第7天 一元一次方程与分式方程(数学)-【30天速通】2025-2026学年初中数理化一本通

专题三 方程与不等式 可视化知识图谱 一元一次 等式的性质 方程与分 数 式方程 方程 器 解方程 学 一元一次方程（或分式方程）的实际应用 二元一次 二元一次方程组 专题二 方程组 00 解二元一次方程组 7x+3z=10, x-z=0 实际问题中找相等关系的基本方法 方程与不等式 不等式与 不等式 不等式组 元一 次不等式 +25 元一次不等式组 实际问题与一元一次不等式（组） 元二次 元二次方程 方程 解一元二次方程 实际问题与一元二次方程 霄天速通初中数理化 |第7天 一元一次方程与分式方程 知识点1 等式的性质 5年159考 1.等式的基本事实 (1)等式两边可以交换.如果a=b,那么b=a. 数 (2)相等关系可以传递.如果a=b,b=c,那么a=c. 速通秘籍 2.等式的性质 学 根据等式的性质对等 等式的性质1：等式两边加（或减)同一个数（或 式进行变形时，等式 式子)，结果仍相等. 的两边要进行同样的 如果a=b,那么a±c=b±c. 变形. 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一 个不为0的数，结果仍相等. 如果a=b,那么ac=bc; 如果a-d,c≠0，那么8-名 速通秘籍 知识点2方程 重点5年358考 一元一次方程满足的 条件： 方程的相关概念 (1)只含有一个未 知数 定义 示例及说明 (2)未知数的最高次 先设出字母表示未 2x-3含有未知数，但 数是1. 知数，然后根据问 不是等式；2+4=6是 (3)含未知数的项的 方程 题中的相等关系， 等式，但不含有未知 系数不为0 列出一个含有未知 数；>2不是等式； 数的等式叫作方程 2x-1=3是方程 (4)一元一次方程中 的分母中不含未知数. 只含有一个未知数的 一般地，使方程左、 方程的解也可以叫作 方程的解 右两边的值相等的 方程的根.例如，=2 未知数的值，叫作 是方程2x-1=3的解， 方程的解 而不能说2是方程 2x-1=3的解 22 专题二方程与不等式 续表 定义 示例及说明 像2x=3,x+1=3这样 解方程 求方程的解的过程 的简单方程，我们可 叫作解方程 以直接看出方程的解 一般地，如果方程中 只含有一个未知数 2+3=3+2是等式，但 (元)，且含有未知 不含有未知数；8y 一元一次 数的式子都是整式， 9=9-y是一元一次方 数 方程 未知数的次数都是 程；x2+2x+1=4的未知 1,这样的方程叫作 数的次数是2，不是 学 一元一次方程 一元一次方程 -+上是分式，不是 等式，不是分式方程； 分式方程 分母中含未知数的 方程叫作分式方程 +5x=6是-元-次 方程，分母中不含未 知数，不是分式方程 知识点3 解方程 重点难点5年527考 1.解一元一次方程的一般步骤 速通秘籍 步 具体做法 依据 注意事项 解一元一次方程的一 般步骤，包括去分母、 (1)不要漏乘不含 去括号、移项、合并 分母的项. 同类项、系数化为 在方程两边都乘各 等式的 (2)当分子是多项 1等. 母 分母的最小公倍数 性质2 式时，去分母后应 将分子作为一个整 速记▣决 体加上括号 已知未知要分离， 先去小括号，再去 分离方法就是移· 乘法分 去 中括号，最后去大 (1)不要漏乘括号 加减移项要变号， 括号（也可以先去 配律、 里的任何一项. 乘除移了要颠倒. 号 去括号 大括号，再去中括 (2)不要弄错符号 号，最后去小括号) 法则 23 膏天速通初中数理化 续表 步骤 具体做法 依据 注意事项 把含有未知数的项 移 移到方程的一边， 等式的 (1)移项要变号 项 常数项移到方程的 性质1 (2)不要丢项 另一边 数 并 (1)系数合并时要 合并同 把方程化成a=b 连同前面的符号. (a≠0)的形式 类项 学 (2)字母及其指数 类项 法则 不变 系 在方程两边都除以 数 未知数的系数a, 等式的 不要把分子、分母 b 为 得到方程的解x= 性质2 的位置颠倒 e 1 (a≠0) 速记口诀 2.