理化 续表 正比例函数 一次函数 图象 经过原点且不与坐 不与坐标轴平行的 标轴平行的直线 直线 k的符号决定其增 减性；b的符号决 k,b k的符号决定其增 定直线与y轴的交 符号的 减性，同时决定直 点位置；k,b的符 别 作用 线所经过的象限 号共同决定直线经 过的象限 求解析 只需要一对x,y 需要两对x,y的 式需要 的对应值或一个点 对应值或两个点的 的条件 的坐标（原点除外） 坐标 ①正比例函数是特殊的一次函数 ②一次函数y=x+b(k≠0，b≠0)的图象可以看 作正比例函数y=x（k≠0)的图象沿y轴向上(b> 0)或向下（b<0)平移bl个单位长度得到的.由 系 此可知直线y=kx+b(k≠0，b≠0)与直线y=kx （k≠0)平行. ③一次函数与正比例函数有着共同的性质：当>0 时，y的值随x的值的增大而增大；当k<0时，y 的值随x的值的增大而减小 知识点 次函数解析式的确定 重点难点5年539考 1.待定系数法 先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知 的系数，从而得出函数解析式的方法，叫作待定系 数法. 2.用待定系数法求函数解析式的一般步骤 设：设一次函数的解析式为y=kx+b化，b为常数， k≠0) 列：把已知条件代入解析式，列出关于k,b的 方程（组) 解：解方程（组），求出k,b的值 代：将k,b的值代入所设的一次函数的解析式 3.用平移法求函数解析式的一般步骤 y=kx+(b+a) 向上平移a个单位长度 y=k(x+a)+b 向左平移y=+bk≠0向右平移y=k-@)+切 a个单位长度 a个单位长度 向下平移a个单位长度 y=kx+(b-a) 母题剖析北京中考)在平面直角坐标系xOy中， 函数y=kx+b(k≠0)与y=-x+3的图象交于点 (2,1). (1)求k,b的值. （2)当x>2时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠ 0)的值既大于函数y=kx+b的值，也大于函数y= -kx+3的值，直接写出m的取值范围. 【审题】一次函数；待定系数法· 【解题】解：（1)将(2,1)代入y=-kx+3,得-2k+3= 1,解得k=1. 将（2,1)代入y=x+b,得2+b=1,解得b=-1. (2)m≥1. 提示：当m=1时，如图， 易知直线y=x与直线y=x-1平行，且当>2时， x>x-1,且x>-x+3. 专题三 函数 速记▣决 求函数，细分析， 用待定，分四步. 一步设，二步列， 三求解，四回代. 数 学 速思广延 求正比例函数解析式 时，只要一组x,y的 值就可以，因为它只 有一个待定系数；而 求一次函数=x+b (k≠0，b≠0)时， 需要两组x,y的值. 45 司天速通初中数 速思广延 数 两个一次函数的图象 与二元一次方程组 学 的解： (1)如果两个一次函 数的图象平行（无交 点)，那么相应的二 元一次方程组无解」 (2)如果两个一次函 数的图象重合，那么 相应的二元一次方程 组有无数组解」 (3)如果两个一次函 数的图象相交（有一 个交点)，那么相应 的二元一次方程组有 唯一解。 速通秘籍 利用一次函数解决实 际问题的关键是找到 题目中的两个变量之 间的数量关系. 46 里化 将直线y=x绕点O逆时针旋转， y=x-1 旋转角小于45°，在此期间， 旋转得到的直线对应的函数满 足题意 -x+3 综上可知，m的取值范围为m≥1. 知识点 一次函数与方程、不等式 重点5年412考 1.一次函数与一元一次方程的关系 (1)从“数”的角度看，令y=0,得方程x+b=0, 解方程得=一 (2)从“形”的角度看，-名就是直线)+6与： 轴交点的横坐标 2.一次函数与二元一次方程组的关系 (1)从“数”的角度看，解二元一次方程组，相 当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以 及这个函数值是何值. (2)从“形”的角度看，解二元一次方程组相当 于确定两条相应直线的交点坐标. 知识点 利用一次函数解决实际问题的一 般步骤 重点难点5年412考 审 仔细审题，理解题意 找 找出实际问题中的变量和常量，明确它们之间的关系 列出一次函数解析式，弄清自变量的取值范围 解 根据题目中的已知条件，由一个变量求另一个变量， 也就是解方程的过程 验 检验结果，得出符合实际的结论 母题剖析山西中考)生物学研究表明，某种蛇在 定生长阶段，其体长y(cm)是尾长x(cm)的 一次函数，部分数据如下表所示，则y与x之间的 关系式为(A) 尾长x/cm 6 8 10 体长y/cm 45.5 60.5 75.5 A.y=7.5x+0.5 B.y=7.5x-0.5 C.y=15x D.y=15x+45.5 【审题】利用一次函数解决实际问题. 【解题】设y与x之间的关系式为y=kx+b,将(6， 6k+b=45.5, 45.5),（10,75.5)分别代入，得 解 10k+b=75.5, 得75 故y与x之间的关系式为y=7.5x+0.5. b=0.5 1第13天 二次函数 知识点1 二次函数 重点5年189考 1.定义 一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0) 的函数，叫作二次函数.其中，x是自变量，a,b, c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和 常数项。 2.二次函数的一般形式 y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0)叫作二次函 数的一般形式. 专题三 函数 速思广延 本题可选用特殊值 法.例如将（10,75.5) 数 依次代入各选项中的 关系式中进行验证， 学 只有A选项符合题意. 速通秘籍 二次函数必须满足的 条件： (1)函数解析式是 整式 (2)化简后自变量的 最高次数是2. (3)二次项系数不 为0. 47