第10天 一元二次方程(数学)-【30天速通】2025-2026学年初中数理化一本通

专 【审题】解一元一次不等式组. 【解题】解：解不等式①，得x>-2; 解不等式②，得x≤1， 所以不等式组的解集为-2<x≤1，故其整数解为-1， 0,1. 知识点 实际问题与一元一次不等式（组） 重点5年475考 1.列不等式（组）解决实际问题的一般步骤 审 认真审题，分析已知量和未知量，并找出它们 之间的不等关系 设 设出适当的未知数 列根据题中的不等关系， 列出不等式（组）》 解解不等式（组），求出其解集 验幻 检验所求出的解集是否符合题意及实际意义 写出答案 2.列不等式（组)解决实际问题的常见类型 （1)行程问题：路程=速度×时间. (2)工程问题：工作总量=工作效率×工作时间， 工作总量通常设为1. |第10天 元二次方程 知识点1 一元二次方程 重点5年427考 1.定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元）， 并且未知数的最高次数是2（二次)的方程，叫作 一元二次方程. 方程与不等式 速思广延 求整数解的一般步 骤：先求出不等式组 的解集，再从解集中 找出所有整数解. 数 速通秘籍 学 列不等式（组)解决 实际问题的常用关 键词： 符 常用关键词 号 大于、多余、 小 超过、高于 小于、少于、 < 不足、低于 最少、不低于、不 小于、不少于 最多、不超过、不 ≤ 高于、不大于 33 品天速通初中数 速通秘籍 (1)只有当a≠0时， 方程ax2+bx+c-0才是一 元二次方程 (2)并不是所有的 一元二次方程都有实 数根. 数 学 速通秘籍 (1)直接开平方法： 利用平方根的意义直 接开平方 （2)配方法：使方 程左边是一个含有未 知数的完全平方式， 右边是一个常数的 形式 34 星化 2.一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式是aax2+bx+c=0(a≠0). 其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项， b是一次项系数；c是常数项. 3.一元二次方程的解 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二 次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方 程的根， 知识点2 解一元二次方程 重点难点5年558考 1.直接开平方法 (1)定义 利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程的解 的方法称为直接开平方法. (2)两种类型 关于x的方程 条件 根 a>0 x=√a,x2=-√a x-a a=0 x1=x2=0 a<0 方程无实数根 (ax+n)2-m a≠0， -n+√m -n-√m m≥0 X1三 a 一，2= a 2.配方法 (1)定义 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法， 叫作配方法. (2)配方法解一元二次方程的一般步骤 专题二方程与不等式 一般步骤 方法 一移 将常数项移到右边，含未知数的 移项 项移到左边 二化 二次项系数 如果二次项系数不是1，将方程两 化为1 边同时除以二次项系数 方程两边同时加上一次项系数一 三配 配方 半的平方 数 四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方 五解 解两个一元 移项、合并同类项 学 一次方程 3.根的判别式与求根公式 (1)定义 将a+=0(a≠0)尼方成+会， 可以看出只有当b2-4ac≥0时，方程才有实数根， 所以b2-4ac的值决定着一元二次方程根的情况. 一般地，式子b2-4ac叫作一元二次方程ax2+bx+c=0 根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即 △=b2-4ac. (2)判别式△与一元二次方程根的情况的关系 4>0 方程有两个不等的实数根 4=0 方程有两个相等的实数根 △<0 方程无实数根 母题剖析连云港中考)关于x的一元二次方程x2 x+c=0有两个相等的实数根，则c的值为4. 【审题】判别式么与一元二次方程根的情况的关系. 【解题】：一元二次方程x2-x+c=0有两个相等的实 数根，4-0，即1-4c=0,解得c=子 35 30天速通初中数 数 速通秘籍 学 选择合适的方法解一 元二次方程： (1)当方程没有一次 项时用直接开平方法 比较简单 (2)当二次项系数为 1,一次项系数为偶数 时，用配方法比较简单 (3)当各项系数均为 整数，且绝对值较小 时，首选公式法 (4)当等号一边为0， 另一边易分解成两个 一次式的乘积的形式 时，用因式分解法比 较简单. 36 星化 4.公式法 (1)定义 解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入 求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这 种解一元二次方程的方法叫作公式法.一元二次方 程ar2+bx+c=0a≠0)的求根公式为x=-b±yB-4ae 2a (62-4ac≥0). （2)公式法解一元二次方程的一般步骤 化 把一元二次方程化为一般形式 确定a,b,c的值 计算b2-4ac的值 在b2-4ac≥0的前提下，将a,b,c的值代 求 入求根公式求解（若b2-4ac<0,则方 程无实数根) 5.因式分解法 (1)定义 先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于 0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实 现降次，这种解一元二次方程的方法叫作因式分 解法. (2)因式分解法解一元二次方程的一般步骤 化 将方程右边化为0 分 将方程左边分解为两个一次式的乘积 令 令这两个一次式分别等于0，得到两个一元一 次方程 解 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方 程的解 专 6.一元二次方程的根与系数的关系 方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根x1,2和系数a,b, c的关系：x+x2= a 知识点 实际问题与一元二次方程 重点5年539考 列一元二次方程解决常见的实际问题 常见问题 基本等量关系 平均增长 a为起始量，b为终止量，n为增长（或 率（降低 降低)的次数.平均增长率公式：a(1+ x)”=b(x为平均增长率)；平均降低率公式： 率)问题 a(1-x)”=b（x为平均降低率)》 传播的第二轮可以抽象为一元二次方程，设 传播问题 a为传播源数，x为每个传播源传播的个数， 则传播两轮后感染总个数为α(1+x)2 几何图形 几何图形的面积、体积、周长公式和图形之 问题 间的等量关系 利润率=利润 ×100%=售价-进价 ×100%; 销售利润 「进价 进价 售价=进价×(1+利润率)； 问题 总利润=总售价一总成本=单个利润总 销售量 母题剖析云南中考两年前生产1千克甲种药品 的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产 1千克甲种药品的成本为60元.设甲种药品成本 的年平均下降率为x,根据题意，下列方程正确的 是(B) A.80(1-x2)=60 B.80(1-x)2=60 C.80(1-x)=60 D.80(1-2x)=60 【审题】实际问题与一元二次方程· 【解题】根据题意，得80(1-x)}2=60. 题二 方程与不等式 数 学 速思广延 在一元二次方程的应 用问题中，求平均变 化率是中考常考题 型.若设变化前的量 为a,变化后的量为 b,平均变化率为x, 则经过两次变化后的 数量关系为a1±x2-b (当平均变化率为增 长率时“±”选“+”， 当平均变化率为下降 率时“±”选“_”） 37