解分式方程的一般步骤 同乘最简公分母， (1)解分式方程的一般步骤 化成整式写清楚· 去 去分母，即在方程两边同乘最简公分母（产生增根的 求得解后需验根， 过程)，把分式方程化为整式方程 增根舍去别含糊 解这个整式方程（去括号、移项、合并同类项、系数 解 化为1) 把整式方程的解代入最简公分母： 验 ①最简公分母≠0+整式方程的解是原分式方程的解 ②最简公分母=0→整式方程的解不是原分式方程的解 (2)增根：如果去分母后得到的整式方程的根使 所乘的最简公分母的值为0，那么我们把这样的根 叫作分式方程的增根 (3)无解：“原分式方程无解”隐含了两种情况： 一是求出的这个解是由分式方程化成的整式方程的 解，但是这个解使最简公分母的值为0；二是所化 24 专题二方程与不等式 成的整式方程无解，所以原分式方程无解. 母题副所陕西中考解方程：名+片-1 速思广延 【审题】解分式方程 (1)解分式方程可能 产生使分式方程无意 【解题】解：去分母，得2+x(x+1)=x2-1.去括号， 义的根，检验是解分 得2+x2+x=x2-1.移项及合并同类项，得x=-3. 式方程的必要步骤. 检验：把x=-3代入(x+1)x-1),得(（-3+1)×（-3-1)= (2)增根是去分母 后所得的整式方程的 8≠0， 数 根，但不是原分式方 所以x=-3是原方程的解 程的根 学 知识点 元一次方程（或分式方程)的 实际应用 重点难点5年493考 1.利用一元一次方程（或分式方程)解决实际问题 理解题意，弄清具体情境中的已知量与未知量，以 审 及它们之间的基本关系 我找出等量关系 设 设未知数，用x（或其他字母)表示某个未知量，由 速通秘籍 该未知量与其他数量的关系写出表示相关量的式子 设未知 列 根据题目中的等量关系列出方程 数，列 一元一 廨 解所列出的方程，求出未知数的值 实际问题方程 次方程 (分式方程) 验 检验方程的解是否符合问题的实际意义（分 解方程 实际问题检验 所列方程 式方程要先检验是否为增根) 的答案 的解 答 写出答语 2.列一元一次方程解决实际问题的常见类型 (1)相遇追及问题：相对路程=相对速度×时间。 (2)航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度； 逆水速度=静水速度-水流速度水流速度=)×（顺 水速度-逆水速度). 3.列分式方程解决实际问题的常见类型 (1)行程问题：路程=速度×时间. 25 霄天速通初中数理化 (2)工程问题：工作总量=工作效率×工作时间， 工作总量通常设为1. (3)利润问题：利润=售价-进价，利润率=利 润÷进价×100%，售价=标价×打折率 母题剖析山东中考)为提高生产效率，某工厂将 生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产 数 100件，改造后生产600件的时间与改造前生产 400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数 学 为（B) A.200 B.300 C.400 D.500 【审题】分式方程的实际应用 【解题】设改造后每天生产x件产品，则改造前每天 生产(x-100)件产品，根据题意，得600=400 xx-100' 解得x=300,经检验，x=300是分式方程的解，且 特合题意 第8天 二元一次方程组 知识点1 二元一次方程组 重点5年383考 速通秘籍 二元一次方程与二元一次方程组 二元一次方程组须满 定义 方程（或方程组） 足的条件： 的解 （1)两个方程都是 每个方程都含有两个 整式方程. 未知数，且含有未知 一般地，使二元一 （2)方程组中一共 数的式子都是整式， 次方程两边的值相 二元一 含有未知数的项的次 等的两个未知数的 含有两个未知数 次方程 数都是1，像这样的 值，叫作二元一次 (3)含有未知数的 方程叫作二元一次 方程的解 项的次数都是1. 方程 26